Algorytmy i struktury danych (2 semestr – 1 rok – inny program – stare zadania)

1) Napisz funkcję w Turbo Pascalu o nazwie PLP, która dla zadanego parametru

całkowitego n znajduje najmniejszą liczbę pierwszą nie mniejszą niż n.

2) Napisz funkcję w Turbo Pascalu o nazwie PLP, która dla zadanego parametru

naturalnego k znajduje największą liczbę pierwszą nie większą niż k.

3) Niech (x

i

,y

i

) i=1, 2, …, k oznaczają kolejne wierzchołki wielokąta na płaszczyźnie.

Napisz program w TP, który wczytuje k, oraz współrzędne wierzchołków wielokąta, a

następnie sprawdza czy wielokąt jest właściwy, tzn., że żadne dwa boki tego

wielokąta nie przecinają się.

4) Niech (x

i

,y

i

) i=1, 2, …, n oznaczają kolejne wierzchołki wielokąta na płaszczyźnie.

Napisz program w TP, który wczytuje n, oraz współrzędne wierzchołków wielokąta,

a następnie sprawdza czy wielokąt jest wypukły.

P(x

1

,y

1

) Q(x

2

,y

2

) R(x

3

,y

3

)

det



P , Q , R



=det

[

x

1

y

1

1

x

2

y

2

1

x

3

y

3

1

]

=



x

2

− x

1



y

3

− y

1



−



x

3

− x

1



y

2

− y

1



det



P , Q , R



=0 - R leży na prostej

det



P , Q , R



0 - R leży po lewej stronie prostej (jak na rysunku)

det



P , Q , R



0 - R leży po prawej stronie prostej

5) Niech A oznacza macierz kwadratową o wymiarach n × n. Napisz procedurę, która

dla zadanej liczby r<n oblicza ciąg S

k

, k=1, 2, …, n-r, gdzie S

k

jest równe sumie

wszystkich elementów macierzy A

k+i,n-k+1+j

i=0, 1, …, r, j=0, 1, …, r.

6) Niech A oznacza macierz kwadratową o wymiarach n × n. Napisz procedurę, która

dla zadanej liczby r<n oblicza ciąg S

k

, k=1, 2, …, n-r, gdzie S

k

jest równe sumie

wszystkich elementów macierzy A

k+i,k+j

i=0, 1, …, r, j=0, 1, …, r.

7) Niech A oznacza miacierz kwadratową n × n. Należy opracować algorytm obliczania

maksymalnej sumy według następujących reguł: zaczynamy sumawanie od elementu

A

11

, jeśli do sumy wchodzi element A

ij

to jako następny mamy prawo dosumować

element A

i+1,j

lub A

i+1,j+1

(z każdego wiersza znajdzie się sumie tylko jeden element).

8) Kopalnia złota. Dane są na płaszczyźnie współrzędne n punktów (x

i

,y

i

) (położenie

samorodków złota). Masz jako pierwszy prawo wyboru działki o wymiarach a × b, o

bokach równoległych od osi układu. Opracuj algorytm, który ustali współrzędne

lewego dolnego wierzchołka twojej działki tak by działka zawierała jak najwięcej

samorodków. Zakładamy, że zarówno współrzędne punktów jak i wymiary działki są

liczbami całkowitymi. Samorodki leżące na brzegu działki należą do Ciebie.

9) Napisz w TP procedurę SORT_STUD(k:INTEGER;VAR a:spis), która sortuje malejąco

listę studentów względem lat studiów. Oto definicja typów:

Student= RECORD
nazwisko: STRING[30];

rok: 1..5;
END;

spis=ARRAY[1..200] OF student;

P .

Q .

R .

Uwaga! Czy możliwe jest zrealizowanie tego zadania przy dwukrotnym przeglądaniu

spisu?

10) Napisz w TP procedurę SORT_OCENA(n:INTEGER;VAR a:lista), która sortuje

malejąco listę studentów względem ocen. Oto definicja typów:

Student= RECORD
nazwisko: STRING[30];

ocena: STRING[4];
END;

Lista=ARRAY[1..200] OF student;

Uwaga! Dopuszczalne oceny: ndst, dost, dst+, db, db+, bdb. Czy możliwe jest

zrealizowanie tego zadania przy dwukrotnym przeglądaniu listy?

11) Definicja. Ciąg {a

i

} i=1, 2, …, m liczb rzeczywistych nazywamy jednopikowym, jeśli

istnieje liczba naturalna p taka, że ciąg {a

i

} jest malejący dla i=1, 2, …, p oraz

rosnący dla i=p, p+1, …, m. Napisz funkcję w Pascalu, która dla danego m oraz

jednopikowego ciągu {a

i

} znajduje najmniejszy element.

12) Definicja. Ciąg {x

i

} i=1, 2, …, n nazywamy jednopikowym, jeśli istnieje liczba

naturalna k taka, że ciąg {x

i

} jest rosnący dla i=1, 2, …, k oraz malejący dla i=k, k+1,

…, n. Napisz funkcję typu Integer w Pascalu, która dla danego n oraz jednopikowego

ciągu {x

i

} znajduje numer jego największego elementu.

13) Głosowanie przez INTERNET. Program w TP. Wyniki głosowania znajdują się w

pliku tekstowym d:\ankieta\PLUS.TXT. W pliku tym znajduje się nieznana liczba

wierszy. Każdy wiersz zawiera 2 liczby, z których pierwsza jest 6-cio cyfrowym

numerem telefonu, a druga oznacza numer k kandydata, na którego oddano z tego

telefonu głos, 1≤k≤10.

1. Napisz program w TP, który zlicza ile głosów oddano na poszczególnych

kandydatów. Wyniki wyświetl na ekranie.

2. Napisz program w TP, który zlicza ile głosów oddano na poszczególnych

kandydatów przy założeniu, że z każdego numeru telefonu można zaliczyć do

wyników głosowania tylko jeden głos.

14) Głosowanie przez INTERNET. Program w TP. Wyniki głosowania znajdują się w

pliku tekstowym c:\glosowanie\ERASMS.TXT. W pliku tym znajduje się nieznana

liczba wierszy. Każdy wiersz zawiera 2 liczby, z których pierwsza jest 6-cio

cyfrowym numerem telefonu, a druga oznacza numer k kandydata, na którego

oddano z tego telefonu głos, 1≤k≤12.

1. Napisz program w TP, który zlicza ile głosów oddano na poszczególnych

kandydatów. Wyniki wyświetl na ekranie.

2. Napisz program w TP, który zlicza ile głosów oddano na poszczególnych

kandydatów przy założeniu, że z każdego numeru telefonu można zaliczyć do

wyników głosowania tylko jeden głos.

Semestr II – teoria (2 semestr – 1 rok – inny program – stare zadania)

1) Jaka jest przeciętna złożoność algorytmu wyszukiwania elementu w tablicy

posortowanej metodą bisekcji a jaka metodą interpolacyjną?

2) Ile razy (przeciętnie) jest szybszy algorytm QUICKSORT w porównaniu z

INSERTSORT dla n=21

12

?

3) Definicja drzewa: RST.

4) Drzewo AVL. Co to jest atrybut wierzchołka? Na czym polega rotacja pojedyncza?

5) Podaj oszacowanie od dołu dla problemu sortowania zbioru n-elementowego z

implementacją tablicową.

6) Podstawowe własności programowania obiektowego.

7) Przykład funkcji mieszającej.

8) Jakie znasz metody usuwania kolizji przy zastosowaniu funkcji mieszającej?

9) Zastosowanie oraz idea KM (Karpa-Millera).

10)Definicja kopca zupełnego (złożoność pesymistyczna wyszukiwania informacji).

Algorytmy i struktury danych (2 rok)

1) Dany jest n-elementowy ciąg par liczb naturalnych:

(p

i

,q

i

)

1<p

i

≤q

i

<k i=1,2,..., n.

Definicja wagi liczby naturalnej: liczba 1 ma wagę 1. Każda liczba występująca w

parze z 1 ma wagę 2, każda liczba występująca w parze z liczbą o wadze 2 ma wagę 3, o

ile wcześniej nie miała ustalonej wagi 1 lub 2. W podobny sposób definiujemy liczby o

wadze 4, 5 itd. Liczby dla których nie uda się zdefiniować w ten sposób wagi mają wagę 0.

Napisz program, który wyświetli tabelę wynikową liczb kolejno o wagach 2, 3, 4 i 5.

Wagi przykład (pary nie muszą być posortowane wg. pierwszego elementu)

p 1 1 2 2 3 3 5 7 7 7

q 3 5 5 8 4 5 7 8 9 1

0

(chyba zły przykład)

liczba 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

waga 1 3 2 3 2 0 3 4 4

4

Wagi przykład 2 (pary nie muszą być posortowane wg. pierwszego elementu)

p 1 1 2

q 3 5 5

liczba

1 2 3 4 5 6 7 8

waga

1 0 4 2 0 0 0 3

2) Dany jest n-elementowy ciąg par liczb naturalnych:

(p

i

,q

i

)

1<p

i

≤q

i

<k i=1,2,..., n.

Definicja wagi liczby naturalnej: liczba 1 ma wagę 1. Każda liczba występująca w

parze z 1 ma wagę 2, każda liczba występująca w parze z liczbą o wadze 2 ma wagę 3, o

ile wcześniej nie miała ustalonej wagi 1 lub 2. W podobny sposób definiujemy liczby o

wadze 4, 5 itd. Liczby dla których nie uda się zdefiniować w ten sposób wagi mają wagę

0. Napisz program, który wyświetli tabelę wynikową liczb według rosnących wag

pomijając liczby o wadze 0.

3) Ciąg liczb całkowitych (n-elementowy) nazywamy nieparzystym wesołym skoczkiem,

jeśli wartości bezwzględne różnic pomiędzy kolejnymi elementami przyjmują

wszystkie możliwe nieparzyste wartości pomiędzy 1 i 2n-3. Napisz funkcję typu

Boolean, która sprawdza czy dany ciąg {a

i

} jest nieparzystym wesołym skoczkiem.

4) Ciąg liczb całkowitych (n-elementowy) nazywamy parzystym wesołym skoczkiem, jeśli

wartości bezwzględne różnic pomiędzy kolejnymi elementami przyjmują wszystkie

możliwe parzyste wartości pomiędzy 2 i 2n-2. Napisz funkcję typu Boolean, która

sprawdza czy dany ciąg {a

i

} jest parzystym wesołym skoczkiem.

5) Zakład stolarski zebrał n zamówień na usługi w 2005 r. Każde zamówienie zawiera

cztery informacje: nazwisko klienta, liczbę dni potrzebnych na wykonanie usługi (w

i

),

termin wykonania usługi (t

i

), 1≤t

i

≤250, kara za każdy dzień zwłoki po terminie (k

i

).

Napisz procedurę, która ustali kolejność wykonywania usług tak by kara za

niedotrzymanie terminów była możliwie mała. Zakładamy, że w ciągu roku usług

planujemy na następny rok, numerując te dni od 251 do 500. Sprawdzenie wszystkich

n! możliwości jest oczywiście niemożliwe, dlatego jeśli nie masz lepszego pomysłu

zastosuj metodę typy INSERTSORT, zaczynając do usług, które mają najwcześniejszy

termin wykonania.

6) Zaproponuj strukturę danych dla grafu i napisz program sprawdzający, czy dany graf

jest dwukolorowalny, tzn. czy jego wierzchołki mogą być pomalowane na kolory biały i

czarny w taki sposób, aby sąsiadujące ze sobą wierzchołki nigdy nie były tego samego

koloru. Założenie: graf jest spójny i nieskierowany.

Dane: n – liczba wierzchołków, 1<n<200, m – liczba krawędzi grafu, oraz ciąg krawędzi

i

k

, j

k

, gdzie 1≤i

k

<j

k

≤n, k=1, 2, ..., m.

Jaką własność mają cykle w grafach dwukolorowalnych?

7) Zakład usługowy ma do wykonania n zleceń. Podane są:

• czas potrzebny na wykonanie zlecenia g[i] godzin oraz m[i] minut, i=1,2, ..., n

• wartość zlecenia z[i] złotych.

Ustal kolejność zleceń tak by zlecenia najbardziej opłacalne (stawka na godz) były na

początku. W przypadku identycznej stawki godzinowej w pierwszej kolejności powiimy

wystąpić zlecenia wymagające mniej czasu na jego wykonanie. Napisz schemat NS

programu, który zrealizuje powyższe zadanie dla danych:

n

nr zlecenia[l], g[l], m[l], [1]

nr zlecenia[2], g[2], m2], z[2]

nr zlecenia[n], g[n], m[n], z[n]

8) Pracujesz w PLL LOT. Masz napisać program, który dla wybranej pary miast na świecie

będzie znajdował najkrótsze połączenia. Zanim zrealizujesz to zadanie w całości

musisz rozwiązać kilka

pomocniczych zadań. Ustawienie danych:

n {liczba miast}

nazwa_miasta[1], dlugosc_geograficzna[l], szerokosc_geograficzna[1]

nazwa_miasta 121, dlugosc_geograficzna 121, szerokosc_geograficzna [2]

...

nazwa_miastami, dlugosc_geograficzna[n], szerokosc_geograficzna[n]

m {liczba połączeń lotniczych}

p[l], q[l] {numery miast tworzących pierwszą linię lotniczą}

p[2], q[2]

p[m], q[m]

Zakładamy, że promień kuli ziemskiej R=6738km, szerokość geograficzna może

przyjmować wartości od -90 (biegun południowy) do +90 (biegun północny), długość

geograficzna może przyjmować wartości od -180 do 180 (ujemne na zachód od

Greenwich, dodatnie na wschód). Dla ułatwienia przyjmijmy, że zarówno długość jak i

szerokość geograficzna są podane przy pomocy dwóch liczb całkowitych (stopnie i

minuty).

Napisz program, który wczytuje powyższe dane z klawiatury, uzupełnia każdą

miejscowość jej odległością od Warszawy (dla uproszczenia przyjmijmy, że Warszawa

jest na pierwszym miejscu na liście miejscowości) oraz do każdej krawędzi grafu

dodaje również długość (koszt) krawędzi (odległość między miejscowościami). Tu

należy wykonać sortowanie listy miast rosnąco względem odległości od Warszawy. Tak

zmodyfikowane dane zapisujemy na dysku D: w pliku tekstowym MIASTA. Na tym

etapie najważniejszym zadaniem jest napisanie funkcji typu INTEGER, która dla dwóch

wybranych miast oblicza odległość między nimi w kilometrach.

Drugie zadanie polega na opisaniu słownym algorytmu, który dla danego pliku

MIASTA wyznaczy drzewo minimalnych połączeń Warszawy z pozostałymi miastami.

Zaproponuj strukturę danych.

9) Dana jest lista studentów II roku informatyki. Każdy wiersz listy zawiera nazwisko oraz

wykaz ocen z 4 przedmiotów egzaminacyjnych (1 ocena jeśli zdane za 1-szym razem, 2

oceny za 2-gim, itd.) Dopuszczalne oceny: 2, 3, 3+, 4, 4+, 5. Lista zakończona jest

wierszem, w którym występuje nazwisko złożone co najwyżej z 1-go znaku.

Posortuj listę na 3 podgrupy studentów:

1. studentów, którzy zdali wszystkie egzaminy w 1-szym terminie,

2. studentów, którzy zdali wszystkie egzaminy ale nie wszystkie w 1-szym terminie,

3. studentów, którzy z 1 przedmiotu otryzmali 3 oceny niedostateczne.

Napisz program, który wczytuje powyższe dane oraz realizuje dodatkowe zadanie –

wyprowadzi na urządzenie zewnętrzne 3 listy studentów.

10)Zdjęcia lotnicze. Dana jest powierzchnia P w kształcie prostokąta o wymiarach: A na B.

Załoga samolotu wykonała serię zdjęć lotniczych. Każde zdjęcie obejmuje fragment

analizowanego prostokąta i jest również prostokątem o bokach równoległych do boków

prostokąta P. Zdjęcie takie opisane jest przy pomocy 4 liczb: x

i

, y

i

, a

i

, b

i

, gdzie para (x

i

, y

i

)

oznacza współrzędne lewego dolnego rogu prostokąta, natomiast (a

i

, b

i

) oznaczają

wymiary prostokąta. Liczby te spełniają nierówności:

0≤x

i

≤x

i

+a

i

≤A 0≤y

i

≤y

i

+b

i

≤B i=1, 2, ..., n

Napisz program, który wczyta liczbę n, a następnie informacje o każdym z tych n zdjęć

oraz obliczy pole obszaru, który został sfotografowany co najmniej raz. Niektóre z tych

zdjęć przynajmniej częściowo mogą obejmować ten sam obszar, a część prostokąta P

nie została sfotografowana.

11)Problem pasażera MPK. Dany jest graf opisujący sieć komunikacji miejskiej.

Wierzchołki grafu o numerach 1, 2, ..., n, reprezentują przystanki. Krawędzie grafu (p

i

,

p

j

) oznaczają bezpośrednie przejazdy z przystanku p

i

do p

j

. Sieć składa się z r

przystanków komunikacyjnych. Linia komunikacyjna o numerze i opisana jest jako ciąg

przystanków p

i,j

, i=1, 2, ..., s

i

, przez które przejeżdżają pojazdy danej linii. Oczywiście,

przyjmujemy, że autobus (trolejbus) w drodze powrotnej wraca tą samą trasą.

Pomijamy tutaj sprawę rozkładu jazdy. Interesuje nas, czy dla danych dwóch

przystanków k oraz m istnieje bezpośrednie lub tylko z jedną przesiadką połączenie

między tymi przystankami.

Zadanie dla Ciebie:

●

Zaprojektuj strukturę danych,

●

Napisz program, który wczyta opisane informacje z pliku tekstowego
c:\mpk\danempk,

●

Napisz procedurę, która dla danych dwóch numerów przystanków k oraz m
znajdzie, o ile istnieje, numer linii łączącej te przystanki,

●

Napisz procedurę, która w przypadku braku połączenia bezpośredniego, znajdzie, o
ile istnieje, połączenie z jedną przesiadką łączące przystanki k i m.

12)Mediana. Dla pewnego zestawu danych (rekordów) brak definicji relacji < lub ≤,

natomiast istnieje metoda, która dla danych 3 elementów stwierdza, który z nich jest

elementem środkowym. Metoda ta opisana jest w postaci funkcji MED3(a,b,c).

Wynikiem funkcji jest liczba 1, jeśli elementem środkowym jest a, 2 jeśli b, oraz 3 jeśli

c. Korzystając z funkcji MED3 opracuj algorytm znajdowania mediany (elementu

środkowego) w tablicy T[1..n], n – nieparzyste, której elementami są rekordy

omawianego typu. Oszacuj jeśli to możliwe, złożoność zaproponowanego przez Ciebie

algorytmu. Jako operację dominującą przyjmij wywołanie funkcji MED3.

13)Zagęszczenie punktów. (Zadanie obowiązkowe). Ustawienie danych: n, x

1

, x

2

, ..., x

n

, a.

Napisz schemat NS programu, który wczyta powyższe dane i znajdzie przedział na osi

liczbowej o długości a, który zawiera możliwie najwięcej elementów ciągu {x

i

}.

14)Ciąg wklęsły. Ciąg monotoniczny {x

i

} i=1, 2, ..., m nazywamy wklęsłym, jeśli dla

dowolnych liczb naturalnych i, j, k takich, że 1≤i<j<k≤m spełniony jest warunek

(k-j)x

i

+(j-j)x

k

≤(k-i)x

j

Ustawienie danych: m, x

1

, x

2

, ..., x

m

.

Napisz schemat NS programu, który wczyta powyższe dane i w przypadku, gdy ciąg

okaże się monotoniczny sprawdzi czy jest to ciąg wklęsły.

15)Liczby szczęśliwe. Po wielomiesięcznych badaniach grupa entuzjastów internetu

stwierdziła, że liczby szczęśliwe mają następujące własności:

●

Liczba 0 jest szczęśliwa

●

Jeśli liczba n jest szczęśliwa, to również liczba 2n jest szczęśliwa, a liczba 2n+1
jest nieszczęśliwa

●

Jeśli liczba n jest nieszczęśliwa, to również liczba 2n jest nieszczęśliwa, a liczba
2n+1 jest szczęśliwa.

Napisz schemat NS funkcji, której wartością jest liczba 1, jeśli argument funkcji n jest

liczbą szczęśliwą, a 0 gdy n jest liczbą nieszczęśliwą.

16) Ustawienie danych: n w[1] q[1] w[2] q[2] ... w[n] q[n], gdzie w[i] oznacza wagę,

natomiast q[i] oznacza iloraz inteligencji i-tego studenta. Masz uzasadnić hipotezę: im

mniejsza waga tym większy iloraz inteligencji. W tym celu napisz program, który

wczyta powyższe dane, a następnie znajdzie najdłuższy cię liczb naturalnych k[j],

1≤k[j]≤n, taki, że w[k[j]] jest ciągiem ostro rosnącym, a ciąg q[k[j]] jest ciągiem ostro

malejącym. Ustal jaka jest złożoność pesymistyczna zaproponowanego przez Ciebie

algorytmu.

17) Ustawienie danych: m w[1] q[1] w[2] q[2] ... w[m] q[m], gdzie w[i] oznacza wagę,

natomiast q[i] oznacza iloraz inteligencji i-tego studenta. Masz uzasadnić hipotezę: im

większa waga tym większy iloraz inteligencji. W tym celu napisz program, który wczyta

powyższe dane, a następnie znajdzie najdłuższy cię liczb naturalnych k[j], 1≤k[j]≤m,

taki, że ciągi w[k[j]] oraz q[k[j]] są ciągami ostro rosnącymi. Ustal jaka jest złożoność

pesymistyczna zaproponowanego przez Ciebie algorytmu.

18) Definicja typu: TYPE wielokat=ARRAY[1..1000,1..2] OF REAL; Napisz funkcję

PW(n:INTEGER; VAR v:wielokat):REAL; której wartością jest pole wielokąta o n-

wierzchołkach, podanych w tablicy v.

19) Definicja typu: TYPE nkat=ARRAY[1..1000,1..2] OF REAL; Napisz funkcję

wW(n:INTEGER; VAR v:nkat):BOOLEAN; której wartością jest TRUE, jeśli jest to wielokąt

wpukły, FALSE w przeciwnym razie. Kolejne wierzchołki wielokąta podane są w tablicy

v.

20) Dany jest graf nieskierowany, podany jako dolny trójkąt macierzy sąsiedztwa. Napisz

program sprawdzający czy jest to graf spójny. Ustawienie danych: n, G[2,1], G[3,1],

G[3,2], G[4,1, ..., G[n,n-1], gdzie G[i,j]=0 lub 1.

21) Dany jest graf nieskierowany, podany jako górny trójkąt macierzy sąsiedztwa. Napisz

program, który skonstruuje dla tego grafu drzewo rozpinające. Ustawienie danych: n,

G[1,2], G[1,3], ..., G[1,n], G[2,3], ..., G[n-1,n], gdzie G[i,j]=0 lub 1.

22) Ustawienie danych: n, a[1], a[2], ... , a[n], k, b[1], b[2], ... , b[k]. Przystanki autobusowe

zostały ponumerowane liczbami naturalnymi. Linia nr 16 zaczyna kurs od przystanku

a[1], a kończy na przystanku a[n]. Linia nr 21 zaczyna kurs od przystanku b[1], a

kończy na przystanku b[k]. Napisz program, który wczyta powyższe dane (jak zwykle

ważna jest kolejność), a następnie ustali ile wspólnych przystanków mają te dwie linie.

Oszacuj złożoność zaproponowanego algorytmu.

23) Definicja typu: TYPE tabl=ARRAY[1..1000,1..2] OF REAL; Napisz funkcję

PUNKTY(n:INTEGER,VAR v:tabl):INTEGER: która dla danego w tablicy v wielokąta

wypukłego o n wierzchołkach jako wynik daje liczbę punktów o współrzędnych

całkowitych znajdujących się w tym wielokącie.

24) Ustawienie danych: k, p[1], p[2], ... , p[k], m, b[1], b[2], ... , b[m]. Przystanki metra

zostały ponumerowane liczbami naturalnymi. Trasa A zaczyna kurs od przystanku

p[1], a kończy na przystanku p[k]. Trasa B zaczyna kurs od przystanku q[1], a kończy

na przystanku q[m]. Napisz program, który wczyta powyższe dane (jak zwykle ważna

jest kolejność), a następnie ustali ile wspólnych przystanków mają te dwie linie.

Oszacuj złożoność zaproponowanego algorytmu.

25)

Definicja typu: TYPE wielokat=ARRAY[1..100,1..2] OF REAL;

punkty=ARRAY[1..5000,1..2] OF REAL; Napisz funkcję ZLICZANIE(n:INTEGER; VAR

v:wielokat; VAR pkt:punkty):INTEGER: która dla danego w tablicy v wielokąta

wypukłego o n wierzchołkach jako wynik daje liczbę punktów tablicy pkt, znajdujących

się wewnątrz wielokąta v.