Funkcje regresji sprowadzane do postaci liniowej

dr Justyna Kurkowiak

Niektóre inne funkcje regresji można prostym przekształceniem sprowadzić do postaci liniowej i w ten sposób łatwo
policzyć odpowiednie współczynniki.

Wykładnicza funkcja regresji:

Funkcja

jest funkcją liniową. Wystarczy zatem w kolumnie wprowadzić wartości zlogarytmowane, zmienną

wprowadzamy normalnie.

Hiperboliczna funkcja regresji

Funkcja

jest funkcją liniową. Wystarczy zatem zmienną wprowadzić normalnie, natomiast w kolumnie x

wprowadzić wartości odwrotne.

Potęgowa funkcja regresji

Funkcja

jest funkcją liniową

Wystarczy zatem w kolumnie wprowadzić wartości zlogarytmowane, zmienną również wprowadzamy po

zlogarytmowaniu.

Logarytmiczna funkcja regresji

Funkcja

jest funkcją liniową

Wystarczy zatem zmienną wprowadzić normalnie, natomiast w kolumnie x wprowadzić wartości zlogarytmowane.

Liniowa funkcja regresji :

w liniowej funkcji regresji wprowadzamy wartości zmiennych , a kalkulator podaje wartości A i B.

Funkcje regresji sprowadzane do postaci liniowej

dr Justyna Kurkowiak

Przykład (Zbiór zadań ze statystyki medycznej A.Lemańczyk)

W celu sprawdzenia szybkości rozpuszczania pewnej substancji w wodzie w określonych warunkach mieszania i
temperatury mierzono co 5 sekund czas (x) oraz ilość rozpuszczonej substancji w gramach (y)i otrzymano następujące
wyniki:

x

5

10

15

20

25

30

y

14,1

13,8

12,7

12,3

11,5

11,0

Wyznaczyć wykładniczą funkcję regresji

szybkości rozpuszczania substancji względem czasu.

Rozwiązanie:

Logarytmujemy obustronnie równanie w celu otrzymania funkcji liniowej:

Porównując to ze standardową funkcją liniową regresji

widzimy, że w miejsce musimy wprowadzić

, a

wprowadzamy normalnie:

x

5

10

15

20

25

30

y

ln(14,1) ln(13,8) ln(12,7) ln(12,3) ln(11,5) ln(11,0)

Otrzymamy wówczas A=2,71 Oraz B=-0,01. Ponieważ

, zatem a=15,02, natomiast B=b, więc b=-0,01.

Szukana funkcja ma postać:

.

y = 15,0155*exp(-0,0104*x)

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

x

10,5

11,0

11,5

12,0

12,5

13,0

13,5

14,0

14,5

y

lny = 2,7091-0,0104*x

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

x

2,38

2,40

2,42

2,44

2,46

2,48

2,50

2,52

2,54

2,56

2,58

2,60

2,62

2,64

2,66

ln

y

Wykres funkcji wykładniczej y=f(x)

Wykres funkcji liniowej ln y=f (x)