Statystyka

Strona 1 z 3

Zestaw 7

Wybrane rozkłady skokowe:
− równomierny (jednostajny)
− dwumianowy (Bernoulliego)
− hipergeometryczny


Rozkład jednostajny
Zmienna losowa

X

ma skokowy (dyskretny) rozkład równomierny (jednostajny), jeżeli jej rozkład

prawdopodobieostwa ma postad:





n

k

X

P

1





n

k

k

k

k

,

,

,

2

1





Dystrybuanta:

  



x

X

P

x

F





Rozkład dwumianowy
Zmienna losowa

X

ma rozkład dwumianowy (Bernoulliego), jeżeli rozkład prawdopodobieostwa tej

zmiennej dany jest wzorem:





k

n

k

q

p

k

n

k

X

P



















p

q





1

n

k

,

,

1

,

0 



Dystrybuanta:

  



x

X

P

x

F





Rozkład hipergeometryczny
Zmienna losowa

X

ma rozkład hipergeometryczny, jeżeli jej rozkład prawdopodobieostwa dany jest

wzorem:

















































n

N

k

n

M

N

k

M

k

X

P

n

k

,

,

1

,

0 



Dystrybuanta:

  



x

X

P

x

F





Statystyka

Strona 2 z 3

Zestaw 7

Wybrane rozkłady ciągłe:
− równomierny (jednostajny)
− wykładniczy
− normalny (gaussowski)


Rozkład jednostajny
Zmienna losowa

X

ma rozkład równomierny (jednostajny) skoncentrowany na przedziale

b

a,

, jeżeli jej

gęstośd prawdopodobieostwa jest określona wzorem:

 





















b

x

i

a

x

dla

b

x

a

dla

a

b

x

f

0

1

Dystrybuanta:

 


























b

x

dla

b

x

a

dla

a

b

a

x

a

x

dla

x

F

1

0

Rozkład wykładniczy
Zmienna losowa

X

ma rozkład wykładniczy o parametrze

0





, jeżeli jej gęstośd jest następującej

postaci:

 















0

0

0

x

dla

x

dla

e

x

f

x





Dystrybuanta:

 

















0

0

0

1

x

dla

x

dla

e

x

F

x



Rozkład normalny
Zmienna losowa

X

ma rozkład normalny (gaussowski) o parametrach

m

,



, jeśli jej gęstośd

prawdopodobieostwa jest określona wzorem:

 





















x

dla

e

x

f

m

x

2

2

2

2

1







m

- parametr przesunięcia



- parametr skali

Dystrybuanta:

 

















x

m

t

dt

e

x

F

2

2

2

2

1







Całki powyższej nie da się obliczyd dokładnie metodą analityczną!

W konkretnych zagadnieniach do obliczenia wartości dystrybuanty stosuje się tablice statystyczne (bądź też
odpowiednie kalkulatory czy oprogramowanie komputerów). Tablice zawierają dane dla dystrybuanty
standaryzowanego rozkładu normalnego, oznaczanej jako



i zdefiniowanej jako rozkład o parametrach

0



m

i

1





(symetryczny względem osi Y).







,

m

N

- rozkład normalny o parametrach m ,



Statystyka

Strona 3 z 3

Zestaw 7

ZADANIA
1. W programie Excel wykonad wykresy funkcji prawdopodobieostwa i dystrybuanty dla rozkładów

zmiennych losowych dyskretnych:
A. jednostajny: rozkład wyników rzutu jedną kostką sześciościenną
B. dwumianowy: rozkład wypadnięcia orła w 6 rzutach monetą

=ROZKŁAD.DWUM( k ; n ; p ;

0

lub

1

)

C. hipergeometryczny: rozkład wygranych w Lotto (6 z 49)

=ROZKŁAD.HIPERGEOM( k ; n ; M ; N )

OPCJE WYKRESÓW

rozkład prawdopodobieostwa

0

dystrybuanta

1



wykres typu: kolumnowy



kolumny koloru niebieskiego o zwiększonej
maksymalnie szerokości przerwy



usunąd tło, legendę, linie siatki, dodad tytuł
wykresu



wykres typu: XY (punktowy z punktami
połączonymi liniami bez znaczników)



pogrubiona czerwona linia



usunąd tło, legendę, linie siatki, dodad
tytuł wykresu

2. W programie Excel wykonad wykresy funkcji prawdopodobieostwa i dystrybuanty dla rozkładów

zmiennych losowych ciągłych:
A. jednostajny na przedziale

15

,

5



B. wykładnicze dla trzech zmiennych o parametrach

2

1

1





,

1

2





,

2

3





=ROZKŁAD.EXP( x ; λ ;

0

lub

1

)

C. normalne o jednakowym:

− parametrze przesunięcia

 

1

,

5

N

,

 

2

,

5

N

,





2

1

,

5

N

− parametrze skali

 

1

,

5

N

,

 

1

,

3

N

,

 

1

,

7

N

=ROZKŁAD.NORMALNY( x ; m ; σ ;

0

lub

1

)

OPCJE WYKRESÓW

A (dwa wykresy)

B (dwa wykresy) i C (cztery wykresy)



wykres typu: XY (punktowy z punktami
połączonymi liniami bez znaczników)



pogrubiona niebieska (gęstośd) lub czerwona
(dystrybuanta) linia



usunąd tło, legendę, linie siatki, dodad tytuł
wykresu



wykres typu: XY (punktowy z punktami
połączonymi wygładzonymi liniami bez
znaczników)



usunąd tło, linie siatki, dodad tytuł wykresu



legendę zawierającą nazwy serii danych
umieścid pod wykresem