Metody Matematyczne Fizyki 2003

Andrzej Sitarz

ROZDZIAł 1

Funkcje analityczne

1. Podstawowe definicje.

Funkcje okre´slone na płaszczy´znie lub jej podzbiorze mo˙zemy traktowa´c jako funkcje dwóch zmiennych rzeczy-
wistych lub jako funkcje zmiennej zespolonej.

Definicja 1.1

Niech U ⊂ C b˛edzie zbiorem otwartym na płaszczy´znie zespolonej. Funkcja f : C 7→ C jest ró´zniczkowalna w
z

0

∈ U je´sli istnieje granica:

(1.1)

f

0

(z

0

) = lim

z→z

0

f (z) − f (z

0

)

z − z

0

.

Funkcja f jest analityczna (holomorficzna) w U je´sli jest ró´zniczkowalna w ka´zdym punkcie tego zbioru.

Przykład 1.2

Funkcja f (z) = |z|

2

nie jest analityczna.

Do sprawdzenia tego przykładu wygodnie b˛edzie posłu´zy´c si˛e warunkami Cauchy’ego-Riemanna:

Twierdzenie 1.3

Funkcja zespolona okre´slona na podzbiorze otwartym U ⊂ C jest na nim holomorficzna wtedy i tylko wtedy gdy
jest jednokrotnie ró´zniczkowalna jako funkcja dwóch zmiennych rzeczywistych na tym obszarze oraz pochodne
cz ˛

astkowe spełniaj ˛

a warunki Cauchy’ego–Riemanna:

(1.2)

∂

x

u = ∂

y

v,

∂

x

v = −∂

y

u,

gdzie f (x + iy) = u(x, y) = iv(x, y).

Dowód:

We´zmy z − z

0

= 

x

+ i

y

i policzmy f

0

(z

0

) d ˛

a˙z ˛

ac do z

0

= x

0

+ iy

0

wzdłu˙z ró˙znych kierunków:

(1.3)

f

0

(z

0

) =

lim



x

→0,

y

=0

f (z

0

+ 

x

) − f (z

0

)



x

= u

x

(x

0

+ iy

0

) + iv

x

(x

0

+ iy

0

).

Z drugiej strony:

(1.4)

f

0

(z

0

) =

lim



x

=0,

y

→0

f (z

0

+ i

y

) − f (z

0

)



y

= −iu

y

(x

0

+ iy

0

) + v

y

(x

0

+ iy

0

).

Jest teraz oczywiste, i˙z f (z) = |z|

2

nie jest analityczna.

Problem: Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe?

3

1. PODSTAWOWE DEFINICJE.

4

Twierdzenie 1.4

Je´sli funkcja okre´slona na obszarze płaszczyzny U ⊂ C spełnia waruncki Cauchy’ego–Reimanna i jest klasy C

1

to jest analityczna.

Funkcje analityczne na obszarze U ⊂ C tworz ˛

a algebr˛e: ich suma i iloczyn s ˛

a równie˙z analityczne. Je´sli funkcja

jest ró˙zna od zera na tym obszarze to g(z) = 1/f (z) jest równie´z analityczne.

Przykład 1.5

Przykłady funkcji holomorficznych (na wykresach wysoko´s´c odpowiada modułowi funkji a kolor powierzchni -
argumentowi):

• f (z) = a

n

z

n

+ a

n−1

z

n−1

+ . . . + a

1

z + a

0

jest analityczna w C,

f (z) = z

f (z) = z

4

+ 1

• f (z) = e

z

jest analityczna w C,

–3

–2

–1

0

1

2

3

x

–0.3

–0.2

–0.1

0

0.1

0.2

0.3

y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–2

–1

0

1

2

x

–2

–1

0

1

2

y

0

1

2

3

4

5

6

7

e

z

blisko osi rzeczywistej

e

z

na kwadracie blisko z = 0

• f (z) =

1
z

jest analityczna w C/{0}, f (z) =

1

z−a

jest analityczna w C/{a},

• f (z) =

p(z)
q(z)

jest analityczna w C/Q, gdzie p, q to wielomiany, a Q = {w ∈ C : q(w) = 0]| jest zbiorem

zer wielomianu q.

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

x

–2

–1

0

1

2

y

1

2

3

4

5

f (z) =

1
z

f (z) =

z+1

z

Funkcje analityczne w C nazywamy funkcjami całkowitymi.

2. KONTURY I CAŁKI PO KONTURACH

5

1.1. Odwzorowania analityczne.

• Translacje s ˛

a to odwzorowania postaci:

C 3 z 7→ z + w ∈ C,

w ∈ C.

• Homografie s ˛

a to odwzorowania postaci:

C ∪ ∞ 3 z 7→

az + b

cz + d

∈ C ∪ ∞, a, b, c, d ∈ C.

• Odwzorowania konforemne s ˛

a to odzorowania płaszczyzny zespolonej w ni ˛

a sam ˛

a zachowuj ˛

ace k ˛

aty

pomi˛edzy krzywymi.

Twierdzenie 1.6

Ka˙zde odwzorowanie analityczne f z obszaru U ⊂ C na f (U ) ⊂ C, dla którego f

0

(z) 6= 0 jest konforemne.

2. Kontury i całki po konturach

2.1. Krzywe na płaszczy´znie zespolonej.

Definicja 2.1

Niech γ b˛edzie ci ˛

agł ˛

a injekcj ˛

a z odcinka [0, 1] w C (gładk ˛

a (lub przynajmniej kawałkami gładk ˛

a). Poprzez krzyw ˛

a

na płaszczy´znie rozumiemy obraz tego odwzorowania:

C

γ

= γ([0, 1]) ⊂ C.

Je´sli γ(0) = γ(1) to krzywa C

γ

jest zamkni˛eta.

Dwa ró˙zne odwzorowania γ

2

, γ

2

okre´slaj ˛

a t˛e sam ˛

a krzyw ˛

a C

γ

1

= C

γ

2

, je´sli istnieje ci ˛

agła (kawałkami gładka)

monotoniczna bijekcja σ : [0, 1] → [0, 1], taka, ˙ze γ

2

= γ

1

◦ σ.

Rozró´zniaj ˛

ac mi˛edzy odwzorowaniami okre´slaj ˛

acymi dan ˛

a krzyw ˛

a w zale´zno´sci od tego czy przeprowadzaj ˛

aca je

na siebie bijekcja jest rosn ˛

aca czy malej ˛

aca otrzymujemy krzywe zorientowane. Dla danej krzywej C ⊂ C wybór

odwzorowania γ takiego, ˙ze C = C

γ

nazywamy wyborem parametryzacji krzywej C.

2.2. Całki po konturach.

Niech krzywa C

γ

⊂ U b˛edzie sparametryzowana przez odwzorowanie γ : [0, 1] → U . Dla dowolnej zaspolonej

funkcji f : U → C definiujemy:

Definicja 2.2

Całka z f wzdłu˙z krzywej C

γ

:

(2.5)

Z

C

γ

f (z)dz :=

Z

1

0

f (γ(w))

dγ(w)

dw

dw.

Twierdzenie 2.3

Dla dowolnej gładkiej funkcji f całka z niej po krzywej C

γ

⊂ U nie zale´zy od parametryzacji tej krzywej.

Dowód:

Stosuj ˛

ac twierdzenie o zmianie zmiennych w całce.

Na zako´czenie oszacujmy wielko´s´c całki:

2. KONTURY I CAŁKI PO KONTURACH

6

Twierdzenie 2.4 (Nierówno´s´c Darboux)

Je´sli krzywa C ma długo´s´c L to dla dowolnej funkcji f analitycznej w obszarze U :






Z

C

f (z)dz






≤ max

z∈C

|f (z)|L.

Dowód:

( ´

Cwiczenie)

2.3. Twierdzenie Cauchy’ego.

Twierdzenie 2.5 (Twierdzenie Cauchy’ego)

Niech f b˛edzie holomorficzna na ograniczonym obszarze U ⊂ C. Jełi zamkni˛eta krzywa C jest zawarta w U ,
C ⊂ U to:

(2.6)

Z

C

f (z)dz = 0.

Dowód:

Z twierdzenia Stokesa dla f (z) = u(z) + iv(z) oraz dla obszaru V ⊂ U którego brzegiem jest C oraz

wykorzystuj ˛

ac warunki Cauchy’ego–Riemanna:

(2.7)

Z

C

f (z) =

Z

C

(u(x, y)dx − v(x, y)dy) + i(u(x, y)dy + v(x, y)dx)

=

Z

V

((u

y

(x, y) + v

x

(x, y)) + i(u

x

(x, y) − v

y

(x, y))) dx ∧ dy = 0.

Wniosek 2.6 (Wzór Cauchy’ego)

Przy tych samych zało˙zeniach, co powy˙zej, je´sli V jest obszarem jednospójnym to:

(2.8)

1

2πi

Z

C

f (z)

z − w

dz =



0, if w /

∈ V .

f (w), if w ∈ V .

Dowód:

Je´sli w jest spoza obszaru V to g(z) =

f (z)

z−w

jest analityczna w pewnym zbiorze otwartym zawieraj ˛

acym C

a zatem z twierdzenia Cauchy’ego całka z niej znika. Je´sli w ∈ V to istnieje okr ˛

ag o promieniu  wokół w zawarty

w obszarze V . Oznaczmy kul˛e o promieniu r i ´srodku w jako K

r

(w). Poniewa˙z funkcja g(z) jest analityczna w

U/K

1
2



(w), zatem z twierdzenia Cauchy’ego mamy:

Z

C

g(z)dz +

Z

∂K



(w)

g(z) = 0.

Policzmy t˛e drug ˛

a całk˛e, parametryzuj ˛

ac okr ˛

ag:

Z

∂K



(w)

g(z)dz = −

Z

1

0

g(w + e

2πiφ

)(2πi)e

2πiφ

dφ.

Poniewa˙z funkcja f jest ci ˛

agła na brzegu okr˛egu mo´zemy dla ka˙zdego δ > 0 dobra´c  tak aby dla ka˙zdego z ∈ C

zachodziło |f (z) − f (w)| < δ.
A zatem na okr˛egu o promieniu

1
2

 wokół w mamy:






f (z) − f (w)

z − w






≤

2δ



,

2. KONTURY I CAŁKI PO KONTURACH

7

i dlatego całka:








Z

∂K

1
2



(w)

f (z) − f (w)

z − w

dz








≤ 4δπ

jest dowolnie mała, a poniewa˙z jest niezale˙zna od  musi znika´c. Skoro tak, to:

Z

∂K



(w)

f (z)

z − w

dz =

Z

∂K



(w)

f (w)

z − w

dz = −2πif (w),

gdzie uwgl˛ednili´smy orientacj˛e okr˛egu (jak na rysunku). Wykorzystuj ˛

ac wcze´sniejsz ˛

a to´zsamo´s´c (??) dostajemy:

f (w) =

1

2πi

Z

C

f (z)

z − w

dz.

Wniosek 2.7 Lemat Schwartza

|f (z)| ≤ max

|w−z|=R

|z|

R

.

Lemat 2.8

Je´sli f jest analityczna w U ⊂ C to dla ka˙zdego a ∈ U , z ∈ U funkcja:

(2.9)

Φ(z) =

Z

z

a

f (w)dw,

(całka po dowolnej krzywej ł ˛

acz ˛

acej a z z) jest analityczna.

Twierdzenie 2.9 (Twierdzenie Morery)

Jełi funkcja f jest ci ˛

agła w U i

R

C

f (z)dz wzdłu˙z ka˙zdego konturu w U znika to f jest analityczna w U ,

Twierdzenie 2.10

Jełi ci ˛

agła funkcja f jest okre´slona na krzywej C ⊂ U to funkcja:

Φ(w) =

Z

C

f (z)

z − w

dz,

jest analityczna we wn˛etrzu obszaru którego brzegiem jest C i jej pochodna wyra´za si˛e wzorem:

Φ

0

(w) =

Z

C

f (z)

(z − w)

2

dz.

Wniosek 2.11

Funkcja analityczna jest ró˙zniczkowalna niesko´nczenie wiele razy, a jej pochodne wyra˙zaj ˛

a si˛e wzorem:

f

(n)

(w) = (−1)

n+1

1

n!

Z

C

f (z)

(z − w)

n+1

dz.

Wniosek 2.12 (Twierdzenie Liouville’a)

Ka˙zda funkcja holomorficzna na C i ograniczona jest stała.

Dowód:

Dla dowolnego R > 0:

(2.10)

|f

0

(z)| =







Z

K(0,R)

f (w)

(z − w)

2







≤ max

z∈C

|f (z)|

2π

R

.

3. SZEREGI POT ˛

EGOWE

8

czyli F

0

(z) ≡ 0 a zatem f musi by´c stała.

Wniosek 2.13 (Twierdzenie Gaussa)

Ka˙zdy wielomian rz˛edu n ma na C dokładnie n miejsc zerowych.

Dowód:

We´zmy f (z) =

1

p(z)

. Je´sli wielomian nie miałby miejsc zerowych to funkcja ta byłaby analityczna i

ograniczona, a zatem stała. Je´sli z

0

jest miejscem zerowym to p(z) = (z − z

0

)q(z), a nast’epnie procedur˛e

powtarzamy dla q(z).

3. Szeregi pot˛egowe

Szeregiem pot˛egowym nazywamy szereg postaci:

∞

X

n=0

a

n

z

n

.

Twierdzenie 3.1

Je˙zeli szereg pot˛egowy jest zbie˙zny w z 6= 0 to jest zbie˙zny (jednostajnie) w ka˙zdym kole o promieniu r < |z|.

Twierdzenie 3.2

Niech

(3.11)

ρ =



lim sup

n→∞

|a

n

|

1/n



−1

.

Wtedy:

(3.12)

•) f (z) =

∞

X

n=0

a

n

z

n

,

(3.13)

•) a

n

=

f

(n)

(0)

n!

.

Na odwröt, je´sli f (z) jest holomorficzna w kole K(0, r) oraz

(3.14)

a

n

=

f

(n)

(0)

n!

,

to

(3.15)

lim sup

n→∞

|a

n

|

1/n

≤ r

−1

i w kole K(0, r) szereg (3.12) jest zbie˙zny jednostajne do f .

Dowód:

Dowód (1).

Dla dostatecznie du˙zych n > N

1

mamy |a

n

| < ρ

−n
1

dla jakiego´s ρ

1

< ρ. Bior ˛

ac analogiczne oszacowanie dla

ρ

2

< ρ

1

mamy na w kole K(0, ρ

2

:

|f

N

1

− f

N

2

| ≤ ρ

−N

1

1

ρ

N

1

2

(1 −

ρ

2

ρ

1

)

−1

.

gdzie:

f

N

(z) :=

N

X

n=0

a

n

z

n

.

3. SZEREGI POT ˛

EGOWE

9

Zatem f

N

jest ci ˛

agiem funkcji zbie˙znym jednostajnie do f w ka˙zdym kol o promieniu mniejszym od ρ. Poniewa˙z

pochodne f (z) s ˛

a równie˙z jednostajnie zbie´zne w tym obszarze a ka˙zdy z elementów tego ci ˛

agu spełnia warunki

Cauchy’ego–Riemanna, zatem i granica f (z) spełnia te warunki i jest funkcj ˛

a analityczn ˛

a.

Przejd´zmy teraz do drugiego punktu. We´zmy okr ˛

ag o promieniu ρ < r. Wykorzystuj ˛

ac wzór całkowy Cauchy’ego

mamy:

f (z) =

1

2πi

Z

∂K(0,ρ)

f (ξ)

ξ − z

dξ =

1

2πi

Z

∂K(0,ρ)

f (ξ)

ξ

1

1 −

z
ξ

dξ

=

1

2πi

∞

X

n=0

z

n

Z

∂K(0,ρ)

f (ξ)

ξ

n+1

dξ =

∞

X

n=0

z

n

f

(n)

(0)

n!

.

Najwa˙zniejsze praktyczne kryteria zbie˙zno´sci (jednostajnej) szeregów:

• Weirstrassa: Je´sli wyrazy szeregu sä majoryzowane (w pewnym obszarze) przez szereg zbie˙zny

P a

n

:

|f

n

(z)| ≤ a

n

,

n > N

to szereg

P f

n

(z) jest jednostajenie zbie´zny.

• Cauchy’ego: Je´sli istnieje granica:

lim

n→∞

|a

n

|

1/n

to jest ona równa (3.11) i szereg (3.12) jest zbie˙zny w K(0, r).

• d’Alamberta: Je´sli granica

lim

n→∞

|a

n+1

|

|a

n

|

istnieje, to jest równa (3.11) i szereg (3.12) jest zbie˙zny w kole K(0, r)

Przykład 3.3

Przykłady rozwini˛e´c funkcji analitycznych w szeregi:

1

1 − z

=

∞

X

n=0

z

n

,

|z| < 1

log(1 + z) =

∞

X

n=1

(−1)

n+1

1

n

z

n

,

|z| < 1, m = 1, 2, . . . ,

(1 + z)

1
2

= 1 +

m

X

n=1

(−1)

n

(2n − 3)!!

(2

n

)(n)!

z

n

,

|z| <

1

2

.

gdzie (2k − 1)!! = (2k − 1)(2k − 3) · · · 3 · 1.

3.1. Funkcja wykładnicza. Funkcj˛e wykładnicz ˛

a definiujemy poprzez szereg pot˛egowy:

(3.16)

e

z

=

∞

X

n=0

1

n!

z

n

, z ∈ C.

Własno´sci funkji wykladniczej:

e

z

e

w

= e

z+w

,

z, w ∈ C

d

dz

e

z

= e

z

,

e

z

6= 0, ∀z ∈ C

e

z

= 1 ⇒ ∃k ∈ Z, z = 2kπi,

4. FUNKCJE MEROMORFICZNE

10

Dla dowolnego z ∈ C definiujemy :

(3.17)

cos(z) =

1

2

(e

iz

+ e

−iz

,

sin(z) =

1

2i

(e

iz

− e

−iz

,

4. Funkcje meromorficzne

Definicja 4.1

Funkcja f jest meromorficzna w obszarze U ⊂ C je´sli w tym obszarze jest analityczna poza sko´nczon ˛

a liczb ˛

a

punktów {z

1

, z

2

, . . . , z

k

}.

Twierdzenie 4.2

(Rozwini˛ecie w szereg Laurent’a)

Jełi funkcja f jest holomorficzna w pier´scieniu P (0, r, R) ({z : r < |z| <

R}) gdzie 0 ≤ r < R ≤ ∞, wtedy na tym pier´scieniu zachodzi:

(4.18)

f (z) =

∞

X

n=−∞

b

n

z

n

.

Współczynniki b

n

mo˙zna obliczy´c w nast˛epuj ˛

acy sposób:

b

n

=

1

2πi

Z

∂K(0,ρ)

f (ξ)

ξ

n+1

dξ.

gdzie r < ρ < R.

Dowód:

We´zmy pier´scie´n P (0, r

0

, R

0

) ⊂ P (0, r, R), czyli r < r

0

< |z| < R

0

< R. Wtedy mamy:

f (z) =

1

2πi

Z

∂P (0,r

0

,R

0

)

f (ξ)

ξ − z

dξ =

1

2πi

Z

∂K(0,R

0

)

f (ξ)

ξ − z

dξ −

1

2πi

Z

∂K(0,r

0

)

f (ξ)

ξ − z

dξ

=

∞

X

n=0

1

2πi

Z

∂K(0,R

0

)

f (ξ)

ξ

n+1

z

n

dξ +

∞

X

n=0

1

2πi

Z

∂K(0,r

0

)

f (ξ)

z

n+1

ξ

n

dξ

=

∞

X

n=−∞

b

n

z

n

.

Przykład 4.3

Funkcja:

3z − 2

z

2

− 3z − 4

=

1

1 + z

+

2

z − 4

ma nast˛epuj ˛

ace rozwini˛ecia

• w kole o promieniu 1:

∞

X

n=0



(−1)

n

+

1

2

1

4

n



z

n

,

|z| < 1,

• w pier´scieniu 1 < |z| < 4:

−

0

X

n=−∞

(−1)

n

z

n−1

!

+

∞

X

n=0

1

2

1

4

n

z

n

!

,

1 < |z| < 4,

4. FUNKCJE MEROMORFICZNE

11

• na zewn ˛

atrz koła o promieniu 4:

−

0

X

n=−∞

((−1)

n

+ 2 · 4

−n

)z

n−1

,

4 < |z|.

Punkt z

0

nazywamy izolowanym punktem osobliwym funkcji f je´sli istnieje otoczenie tego punktu takie, ˙ze f jest

holomorficzna w tym otoczeniu za wyj ˛

atkiem z

0

.

Mówimy, ˙ze funkcja f ma w z

0

osobliwo´s´c pozorn ˛

a je´sli istnieje granica funkcji f w z

0

i po rozszerzeniu dziedziny

f o z

0

funkcja ta jest analityczna w z

0

.

Je´sli istnieje jakie´s całkowite k > 0 takie, ˙ze granica:

lim

z→z

0

(z − z

0

)

k

f (z),

istnieje i jest sko´nczona, oraz podobna granica dla k − 1 nie istnieje, to mówimi, i˙z funkcja f ma w z

0

biegun

rz˛edu k.
Je´sli izolowany punkt osoblizy funkcji f w z

0

nie jest ani osobliwo´sci ˛

a pozorn ˛

a ani biegunem jakiego´s rz˛edu to

mówimy, i´z jest to osobliwo´s´c istotna.

Przykład 4.4

• funkcja

1

z

m

ma w z = 0 biegun rz˛edu m,

• funkcja

sin z

z

ma w z = 0 osobliwo´s´c pozorn ˛

a,

• funkcja e

1
z

ma w z = 0 osobliwo´s´c istotn ˛

a.

Rozwijaj ˛

ac funkcj˛e f w pier´scieniu otaczaj ˛

acym osobliwo´s´c izolowan ˛

a z

0

w szereg Laurenta:

f (z) =

∞

X

n=−∞

a

n

(z − z

0

)

n

.

otrzymujemy:

• funkcja f ma w z

0

biegun rz˛edu m, je´sli a

−m

6= 0 oraz a

k

=0 dla wszystkich k < −m.

• funkcja f ma w z = 0 osobliwo´s´c pozorn ˛

a, jełi a

k

= 0 dla wszystkich k < 0,

• funkcja f ma w z = 0 osobliwo´s´c istotn ˛

a, je´sli dla ka˙zdego K < 0 istnieje k < K takie, ´ze a

k

6= 0.

Definicja 4.5

Funkcj˛e f nazywamy meromorficzn ˛

a w obszarze U ⊂ C jest meromorficzna je´sli jest holomorficzna poza

przeliczaln ˛

a ilo´sci ˛

a punktów (osobliwo´sci izolowanych f ), w których ma bieguny.

Definicja 4.6

O funkcji f (z) mówimy ˙ze w z = ∞ jest regularna, ma biegun lub osobliwo´s´c istotn ˛

a, je´sli (

1
z

) jest w z = 0

regularna, ma biegun lub osobliwo´s´c istotn ˛

a.

Przykład 4.7

Funkcja

1

sin z

jest meromorficzna na C.

5. RESIDUUM FUNKCJI

12

Twierdzenie 4.8

Funkcja meromorficzna na C i posiadaj ˛

aca w niesko´nczono´sci co najwy˙zej biegun jest wymierna.

Dowód:

Je´sli f jest meromorficzna na C a niesko´nczono´s´c jest równie˙z co najwy˙zej osobliwo´sci ˛

a izolowan ˛

a to f

ma sko´nczon ˛

a ilo´s´c punktów osobliwych (wliczaj ˛

ac w to ewentualnie niesko´nczono´s´c).

Niech f

i

(z) b˛edzie osobliw ˛

a cz˛e´sci ˛

a rozwini˛ecia w szereg Laurenta funkcji f (z) wokół punktu z

i

. Wtedy f

i

(z)

jest funkcj ˛

a wymiern ˛

a a f − f

i

ma osobliwo´s´c pozorn ˛

a w z

i

,

Zatem funkcja f −

P

i

f

i

jest analityczna na C i nie ma osobliwo´sci w niesko´nczono´sci a zetem mui by´c stała.

St ˛

ad wynika, ´ze f jako sko´nczona suma funkcji wymiernych f

i

jest wymierna.

5. Residuum funkcji

Definicja 5.1

Residuum funkcji f w punkcie z

0

jest zdefiniowane jako

(5.19)

Res

z

0

f (z) :=

1

2πi

Z

∂K(z

0

,R)

f (z)dz,

gdzie 0 < R < R

0

jest takie i˙z f jest analityczna w K(0, R

0

)/{z

0

}.

Definicja ta w oczywisty sposöb nie zale˙zy od wyboru R: istotnie wybieraj ˛

ac R

1

i R całka po ka´zdym z okr˛egów

jest identyczna gdy˙z f jest analityczna w otaczaj ˛

acym je pier´scieniu.

Twierdzenie 5.2

Je´sli:

(5.20)

f (z) =

∞

X

n=−∞

a

n

(z − z

0

)

n

,

jest rozwini˛eciem f w szereg Laurenta wokół z

0

, to zachodzi:

(5.21)

Res

z

0

f (z) = a

−1

.

Je´sli funkcja f ma biegun rz˛edu k, to jej residuum obliczamy w nast˛epuj ˛

acy sposób:

(5.22)

Res

z

0

f (z) = lim

z→z

0

1

(k − 1)!

d

k−1

dz

k−1

(z − z

0

)

k

f (z).

Uogólnieniem i naturaln ˛

a konsekwencj ˛

a wzoru całkowego (5.19) jest

Twierdzenie 5.3

Je´sli funkcja f jest holomorficzna na obszarze U ⊂ C za wyj ˛

atkiem sko´nczonej liczby punktów {z

1

, . . . , z

n

}, to

dla ka’rdej krzywej C ⊂ U :

(5.23)

Z

C

f (z) =

X

i∈I

C

2πiRes

z

i

f (z).

gdzie I

c

oznacza zbiór tych indeksów i dla których z

i

le´zy we wn’etrzu obszaru oddzielonego krzyw ˛

a C.

Przykład 5.4

Funkcja

f (z) =

1

1 − z

4

,

5. RESIDUUM FUNKCJI

13

ma cztery punkty osobliwe: ±1, ±i. Residua w nich wynosz ˛

a odpowiednio: to

Res

±i

f (z) = ∓

1

4

,

Res

±1

f (z) = ∓

i

4

.

5.1. Wykorzystanie residuów do obliczania całek rzeczywistych.

Twierdzenie 5.5 (Lemat Jordana)

Niech Γ

R

oznacza półokr ˛

ag o promieniu R w górnej półpłaszczy´znie zespolonej. Wtedy całka:






Z

Γ

R

e

iz

dz






,

jest sko´nczona.

Dowód:

Rozbijaj ˛

ac z = x + iy i parametryzuj ˛

ac półokr ˛

ag mamy:






Z

Γ

R

e

iz

dz






≤

Z

π

0

Re

−R(sin φ)

dφ

= 2R

Z

π

2

0

e

−R(sin x)

dx ≤ 2R

Z

π

2

0

e

−

2Rx

π

dx

≤ 2R

Z

∞

0

e

−

2Rx

π

dx = π.

gdzie wykorzystali´smy i˙z dla 0 ≤ x ≤

π

2

zachodzi π(sin x) ≥ 2x.

Wniosek 5.6

Je´sli f (z) jest funkcj ˛

a malej ˛

ac ˛

a dla |z| → ∞ to wtedy całka






Z

Γ

R

f (z)e

iz

dz






,

d ˛

a˙zy do 0 gdy R d ˛

a˙zy do ∞.

Przykład 5.7

Policzmy całk˛e:

Z

∞

−∞

cos x

(1 + x

2

)

.

Bior ˛

ac f (z) =

e

iz

1+z

2

i korzystaj ˛

ac z poprzedniego wniosku widzimy, i˙z całka po konturze złoónym z odcinka

[−R, R] i półokr˛egu o promieniu R d ˛

a˙zy do całki z funkcji:

Z

∞

−∞

e

ix

(1 + x

2

)

.

Funkcja f (z) ma w obszarze ograniczonym konturem jeden punkt osobliwy z = i, w kórym residuum wynosi:

Res

z=i

f (z) = −

i

2e

.

a zatem całka jak ˛

a chcemy obliczy´c (która jest cz˛e´sci ˛

a rzeczywist ˛

a całki z f (z)) wynosi:

Z

∞

−∞

cos x

(1 + x

2

)

= 2πiRes

z=i

f (z) =

π

e

.

5. RESIDUUM FUNKCJI

14

5.2. Residuum w niesko ´nczono´sci. Przypominaj ˛

ac sobie i˙z otoczeniem niesko´nczono´sci jest zewn˛etrze odpowied-

nio du˙zego koła mo˙zemy zdefiniowa´c residuum funkcji w niesko´nczono´sci jako:

Definicja 5.8

(5.24)

Res

∞

f (z) := −

1

2πi

Z

∂K(0,R)

f (z)dz,

gdzie R > R

0

> 0 takie ,˙ze funkcja f jest analityczna w C/K(0, R

0

).

Analogicznie jak w przypadku residdum w punkcie płaszczyzny zespolonej, mamy:

(5.25)

Res

∞

f (z) = −a

−1

.

gdzie a

n

s ˛

a współczynnikami szeregu Laurenta w otoczeniu niesko´nczono´sci.

Praktycznie w obliczeniach wykorzystywa´c mo˙zemy zachowanie funkcji g(z) = f (

1
z

), mamy wtedy:

(5.26)

Res

∞

f (z) = −Res

0

 1

z

2

g(z)



,

Przykład 5.9

• Res

∞

e

z

= 0,

• Res

∞

1

(z+1)

= −1.