Fale materii

Dualizm falowo-cząstkowy fali elektromagnetycznej.

•

W zjawiskach takich jak dyfrakcja czy interferencja fala elektromagnetyczna

wykazuje typowe własności falowe.

•

W zjawiskach takich jak efekt Comptona czy efekt fotoelektryczny fala

elektromagnetyczna wykazuje naturę korpuskularną, tzn. jest strumieniem
cząstek zwanych fotonami.

Hipoteza de Broglie'a

.

Hipoteza de Broglie'a

.

•

W 1924 roku L. de Broglie założył, że dualizm cząstkowo - falowy jest

własnością charakterystyczną nie tylko dla fali elektromagnetycznej, ale
również dla cząstek o masie spoczynkowej różnej od zera .Oznacza to, że
cząstki takie jak np. elektrony powinny również wykazywać własności
falowe. Fale te nazwał on

falami materii.

Założył, że długość fal materii

określona jest tym samym związkiem, który stosuje się do fotonów.

p

h

=

λ

Masa = 9.11 x 10

-31

kg

prędkość =10

6

m/s=280km/s

Fale materii

Elektron

34

10

31

6

6 63 10

Joula s

7.28 10

m

(9.11 10

kg)(10 m/s)

.

−

−

−

×

⋅

=

=

×

×

λλλλ

h

p

λ

=

m

10

63

6

m/sec)

kg)(1

(1

sec

Joules

10

63

6

34

34

−

−

×

=

⋅

×

=

.

.

λλλλ

Piłka

Masa = 1 kg

prędkość = 1 m / s=0.28 km/s

d

Ni

=0.215nm

m

p

eV

ba

2

2

=

Doświadczenie C.J.Davissona i L.G.Germera

Z dyfrakcji

nm

165

.

0

sin

=

=

θ

λ

d

Wzór de Broglie

nm

167

.

0

2

=

=

=

ba

meV

h

p

h

λ

Dyfrakcja na polikrystalicznej folii aluminiowej

Dyfrakcja elektronów

Dyfrakcja
promieniowania X

Zasada komplementarności

Fotony czy też elektrony oraz obiekty mikroświata w jednych zjawiskach
mogą zachowywać się jak fala, a w innych jak cząstka tzn. wykazują
zarówno własności falowe jak i korpuskularne. Obie te cechy uzupełniają
się wzajemnie , dając pełny opis danego obiektu.

Jaka jest długość fali 50 kg worka poruszającego się z prędkością
100 m/s?

!

!

10

2

.

1

/

100

50

10

62

.

6

33

34

−

−

⋅

≈

⋅

⋅

=

s

kgm

Js

λ

Długość fali elektronu poruszającego się z prędkością 100 m/s

v

≈

7.1• 10

-6

m

Funkcja falowa

Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają
własności falowe.

Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej
opisuje tzw.

funkcja falowa

Ψ

(x,t)

:



zawiera w sobie wszystkie informacje o obiekcie (np. cząstce)



w ogólnym przypadku jest to funkcja zespolona współrzędnych

przestrzennych oraz czasu



przestrzennych oraz czasu



musi być funkcją ciągłą , a także musi mieć ciągłą pochodną



Kwadrat modułu funkcji falowej

jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w chwili t w

pewnym punkcie przestrzeni

ψ

ψ

ψ

*

2

=

∫

=

Ψ

⇒

∆

Ψ

=

V

dV

V

p

1

2

2

Równanie Schroedingera

Funkcję falową,

Ψ

dla danej cząstki, lub bardziej złożonego układu

fizycznego, otrzymujemy rozwiązując równanie różniczkowe nazywane
równaniem Schroedingera. Jeżeli energia potencjalna cząstki U nie zależy
od czasu, to równanie Schroedingera jest równaniem niezależnym od
czasu i nazywa się

stacjonarnym równaniem Schroedingera

.

2

2

d

Ψ

ℏ

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

x

E

x

x

U

dx

d

m

Ψ

=

Ψ

+

Ψ

−

ℏ

Cząstka swobodna

Cząstka swobodna - na cząstkę nie działają żadne pola.

Energia potencjalna cząstki U(x)=0.

)

(

2

2

2

2

x

E

dx

d

m

Ψ

=

Ψ

−

ℏ

Szukamy rozwiązania w postaci

Ψ

(x)=A sin(kx)

2

2

(

) sin(

)

sin(

)

A

k

kx

EA

kx

−

−

=

ℏ

(

) sin(

)

sin(

)

2

A

k

kx

EA

kx

m

−

−

=

ℏ

Funkcja

Ψ

(x)=A sin(kx)

będzie rozwiązaniem gdy:

m

k

E

2

2

2

ℏ

=

2

2

sin(

)

sin(

)

2

k A

kx

E A

kx

m

=

ℏ

Cząstka swobodna - paczka falowa

∫

=

Ψ

∞

0

2

sin

)

(

)

(

λ

λ

π

λ

d

x

A

x

Cząstka -
makroświat

Cząstka -
mikroświat

Zasada nieoznaczoności

•

Fizyka klasyczna

– dokładność pomiaru jest zdeterminowana jedynie jakością aparatury

pomiarowej

– Nie ma teoretycznych ograniczeń na dokładność z jaką mogą być

wykonane pomiary

•

Mechanika kwantowa

– Obowiązuje

zasada nieoznaczoności

:

pewnych wielkości fizycznych

nie można zmierzyć równocześnie z dowolną dokładnością

Zasada nieoznaczoności dla równoczesnego pomiaru pędu i położenia:

2

/

ℏ

≥

∆

∆

x

p

x

Przykład

. Pęd poruszającego się z prędkością v=5000m/s elektronu zmierzono

z dokładnością

±

0.003%. Z jaką maksymalną dokładnością można było

wyznaczyć położenie tego elektronu?

mm

p

x

3

10

84

.

3

2

−

⋅

=

∆

≥

∆

ℏ

Zasada nieoznaczoności - interpretacja

Proces pomiaru zaburza stan układu

• Piłka o masie m=0.1kg porusza się z prędkością

v= 40 m/s

• Jej pęd p= 0.1 x 40kg = 4 kg m/s

Zasada nieoznaczoności

2

/

ℏ

≥

∆

∆

x

p

x

• Pęd zmierzono z dokładnością do 0.01%

∆∆∆∆

p = 0.01 p = 4 x 10

-4

kg m/s

• Dokładność wyznaczenia położenia:

31

1.3 10

2

x

m

p

−

∆ ≥

=

×

∆

ℏ

Zasada nieoznaczoności dla równoczesnego pomiaru energii i
czasu:

2

/

ℏ

≥

∆

∆

τ

E

Zasada nieoznaczoności energii

Przykład:

Czas przebywania atomu sodu w

Przykład:

Czas przebywania atomu sodu w

stanie

wzbudzonym

zmierzono

z

dokładnością

∆

t=1.6

•

10

-8

s.

Z

jaką

maksymalną

dokładnością

można

było

wyznaczyć wartość energii tego stanu?

eV

t

h

E

8

10

2

2

−

⋅

≈

∆

≥

∆

Cząstka w studni potencjału

1. Przypadek klasyczny

Znajdująca się w głębokiej studni
piłka może posiadać

dowolną

ener-gię

kinetyczną.

W

szczególnym

przypadku

gdy

znajduje się

w spoczynku na dnie

znajduje się

w spoczynku na dnie

studni

posiada

energię

całkowitą

równą

zeru

.

Cząstka w studni potencjału

2. Przypadek kwantowy

Energia potencjalna







∈

∞

∪

−∞

∈

∞

=

)

,

0

(

0

)

,

(

)

0

,

(

)

(

L

x

dla

L

x

dla

x

U

Warunki brzegowe:

0

)

(

)

0

(

2

2

=

Ψ

=

Ψ

L

Równanie Schroedingera:

Ψ

=

Ψ

−

E

dx

d

m

2

2

2

2

ℏ

Cząstka w studni potencjału

W obszarze studni cząstka jest cząstką swobodną.

Szukamy wiec rozwiązania w postaci

Ψ

(x)=A sin( kx

+α

)

.

)

,

0

( L

x

∈

Warunku brzegowy dla x=0 :

spełniony jest jedynie gdy

α

=0

.

[

]

0

)

0

sin(

)

0

(

2

2

2

=

+

⋅

=

Ψ

α

k

A

Warunku brzegowy dla x= L :

[

]

0

)

sin(

)

(

2

2

2

=

⋅

=

Ψ

L

k

A

L

Ψ

=

Ψ

−

E

dx

d

m

2

2

2

2

ℏ

Warunku brzegowy dla x= L :

spełniony jest jedynie gdy

kL=n

π

.

[

]

0

)

sin(

)

(

2

2

2

=

⋅

=

Ψ

L

k

A

L

L

n

k

π

=

oraz

m

k

E

2

2

2

ℏ

=

skąd

2

2

2

2

2

n

mL

E

ℏ

π

=

n = 0, 1, 2, 3, ...

Cząstka w studni potencjału -wnioski

Pytanie:

czy n może być równe zeru?

Dla n=0 energia k=0 oraz

Ψ

(x)=A sin(0 • x)= 0. Oznacza to,

ż

e prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w tym obszarze

0

)

(

2

=

∆

Ψ

x

x

Wniosek: najmniejsza wartość n=1. Cząstka musi mieć
energię różną od zera. Najmniejsza energia:

2

2

2

2

1

1

2mL

E

ℏ

π

=

Cząstka w studni potencjału -wnioski

2

2

2

2

2

n

mL

E

ℏ

π

=

n = 1, 2, 3, ...

gdzie

W nieskończonej studni potencjału energia cząstki może przyjmować
tylko pewne ściśle określone, różne od zera wartości:

Cząstka w studni potencjału -wnioski

Funkcja falowa :

)

sin(

2

x

L

n

L

n

π

=

Ψ

Wewnątrz studni powstaje fala stojąca materii z
węzłami na brzegach studni.

Cząstka w studni potencjału -wnioski

Przykład 1

Pyłek o masie 1 g w studni o szerokości 1 cm

a) minimalna energia

eV

J

m

kg

s

J

mL

h

E

39

58

2

6

2

34

2

2

1

10

43

.

3

10

49

.

5

10

10

8

)

10

63

.

6

(

8

−

−

−

−

−

⋅

=

⋅

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

b) nr poziomu gdy porusza się z prędkością 3cm/s

23

1

1

2

10

2

10

05

.

9

/

10

5

.

4

2

1

⋅

=

=

⇒

=

⋅

=

=

−

E

E

n

E

n

E

J

mv

E

n

n

n

eV

E

n

E

E

n

n

15

1

1

10

2

.

6

)

1

2

(

−

+

⋅

≈

+

=

−

Cząstka w studni potencjału -wnioski

Przykład 2

Elektron o masie 9.11x10

-31

g w studni o szerokości 0.2 nm.

a) minimalna energia

eV

J

m

kg

s

J

mL

h

E

42

.

9

10

51

.

1

)

10

2

(

)

10

11

.

9

(

8

)

10

63

.

6

(

8

18

10

34

2

34

2

2

1

=

⋅

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

−

−

−

−

m

kg

mL

)

10

2

(

)

10

11

.

9

(

8

8

10

34

2

⋅

⋅

⋅

⋅

b) poziomy drugi i trzeci

eV

E

E

eV

E

E

8

.

84

9

7

.

37

4

1

3

1

2

=

=

=

⋅

=

eV

E

E

28

.

28

1

2

=

−

Kwantowanie energii

• Energia dowolnego obiektu jest skwanowana. Obiekt

znajduje się na jednym z dozwolonych poziomów
energetycznych

• Zmiana energii układu może odbywać się wyłącznie

porcjami -

kwantami

•

W makroświecie odległość pomiędzy najbliższymi

poziomami energetycznymi jest niemierzalnie mała

Molekuła dwuatomowa - H

2

Molekuła H

2

emituje falę EM z

zakresu podczerwieni o długości fali

zakresu podczerwieni o długości fali
w pobliżu 2300 nm.

eV

E

eV

E

vib

54

.

0

27

.

0

2

1

0

=

∆

=

=

ω

ℏ

Kwantowanie energii - oscylator harmoniczny

Energia potencjalna oscylatora harmonicznego:

2

2

2

1

)

(

x

m

x

U

ω

=

Równanie Schroedingera dla oscylatora :

Ψ

=

Ψ

+

Ψ

−

E

x

m

d

2

2

2

2

ω

ℏ

Ψ

=

Ψ

+

−

E

dx

m

2

2

2

ℏ

Funkcje falowe

Ψ

będące rozwiązaniem tego równania muszą być

ciągłe i posiadać ciągłe pierwsze pochodne. Takie rozwiązania istnieją
wyłącznie wtedy gdy energia całkowita oscylatora posiada jedną z
wartości:

....

,

3

,

2

,

1

)

2

1

(

=

+

=

n

gdzie

n

E

n

ω

ℏ