Politechnika Poznańska

Wydział Budownictwa i Inżynierii

Środowiska

Konstrukcjie metalowe

Tomasz Szustak

Rok IV, semestr VIII

1

Zaprojektować główne elementy konstrukcyjne stropu stalowego dla obiektu o żelbetowych
ścianach nośnych.

Dane do projektu:

Rozpiętość
L=10,2m
B=6,1m
n=3
m=3
Wysokość= h=8,0m

Obciążenie użytkowe: p=5 KN/m

2

Grubość płyty żelbetowej: g=20cm

Stal: St3S

1.Przyjęcie geometrii stropu:

Przyjęcie geometrii stropu:

a).przyjęcie obciążenia płytą stropową
Pokrycie stropu składa się z płyty żelbetowej oraz ocieplenia. Płytę żelbetową przyjmuje się

grubości 0,20m natomiast ocieplenie wykonane ze styropianu grubości 0,05m.

b).rozstaw żeber stropowych
Żebra stropowe rozmieszczane są w kierunku poprzecznym w odległości 2,55 między sobą
c).rozstaw słupów głównych
Słupy główne rozstawione są w odległości co 10,2m od siebie oraz w odległości co 10,2m

od lica ściany w kierunku podłużnym i w kierunku poprzecznym.

Obciążenia płyty stropowej zestawiono w tabeli:

2

Rodzaj obciążenia

Ciężar
wg PN-82/B-02001

Obciążenie
charakterystyczne
[kN/m

2

]

Współczynnik
obciążenia 

f

Obciążenie
obliczeniowe
[kN/m

2

]

Płytki ceramiczne na
klej

23 kN/m

3

x 0,03

0,460

1,2

0,552

Betonu zbrojony
grubości 5 cm

25 kN/m

3

1,000

1,3

1,300

Styropian
grubości 5 cm

0,45 kN/m

3

0,023

1,2

0,028

Folia poliuretanowa
grubości 3 mm
(1warstwa = 1,5mm)

0,45 kN/m

3

0,0014

1,2

0,0017

Płyta żelbetowa z
betonu klasy B25
grubości 20 cm

25 kN/m

3

5,000

1,1

5,500

Razem obciążenie stałe g

6,444

7,334

Obciążenie użytkowe p

5

1,2

6

2.Schematem statycznym żebra stropu jest belka trzyprzęsłowa o rozpiętości B∙α.
Przęsło: A-B,C-D

B∙α= 6,10∙1.025=6,25m

Przęsło: B-C

B∙α= 6,10∙1.0=6,10m

2.1. Obciążenia belki stropowej

Wynikowy współczynnik bezpieczeństwa do dalszych obliczeń wynosi:

3

2.2. Siły wewnętrzne

Wartości momentów zginających przęsłowych i podporowych oraz sił poprzecznych

wyznaczono z wykorzystaniem tablic Winklera.

M

A

=0

M

1

=(0,08*15,306+0,101*15,3)*

6,25

2

=108,19 kNm

M

2

=(0,025*15,306+0,075*15,3)*

6,10

2

=56,93 kNm

M

B

=(-0,1*15,306-0,117*15,3)*

6,25

2

= -129,71 kNm

M

c

=(-0,1*15,306-0,117*15,3)*

6,25

2

= -129,71 kNm

M

D

=0

V

A

=(0,4*15,306+0,45*15,3)*

6,25

=81,30 kNm

V

BL

=(-0,6*15,306-0,617*15,3)*

6,25

= -116,40 kNm

V

BP

=(0,5*15,306+0,583*15,3)*

6,10

=101,10kNm

Vc

L

=(-0,5*15,306-0,583*15,3)*

6,10

= -101,10kNm

V

CP

=(0,6*15,306+0,617*15,3)*

6,25

=116,40 kNm

V

D

=(-0,4*15,306-0,45*15,3)*

6,25

=-81,30 kNm

Przyjęcie potrzebnego przekroju belki stropowej ze wzgledu na potrzebny wskaźnik
wytrzymałości.

W

potrz

≥Mmax/fd = 12971/20,5=632,73cm3

Przyjmuję wstępnie na żebro stropowe I330PE

4

Rodzaj obciążenia

Żebro stropowe
I 330 PE

Charakterystyka geometryczna przekroju

Ustalenie klasy przekroju zgodnie z PN–90/B–03200

ε=



215

f

d

=



215
21,5

=

1,0

- środnik

b

t

=

h

śr

g

=

30,7−2∗1,8

0,75

=

36,1366∗ε= 66∗1,0=66

- pas

b

f

t

f

=

0,5∗



16,0−0,75



−

1,8

1,15

=

5,069∗ε= 9∗1,0=9,0

Zgodnie z PN–90/B–03200 spełnienie powyższych warunków smukłości kwalifikuje
przekrój do przekrojów klasy 1.

Stan graniczny nośności

Nośność obliczeniowa przekroju przy jednokierunkowym zginaniu M

R

zgodnie

z PN–90/B–03200

M

R

=α

p

⋅

W

x

⋅

f

d

(dla klasy 1)

W

x

- wskaźnik wytrzymałości przekroju przy zginaniu sprężystym dla najbardziej

5

DWUTEOWNIK I

330 PE

h = 330 mm = 33 cm

h

śr

= 307mm = 30,7cm

b = 160 mm = 16 cm

t

w

= 7,5 mm = 0,75cm

t

f

= 11,5 mm = 1,15 cm

r

1

= 18mm = 1,8cm

A = 62,60 cm

2

I

x

= 11770 cm

4

W

x

= 713 cm

3

Dla stali St3Sf

d

= 215 MPa =

21,5 kN/cm

2

oddalonej osi obojętnej krawędzi

f

d

- wytrzymałość obliczeniowa stali

α

p

- obliczeniowy współczynnik rezerwy plastycznej

α

p

=

1,0

( dla dwuteowników PE)

fd=21,5

kN

cm

2

Wx= 713 cm

3

M

R

=

1,0∗713cm

3

∗

21,5 kN /cm

2

=

15329,5 kNcm

M

R

=

153,29 kNm

M

M

R

=

129,71
153,29

=

0,85≤1,0

Warunek smukłości przy ścinaniu dla środnika:

h

w

t

w

=

27,10
0,75

=

36,13≤70∗ε= 70∗1,00=70

Zgodnie z powyższym warunkiem środnik jest odporny na miejscową utratę stateczności przy
czystym ścinaniu



℘

pv

=

1,0



Nośność obliczeniowa przekroju przy ścinaniu V

R

zgodnie z PN-90/B-03200

d

v

R

f

A

V

⋅

⋅

=

58

,

0

v

A - pole czynne przy ścinaniu

f

d

- wytrzymałość obliczeniowa stali

Av=h

w

∗

t

w

=

27,10∗0,75=20,32 cm

2

V

R

=

0,58∗20,32∗21,5=253,39 kN

V

V

R

=

116,40
253,39

=

0,46≤1

Warunek nośności ze względu na zginanie z uwzględnieniem ścinania należy
sprawdzić w przekroju, w którym działa M

max

, występuje siła poprzeczna i

spełnia następujący warunek:

V=116,40 kN ≥V

0

=

0,6∗V

R

=

0,3∗253,39=76,01 kN

Nośność obliczeniową zredukowaną wyznaczono zgodnie ze wzorem:
M

r,v

=M

r

*

Moment bezwładności środnika I

V

wynosi:

6

I

v

=

h

w

3

∗

t

w

12

=

27,10

3

∗

0,75

12

=

1244cm

4

M

R,V

=M

R

∗

[

1−

Iv

I

∗



V

V

R



2

]

=

153,39∗

[

1−

1244

11770

∗



116,40
253,39



2

]

=

149,97 kNm

M

M

R,V

=

129,71
149,97

=

0,86≤1,0

Utrata stateczności ogólnej (zwichrzenie):
Belka stropowa jest zabezpieczona przed zwichrzeniem sztywną płytą stropową

(

M

max

℘

L

∗

M

R

=

129,71
1,0∗153,29

=

0,85≤1,0

Stan graniczny użytkowania

Sprawdzenie elementu ze względu na ugięcia:

α

g

=

0,5 dlaprzęsłaskrajnegoiobciążeniaskrajnego

α

p

=

0,75 dlaprzęsłaskrajnegoiobciążeniaużytkowego

f=

5

384

∗

α

g

∗

g

k

+α

p

∗

p

k

∗

l

4

EI

=

5

384

∗



0,5∗12,400,75∗12,75



∗

6,25

4

205∗10

6

∗

11770∗10

−

8

=

12,98 mm

f= 12,98 m≤f

gr

=

l

250

=

6,25
250

=

25,0 mm

Warunek docisku do betonu, przy oparciu belki stropowej bezpośrednio na murze:

a≤

h
3



15=

30

3



15=25cm

założono oparcie na murze a=20cm

siła docisku do betonu B25 wynosi:

f

j

=

0,8∗fcd= 0,8∗13,3=10,64 MPa

siła działająca na podporze wynosi V=81,30kN

Naprężenia na docisku do muru wynoszą:

δ

cd

=

V

a∗b

=

81,30
20∗16

=

0,25 kN /cm

2

=

2,50 MPa≤f

j

=

10,64 MPa

7

Podciąg

−

Schematem statycznym podciągu jest belka czteroprzęsłowa o rozpiętości

obliczeniowej:

L*α = 10,20*1,025 = 10,45m dla przęseł skrajnych
L= 10,20 m dla przęseł pośredniego

Obciążenia podciągu
Współczynnik cg=0,625+0,625=1,25.

Obciążenia zestawiono w tabeli

Rodzaj

obciążenia

Ciężar

[kN/m2]

Szerokość

[m]

Wartość

charakterystyczna

f

Wartość

obliczeniowa

Obciążenia stałe

1.Ciężar stropu 1,25*12,40

6,25

96,87

1,23

119,16

2.Ciężar własny
belki

1,0

2,55

2,55

1,1

2,80

g

k

=99,42

121,96

Obciążenia zmienne

1.Użytkowe

1,25*12,75

6,25

99,6

1,2

119,52

Siły wewnętrzne (tablice Winklera)

Wartości momentów zginających oraz sił poprzecznych wyznaczono za pomocą
tablic Winklera.

- moment w przęśle skrajnym:
M

1

=(0,313*121,96+0,406*

119,52

)*10,45=906,0kNm

-moment w przęśle środkowym :
M

B-c

=(0,125*121,96+0,313*

119,52

)* 10,20=537,08kNm

-moment nad podporą pośrednią:
MB=(-0,375*121,96-0,437*

119,52

)*((10,2+10,45)/2)=1011,49kNm

-reakcje na podporach zewnętrznych
V

A

=V

D

=1,125*121,96+1,313*

119,52

=294,13kN

-siły poprzeczne przy podporze pośredniej
V

b(L)

=-1,875*121,96-1,938*

119,52

-241,48/2=-581,04kN

V

B(p)

=1,5*121,96+1,812*

119,52

+241,48/2=520,25kN

8

Wymiarowanie przekroju
Przekrój zostanie wykonany jako blachownica spawana.
Element zostanie wykonany ze stali St3S o wytrzymałości obliczeniowej
f

d

=215MPa=21,5kN/cm

2

.

Wskaźnik wytrzymałości przekroju wyznaczono ze względu na maksymalny
moment zginający:

W

x

potrz

=

M

ekstr

f

d

M

ekst

r

=1011,49kNm=101149kNcm

f

d

= 21,5 kN/cm

2

W

x

potrz

=

101149
21,5

=

4704,60 cm

3

H=

L

śr

20

=



10,2010,45



∗

0,5

20

=

0,51 m

Przyjęto H = 0,50m

t

w



H

100

=

0,50
100

=

0,005 m=0,5 cm

Przyjęto t

w

= 1 cm (L/1000)

h

Wopt

=

1,3∗



W

potrz

t

w

=

1,3∗



4704,60

1,0

=

89,17 cm

h

w



106∗t

w

=

106∗1,0=106cm

h

w

=

110−2∗1,0=108,0

t

w

=

1,0 cm

Wymiary pasów:

t

f

≥

2∗t

w

=

2∗1,0=2,0 cm

Moment bezwładności przekroju

I

potrz

=W

potrz

∗



h

w

2

+t

f



=

4704,60∗



108

2



2,0



=

263458cm

4

moment bezwładności środnika:

I

v

=

h

w

3

∗

t

w

12

=

108,0

3

∗

1,0

12

=

104976cm

4

Niezbędny moment bezwładności pasów wynosi:

I

potrzpas

=I

potrz

−

I

v

=

263458−104976=158482cm

4

9

moment bezwładności pasów:

I

pas

=

2∗



b

f

∗

t

f

3

12

+b

f

∗

t

f

∗



h

w

+t

f

2



2



=

2∗



b

f

∗

2,0

3

12

+b

f

∗

2,0∗



1082,0

2



2



=

12101∗b

f

ostatecznie szerokość pasa powinna wynieść:

I

pas

=

12101∗b

f

>I

potrzpas

=

158482

b

f



13,09

b

f

=

20. 0cm

I

x

=

1,0∗108,0

3

12



2∗



20,0∗2,0

3

12



20,0∗2,0∗55,0

2



=

347003

δ

max

=

M

I

∗

y=

101149
10497612101∗20,0

∗



108,02∗2,0

2



=

16,32 kN /cm

2



21,5 kN /cm

2

Ustalenie klasy przekroju zgodnie z PN–90/B–03200

ε=



215

f

d

=



215
21,5

=

1,0

- pas

b

f

t

f

=

0,5∗



20,0−1,0



2,0

=

4,759∗ε= 9∗1,0=9,0

- środnik

b

t

=

h

śr

g

=

98,0

1,0

=

108,0105∗ε= 105∗1,0=105

Stan graniczny nośności

Warunek nośności przekroju klasy 4 na zginanie:

1

Zgodnie z PN–90/B–03200 spełnienie powyższych warunków smukłości
kwalifikuje przekrój do przekrojów klasy 1.

Zgodnie z PN–90/B–03200 należy zakwalifikować przekrój do przekrojów klasy 4.

Przyjęto rozstaw żeberek usztywniających a =2,55

b=h

w

=

98,00 m

β=

a
b

=

2,55
1,08

=

2,361,0

v= 0

Smukłość względna wynosi:

K

2

=

0,40,6∗v= 0,4

.

λ

p

=

b

t

∗

K

2

56

∗



fd

215

=

108

1,0

∗

0,4

56

∗



215
215

=

0,69 ℘

p

=

0,849

Nośność obliczeniowa przekroju z uwzględnieniem współczynnika niestateczności miejscowej
wynosi:

W

x

=

I
y

=

347003

56

=

6196 cm

3

M

R

=℘

p

∗

Wx∗fd= 0,849∗6196∗21,5=133214kNcm=1332,14 kNm

M

M

R

=

1011,49
1332,14

=

0,76≤1,0

Nośność przekroju na ścinanie:

β=

a
b

=

2,55

1,08

=

2,361,0

Smukłość względna wynosi:

K

V

=

0,65∗



2−

1
β

=

0,65∗



2−

1

2,36

=

0,816

.

λ

p

=

b

t

∗

K

V

56

∗



fd

215

=

108
1,0

∗

0,816
56

∗



215
215

=

1,57

Współczynnik niestateczności przy ścinaniu wynosi:

℘

pv

=

1

λ

p

=

1

1,57

=

0,64≤1,0

Pole przekroju czynnego przy ścinaniu:

A

v

=h

w

∗

t

w

=

108,00∗1,0=108,0 cm

2

Nośność obliczeniowa przekroju wynosi:

1

V

R

=

0,58∗℘

PV

∗

A

V

∗

fd=0,58∗0,64∗108,0∗21,5=861,92 kN

V

V

R

=

581,04

861,92

=

0,67≤1,0

Ponieważ powyższy warunek jest spełniony, nie ma potrzeby wykonywania pośrednich żeberek
usztywniających.

Warunek nośności ze względu na zginanie z uwzględnieniem ścinania należy sprawdzić w przekroju,
w którym działa Mmax, występuje siła poprzeczna i spełnienia następujący warunek:

V=581,04 kN ≥V

0

=

0,3∗kNV

R

=

0,3∗861,92=258,58

Nośność obliczeniową zredukowaną wyznaczono zgodnie ze wzorem:

M

R,V

=M

R

∗

[

1−

Iv

I

∗



V

V

R



2

]

=

1332,14∗

[

1−

104967
347003

∗



581,04

861,92



2

]

=

1149,01 kNm

M

M

R,V

=

1011,49
1149,01

=

0,88≤1,0

Utrata stateczności ogólnej (zwichrzenie) (rozstaw bocznych podparc pasa górnego)

l=255

.

λ

L

=

0,045∗



lo∗h

b

f

∗

t

f

∗

β∗

fd

215

=

0,045∗



255∗108,0

20∗2,0

∗

1,0∗

215
215

=

0,96 ℘

L

=

0,681≤1,0

M

℘

L

∗

M

R

=

1011,49

0,681∗1332,14

=

0,95≤1,0

Warunek nośności w złożonym stanie naprężeń:

M

W

=M∗

I

V

I

=

1011,49∗

104976
347003

=

305,99 kNm

M

Rw

=ψ∗

h

w

2

∗

t

w

6

∗

fd= 1,0∗

108,0

2

∗

1,0

6

∗

21,5=41796 kNm



M

w

M

Rw



2





V

V

R



2

=



305,99

41796



2





581,04

861,92



2

=

0,45≤1,0

Stan graniczny użytkowania

ugięcie graniczne podciągu

f

qr

=

1

350

∗

L=

1

350

∗

10,45=2,98 cm

1

ugięcie rzeczywiste f należy obliczyć wg metody z mechaniki budowli. W sposób przybliżony
w tym przypadku można obliczyć ze wzoru:

f=

5,5

48

Ml

2

EI

maxM1=



0,313∗99,420,406∗121,96



∗

10,45=842,63 kNm

f=

5,5

48

∗

842,63∗10,45

2

2,05∗10

8

∗

347003∗10

−

8

=

0,015 m

f= 1,5 cm<f

qr

=

2,98 cm

1