MECHANIKA BUDOWLI

sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011

Zadanie 1. Narysuj odkształconą postać ramy jak na rysunku. Zadanie rozwiąż zasadą prac wirtualnych.

Wyznaczamy poszczególne przemieszczenia z zasady prac wirtualnych

a) kąt obrotu na podporze A



A

=

1

2EJ



0,5⋅72⋅4⋅1

2
3

3⋅4

2

8

⋅

4⋅1

1

EJ



0,5⋅72⋅6⋅

2
3

⋅

1=

224

EJ

=

224a

mgr inż. Hanna Weber

q=3kN/m

P=12kN

V =12kN

H = 24kN

A

6

4

A

V =12kN

B

EJ

2EJ

72

M

0

[kNm]

V =1/6[1/m]

H = 0

A

6

4

A

V =

B

EJ

2EJ

1

1/6[1/m]

1

M

1

MECHANIKA BUDOWLI

sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011

b) kąt obrotu w węźle:



C

=

1

EJ



0,5⋅72⋅6⋅

2
3

⋅

1=

144

EJ

=

144a

c) przemieszczenie poziome węzła środkowego:

u

C

=

1

2EJ



0,5⋅72⋅4⋅

2
3

⋅

4

2
3

3⋅4

2

8

⋅

4⋅

1
2

⋅

4

1

EJ



0,5⋅72⋅6⋅

2
3

⋅

4=

784

EJ

=

784a

mgr inż. Hanna Weber

V =1/6[1/m]

H = 0

A

6

4

A

V =

B

EJ

2EJ

1

1/6[1/m]

1

M

2

V =2/3

H = 1

A

6

4

A

V =

B

EJ

2EJ

2/3

4

M

3

1

[m]

MECHANIKA BUDOWLI

sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011

e) przemieszczenie poziome podpory B:

u

B

=

1

2EJ



0,5⋅72⋅4⋅

2
3

⋅

4

2
3

3⋅4

2

8

⋅

4⋅

1
2

⋅

4

1

EJ



0,5⋅72⋅6⋅

2
3

⋅

4=

784

EJ

=

784a

f) kąt obrotu na podporze B



C

=

−

1

EJ



0,5⋅72⋅6⋅

1
3

⋅

1=

−

72

EJ

=−

72a

mgr inż. Hanna Weber

V =2/3

H = 1

A

6

4

A

V =

B

EJ

2EJ

2/3

4

M

4

1

[m]

V =1/6[1/m]

H = 0

A

6

4

A

V =

B

EJ

2EJ

1

1/6[1/m]

M

5

1

MECHANIKA BUDOWLI

sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011

Wyznaczone przemieszczenia nanosimy na schemat ramy i rysujemy odkształconą jej postać:

Zadanie 2. Narysuj odkształconą postać ramy jak na rysunku. Zadanie rozwiąż zasadą prac wirtualnych.

Wyznaczenie reakcji:

∑

M

C

P

=

q⋅4⋅2 P⋅6−P

1

⋅

4−V

B

⋅

4=0 V

B

=

8q6P−4P

1

4

=

8⋅66⋅12−4⋅8

4

=

22kN

∑

R

y

=

V

A

−

q⋅4V

B

−

P=0 V

A

=

4q−V

B



P=4⋅6−2212=14kN

mgr inż. Hanna Weber

224a

144a

14

4a

-7

2

a

784a

784a

q =6kN/m

1

q =6kN/m

P=12kN

P =8kN

1

2EJ

EJ

EJ

EJ

EJ

4

4

2

4

V =22kN

B

H = 32kN

A

V =14kN

A

M =136kNm

A

A

B

C

D

E

F

MECHANIKA BUDOWLI

sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011

∑

R

x

=

4⋅q

1

−

H

A



P

1

=

H

A

=

4⋅q

1



P

1

=

4⋅68=32kN

∑

M

C

L

=

H

A

⋅

4V

A

⋅

4−q

1

⋅

4⋅2−M

A

=

0  M

A

=

4H

A



4V

A

−

8q=4⋅324⋅14−8⋅6=136 kNm

Wykres sił tnących:

Wykres momentów zginających:

Całkowanie wykresów:

mgr inż. Hanna Weber

136

56

56

8

24

32

M

0

[kNm]

56

136

=

56

136

+

+

ql /8

2

+

+

+

-

-

32

8

14

14

10

8

12

T

[kN]

e

MECHANIKA BUDOWLI

sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011

Wyznaczenie poszczególnych przemieszczeń z Zasady Prac Wirtualnych:

1) Przemieszczenie poziome punktu D:

2) Kąt obrotu w węźle D:

mgr inż. Hanna Weber

8

=

8

+

ql /8

2

4

1

1

0

4m

0

M

1

0

0

1

1

M

2

0

u

D

=

1

2EJ



1

2

⋅

56⋅4

1
3

⋅

4

1
2

⋅

136⋅4⋅

2
3

⋅

4−

2
3

⋅

6⋅4

2

8

⋅

4⋅

1
2

⋅

4=

1216

3EJ

=

1216a



D

=

1

2EJ



1
2

⋅

56⋅4⋅1

1
2

⋅

136⋅4⋅1−

2
3

⋅

6⋅4

2

8

⋅

4⋅1=

176

EJ

=

528

3EJ

=

528a

MECHANIKA BUDOWLI

sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011

3) przemieszczenie poziome punktu C:

u

C

=

u

D

=

u

E

=

u

F

=

1216

3EJ

=

1216a

4)Przemieszczenie pionowe punktu C:

5) Kąt obrotu z lewej strony przegubu C:



C

L

=

1

2EJ



1
2

⋅

56⋅4⋅1

1
2

⋅

136⋅4⋅1−

2
3

⋅

6⋅4

2

8

⋅

4⋅1

1

EJ

1
2

⋅

56⋅4⋅1=

288

EJ

=

864
3EJ

=

864a

mgr inż. Hanna Weber

0

0

1

1

M

5

0

1

1

1

1

0

4m

0

M

3

0

1

4m

M

4

0

1

4m

v

C

=

1

2EJ



1
2

⋅

56⋅4⋅4

1
2

⋅

136⋅4⋅4−

2
3

⋅

6⋅4

2

8

⋅

4⋅4

1

EJ

1
2

⋅

56⋅4⋅

2
3

⋅

4=

3008

3EJ

=

3008a

MECHANIKA BUDOWLI

sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011

6) Kąt obrotu z prawej strony przegubu C:



C

P

=

1

2EJ

−

1
2

⋅

56⋅4⋅1−

1
2

⋅

136⋅4⋅1

2
3

⋅

6⋅4

2

8

⋅

4⋅1

1

EJ

−

1
2

⋅

56⋅4⋅

2
3



1
2

⋅

8⋅4⋅

1

3

⋅

1

2
3

⋅

6⋅4

2

8

⋅

4⋅

1
2

⋅

1



C

P

=

−

688

3EJ

=−

688a

7) Kąt obrotu węzła E:



E

=

1

2EJ

−

1
2

⋅

56⋅4⋅1−

1
2

⋅

136⋅4⋅1

2
3

⋅

6⋅4

2

8

⋅

4⋅1

1

EJ

−

1
2

⋅

56⋅4⋅

2
3

⋅

1−

1
2

⋅

8⋅4⋅

2
3

⋅

1−

2
3

⋅

6⋅4

2

8

⋅

4⋅

1
2

⋅

1



E

=

−

832

3EJ

=−

832a

mgr inż. Hanna Weber

0

1/4

1

1

M

6

1

1

0

1/4

1

1

M

7

1/4

1

MECHANIKA BUDOWLI

sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011

8) Przemieszczenie pionowe punktu F:

9) Kąt obrotu w punkcie F

mgr inż. Hanna Weber

0

1/2

2m

M

8

3/2

2

1

2

0

1/4

1

1

M

9

1/4

1

1

1

v

F

=

1

2EJ

−

1
2

⋅

56⋅4⋅2−

1

2

⋅

136⋅4⋅2

2
3

⋅

6⋅4

2

8

⋅

4⋅2

1

EJ

−

1
2

⋅

56⋅4⋅

2
3

⋅

2−

1

2

⋅

8⋅4⋅

2
3

⋅

2−

2

3

⋅

6⋅4

2

8

⋅

4⋅

1
2

⋅

2

1
2

⋅

24⋅2⋅

2
3

⋅

2

v

F

=

−

1568

3EJ

=−

1568a



F

=

1

2EJ

−

1
2

⋅

56⋅4⋅1−

1
2

⋅

136⋅4⋅1

2
3

⋅

6⋅4

2

8

⋅

4⋅1

1

EJ

−

1

2

⋅

56⋅4⋅

2
3

⋅

1−

1
2

⋅

8⋅4⋅

2
3

⋅

1−

2
3

⋅

6⋅4

2

8

⋅

4⋅

1
2

⋅

1

1

2

⋅

24⋅2⋅1



F

=

−

760

3EJ

=−

760a

MECHANIKA BUDOWLI

sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011

10) Przemieszczenie poziome punktu B:

11) Kąt obrotu w punkcie B:

mgr inż. Hanna Weber

1

1

1

8m

4

4

1

M

10

0

1/4

1

1

M

11

1/4

1

1

1

u

B

=

1

2EJ



1
2

⋅

56⋅4⋅

2
3

⋅

4

1
3

⋅

8

1

2

⋅

136⋅4 

2
3

⋅

8

1
3

⋅

4−

2
3

⋅

6⋅4

2

8

⋅

4⋅

4
2



8
2





1

EJ



1
2

⋅

56⋅4⋅

2
3

⋅

4

1
2

⋅

8⋅4⋅

2
3

⋅

4

2
3

⋅

6⋅4

2

8

⋅

4⋅2

1
2

⋅

4⋅4⋅

2
3

⋅

32

u

B

=

5056

3EJ

=

5056a



B

=

1

2EJ

−

1

2

⋅

56⋅4⋅1−

1
2

⋅

136⋅4⋅1

2
3

⋅

6⋅4

2

8

⋅

4⋅1

1

EJ

−

1
2

⋅

56⋅4⋅

2
3

⋅

1−

1
2

⋅

8⋅4⋅

2

3

⋅

1−

2
3

⋅

6⋅4

2

8

⋅

4⋅

1

2

⋅

1−

1
2

⋅

32⋅4⋅1



B

=

−

1024

3EJ

=−

1024a

MECHANIKA BUDOWLI

sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011

Wyznaczone przemieszczenia nanosimy na schemat ramy i rysujemy odkształconą jej postać:

mgr inż. Hanna Weber

1216a

1216a

1216a

1216a 1

5

68

a

5056a

30

08

a

528a

52

8a

86

4a

-6

8

8a

-832a

-8

3

2a

1024a

-8

32

a

-7

6

0a