PRZESTRZEŃ AFINICZNA

Definicja 1.

X

JJG

+

×

X zbiór

−

X

≠ ∅

: X X

X

→

JJG

- przestrzeń wektorowa nad ciałem K

nazywamy

przestrzenią wektorową jeżeli zachodzą:

(

)

1.

G

, ,

X X

+

JJG

G

0

x X

x

x

∈

∀ + =

,

!

x y X v X

x v

y

∈

∈

∀ ∃ + =

G JJG

2.

( )

( )

,

,

x X u v X

x v

u x

v u

∈

∈

∀ ∀

+ + = + +

G G JJG

G

G

G G

3.

Definicja 1.

-

przestrzeń afiniczna

(

)

, ,

X X

+

JJG

- zbiór punktów tej przestrzeni afinicznej

X

- przestrzeń tą nazywamy przestrzenią wektorów swobodnych w

X

JJG

przestrzeni afinicznej

dim

dim

X

X

=

JJG

to

nazywamy wektorem zaczepionym o początku w punkcie

v

a

końcu w y i oznaczamy:

x v

y

+ =

G

G

v

y x xy

= − =

G JJJJJG JJG

PRZYKŁAD 1.

2

X

= \

(zbiór punków na płaszczyźnie)

2

X

=

JJG

JJG

\

v

G

x

y

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 1 z 5

Część 14 - Przestrzenie afiniczne

Wniosek:

(

)

przestrzeń afiniczna to”

, ,

X X

+

JJG

1.

x y

2.

x

3.

x

4.

xy

x

y

+ − =

JJJJJG

1

2

1

v

x v

v

v

+ = + => =

JG

JJG

JG JG

2

J

2

1

2

1

v x

v

x

x

+ =

+ => =

G

G

yz xz

+

=

JJG JJG JJG

5.

xy

Definicja 2.

(

B

e

yx

= −

JJG

JJG

)

(

)

1

2

, ,...,

n

e

e

=

- baza

X

JJG

przestrzeń afiniczna

, ,

X X

+

JJG

dim

X

n

=

0

0

X

∈

To zespół:

- nazywamy układem współrzędnych z przestrzeni
afinicznej. Ustalony punkt to początek układu

(

)

0

1

2

0 , , ,...,

n

e e

e

współrzędnych.

UWAGA

(

)

- przestrzeń afiniczna

, ,

X X

+

JJG

(

)

0

1

2

0 , , ,...,

n

e e

e

v X

G J

x

0

0

0

! : 0

v x

∈

∃

+ =

JG

G

0

1 1

2 2

0

.

n n

v

x x e

x e

x

=

=

+

+ +

G JJJG JJJG JJJJG

JJ G

.

e

JJ

.

(1)

Definicja 3.

(

)

1

2

:

, ,...,

n

x x

x

=

- punkt

x

liczby (1) nazywamy współrzędnymi punktu X

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 2 z 5

Część 14 - Przestrzenie afiniczne

Umowa:

(

[

)

1

2

, ,...,

n

x x

x

= x

]

- punkt

1

2

, ,...,

n

x x

x

= v

- współrzędne wektora

Wniosek:

(

)

, ,

X X

+

JJG

(

)

0

1

2

0 , , ,...,

n

e e

e

(

)

1

2

, ,...,

n

x

x x

x

=

(

)

1

2

, ,...,

n

y

y y

y

=

JJJG JJJG

[

]

0

0

0

0

1

1

2

2

0

0

0

0

,

,...,

,

n

n

xy x

y

y

x

y

x y

x

y

x

=

+

=

−

=

−

−

−

JJG JJJG JJJG

1.

(

)

1

2

, ,...,

n

x

x x

x

=

[

]

1

2

, ,...,

n

v

v v

v

=

G

(

)

1

1

2

2

,

,...,

n

n

x v

x

v x

v

x

v

+ =

+

+

+

G

2.

Definicja 4

(

Jeżeli istnieje podprzestrzeń przestrzeni taka, że:

Y

X

)

∅

JJG

JG

,

Y

X Y

⊂

≠

przestrzeń afiniczna

, ,

X X

+

JJG

1.

,

x y Y

xy Y

∈

∀

∈

JJG JG

:

x Y u Y

x v Y

∈

∈

∀ ∀

+ ∈

G JG

G

2.


to

nazywamy podprzestrzenią afiniczną

(

)

, ,

Y Y

+

JG

Definicja 5

Równanie parametryczne (pod)przestrzeni afinicznej.

(

(2)

x X

∈

x x X

)

0

0

1 1

2 2

...

n n

x x

t e

t e

t e

∈ <=> =

+

+

+ +

JJJG JJG

(

)

0

1

2

, , ,...,

n

x e e

e

przestrzeń afiniczna

, ,

X X

+

JJG

załóżmy, że

t

1, 2,3,...,

i

n

=

i

∈ \

to:
- punkt początkowy

x

0

- wektory kierunkowe danej przestrzeni.

e e

1

2

, ,...,

n

e

(2) nazywamy równaniem parametrycznym

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 3 z 5

Część 14 - Przestrzenie afiniczne

Definicja 5

I) Dana jest przestrzeń wektorowa i

X

dim

JJG

X

n

=

JJG

1) Każdą jej podprzestrzeń n-1 wymiarową nazywamy

hiperpodprzestrzenią.

2) Każdą podprzestrzeń dwuwymiarową nazywamy płaszczyzną

wektorową.

3) Każdą podprzestrzeń 1 wymiarową nazywamy prostą.

II) Dana jest przestrzeń:

i

(

)

dim X

n

=

JJG

, ,

X X

+

JJG

1) Każdą jej podprzestrzeń n-1 wymiarową nazywamy

hiperpodprzestrzenią afiniczną.

2) Każdą podprzestrzeń dwuwymiarową nazywamy płaszczyzną afiniczną.

3) Każdą podprzestrzeń 1 wymiarową nazywamy prostą afiniczną.

Wniosek:

(

)

,

,

n

n

R R

+

JJG

Dane:

1

2

, ,...,

o

o

o

o

n

x

x x

x





= 







1

2

, , ,...,

o

n

x e e

e













1)

równanie płaszczyzny afinicznej

x

= +

τ

∈ \

1

2

o

x te

e

τ

+

,

t

2)

równanie prostej afinicznej

= +

,

o

x v

o

x x tv

PRZYKŁAD 2

(

)

5

5

,

,

R R

+

JJG

1) Równanie płaszczyzny

o

(

)

1, 1,0, 2,1

x

=

−

[

]

[

]

2,3,1, 4,1

1, 1,1, 2,3

u

v

=

−

= − −

−

(

)

1

2

3

4

5

, , , ,

x

x x x x x

=

(

)

lub zapis:

[

] [

]

1

2

3

4

5

, , , ,

(1, 1,0, 2,1)

2,3,1, 4,1

1, 1,1, 2,3

x x x x x

t

τ

=

−

+

−

+ − −

−

JJJJJJJJJJG

2,3,1, 4,1

u 



=

−





Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 4 z 5

Część 14 - Przestrzenie afiniczne

2) równanie podprzestrzeni 1 wymiarowej (prosta afiniczna)

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 5 z 5

Część 14 - Przestrzenie afiniczne

(

)

(równanie parametryczne prostej

)

t

∈

(

)

2,3,1, 1,5

o

x

=

−

(

)

1,1, 1,1, 2

v

= −

−

JJJJJJJJJJJJG

J

(

)

1

2

3

4

5

, , , ,

2,3,1, 1,5

( 1,1, 1,1, 2)

x x x x x

t

=

−

+ −

−

JJJJJJJJJJJG

\

1

2

3

4

5

2

3

1

1

5 2

x

t

x

t

x

t

x

t

x

t

= −

= +

= −

= − +

= +