Podstawy planowania eksperymentu 1

PODSTAWY PLANOWANIA EKSPERYMENTU

Pojęcie i rola badań doświadczalnych

Eksperyment - badanie jakiegoś zjawiska, polegające na celowym

wywoływaniu tego zjawiska lub jego zmian oraz
obserwacji i pomiarach, umożliwiających
wnioskowanie o jego właściwościach.

Badania
doświadczalne

- przeprowadzanie eksperymentów. Mają na celu

poznanie informacji o faktach, obiektach, zjawiskach,
bądź procesach.

Model
zjawiska

- rezultat badań doświadczalnych. Stanowi reprezen-

tację zjawiska w postaci użytkowej wyrażającej jego
cechy. Istnieją modele lingwistyczne, fizyczne i
matematyczne.

Model
matematyczny

- najczęściej stosowany model. Jest opisem zjawiska za

pomocą liczb, zmiennych, zbiorów, funkcji, relacji itd.
Jego znajomość umożliwia przewidywanie przebiegu
zjawiska lub zachowania obiektu w różnych
warunkach.

Teoria
eksperymentu

- dziedzina wiedzy ujmująca podstawy teoretyczne

badań doświadczalnych. Obejmuje zagadnienia:

1. planowanie eksperymentów,
2. metodykę modelowania matematycznego,
3. technikę przeprowadzania pomiarów,
4. analizę wyników pomiarów.

Najprostsza forma badań doświadczalnych dotyczy prostych obiektów o
jednej wielkości wejściowej. Eksperyment polega tu na przeprowadzaniu
pomiarów wielkości wyjściowej y dla L arbitralnie wybranych wartości
wielkości wejściowej x oraz wyznaczeniu funkcji aproksymującej

( )

y

f x

=

.

Podstawy planowania eksperymentu 2

Charakterystyka obiektu badań

W ogólności eksperymenty przeprowadza się, aby poznać efektywność pro-
cesów lub układów. Dowolny proces lub układ może być przedstawiony w
postaci modelu:








Zazwyczaj dany proces rozumiemy jako kombinację pewnych operacji,
maszyn, metod, ludzi i innych środków, która ma na celu przekształcenie
jakiegoś obiektu wejściowego (często materiału) w obiekt wyjściowy, który
zcharakteryzowany jest przez jedną lub więcej wielkości wyjściowych.

Wielkości modelujące opisujące obiekt badań

- Kontrolowalne wielkości wejściowe:

1

2

{ , , ..., , ..., },

1, 2, ...,

i

p

x x

x

x

i

p

=

. Do wielkości wejściowych wlicza

się te, których wpływ na wielkości wyjściowe interesuje realizatora
badań. Mogą to być wielkości: fizyczne, chemiczne, techniczne,
ekonomiczne i inne.

- Wielkości wyjściowe:

1

2

{ ,

, ..., , ..., },

1, 2, ...,

j

w

y y

y

y

j

w

=

.

- Wielkości stałe

{ }

c

, które mają wpływ na działanie układu, ale ich

wartości są ustalone i niezmienne w czasie, przez co mogą zostać
pominięte w analizie statystycznej.

Podstawy planowania eksperymentu 3

Wielkości modelujące opisujące obiekt badań, cd.

- Niekontrolowalne wielkości zakłócające

1

2

{ , , ..., , ..., },

k

q

z z

z

z

1, 2, ...,

k

q

=

, których istnienie spowodowane jest oddziaływaniem lo-

sowych czynników w obiekcie badań na wielkości wyjściowe oraz
niedoskonałościami metod i środków pomiarowych.

Niektóre cele eksperymentu

- Określenie, która z kontrolowalnych zmiennych wejściowych ma

największy wpływ na wielkość wyjściową y .

- Określenie, jakie wartości x należy przyjąć, aby otrzymać wartość y

niemal zawsze w pobliżu żądanej wartości nominalnej.

- Określenie, jakie wartości x należy przyjąć, aby zmienność y była

mała.

- Określenie, jakie wartości x należy przyjąć, aby wpływ

niekontrolowalnych zmiennych

1

2

, , .....,

q

z z

z był zminimalizowany.

Pierwotne metody badań doświadczalnych złożonych obiektów

Dla nieco bardziej złożonych obiektów, kiedy wynik eksperymentu zależy
od więcej niż jednej zmiennej niezależnej, początkowo stosowano dwie
metody:

- Metoda badań kompletnych.
- Metoda badań monoselekcyjnych.

Podstawy planowania eksperymentu 4

Metoda badań kompletnych

1. Dla każdej zmiennej ,

1, 2, ...,

i

x i

p

=

wybiera się L wartości równo-

miernie rozmieszczonych w przedziale

min

max

[

,

]

i

i

x

x

.

2. Dla każdej kombinacji wartości wielkości wejściowych wykonuje się

pojedynczy pomiar.

3. Na podstawie przeprowadzonych pomiarów wyznacza się funkcję

aproksymującą

( )

f

⋅

Plan kompletny dla dwóch zmiennych wejściowych

Metoda badań kompletnych jest skuteczną metoda identyfikacji funkcji
obiektu badań dla jednej lub dwóch zmiennych wejściowych. Stosowanie tej
metody do obiektów o większej liczbie zmiennych prowadzi do eksplozji
kombinatorycznej wynikającej z liczby n koniecznych do wykonania
pomiarów:

p

n L

=

Np. dla

10

p

=

,

10

L

=

, oraz przyjmując czas trwania jednego pomiaru

równy 1 s uzyskujemy całkowity czas badań kompletnych równy 317 lat.

Podstawy planowania eksperymentu 5

Metoda badań monoselekcyjnych

Opracowano ją w celu ograniczenia liczby wykonywanych pomiarów. Za-
stosowano w niej procedurę właściwą obiektowi badań o jednym wejściu w
odniesieniu do obiektu o wielu wejściach.

1. Dla każdej zmiennej

i

x wybiera się L wartości równomiernie

rozmieszczonych w przedziale

min

max

[

,

]

i

i

x

x

.

2. Dokonuje się pojedynczego wyboru (monoselekcji) kolejnych wartości

i

x i bada się wpływ tej wielkości na wielkość wyjściową y . Przy tym

przyjmuje się, że wartości pozostałych wielkości wejściowych są stałe.

W ten sposób całkowicie ignoruje się współzależności między wielkościami
wejściowymi i zamiast funkcji wielu zmiennych

1

2

( , , ...., )

p

y

f x x

x

=

uzy-

skuje się jedynie zbiór wielu funkcji jednej zmiennej

( )

i

i

y

f x

=

dla arbitral-

nych wartości pozostałych zmiennych.

Badania monoselekcyjne dla dwóch zmiennych wejściowych. Poszukiwane ekstremum funkcji nie

zostaje wyznaczone.

W porównaniu do metody badań kompletnych osiągnięto znaczną redukcję
liczby koniecznych do przeprowadzenia pomiarów:

2

(

1)

(

1)(

1)

p

i

n L

L

L

p

L

=

= +

− = +

−

−

∑

Dla

10

p

=

,

10

L

=

, oraz przyjmując czas trwania jednego pomiaru równy 1s

całkowity czas badań monoselekcyjnych skraca się do zaledwie 91 s.

Podstawy planowania eksperymentu 6

Współczesne metody badań doświadczalnych złożonych obiektów

Obecnie stosowane metody planowania eksperymentu pozwalają na:

- Istotne zmniejszenie liczby koniecznych do przeprowadzenia

pomiarów, a więc zredukowanie kosztów i czasu trwania badań.

- Zwiększenie ilości i jakości uzyskiwanej informacji naukowej.

Scenariusz badań doświadczalnych

1. Charakterystyka obiektu badań.

a. Sformułowanie zagadnienia wymagającego rozwiązania na

drodze doświadczalnej.

b. Ustalenie wielkości charakteryzujących obiekt badań (wielkości

wejściowe, wyjściowe, stałe i zakłócające), przyjęcie liczby
poziomów zmiennych wejściowych, czyli wybranie wartości,
które mogą przyjmować zmienne wejściowe.

2. Ustalenie celu badań doświadczalnych.

a. Identyfikacja modelu obiektu badań, lub
b. optymalizacja empiryczna – wyznaczenie ekstremum globalnego

modelu obiektu, lub

c. badania eliminacyjne – eliminacja wielkości wejściowych o

nieistotnym znaczeniu.

3. Generacja lub wybór planu eksperymentu najlepiej dostosowanego

do obiektu badań i przyjętego celu badań doświadczalnych.

4. Realizacja pomiarów w oparciu o wybrany plan doświadczenia.
5. Analiza danych empirycznych zmierzająca do osiągnięcia

założonego celu badań doświadczalnych.

6. Analiza merytoryczna rezultatów przeprowadzonych badań

polegająca na logicznej ocenie zjawisk związanych z badanym
obiektem.

7. Sformułowanie wniosków poznawczych, praktycznych i

rozwojowych z przeprowadzonych badań.

Podstawy planowania eksperymentu 7

Etapy planowania eksperymentu

1. Ustalenie celu pomiarów i metody analizy ich wyników.
2. Generacja punktów pomiarowych na podstawie określonych procedur

matematycznych.

W zależności od celu badań i stosowanych metod analizy uzyskuje się
rozmieszczenie punktów, które pozwala na:

- Uwypuklenie poszukiwanych cech obiektu np. liniowości,

współzależności zmiennych wejściowych, niezależności wielkości
wyjściowej od wielkości wejściowych.

- Wyznaczenie ekstremum globalnego funkcji obiektu badań.
- Zmniejszenie nakładu obliczeniowego przy identyfikacji modelu

obiektu.

Rodzaje wyznaczania (identyfikacji) modelu obiektu badań

Identyfikacja -
strukturalna

Ustalanie struktury modelu i wyznaczenie
wartości jego parametrów.

Identyfikacja -
parametryczna

Ustalenie wartości parametrów modelu przy
a priori danej strukturze modelu.

Wyznaczenie dokładnego modelu badanego obiektu jest bardzo trudne ze
względu na oddziaływanie na rzeczywisty obiekt wielu trudnych lub
niemożliwych do zmierzenia zakłóceń losowych. Z tego względu w teorii
eksperymentu stosuje się identyfikację parametryczną, w której przy
założonej strukturze modelu i określonych danych wejściowych wyznacza
się takie wartości parametrów, które zminimalizują niedokładność modelu.
Przyjmuje się postać funkcji aproksymującej model obiektu (najczęściej
wielomian algebraiczny) i wyznacza się wartości współczynników tego
wielomianu korzystając z metody regresji.

Podstawy planowania eksperymentu 8

Postać typowej funkcji modelu obiektu badań

Zazwyczaj badany obiekt lub proces modeluje się za pomocą tzw. funkcji
odpowiedzi

1

2

( , ,..., )

p

f x x

x , która przybliża wartości zmierzone y zgodnie z

równaniem

1

2

( , ,..., )

p

y

f x x

x

ε

=

+

gdzie

ε

jest szumem lub błędem obserwowanej odpowiedzi y . Najczęściej

w danym obszarze zmiennych niezależnych jako funkcję

1

2

( , ,..., )

p

f x x

x

wykorzystuje się niskiego rzędu wielomian. Jeśli odpowiedź dobrze
modeluje się za pomocą funkcji zależnej liniowo od zmiennych
niezależnych, wtedy funkcją przybli żającą obiekt jest model pierwszego
rzędu

0

1

1

1

p

p

p

i

i

ij

i

j

i

i

j i

y a

a x

a x x

ε

=

=

= +

= +

+

+

∑

∑ ∑

Powierzchnia odpowiedzi i wykres konturowy dla modelu

1

2

ˆ 35.5 10.5

5.5

y

x

x

=

+

+

Powierzchnia odpowiedzi i wykres konturowy dla modelu

1

2

1 2

ˆ 35.5 10.5

5.5

8

y

x

x

x x

=

+

+

+

Podstawy planowania eksperymentu 9

Postać typowej funkcji modelu obiektu badań, cd.

Składniki typu

ij

i

j

a x x są tzw. składnikami interakcyjnymi. Interakcja skręca

płaszczyznę obserwowaną dla modelu bez interakcji. W rezultacie linie na
wykresie konturowym są zakrzywione.
W niektórych sytuacjach krzywizna funkcji odpowiedzi nie może być od-
powiednio przybliżona modelem pierwszego rzędu. Wtedy trzeba użyć wie-
lomian wyższego rzędu, np. model drugiego rzędu

2

0

1

1

1

1

p

p

p

p

i

i

ij

i

j

ii

i

i

i

j i

i

y a

a x

a x x

a x

ε

=

=

= +

=

= +

+

+

+

∑

∑ ∑

∑

gdzie wielkości

ii

a reprezentują czyste efekty drugiego rzędu zwane również

efektami kwadratowymi.

Plan eksperymentu

Plan eksperymentu - Zbiór wartości wszystkich punktów

pomiarowych.

Układ planu -
eksperymentu

pojedynczy punkt pomiarowy, będący
p-wymiarowym wektorem wartości wielkości
wejściowych

Podstawy planowania eksperymentu 10

Plan eksperymentu

W zapisie matematycznym plan eksperymentu stanowi macierz

11

21

1

1

12

22

2

2

1

2

1

2

,

, ...,

, ...,

,

, ...,

, ...,

...,

..., ...,

..., ..., ...

,

, ...,

, ...,

...,

..., ...,

..., ..., ...

,

, ...,

, ...,

k

p

k

p

u

u

ku

pu

n

n

kn

pn

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x





















=





















X

n – liczba układów planu eksperymentu,
p – liczba zmiennych wejściowych.

Wiersz

1

2

[

,

, ...,

, ...,

]

u

u

u

ku

pu

x

x

x

x

=

x

macierzy X stanowi układ planu

eksperymentu.
Algorytmy generacji planów ustala teoria eksperymentu na podstawie
określonych reguł matematycznych. Istnieją różne klasyfikacje planów w
zależności od struktury modelu identyfikowanego obiektu, parametrów
wielkości modelujących oraz celu badań doświadczalnych.

Normowanie (kodowanie) wielkości wejściowych

W celu uniezależnienia się od fizycznej interpretacji oraz zmniejszenia
błędów numerycznych podczas analizy danych empirycznych przeprowadza
się normowanie wielkości wejściowych. Przed normowaniem, w odniesieniu
do każdej wielkości wejściowej określa się zakresy wartości

min

max

,

1, 2, ...,

k

k

k

x

x

x

k

p

≤

≤

=

zakładając, iż eksperyment jest fizycznie realizowalny jeżeli wartości
mieszczą się w wyznaczonych przedziałach.

Podstawy planowania eksperymentu 11

Normowanie (kodowanie) wielkości wejściowych, cd.

W tzw. planach dwu- i wielopoziomowych, gdzie wartości czynników
wejściowych mogą przybierać tylko dwa poziomy normowanie
przeprowadza się według wzoru

0

k

k

k

k

x

x

x

x

−

=

∆

!

gdzie

0

k

x jest wartością centralną k-tego czynnika, a

k

x

∆

-jednostką

zmienności tego czynnika

min

max

0

2

k

k

k

x

x

x

+

=

,

max

min

2

k

k

k

x

x

x

−

∆ =

W wyniku normowania otrzymuje się

1

k

x

= −

!

, gdy

min

k

k

x

x

=

, 0

k

x

=

!

, gdy

0

k

k

x

x

=

, oraz

1

k

x

= +

!

, gdy

max

k

k

x

x

=

.

W tzw. centralnych planach kompozycyjnych normowanie przeprowadza się
do pewnego bezwymiarowego przedziału [

, ]

α α

−

, gdzie

1

α

>

.

α - ramę gwiezdne (ramię gwiezdne stanowi jeden z elementów

charakteryzujących plan eksperymentu).

min

max

min

2

(

)

k

k

k

k

k

x

x

x

x

x

α

α

= − +

−

−

!

W tego typu planach stosuje się wartości

k

x

!

równe

α

−

, 1

−

, 0, +1,

α

+

.

Denormowanie wielkości wejściowych następuje odpowiednio wg wzorów:

0

k

k

k

k

x

x

x

x

=

+ ∆

!

,

max

min

min

(

)

2

k

k

k

k

k

x

x

x

x

x

α

α

−

=

+

+

!

Podstawy planowania eksperymentu 12

Wybór planu eksperymentu

Prowadząc badania doświadczalne najczęściej wybieramy jeden plan z bazy
planów eksperymentów, dedykowany określonemu celowi badawczemu, np.

- identyfikacji modelu liniowego,
- optymalizacji modelu liniowo-kwadratowego,
- badaniu wpływu poszczególnych składników na właściwości

mieszaniny chemicznej.

Statyczność i dynamiczność obiektu

Obiekt

-

statyczny

Wszystkie wielkości modelujące są niezależne od czasu.

Obiekt

-

dynamiczny

Przynajmniej jedna z wielkości modelujących jest
funkcją czasu.

Zajmiemy się tylko obiektami statycznymi. Metody identyfikacji obiektów
dynamicznych są dużo bardziej złożone, bowiem wymagają rozwiązywania
równań różniczkowych.

Analiza obiektów o wielu wyjściach

Analizę obiektu badań opisanego liczbą w > 1 wielkości wyjściowych
sprowadza się przez dekompozycję do analizy w obiektów o jednym
wyjściu. Dalsze rozważania będą dotyczyły obiektu zawierającego p wejść

k

x ,

1, 2, ...,

k

p

=

oraz jedno wyjście y.

Wielopoziomowość planu

Liczba poziomów L zmiennych wejściowych

k

x determinuje plan

L-poziomowy (dwupoziomowy, trójpoziomowy, wielopoziomowy)

Podstawy planowania eksperymentu 13

Nasyconość planu

W zależności od proporcji liczby punktów pomiarowych n oraz liczby
parametrów P identyfikowanego modelu wyróżnia się

a) Plany nienasycone, w których n P

>

.

b) Plany nasycone, w których n P

=

.

Rząd planu

Rząd planu doświadczenia uzależniony jest natomiast od stopnia
wielomianu aproksymującego model obiektu. Aproksymacja wielomianem
algebraicznym stopnia i wymaga zastosowania planu i-tego rzędu.

Statyczność a dynamiczność planu

Wynika z podziału planów na

a) statyczne – wszystkie wielkości modelujące są niezależne od czasu.
b) dynamiczne – przynajmniej jedna z wielkości modelujących jest

funkcją czasu.

Podział planów ze względu na przyjęty cel badań doświadczalnych.

a) Weryfikację istotności wpływu wielkości wejściowych na wielkość

wyjściową przeprowadza się w oparciu o plan randomizowany, który
wprowadza element losowości do zbioru punktów pomiarowych.

b) Identyfikację modelu obiektu badań najlepiej zrealizować w oparciu o

plan zdeterminowany, którego układy są zdeterminowane przez
ustalone założenia teoretyczne.

c) Przy wyznaczaniu ekstremum funkcji korzystamy z planu

optymalizacyjnego.

Największe praktyczne zastosowanie mają plany zdeterminowane, a wśród
nich plany nazywane ułamkowymi lub poliselekcyjnymi.

Podstawy planowania eksperymentu 14

Planowanie dwupoziomowe

Jest wykorzystywane do identyfikacji liniowych modeli obiektów.

Plany kompletne
W metodzie tej każda zmienna wejściowa przyjmuje tylko dwie wartości
(poziomy). Łączna liczba układów planu eksperymentu w planie dwupo-
ziomowym wynosi 2

k

, gdzie k jest liczbą zmiennych wejściowych. Taki

plan nosi nazwę dwupoziomowego całkowitego lub kompletnego i oznaczany
jest symbolem 2

k

.

Plany ułamkowe
Dla większej liczby zmiennych wejściowych przeprowadzenie eksperymen-
tu kompletnego jest praktycznie niemożliwe ze względu na dużą liczbę ko-
niecznych do przeprowadzenia pomiarów. W takim przypadku stosowane są
plany ułamkowe (oznaczane symbolem 2

k p

−

) zawierające pewną liczbę

układów z planu eksperymentu kompletnego.
Istnieją zatem plany połówkowe, ćwiartkowe, ósemkowe itd.

Unormowane zmienne wejściowe w planie dwupoziomowym przyjmują
wartości { 1, 1}

k

x

= −

!

.

Rozmieszczenie układów planu całkowitego i ułamkowego (połówkowego) dla trzech

zmiennych wejściowych we współrzędnych unormowanych.

Podstawy planowania eksperymentu 15

Planowanie dwupoziomowe, cd

Wybór konkretnych układów nie może być przypadkowy, gdyż plan
ułamkowy dla standaryzowanych zmiennych wejściowych powinien
spełniać warunki:

a) symetrii układów względem środka eksperymentu,
b) ortogonalności, polegającej na zerowaniu wszystkich iloczynów

skalarnych wektorów kolumnowych unormowanej macierzy X,

c) równości sum kwadratów elementów unormowanej macierzy X we

wszystkich jej kolumnach.

Planowanie trójpoziomowe

Metoda planowania trójpoziomowego umożliwia identyfikację
kwadratowego modelu obiektu. W metodzie tej unormowane zmienne
wejściowe przyjmują wartości { 1, 0, 1}

i

x

= −

!

.

W planie trójpoziomowym całkowitym (oznaczenie

3

k

) występuje bardzo

gwałtowny wzrost liczby układów wraz ze wzrostem liczby wejść obiektu,
stąd planowanie trójpoziomowe ma bardzo małe możliwości praktyczne.

Identyfikacja modelu na podstawie planu trójpoziomowego jest bardziej
skomplikowana niż na podstawie planu dwupoziomowego. Z tego powodu
nie zostały opracowane plany eksperymentów trójpoziomowych
ułamkowych.


Planowanie wielopoziomowe

Planowanie wielopoziomowe zapewnia identyfikację modeli liniowo-
kwadratowych. Szczególny przypadek planowania wielopoziomowego –
planowanie pięciopoziomowe – stanowi rozszerzenie planowania
dwupoziomowego i jest najczęściej wykorzystywane w praktyce.

Podstawy planowania eksperymentu 16

Planowanie wielopoziomowe, cd.

Wyróżniamy trzy zasadnicze typy planowania wielopoziomowego:

1) planowanie kompozycyjne,
2) planowanie ortogonalne,
3) planowanie rotabilne.

Planowanie kompozycyjne
Jest to odmiana planowania pięciopoziomowgo. Stanowi rozwinięcie pla-
nowania dwupoziomowego typu 2

k

lub 2

k p

−

o dwa rodzaje układów (dla

zmiennych unormowanych):

a) gwiezdne typu

(0, ..., 0,

, 0, ..., 0)

α

±

, w których zmieniane są kolejno

wartości zmiennych wejściowych między poziomami

α

±

dla pozosta-

łych zmiennych na poziomie 0, przy czym wielkość

α

stanowi ramię

gwiezdne planu,

b) centralne typu

(0, 0, ..., 0)

stanowiące centrum planu eksperymentu.

Przykłady planów kompozycyjnych

Plany wielopoziomowe (kompozycyjne) we współrzędnych unormowanych dla różnej liczby zmiennych wejściowych: a) dwóch, b) trzech.

Podstawy planowania eksperymentu 17

Planowanie kompozycyjne, cd.

Liczba układów planu kompozycyjnego wynosi

2

2

1

k

n

k

=

+

+

-

2

k

układów planu dwupoziomowego,

-

2k

układów gwiezdnych,

- jeden układ centralny.

Podstawową zaletą tego planu jest znaczne ograniczenie liczby układów w
porównaniu do planu trójpoziomowego, w szczególności dla większych
wartości

k

.

Planowanie ortogonalne

Inna odmiana planowania pięciopoziomowego. Dobierając odpowiednią
wartość ramienia gwiezdnego

α

w planie kompozycyjnym oraz zwiększając

do

0

n liczbę układów w centrum planu można spełnić postulat

ortogonalności planu doświadczenia. Uzyskujemy w ten sposób znaczne
uproszczenie obliczeń przy wyznaczaniu parametrów modelu
identyfikowanego obiektu oraz ocenie statystycznej otrzymanych
współczynników.
Plan ortogonalny - plan spełniający postulat ortogonalności.

Wartość ramienia gwiezdnego planu ortogonalnego dla określonych
wartości s i

0

n wyznaczamy ze wzoru

0

1

(

2

)

2

d

d

d

n n

k n

n

α





=

+

+

−





gdzie: 2

k

d

n

=

dla panu całkowitego lub

2

k p

d

n

−

=

dla planu ułamkowego.

Obecnie, gdy trudności obliczeniowe zeszły na dalszy plan, wartość idei
planowania ortogonalnego ma znaczenie raczej historyczne.

Podstawy planowania eksperymentu 18

Planowanie rotabilne

Kolejna odmiana planowania pięciopoziomowego.

Ma na celu spełnienie postulatu niezależności planu od obrotu układu współ-
rzędnych w przestrzeni wielkości wejściowych. Zastosowanie planu rotabil-
nego umożliwia identyfikację modelu o wariancjach zależnych tylko od od-
ległości od punktu centralnego eksperymentu.

Dobór liczby

0

n doświadczeń w punkcie centralnym jest oparty na wymaga-

niu, aby wariancja funkcji aproksymującej dane była taka sama w punkcie
centralnym planu i w punktach leżących na kuli o jednostkowym promieniu.

Warunek rotabilności planu jest spełniony, jeżeli wartość ramienia gwiezd-
nego wynosi

4

2

k

α

=

dla panu całkowitego lub

4

2

k p

α

−

=

dla panu ułam-

kowego.

W tablicy podano zestawienie wartości ramienia gwiezdnego, zalecaną licz-
bę układów w centrum planu

0

n oraz łączną liczbę układów n planu rotabil-

nego dla liczby zmiennych wejściowych od 2 do 6.

Zestawienie optymalnych wartości parametrów planu rotabilnego.

k

2 3 4 5 6

α

1,414

1,682 2,000 2,378 2,828

0

n

5 6 7 10

15

n

13 20 31 52 91

Planowanie rotabilne zwane też jest planowaniem o symetrii obrotowej. Ma
nadal wartość praktyczną, ponieważ daje planowi eksperymentu w pewnym
otoczeniu punktu centralnego planu własności użytkowe, takie jak:

- stałość dokładności otrzymanego modelu,
- stałość oszacowania funkcji regresji.