Funkcje regresji sprowadzane do postaci liniowej
dr Justyna Kurkowiak
Niektóre inne funkcje regresji można prostym przekształceniem sprowadzić do postaci liniowej i w ten sposób łatwo
policzyć odpowiednie współczynniki.
Wykładnicza funkcja regresji:
Funkcja
jest funkcją liniową. Wystarczy zatem w kolumnie wprowadzić wartości zlogarytmowane, zmienną
wprowadzamy normalnie.
Hiperboliczna funkcja regresji
Funkcja
jest funkcją liniową. Wystarczy zatem zmienną wprowadzić normalnie, natomiast w kolumnie x
wprowadzić wartości odwrotne.
Potęgowa funkcja regresji
Funkcja
jest funkcją liniową
Wystarczy zatem w kolumnie wprowadzić wartości zlogarytmowane, zmienną również wprowadzamy po
zlogarytmowaniu.
Logarytmiczna funkcja regresji
Funkcja
jest funkcją liniową
Wystarczy zatem zmienną wprowadzić normalnie, natomiast w kolumnie x wprowadzić wartości zlogarytmowane.
Liniowa funkcja regresji :
w liniowej funkcji regresji wprowadzamy wartości zmiennych , a kalkulator podaje wartości A i B.
Funkcje regresji sprowadzane do postaci liniowej
dr Justyna Kurkowiak
Przykład (Zbiór zadań ze statystyki medycznej A.Lemańczyk)
W celu sprawdzenia szybkości rozpuszczania pewnej substancji w wodzie w określonych warunkach mieszania i
temperatury mierzono co 5 sekund czas (x) oraz ilość rozpuszczonej substancji w gramach (y)i otrzymano następujące
wyniki:
x
5
10
15
20
25
30
y
14,1
13,8
12,7
12,3
11,5
11,0
Wyznaczyć wykładniczą funkcję regresji
szybkości rozpuszczania substancji względem czasu.
Rozwiązanie:
Logarytmujemy obustronnie równanie w celu otrzymania funkcji liniowej:
Porównując to ze standardową funkcją liniową regresji
widzimy, że w miejsce musimy wprowadzić
, a
wprowadzamy normalnie:
x
5
10
15
20
25
30
y
ln(14,1) ln(13,8) ln(12,7) ln(12,3) ln(11,5) ln(11,0)
Otrzymamy wówczas A=2,71 Oraz B=-0,01. Ponieważ
, zatem a=15,02, natomiast B=b, więc b=-0,01.
Szukana funkcja ma postać:
.
y = 15,0155*exp(-0,0104*x)
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
x
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
13,0
13,5
14,0
14,5
y
lny = 2,7091-0,0104*x
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
x
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
ln
y
Wykres funkcji wykładniczej y=f(x)
Wykres funkcji liniowej ln y=f (x)