W

W

Y

Y

K

K

Ł

Ł

A

A

D

D

1

1

4

4

R

R

U

U

C

C

H

H

T

T

U

U

R

R

B

B

U

U

L

L

E

E

N

N

T

T

N

N

Y

Y

–

–

C

C

.

.

D

D

.

.

“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

E

E

R

R

E

E

Y

Y

N

N

O

O

L

L

D

D

S

S

A

A

Dowolna wielkość w opisie ruchu turbulentnego może być
przedstawiona w postaci wolnozmiennej „średniej” i
szybkozmiennej, niewielkiej oscylacji. Oscylacja (= pulsacja =
fluktuacja) jest wie

lkością losową.

Definicja wartości średniej

srednia

oscylacja

f

f

f







f

czas

średnia

srednia

z oscylacji

f

0

 

 

t T

t T

1

f

f

d

2T

 









Czas uśredniania 2T powinien być

większy od czasu charakteryzującego

zmiany losowe i mniejszy od czasu, w

którym istotnie zmienia się średnia

Pochodna

f

jest funkcją miejsca i czasu.

Pochodna średniej względem współrzędnej x ma postać:

Pochodna średniej względem położenia jest średnią pochodnej.

Pochodną średniej względem czasu liczymy następująco:





t T

t T

t T

t T

f

1

1

1

f

f ( ) d

f (t

T) f (t

T)

d

t

2T t

2T

2T

 









































t T

t T

t T

t T

f

1

1

f ( )

f

f ( ) d

d

x

2T x

2T x

x

x



 









































Przedstawmy prędkość i ciśnienie w postaci sum:

Podstawmy powyższe zależności do równań Naviera – Stokesa
dla cieczy:

W rezultacie otrzymujemy równanie, które nosi nazwę

R

ównania Reynoldsa dla średnich





k

k

i

k

i

k

v

1

p

v v

v

t

x

x













 

 















i

k

i

k

k

i

k

i

k

v

1

p

v v

v

v

v

t

x

x

x















 

  

















k

k

k

v

v

v







p

p

p



 

T

T

E

E

N

N

S

S

O

O

R

R

R

R

E

E

Y

Y

N

N

O

O

L

L

D

D

S

S

A

A

Zauważmy, że równanie Reynoldsa różni się od równania Naviera-

Stokesa dodatkowym członem

i

k

i

( v v )

x



 





.

Oznaczmy:

Tensor Reynoldsa

Średnie spełniają równanie ciągłości

ii

k

ik

i

ik

ki

v v

v v

R

R

 

 



 

 

 

k

k

v

diw v

0

x









Mamy układ opisujący średnie

k

v

i

p

.

Trzeba określić składowe

tensora Reynoldsa.

1

1

1

2

3

1

2

v

v

v , v , v ,

,

,

x

x









 













zależy od ruchu, a więc odpowiedni związek nie będzie

wyrażał własności fizycznych płynu, lecz cechy ruchu!

Podanie powyższego związku w jawnej formie nazywamy

Hipotezą domknięcia

Zapiszmy



w sposób następujący:

Tr(



)

-

to ślad tensora Reynoldsa

Gdzie



nosi nazwę

energii kinetycznej turbulencji

i jest to

uśredniony kwadrat oscylacji turbulentnych.

   

 

2

2

2

1

2

3

1 1

2

3

3

2

v

v

v

Tr( )

v v

v v

v v

2

2

2













 

 

 













 

 

ik

ik

ik

ik

1

1

R

Tr

R

Tr

3

3























Tr( )

2



 

ik

ik

ik

ik

2

2

R

R

3

3









 













W równaniu Reynoldsa występują pochodne wielkości

i

k

( v v )

 



.

Zatem




Wstawmy to wyrażenie do równania Reynoldsa. Dostaniemy
wtedy:





gdzie





t

ik

i

ik

k

i

i

k

i

R

2

v v

T

x

x

3 x

x











 





 















t

k

ik

k

i

k

i

k

i

v

T

1

2

v

v

p

v

t

x

x

3

x













 







 



  

















t

2

p

p

3



 

t

ik

ik

ik

2

T

R

3







ciśnienie turbulentne

t

ensor naprężeń

turbulentnych

Można pokazać, ze tensor naprężeń turbulentnych ma zerowy
ślad. Taki ślad ma też tensor określony następująco:






Hipotezą wykorzystującą powszechnie w opisach ruchu
turbulentnego jest równanie:

µ

turb

– nazywa się

lepkością turbulentną

i zależy od rodzaju

ruchu, miejsca i „zwykłej” lepkości .

i

k

sr

k

i

v

v

1

2

x

x

























t

turb

sr

T

2







lub w składowych

t

i

k

ik

turb

k

i

v

v

T

x

x



























Gdyby udało się określić

µ

turb

, to równania dla średnich

prędkości i ciśnienia byłyby takie:

Jeśli znamy

µ

turb

to z powyższego układu równań możemy

wyznaczyć

k

turb

v

i

p









k

k

i

turb

k

turb

sr ik

i

k

i

v

1

v

v

p

v

t

x

x

x



















 

  









i

i

v

0

x







równanie Reynoldsa

równanie ciągłości dla średnich

Hipotezy określające

µ

turb

:

1.

2.

Hipoteza „

κ - ε

”

κ

i

ε

wynikają z

dwu dodatkowych równań różniczkowych cząstkowych

2

turb

v

l

n






v

n




-

pochodna w kierunku normalnym

dominującej składowej prędkości

l

-

droga mieszania wyznaczana doświadczalnie

turb

turb

( , )





 



κ

- energia kinetyczna turbulencji

ε

– moc dyssypowana na ciepło skutkiem

turbulencji