MECHANIKA BUDOWLI
sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
Zadanie 1. Narysuj odkształconą postać ramy jak na rysunku. Zadanie rozwiąż zasadą prac wirtualnych.
Wyznaczamy poszczególne przemieszczenia z zasady prac wirtualnych
a) kąt obrotu na podporze A
A
=
1
2EJ
0,5⋅72⋅4⋅1
2
3
3⋅4
2
8
⋅
4⋅1
1
EJ
0,5⋅72⋅6⋅
2
3
⋅
1=
224
EJ
=
224a
mgr inż. Hanna Weber
q=3kN/m
P=12kN
V =12kN
H = 24kN
A
6
4
A
V =12kN
B
EJ
2EJ
72
M
0
[kNm]
V =1/6[1/m]
H = 0
A
6
4
A
V =
B
EJ
2EJ
1
1/6[1/m]
1
M
1
MECHANIKA BUDOWLI
sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
b) kąt obrotu w węźle:
C
=
1
EJ
0,5⋅72⋅6⋅
2
3
⋅
1=
144
EJ
=
144a
c) przemieszczenie poziome węzła środkowego:
u
C
=
1
2EJ
0,5⋅72⋅4⋅
2
3
⋅
4
2
3
3⋅4
2
8
⋅
4⋅
1
2
⋅
4
1
EJ
0,5⋅72⋅6⋅
2
3
⋅
4=
784
EJ
=
784a
mgr inż. Hanna Weber
V =1/6[1/m]
H = 0
A
6
4
A
V =
B
EJ
2EJ
1
1/6[1/m]
1
M
2
V =2/3
H = 1
A
6
4
A
V =
B
EJ
2EJ
2/3
4
M
3
1
[m]
MECHANIKA BUDOWLI
sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
e) przemieszczenie poziome podpory B:
u
B
=
1
2EJ
0,5⋅72⋅4⋅
2
3
⋅
4
2
3
3⋅4
2
8
⋅
4⋅
1
2
⋅
4
1
EJ
0,5⋅72⋅6⋅
2
3
⋅
4=
784
EJ
=
784a
f) kąt obrotu na podporze B
C
=
−
1
EJ
0,5⋅72⋅6⋅
1
3
⋅
1=
−
72
EJ
=−
72a
mgr inż. Hanna Weber
V =2/3
H = 1
A
6
4
A
V =
B
EJ
2EJ
2/3
4
M
4
1
[m]
V =1/6[1/m]
H = 0
A
6
4
A
V =
B
EJ
2EJ
1
1/6[1/m]
M
5
1
MECHANIKA BUDOWLI
sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
Wyznaczone przemieszczenia nanosimy na schemat ramy i rysujemy odkształconą jej postać:
Zadanie 2. Narysuj odkształconą postać ramy jak na rysunku. Zadanie rozwiąż zasadą prac wirtualnych.
Wyznaczenie reakcji:
∑
M
C
P
=
q⋅4⋅2 P⋅6−P
1
⋅
4−V
B
⋅
4=0 V
B
=
8q6P−4P
1
4
=
8⋅66⋅12−4⋅8
4
=
22kN
∑
R
y
=
V
A
−
q⋅4V
B
−
P=0 V
A
=
4q−V
B
P=4⋅6−2212=14kN
mgr inż. Hanna Weber
224a
144a
14
4a
-7
2
a
784a
784a
q =6kN/m
1
q =6kN/m
P=12kN
P =8kN
1
2EJ
EJ
EJ
EJ
EJ
4
4
2
4
V =22kN
B
H = 32kN
A
V =14kN
A
M =136kNm
A
A
B
C
D
E
F
MECHANIKA BUDOWLI
sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
∑
R
x
=
4⋅q
1
−
H
A
P
1
=
H
A
=
4⋅q
1
P
1
=
4⋅68=32kN
∑
M
C
L
=
H
A
⋅
4V
A
⋅
4−q
1
⋅
4⋅2−M
A
=
0 M
A
=
4H
A
4V
A
−
8q=4⋅324⋅14−8⋅6=136 kNm
Wykres sił tnących:
Wykres momentów zginających:
Całkowanie wykresów:
mgr inż. Hanna Weber
136
56
56
8
24
32
M
0
[kNm]
56
136
=
56
136
+
+
ql /8
2
+
+
+
-
-
32
8
14
14
10
8
12
T
[kN]
e
MECHANIKA BUDOWLI
sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
Wyznaczenie poszczególnych przemieszczeń z Zasady Prac Wirtualnych:
1) Przemieszczenie poziome punktu D:
2) Kąt obrotu w węźle D:
mgr inż. Hanna Weber
8
=
8
+
ql /8
2
4
1
1
0
4m
0
M
1
0
0
1
1
M
2
0
u
D
=
1
2EJ
1
2
⋅
56⋅4
1
3
⋅
4
1
2
⋅
136⋅4⋅
2
3
⋅
4−
2
3
⋅
6⋅4
2
8
⋅
4⋅
1
2
⋅
4=
1216
3EJ
=
1216a
D
=
1
2EJ
1
2
⋅
56⋅4⋅1
1
2
⋅
136⋅4⋅1−
2
3
⋅
6⋅4
2
8
⋅
4⋅1=
176
EJ
=
528
3EJ
=
528a
MECHANIKA BUDOWLI
sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
3) przemieszczenie poziome punktu C:
u
C
=
u
D
=
u
E
=
u
F
=
1216
3EJ
=
1216a
4)Przemieszczenie pionowe punktu C:
5) Kąt obrotu z lewej strony przegubu C:
C
L
=
1
2EJ
1
2
⋅
56⋅4⋅1
1
2
⋅
136⋅4⋅1−
2
3
⋅
6⋅4
2
8
⋅
4⋅1
1
EJ
1
2
⋅
56⋅4⋅1=
288
EJ
=
864
3EJ
=
864a
mgr inż. Hanna Weber
0
0
1
1
M
5
0
1
1
1
1
0
4m
0
M
3
0
1
4m
M
4
0
1
4m
v
C
=
1
2EJ
1
2
⋅
56⋅4⋅4
1
2
⋅
136⋅4⋅4−
2
3
⋅
6⋅4
2
8
⋅
4⋅4
1
EJ
1
2
⋅
56⋅4⋅
2
3
⋅
4=
3008
3EJ
=
3008a
MECHANIKA BUDOWLI
sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
6) Kąt obrotu z prawej strony przegubu C:
C
P
=
1
2EJ
−
1
2
⋅
56⋅4⋅1−
1
2
⋅
136⋅4⋅1
2
3
⋅
6⋅4
2
8
⋅
4⋅1
1
EJ
−
1
2
⋅
56⋅4⋅
2
3
1
2
⋅
8⋅4⋅
1
3
⋅
1
2
3
⋅
6⋅4
2
8
⋅
4⋅
1
2
⋅
1
C
P
=
−
688
3EJ
=−
688a
7) Kąt obrotu węzła E:
E
=
1
2EJ
−
1
2
⋅
56⋅4⋅1−
1
2
⋅
136⋅4⋅1
2
3
⋅
6⋅4
2
8
⋅
4⋅1
1
EJ
−
1
2
⋅
56⋅4⋅
2
3
⋅
1−
1
2
⋅
8⋅4⋅
2
3
⋅
1−
2
3
⋅
6⋅4
2
8
⋅
4⋅
1
2
⋅
1
E
=
−
832
3EJ
=−
832a
mgr inż. Hanna Weber
0
1/4
1
1
M
6
1
1
0
1/4
1
1
M
7
1/4
1
MECHANIKA BUDOWLI
sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
8) Przemieszczenie pionowe punktu F:
9) Kąt obrotu w punkcie F
mgr inż. Hanna Weber
0
1/2
2m
M
8
3/2
2
1
2
0
1/4
1
1
M
9
1/4
1
1
1
v
F
=
1
2EJ
−
1
2
⋅
56⋅4⋅2−
1
2
⋅
136⋅4⋅2
2
3
⋅
6⋅4
2
8
⋅
4⋅2
1
EJ
−
1
2
⋅
56⋅4⋅
2
3
⋅
2−
1
2
⋅
8⋅4⋅
2
3
⋅
2−
2
3
⋅
6⋅4
2
8
⋅
4⋅
1
2
⋅
2
1
2
⋅
24⋅2⋅
2
3
⋅
2
v
F
=
−
1568
3EJ
=−
1568a
F
=
1
2EJ
−
1
2
⋅
56⋅4⋅1−
1
2
⋅
136⋅4⋅1
2
3
⋅
6⋅4
2
8
⋅
4⋅1
1
EJ
−
1
2
⋅
56⋅4⋅
2
3
⋅
1−
1
2
⋅
8⋅4⋅
2
3
⋅
1−
2
3
⋅
6⋅4
2
8
⋅
4⋅
1
2
⋅
1
1
2
⋅
24⋅2⋅1
F
=
−
760
3EJ
=−
760a
MECHANIKA BUDOWLI
sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
10) Przemieszczenie poziome punktu B:
11) Kąt obrotu w punkcie B:
mgr inż. Hanna Weber
1
1
1
8m
4
4
1
M
10
0
1/4
1
1
M
11
1/4
1
1
1
u
B
=
1
2EJ
1
2
⋅
56⋅4⋅
2
3
⋅
4
1
3
⋅
8
1
2
⋅
136⋅4
2
3
⋅
8
1
3
⋅
4−
2
3
⋅
6⋅4
2
8
⋅
4⋅
4
2
8
2
1
EJ
1
2
⋅
56⋅4⋅
2
3
⋅
4
1
2
⋅
8⋅4⋅
2
3
⋅
4
2
3
⋅
6⋅4
2
8
⋅
4⋅2
1
2
⋅
4⋅4⋅
2
3
⋅
32
u
B
=
5056
3EJ
=
5056a
B
=
1
2EJ
−
1
2
⋅
56⋅4⋅1−
1
2
⋅
136⋅4⋅1
2
3
⋅
6⋅4
2
8
⋅
4⋅1
1
EJ
−
1
2
⋅
56⋅4⋅
2
3
⋅
1−
1
2
⋅
8⋅4⋅
2
3
⋅
1−
2
3
⋅
6⋅4
2
8
⋅
4⋅
1
2
⋅
1−
1
2
⋅
32⋅4⋅1
B
=
−
1024
3EJ
=−
1024a
MECHANIKA BUDOWLI
sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
Wyznaczone przemieszczenia nanosimy na schemat ramy i rysujemy odkształconą jej postać:
mgr inż. Hanna Weber
1216a
1216a
1216a
1216a 1
5
68
a
5056a
30
08
a
528a
52
8a
86
4a
-6
8
8a
-832a
-8
3
2a
1024a
-8
32
a
-7
6
0a