1.

Ile wynosi wyznacznik macierzy osobliwej:

Macierzą osobliwą (zdegenerowaną) nazywa się macierz o

wyznaczniku nieodwracalnym (zerowym).

2.

napisać wzór na iloraz różnicowy 1-szego rzędu

3.

kiedy wielomian aproksymacyjny będzie równy interpolacyjnemu

Odp, wielomian interpolacyjny jest równy aproksymującemu gdy

jego stopień jest równy liczbie węzłów minus jeden.

4.

jaka metoda jest metoda jordana.

Jest to metoda dokładna rozwiązywania układów równań

liniowych.

5.

na jednym rysunku zaprezentowac aproksymacje i interpolacje dla

pięciu węzłów

Wielomian (czerwony) stopnia 6, interpolujący 5 zadanych

wartości (zaznaczone na zielono) danej funkcji , aproksymacja

stopnia 1 funkcji f (kolor czarny)

6.

napisac reprezentacje zmiennopozycyjna liczby x

x = m * 10

c

, gdzie 0.1<=|m|<1, c – liczba całkowita (c – cecha, m

– mantysa)

7.

Testowe pytanie o norme dla wektora x=[x1 x2 x3 x4 x5...xn]^t

Norma euklidesowa jest nieujemna .

8.

testowe pytanie o co otrzymamy po rozkladzie macierzy na macierze

L i U

Otrzymamy macierz górnotrójkątną (U) i dolnotrójkątną (L). Jedna

z nich musi mieć ustalone elementy na przekątnej.

9.

testowe pytanie o to do czego nie użyjemy interpolacji, albo co nie

jest zadaniem interpolacji

interpolacja - metoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w

danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje w

nim z góry zadane wartości w ustalonych punktach, nazywanych

węzłami. Stosowana jest ona często w naukach doświadczalnych,

gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do

określenia zależności między wielkościami oraz w celu uproszczenia

skomplikowanych funkcji, np. podczas całkowania numerycznego.

DO CAŁEJ RESZTY NIE UŻYWAMY

10.

testowe pytanie jesli mamy rownanie Ax=b to jak bedzie

wygladalo rozwiazanie po rozbicu macierzy A na macierze L i U :

X=L

-1

* U

-1

* b

Y = U * X

11.

warunek ortogonalności

, gdzie In oznacza macierz

jednostkową wymiaru n.
Warunek ten mówi, że macierz jest ortogonalna gdy jej macierzą
odwrotną jest macierz do niej transponowana.

12.

kryterium metody średniokwadratowej albo najmniejszych

kwadratów(nie pamiętam dokładnie o którą chodziło)

13.

wyprowadzic wzor na pierwiastek z liczby ( C ) za pomoca

metody newtona

x=sqrt(c) => x^2=c => x^2-c =0

f(x) = x

2

– c

f’(x)=2*x

x

k+1

=x

k

- f(x

k

) / f’(x

k

)

x

k+1

= x

k

- (x

k

2

– c) / (2 * x

k

)

x

k+1

= x

k

- x

k

2

/ (2 * x

k

)

+ c / 2 * x

k

x

k+1

= x

k

- ½ * x

k

+ ½ * c / x

k

x

k+1

= ½ (x

k

+ c / x

k

)

14.

jakie kryterium trzeba sprawdzic dla wszystkich metod

rozwiazujacyh rownania liniowe (lub nieliniowe, pamiec zawodzi

czasem)

Jak na mój gust chodziło tutaj o równania nieliniowe (dla liniowych

można co najwyżej sprawdzać, czy det(A)!+0, to wtedy układ jest

oznaczony – A to macierz współczynników danego układu), tak więc

dla wszystkich metod rozwiązywania układów nieliniowych należy

sprawdzić czy funkcja ma różne znaki na krańcach przedziału (np.

czy f(a) * f(b) < 0)

15.

Co to jest rzad dokladnosci metody numerycznej?

Odp. Rząd dokładności metody numerycznej jest to ostatnia

potęga przy rozkładzie w szeregu Taylora, której odpowiada

rozwiązanie uzyskane za pomocą danej metody.

16.

___

Która metoda potrzebuje pierwszej pochodnej - dotyczyło ukł.

Równań nieliniowych.

Odp. W metodzie stycznych (NEWTONA)

17.

W wyniku jakiej OPERACJI powstaje NADMIAR?

Odp. Nadmiar może powstać w wyniku operacji która ma za dużą

cechę, np.

.

18.

Oblicz iloraz różnicowy: punkty (1,2), (-1,2) (2,3)

Odp. Najpierw segregujemy punkty rosnąco według X.

X Y

19.

Napisz macierz Vandermonde’a. Podane były punkty:

(1,2),(2,3)(3,2)

V =

20.

Czego dotyczy metoda Cauchego?

Różniczkowania z warunkami początkowymi.

21.

Metoda Gausa Siedla to ?

Przybliżona metoda rozwiązywania układów równań liniowych.

22.

Szereg Taylora dla cos(x), wypisać trzy pierwsze wyrazy

Odp. Wzór na szereg Taylora :

+ R

n

(x,a)

gdzie R

n

(x,a) spełnia warunek

23.

QR co to jest

Odp. Q- macierz ortogonalna R- macierz nieosobliwa trójkątna

górna

24.

___

Wykres, i jakie to zjawisko

Odp. Zjawisko Rungego. charakteryzujące się dużym błędem
interpolacji przy końcach przedziału; jest typowe dla interpolacji za
pomocą wielomianów wysokich stopni przy stałych odległościach
węzłów.

25.

Podane było: y=x^2, h=1, przedział <-2,2> przedstawić

graficznie metodę prostokątów

26.

Jaką własność wykorzystujemy macierzy ortogonalnych by

zrobić macierz odwrotną

Q

T

= Q

-1

27.

czy można uzyskać równanie ogólne metodami numerycznymi

Odp. Nie można , ponieważ muszą być podstawione wartości ,czyli
będzie to równanie szczególne.

28.

Norma euklidesowa

Odp. Nieujemna

29.

Było rownanie rozniczkowe 2 rzedu i warunki poczatkowe

y(1)=1 oraz y. (1)=1 Jak będzie wyglądał ukł. rownan dla tego

równania.

30.

Blad bezwzgledny ?

Odp. Moduł różnicy między wielkością rzeczywistą, a wielkością
zmierzoną. Jeżeli wielkością mierzoną A, to błąd bezwzględny
pomiaru A wynosi: Δ A = | A zmierzone – A rzeczywiste |

31.

Jakie zagadnienie wykorzystasz, by uzyskac przyblizony

wielomian o najmniejszym stopniu, którego wartosci w wezłach są

takie same jak wartosci przyblizanej funkcji?

Odp. Wykorzystam zagadnienie interpolacji gdyż wartości w

węzłach muszą być takie same jak wartości przybliżanej funkcji, w

przypadku aproksymacji funkcja aproksymująca nie musi

przechodzić przez węzły.

32.

Metoda całkowania numerycznego Simpsona, to metoda

wykorzystująca:

Parabole.

33.

Jak zmniejszy sie przedział poszukiwań w metodzie polowienia

0

4

5

.

..

=

+

+

y

y

y









=

=

1

)

0

(

0

)

0

(

.

y

y

1

.

0

=

h

Podstawiamy

Otrzymujemy

1

2

2

.

..

2

1

.

.

1

4

5

y

y

y

y

y

y

y

y

y

−

−

=

=

=

=

=









−

−

=

=

1

2

2

.

2

1

.

4

5

y

y

y

y

y







=

=

0

)

0

(

1

)

0

(

2

1

y

y

?

Połowicznie – dwukrotnie.

34.

Metody rozwiazywania rownan rozniczkowych (podział):

Odp. 1. Metody analityczne:

- rozwiązania ogólne

- rozwiązania szczególne

2. Metody numeryczne:

- rozwiązywania szczególne

3. Metody eksperymentalne

- rozwiązywania szczególne

35.

Co jest wynikiem rozniczkowania metodami numerycznymi?

Zbiór punktów

36.

Czy możliwy jest wykres aproksymacji 0 – rzedu?

Odp. Tak. wynikiem jest po prostu funkcja stała.

37.

Gdy dla zadanych punktow chcemy poprowadzic funkcje

przechodzaca przez te punkty z jakiego zadania skorzystasz:

Z interpolacji, gdyż funkcja interpolująca musi przechodzić przez

obrane punkty (węzły).

38.

??? Jakie dane trzeba posiadac aby rozwiazac równanie

rozniczkowe drugiego rzedu ( było podane)

wartość początkową dla y(0)

39.

Kiedy wektor X = [x1, x2, ..., xn]^T nazywa się forma

kwadratowa?

Kiedy dla symetrycznej macierzy A, x^T * A * x > 0

40.

Wzor na trygonometryczny wielomian interpolacyjny.

Zadanie interpolacji trygonometrycznej polega na znalezieniu
wielomianu trygonometrycznego stopnia co najwyżej n

takiego, że Fn(xj) = f(xj) dla j = 0, 1, . . . , n.

41.

Kryterium aproksymacji dla funkcji dyskretnej.

42.

Do jakich metod zaliczamy metodę Adamsa?

do metod ekstrapolacyjno-interpolacyjnych

43.

A na poprawce pewnie będzie:

- poprawianie rozwiązania (policzyć)

- wzorek (testowe) A*=(AT*A)^-1*AT

44.

LU testowe:

x=U

-1

* L

-1

* b

45.

??? Jakie dane są potrzebne do rozwiązywania RR metodami

numerycznymi?

46.

Na ile przedziałów dzielimy w metodzie prostokątów

przedział całkowania <x

p

,x

k

> dzielimy na n równo odległych

punktów x

1

,x

2

,...,x

n

.

47.

??? Jaki stopień dokładności można uzyskać poprzez

rozwiązywanie równań różniczkowych metodami numerycznymi?

48.

Czy można uzyskać równanie ogólne metodami numerycznymi

[odp: nie można, ponieważ musza być podstawione wartości
(używamy wartości do obliczania równań różniczkowych
wykorzystujemy konkretnej wartości) czyli będzie to równanie
szczególne]

49.

W której metodzie– rozwiązywanie równań nieliniowych –jest

potrzebna funkcja i pochodna funkcji do obliczeń
[odp: metoda Newtona]

50. Gdy dla zadanych punktów chcemy poprowadzić funkcje
przechodzącą przez te punkty z jakiego zadania skorzystasz:

Interpolacji

50.

Macierz dodatnio okreslona:

wyraz a1,1 musi być dodatni,

wyznacznik macierzy:

musi być dodatni i wyznacznik całej macierzy

musiał być dodatni.