1

PODSTAWY AUTOMATYKI 1 – ĆWICZENIA

- odpowiedzi

lista zadań nr 1

Transformata Laplace’a

1. (Korzystając wprost z definicji znaleźć transformatę Laplace’a funkcji)

a.

s

s

s

Y

3

2

)

(

2





c.

3

2

)

(

s

s

Y



b.

s

s

s

Y

2

1

)

(

2







d.

s

s

s

Y

1

3

2

)

(







2. (Dana jest odpowiedź na impuls Diraca (funkcja wagi)

)

(t

g

. Znaleźć transmitancję

operatorową

)

(s

G

)

a.

4

3

3

2

)

(











s

s

s

G

d.



 



3

3

2

2

1

2

)

(

2

3













s

s

s

s

G

b.

1

1

2

2

3

3

)

(













s

s

s

s

G

e.

4

2

1

2

)

(

2









s

s

s

G

c.





2

3

1

4

)

(

3









s

s

s

G

f.





2

2

1

2

)

(





s

s

s

G

3. (Dana jest odpowiedź układu na skok jednostkowy

)

(

1

t

y

. Znaleźć transmitancję

operatorową

)

(s

G

)

a.







2

1

4

)

(







s

s

s

G

c.



 



2

1

)

(

2







s

s

s

s

G

b.





2

2

2

)

(





s

s

s

G

d.

1

)

(

2

2







s

e

s

s

G

s

4. (Dana jest transmitancja operatorowa obiektu

)

(s

G

. Wyznaczyć odpowiedź układu na

impuls Diraca (funkcję wagi)

)

(t

g

)

a.





)

(

4

9

)

(

2

4

t

e

e

t

g

t

t

1









d.





)

(

)

(

2

2

t

e

te

t

g

t

t

1











b.





)

(

5

7

)

(

4

5

t

e

e

t

g

t

t

1









e.





)

(

3

2

7

)

(

2

3

3

t

e

e

te

t

g

t

t

t

1















c.





)

(

1

)

(

t

e

t

g

t

1







f.





)

(

2

5

,

0

)

(

2

t

te

e

t

t

g

t

t

1









2

5. (Obiekt opisany jest równaniem różniczkowym. Wyznaczyć transmitancję operatorową

)

(s

G

oraz odpowiedź układu na impuls Diraca (funkcję wagi)

)

(t

g

)

a.







5

1

4

)

(









s

s

s

s

G





)

(

75

,

0

25

,

0

)

(

5

t

e

e

t

g

t

t

1









b.







4

2

2

4

)

(









s

s

s

s

G





)

(

7

3

)

(

4

2

t

e

e

t

g

t

t

1











c.







4

1

2

3

)

(









s

s

s

s

G

)

(

3

10

3

1

)

(

4

t

e

e

t

g

t

t

1























6. (Obiekt opisany jest równaniem różniczkowym. Wyznaczyć transmitancję operatorową

)

(s

G

oraz odpowiedź układu na skok jednostkowy

)

(

1

t

y

)

a.

3

1

)

(





s

s

G

)

(

3

1

3

1

)

(

3

1

t

e

t

y

t

1











 





b.

2

2

)

(





s

s

G





)

(

1

)

(

2

1

t

e

t

y

t

1







c.







4

1

1

)

(

2











s

s

s

s

s

G

)

(

12

13

3

1

4

1

)

(

4

1

t

e

e

t

y

t

t

1























7. (Znaleźć transmitancję

)

(s

G

czwórnika elektrycznego)

a.

1

)

(





Ts

Ts

s

G

R

L

T



b.

1

1

)

(





Ts

s

G

RC

T



c.

1

)

(

2







RCs

LCs

RCs

s

G

d.

2

2

1

1

)

(

LCs

LCs

s

G







3

PODSTAWY AUTOMATYKI 1 – ĆWICZENIA

- odpowiedzi

lista zadań nr 2

Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe

układów ciągłych

1. (Wykreślić charakterystykę impulsową obiektów opisanych transmitancją operatorową

)

(s

G

)

a.

5

)

(



s

G

)

(

5

)

(

t

t

g





c.

s

s

G

2

)

(



)

(

2

)

(

t

t

g

1



b.

2

1

)

(





s

s

G

d.





1

2

5

)

(





s

s

s

G

Time [s]

A

m

pl

it

ud

e

Impulse Response

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Time [s]

A

m

pl

it

ud

e

Impulse Response

2. (Wykreślić charakterystykę odpowiedzi na skok jednostkowy obiektów opisanych

transmitancją operatorową identyczną jak w zadaniu I)

a.

5

)

(



s

G

5

)

(

1



t

y

b.

2

1

)

(





s

s

G

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Time [s]

A

m

pl

it

ud

e

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Step Response

4

c.

s

s

G

2

)

(



d.





1

2

5

)

(





s

s

s

G

Time [s]

A

m

pl

it

ud

e

Step Response

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.5

1

1.5

2

2.5

Time [s]

A

m

pl

it

ud

e

Step Response

0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

3. (Wykreślić charakterystykę amplitudowo – fazową (Nyquista) obiektów opisanych

transmitancją operatorową identyczną jak w zadaniu I)

a.

5

)

(



s

G

punkt o paramatrach

 





5

Re





j

G

,

 





0

Im





j

G

b.

2

1

)

(





s

s

G

c.

s

s

G

2

)

(



0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0

Real Axis

Im

ag

in

ar

y

A

xi

s

Nyquist Diagram

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

-200

-160

-120

-80

-40

0

Real Axis

Im

ag

in

ar

y

A

xi

s

Nyquist Diagram

d.





1

2

5

)

(





s

s

s

G

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-500

-400

-300

-200

-100

0

Real Axis

Im

agi

na

ry

A

xi

s

Nyquist Diagram

5

4. (Wykreślić logarytmiczną charakterystykę amplitudowo – fazową (na karcie Nicholsa)

obiektów opisanych transmitancją operatorową identyczną jak w zadaniu I)

a.

5

)

(



s

G

punkt o paramatrach

 

dB

98

,

13





L

,

 





0

arg





j

G

b.

2

1

)

(





s

s

G

c.

s

s

G

2

)

(



Open-Loop Phase [deg]

O

pe

n-

L

oop

G

ai

n

[d

B

]

Nichols Charts

-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Open-Loop Phase [deg]

O

pe

n-

L

oop

G

ai

n

[d

B

]

Nichols Charts

-91

-90

-89

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

d.





1

2

5

)

(





s

s

s

G

Open-Loop Phase [deg]

O

pe

n-

L

oo

p

G

ai

n

[d

B

]

Nichols Charts

-180

-160

-140

-120

-100

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

6

PODSTAWY AUTOMATYKI 1 – ĆWICZENIA

- odpowiedzi

lista zadań nr 3

Algebra schematów blokowych

układów ciągłych

1. (Wyznaczyć transmitancję zastępczą układów jak na rysunkach)

a.

1



G

e.

5

2

4

3

2

4

1

G

G

G

G

G

G

G

G







b.

4

2

3

2

1

1

G

G

G

G

G

G









f.





5

2

4

6

1

3

2

1

1

G

G

G

G

G

G

G

G

G







c.





4

3

2

1

2

1

1

G

G

G

G

G

G

G







g.









4

1

3

2

1

4

1

3

2

1

1

1

1

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

















d.

3

2

1

3

2

2

1

3

2

1

1

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G









7

PODSTAWY AUTOMATYKI 1 – ĆWICZENIA

- odpowiedzi

lista zadań nr 4

Stabilność układów ciągłych cz.1

1. (Korzystając z kryterium Routh’a zbadać stabilność układu o transmitancji podanej poniżej.

Określić liczbę biegunów w prawej i w lewej półpłaszczyźnie)

a. [5.00 4.00 0.50 -6.00 1.00]

T

układ niestabilny: 2 bieguny w prawej półpłaszczyźnie, 2 bieguny w lewej

b. [1.00 4.00 2.50 0.40 1.00]

T

układ stabilny: 0 biegunów w prawej półpłaszczyźnie, 4 bieguny w lewej

c. [1.00 5.00 6.00



-6.00]

T

układ niestabilny: 1 biegun w prawej półpłaszczyźnie, 3 bieguny w lewej

d. [3.00 2.00 -0.50 1.00]

T

układ niestabilny: 2 bieguny w prawej półpłaszczyźnie, 1 biegun w lewej

e. [1.00 2.00 1.00 4.00]

T

układ stabilny: 0 biegunów w prawej półpłaszczyźnie, 3 bieguny w lewej

f. [5.00 1.00 -4.00 1.00]

T

układ niestabilny: 2 bieguny w prawej półpłaszczyźnie, 1 biegun w lewej

2. (Dana jest transmitancja

)

(

12

s

G

układu otwartego (ze sztywnym sprzężeniem zwrotnym).

Wykorzystując kryterium Michajłowa zbadać czy układ zamknięty jest stabilny)

a. niestabilny

b. stabilny

-5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

-20

-15

-10

-5

0

5

Real(M)

Im

ag

(M

)

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0

2

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

Real(M)

Im

ag

(M)

8

c. granica stabilności

d. stabilny

-2

-1

0

1

2

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

Real(M)

Im

ag

(M

)

-20

-15

-10

-5

0

5

0

1

2

3

4

5

6

Real(M)

Im

ag

(M

)

3. (Dana jest transmitancja

)

(

12

s

G

układu otwartego. Wykorzystując kryterium Nyquista

zbadać czy układ zamknięty jest stabilny)

a. niestabilny

b. niestabilny

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Real(G12)

Im

ag

(G

12

)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0

0.2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Real(G12)

Im

ag

(G

12)

c. niestabilny

d. stabilny

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0

0.2

0

200

400

600

800

1000

Real(G12)

Im

ag

(G

12

)

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Real(G12)

Im

ag

(G

12)

4. (Dana jest transmitancja

)

(

12

s

G

układu otwartego. Wykorzystując kryterium Nyquista

zbadać dla jakiego k układ zamknięty jest stabilny)

a. k < 512

c. k < 240

b. k < 32

d. k < 4

9

PODSTAWY AUTOMATYKI 1 – ĆWICZENIA

- odpowiedzi

lista zadań nr 5

Stabilność układów ciągłych cz.2

1. (Dana jest transmitancja

)

(

12

s

G

układu otwartego. Wykorzystując kryterium logarytmiczne

zbadać czy układ zamknięty jest stabilny)

a. układ zamknięty stabilny

1,732

1





,

 

dB

-1,16

1





L

,631

1

2





,





06

,

3

)

(

arg

2

12







j

G

b. układ zamknięty stabilny

,464

3

1





,

 

dB

144

,

2

1







L

,094

3

2





,





99

,

2

)

(

arg

2

12







j

G

c. układ zamknięty niestabilny

0,573

1





,

 

dB

3,18

1







L

2,236

2





,





02

,

12

)

(

arg

2

12







j

G

2. (Dana jest transmitancja

)

(

12

s

G

układu otwartego. Obliczyć zapas fazy i wzmocnienia dla

układu zamkniętego)

a. układ. zamknięty stabilny,

1,732

1





,

dB

,021

6





dB

K

,

,233

1

2





,

o

7,1

2







b. układ zamknięty stabilny,

014

,

1

1





,

dB

068

,

1





dB

K

,

0,866

2





,

o

,8

0

2







c. układ zamknięty stabilny,

928

,

6

1





,

dB

08

,

24





dB

K

, brak

2



dla którego

1

)

(

2

12





j

G

,

czyli









d. układ zamknięty stabilny, brak

1



dla którego













)

(

arg

2

12

j

G

, czyli







K

brak

2



dla którego

1

)

(

2

12





j

G

, czyli







