Metody matematyczne dla fizyków

Krzysztof Golec–Biernat

(23 października 2007)

Wersja robocza nie do dystrybucji

Uniwersytet Rzeszowski

2007-08

Spis treści

1

Ciało liczb zespolonych

4

1.1

Liczby zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Sprze¸żenie zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Płaszczyzna zespolona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Wzór Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5

Miejsca geometryczne liczb zespolonych . . . . . . . . . . . .

11

2

Szeregi zespolone

12

2.1

Szeregi o wyrazach zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Kryteria zbieżności szeregów . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2.1

Kryterium d’Alamberta . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2.2

Kryterium Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3

Szeregi pote¸gowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.4

Szereg geometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.5

Funkcja eksponencjalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.6

Uzasadnienie wzoru Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2

3

Funkcje zespolone

20

3.1

Funkcje zmiennej zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.2

Pote¸ga całkowita liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.3

Pierwiastki liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.4

Funkcje trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.5

Funkcje hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.6

Logarytm zmiennej zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.7

Pote¸ga zespolona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3

Wykład 1

Ciało liczb zespolonych

1.1

Liczby zespolone

Motywacja

‘

dla wprowadzenia liczb zespolonych była che

‘

ć rozwia

‘

zania naj-

prostszego równania algebraicznego

x

2

+ 1 = 0 ,

(1.1)

dla którego nie istnieje rozwia

‘

zanie w dziedzinie liczb rzeczywistych, gdyż

formalne rozwia

‘

zanie to

x =

√

−1 .

(1.2)

Można byłoby zakończyć rozważania na ten temat stwierdzaja

‘

c, że takie

równanie nie posiada rozwia

‘

zań. Jednak, szukaja

‘

c rozwia

‘

zań równania

x

3

+ 2x

2

− x − 2 = 0

(1.3)

znajdujemy trzy pierwiastki rzeczywiste równe ±1 oraz −2. Z drugiej strony
korzystaja

‘

c z wzorów Cardano na pierwiastki wielomianów trzeciego stopnia

znajdujemy te same pierwiastki pod warunkiem, że w krokach pośrednich
potrafimy wycia

‘

gna

‘

ć pierwiastek z liczby ujemnej.

W wyniku dogłe

‘

bnej analizy tego problemu zostało wypracowane poje

‘

cie

liczby zespolonej jako pary liczb rzeczywistych

z = (x, y) .

(1.4)

4

W zbiorze takich par C wprowadzimy dwa działania, dodawanie i mnożenie

z

1

+ z

2

= (x

1

, y

1

) + (x

2

, y

2

) = (x

1

+ x

2

, y

2

+ y

2

)

(1.5)

z

1

· z

2

= (x

1

, y

1

) · (x

2

, y

2

) = (x

1

x

2

− y

1

y

2

, x

1

y

2

+ y

1

x

2

) .

(1.6)

Zauważmy, że dla liczb zespolonych z drugim elementem pary równym zero

z = (x, 0)

(1.7)

otrzymujemy reguły dodawania i mnożenia takie jak dla liczb rzeczywistych

z

1

+ z

2

= (x

1

+ x

2

, 0)

(1.8)

z

1

· z

2

= (x

1

x

2

, 0)

(1.9)

Możemy wie

‘

c utożsamić zbiór takich par ze zbiorem liczb rzeczywistych

R

= {(x,0); x ∈ R},

(1.10)

w szczególności zespolona postać zera i jedynki to

0 = (0, 0)

1 = (1, 0) .

(1.11)

Kluczowym dla konstrukcji rozszerzenia zespolonego liczb rzeczywistych

jest twierdzenie, że zbiór par C z działaniami (1.5) i (1.6) tworzy cia-
ło liczbowe

o własnościach takich samych jak ciało liczb rzeczywistych.

Oznacza to, że przy operowaniu liczbami zespolonymi możemy sie

‘

posługi-

wać dobrze znanymi regułami działań na liczbach rzeczywistych.

Posługiwanie sie

‘

wzorem (1.6) dla mnożenia nie jest wygodne, gdyż wy-

maga zapamie

‘

tania nienaturalnej z punktu widzenia działań na liczbach

rzeczywistych reguły. W zwia

‘

zku z tym wprowadza sia

‘

inna notacje

‘

oparta

‘

na naste

‘

puja

‘

cej tożsamości

(x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) · (1,0) + (y,0) · (0,1).

(1.12)

Definiuja

‘

c liczbe

‘

zespolona

‘

- jednostke

‘

urojona

‘

i ≡ (0,1)

(1.13)

i pamie

‘

taja

‘

c o utożsamieniu (1.7), otrzymujemy zapis

z = x + iy

(1.14)

5

Wprowadza sie

‘

terminologie

‘

, x to cze

‘

ść rzeczywista

liczby zespolonej na-

tomiast y to jej cze

‘

ść urojona

:

x = Re z

y = Im z .

(1.15)

Łatwo sprawdzić, że mnoża

‘

c dwie liczby zespolone według reguł słusz-

nych dla liczb rzeczywistych otrzymamy wynik (1.6) pod warunkiem, że
zasta

‘

pimy

i

2

= (0, 1) · (0,1) = (−1,0) = −1

(1.16)

Rzeczywiście

z

1

· z

2

= (x

1

+ iy

1

) (x

2

+ iy

2

) = x

1

x

2

+ i

2

y

1

y

2

+ i (x

1

y

2

+ y

1

x

2

)

= (x

1

x

2

− y

1

y

2

) + i (x

1

y

2

+ y

1

x

2

) .

(1.17)

Własność i

2

= −1 powoduje, że ±i sa

‘

rozwia

‘

zaniami równania (1.1).

Policzmy jeszcze element odwrotny do dowolnej liczby zespolonej z 6= 0

1
z

=

1

(x + iy)

(x − iy)
(x − iy)

=

x − iy

x

2

+ y

2

=

x

x

2

+ y

2

+ i

−y

x

2

+ y

2

.

(1.18)

Oczywiście

z ·

1
z

=

1
z

· z = 1.

(1.19)

Przykład

1

1 + 2i

=

1

1 + 2i

1 − 2i
1 − 2i

=

1 − 2i

5

=

1
5

−

2
5

i

Re



1

1 + 2i



=

1
5

Im



1

1 + 2i



= −

2
5

Bardzo ważna

‘

cecha

‘

odróżniaja

‘

ca

‘

liczby zespolone od liczb rzeczywistych

jest to, że liczb zespolonych nie można uporza

‘

dkować

. Tak wie

‘

c zapis

z

1

< z

2

nie ma sensu dla liczb zespolonych z różna

‘

od zera cze

‘

ścia

‘

urojona

‘

.

6

1.2

Sprz¸

eżenie zespolone

Dla każdej liczby zespolonej z definiuje sie

‘

liczbe

‘

zespolona

‘

do niej sprze

‘

-

żona

‘

z = x + iy

→ z

∗

= x − iy

(1.20)

Iloczyn tych liczb to kwadrat ich modułu

z · z

∗

= x

2

+ y

2

≡ |z|

2

= |z

∗

|

2

(1.21)

Tak wie

‘

c moduł liczby zespolonej to liczba rzeczywista

|z| =

√

z · z

∗

=

q

x

2

+ y

2

(1.22)

Dla liczby rzeczywistej (y = 0) otrzymujemy znana

‘

nam definicje

‘

modułu.

Zauważmy, że można uporza

‘

dkować moduły liczb zespolonych, gdyż sa

‘

one

liczbami rzeczywistymi.

Regułe

‘

odwracania liczby zespolonej (1.18), można teraz zapisać w pro-

sty sposób

1
z

=

1
z

z

∗

z

∗

=

z

∗

z · z

∗

=

z

∗

|z|

2

(1.23)

Sprze

‘

żenie zespolone posiada naste

‘

puja

‘

ce własności

(z

∗

)

∗

= z

(1.24)

(z

1

+ z

2

)

∗

= z

∗

1

+ z

∗

2

(1.25)

(z

1

· z

2

)

∗

= z

∗

1

· z

∗

2

(1.26)



z

1

z

2



∗

=

z

∗

1

z

∗

2

.

(1.27)

Z trzeciej i czwartej własności wynika

|z

1

· z

2

| = |z

1

||z

2

|.

(1.28)









z

1

z

2









=

|z

1

|

|z

2

|

.

(1.29)

Dla dodawania obowia

‘

zuje nierówność trójka

‘

ta

|z

1

+ z

2

| ¬ |z

1

| + |z

2

|.

(1.30)

7

Przykład



1 + 2i
1 − 3i



∗

=

(1 + 2i)

∗

(1 − 3i)

∗

=

(1 − 2i)
(1 + 3i)









1 + 2i
1 − 3i









=

|1 + 2i|
|1 − 3i|

=

√

5

√

10

=

1

√

2

.

Korzystaja

‘

c z

z = x + iy

z

∗

= x − iy

(1.31)

otrzymujemy

x = Re z =

z + z

∗

2

y = Im z =

z − z

∗

2i

(1.32)

Liczba zespolona jest czysto rzeczywista jeśli Im z = 0, tzn

z = z

∗

(1.33)

natomiast jest czysto urojona, gdy Re z = 0, tzn. z = iy. Wtedy

z = −z

∗

.

(1.34)

1.3

Płaszczyzna zespolona

Liczby zespolone to pary liczb rzeczywistych, które można przedstawić jako
punkty dwuwymiarowej płaszczyzny zespolonej Arganda. Dodawanie
dwóch liczb zespolonych to po prostu dodawanie dwóch wektorów wyzna-
czaja

‘

cych liczby zespolone. Interpretacja mnożenia wymaga jednak dodat-

kowego wysiłku.

Zauważmy, że z 6= 0 możemy scharakteryzować przy pomocy współrze

‘

-

dnych biegunowych

(r, φ):

x = r cos φ

(1.35)

y = r sin φ

(1.36)

gdzie ka

‘

t φ nazywa sie

‘

argumentem

lub faza

‘

liczby zespolonej, natomiast

promień wodza

‘

cy r jest równy jej modułowi

r =

q

x

2

+ y

2

= |z|

(1.37)

8

Otrzymujemy wie

‘

c postać trygonometryczna

‘

liczby zespolonej

z = x + iy = r (cos φ + i sin φ)

(1.38)

Mnoża

‘

c dwie liczby zespolone otrzymamy

z

1

· z

2

= r

1

r

2

(cos φ

1

+ i sin φ

1

)(cos φ

2

+ i sin φ

2

)

= r

1

r

2

{(cos φ

1

cos φ − sinφ

1

sin φ

2

) + i(sin φ

1

cos φ

2

+ cos φ

1

sin φ

2

)}

= r

1

r

2

{cos(φ

1

+ φ

2

) + i sin(φ

1

+ φ

2

)} .

(1.39)

Tak wie

‘

c mnożenie liczb zespolonych polega na dodaniu ich faz oraz pomno-

żeniu ich modułów. Dla ilorazu otrzymujemy naste

‘

puja

‘

cy wzór

z

1

z

2

=

r

1

(cos φ

1

+ i sin φ

1

)

r

2

(cos φ

2

+ i sin φ

2

)

(cos φ

2

− i sin φ

2

)

(cos φ

2

− i sin φ

2

)

=

r

1

r

2

(cos φ

1

cos φ + sin φ

1

sin φ

2

) + i(sin φ

1

cos φ

2

− cos φ

1

sin φ

2

)

cos

2

φ

2

+ sin

2

φ

2

=

r

1

r

2

{cos(φ

1

− φ

2

) + i sin(φ

1

− φ

2

)} .

(1.40)

Przy dzieleniu otrzymujemy różnice

‘

faz i iloraz modułów.

Dla sprze

‘

żenia zespolonego otrzymujemy zmiana

‘

znaku fazy, gdyż cosi-

nus jest funkcja

‘

parzysta

‘

natomiast sinus jest funkcja

‘

nieparzysta

‘

z

∗

= x − iy = r (cos φ − i sin φ) = r {cos(−φ) + i sin(−φ)}.

(1.41)

Przykład:

1 + i =

√

2



1

√

2

+

1

√

2

i



=

√

2



cos

π

4

+ i sin

π

4



1 − i =

√

2



1

√

2

−

1

√

2

i



=

√

2



cos

π

4

− isin

π

4



=

√

2



cos



−

π

4



+ i sin



−

π

4



=

√

2



cos

7π

4

+ i sin

7π

4



9

1.4

Wzór Eulera

W jednym z naste

‘

pnych wykładów udowodnimy wzór Eulera

e

iφ

= cos φ + i sin φ

(1.42)

Wykładnik eksponenty jest czysto urojony, tzn. φ jest liczba

‘

rzeczywista

‘

.

Wtedy postać trygonometryczna liczby zespolonej to

z = |z|e

iφ

(1.43)

Zauważmy, że moduł liczby zespolonej e

iφ

jest równy jeden

|e

iφ

| =

q

cos

2

φ + sin

2

φ = 1 .

(1.44)

Wyste

‘

puja

‘

ca tu eksponenta ma wszystkie własności eksponenty z argumen-

tem czysto rzeczywistym. Tak wie

‘

c

e

iφ

1

e

iφ

2

= e

i(φ

1

+φ

2

)

(1.45)

e

iφ

1

e

iφ

2

= e

i(φ

1

−φ

2

)

(1.46)

W istocie udowodniliśmy już te własności w poprzednim rozdziale (przy
założeniu, że wzór (1.42) jest sluszny). Ze wzgle

‘

du na okresowość funkcji

trygonometrycznych z okresem równym 2π zachodzi także

e

i(φ+2π)

= e

iφ

.

(1.47)

Ze wzoru Eulera wynika wspaniała relacja wia

‘

ża

‘

ca cztery podstawowe stałe

w matematyce

e

iπ

+ 1 = 0

(1.48)

Przykład
Policzmy

e

i·0

= 1,

e

i·π/2

= i,

e

i·π

= −1,

e

3i·π/2

= −i,

e

2i·π

= 1

Odta

‘

d be

‘

dziemy operować postacia

‘

trygonometryczna

‘

(1.43) liczb ze-

spolonych, w której wykorzystny jest wzór Eulera.

10

1.5

Miejsca geometryczne liczb zespolonych

Przy pomocy równości lub nierówności z liczbami zespolonymi można okre-
ślić obszary geomeryczne na płaszczyźnie zespolonej.

Podstawowa

‘

obserwacja

‘

jest stwierdzenie, że

|z − z

0

| =

q

(x − x

0

)

2

+ (y − y

0

)

2

(1.49)

jest odległościa

‘

euklidesowa

‘

pomie

‘

dzy dwoma punktami płaszczyzny ze-

spolonej z = (x, y) oraz z

0

= (x

0

, y

0

).

Wtedy zbiór punktów z spełniaja

‘

cych równanie

|z − z

0

| = R

<=>

(x − x

0

)

2

+ (y − y

0

)

2

= R

2

.

(1.50)

definiuje na płaszczyźnie zespolonej okra

‘

g

o środku w punkcie z

0

i promie-

niu R. Natomiast warunek

|z − z

0

| ¬ R

(1.51)

określa koło o tym samy środku i promieniu.

Elipsa to miejsce geometryczne punktów płaszczyzny takich, że suma od-

ległości od dwóch ustalonych punktów (ognisk elipsy) jest stała. Wybieraja

‘

c

ogniska w punktach a i b płaszczyzny zespolonej określamy elipse

‘

poprzez

równanie zespolone

|z − a| + |z − b| = R .

(1.52)

Przykład
Znaleźć miejsce geometryczne określone przez równanie zespolone
z

2

= 2i. Zapisuja

‘

c je przy pomocy z = x + iy dostajemy

(x + iy)

2

= (x

2

− y

2

) + i(2xy) = 2i

co prowadzi do układu równań

x

2

− y

2

= 0 ,

2xy = 2 .

Pierwsze równanie prowadzi do warunku x = ±y, natomiast drugie
daje y

2

= ±1. Ponieważ y jest liczba

‘

rzeczywista

‘

, sta

‘

d y = ±1. Miejsce

geometryczne to dwa wierzchołki kwadratu (±1,±1).

11

Wykład 2

Szeregi zespolone

2.1

Szeregi o wyrazach zespolonych

Szeregiem nazywamy formalne wyrażenie

∞

X

n=0

a

n

.

(2.1)

Jeżeli a

n

∈ C to jest to szereg o wyrazach zespolonych.

Powstaje pytanie kiedy taki szereg ma skończona

‘

wartość, czyli kiedy

jest zbieżny. Rozważmy cia

‘

g skończonych sum cze

‘

ściowych dla N = 0, 1, . . .

S

N

=

N

X

n=0

a

n

(2.2)

Szereg (2.1) jest zbieżny jeśli istnieje skończona granica cia

‘

gu sum cze

‘

ściowych

lim

N →∞

S

N

= S < ∞.

(2.3)

Granice

‘

S nazywamy wtedy suma

‘

szeregu. Jeżeli granica taka nie istnieje

to szereg (2.1) nazywamy rozbieżnym.

Jeżeli suma szeregu modułów wyrazów szeregu (2.1) jest skończona,

∞

X

n=0

|a

n

| < ∞,

(2.4)

to szereg (2.1) jest bezwgle

‘

dnie zbieżny

.

12

2.2

Kryteria zbieżności szeregów

2.2.1

Kryterium d’Alamberta

Użytecznym kryterium bezwgle

‘

dnej zbieżności szeregu jest kryterium d’Alam-

berta. Rozważamy granice

‘

ilorazów modułów kolejnych wyrazów szeregu

lim

n→∞

|a

n+1

|

|a

n

|

= ρ

(2.5)

W zależności od wartości ρ otrzymujemy

ρ =










< 1

szereg jest bezwzgle

‘

dnie zbieżny

> 1

szereg jest rozbieżny

= 1

nie wiadomo

(2.6)

Przykład
Policzmy

∞

X

n=0

(1 + i)

n

,

ρ

n

=

|1 + i|

n+1

|1 + i|

n

= |1 + i| =

√

2 > 1 ,

rozbieżny

∞

X

n=0

(3 + 2i)

n

n!

,

ρ

n

=

|3 + 2i|

n + 1

→ 0,

bezwgle

‘

dnie zbieżny

∞

X

n=0

1 + i

n

2

,

ρ

n

=

n

2

(n + 1)

2

=

1

(1 + 1/n)

2

→ 1

nie wiadomo

Ostatni szereg jest zbieżny na podstawie innego kryterium.

2.2.2

Kryterium Gaussa

Załóżmy, że dla wszystkich n > N stosunek kolejnych wyrazów szeregu (2.1)
może być zapisany w postaci

|a

n+1

|

|a

n

|

= 1 −

α
n

+

β(n)
n

1+δ

,

(2.7)

gdzie δ > 0, α jest stała

‘

, natomiast β(n) jest ograniczone w granicy n → ∞.

Wtedy dla

α =

(

> 1

szereg jest bezwgle

‘

dnie zbieżny

¬ 1

szereg jest rozbieżny

(2.8)

13

Przykład
1.

Zbadajmy zbieżność szeregu

∞

X

n=1

1

n

2

(2.9)

Kryterium d’Alamberta jest nie roztrzyga tego, daja

‘

c ρ = 1. Zastosuj-

my kryterium Gaussa. Dla dostatecznie dużych n znajdziemy

|a

n+1

|

|a

n

|

=

n

2

(n + 1)

2

=

1

(1 + 1/n)

2

=

1

1 + 2/n + 4/n

2

= 1 − (

2

n

+

4

n

2

) +



2

n

+

4

n

2



2

− ...

= 1 −

2

n

+

β(n)

n

2

(2.10)

z funkcja

‘

β(n) ograniczona

‘

dla n → ∞:

β(n) = const +

1

n

2

+ . . . .

Sta

‘

d α = 2 > 1 i szereg jest bezwgle

‘

dnie zbieżny.

2.

W ten sam spsosób udowodnimy, że szereg

∞

X

n=1

1

n

(2.11)

jest rozbieżny. Policzmy tym razem

|a

n+1

|

|a

n

|

=

n

n + 1

=

1

1 + 1/n

= 1 −

1

n

+

1

n

2

−

1

n

3

+ . . .

= 1 −

1

n

+

β(n)

n

2

(2.12)

gdzie funkcja β(n) = 1 − (1/n) + ... jest ograniczona dla n → ∞. Sta

‘

d

α = 1 i szereg jest rozbieżny.

14

2.3

Szeregi pot¸

egowe

Szeregiem pote

‘

gowym o środku w punkcie z

0

∈ C nazywamy wyrażenie

f (z) =

∞

X

n=0

a

n

(z − z

0

)

n

(2.13)

z zespolonymi współczynnikami a

n

oraz z ∈ C.

Kryterium d’Alamberta prowadzi do wniosku, że szereg pote

‘

gowy jest

bezwgle

‘

dnie zbieżny gdy

ρ

n

=

|a

n+1

(z − z

0

)

n+1

|

|a

n

(z − z

0

)

n

|

= |z − z

0

|

|a

n+1

|

|a

n

|

.

W granicy otrzymujemy

lim

n→∞

ρ

n

= |z − z

0

| lim

n→∞

|a

n+1

|

|a

n

|

= |z − z

0

|ρ.

(2.14)

Sta

‘

d szereg pote

‘

gowy jest bezwzgle

‘

dnie zbieżny dla liczb zespolonych z

spełniaja

‘

cych warunek:

|z − z

0

| <

1
ρ

,

(2.15)

gdzie

ρ = lim

n→∞

|a

n+1

|

|a

n

|

.

(2.16)

Obszarem zbieżności jest wie

‘

c wne

‘

trze koła o środku w punkcie z

0

i pro-

mieniu R = 1/ρ. Wie

‘

lkość R nazywa sie

‘

promieniem zbieżności

szeregu

pote

‘

gowego.

Przykład
1.

Funkcja zdefiniowana przy pomocy szeregu pote

‘

gowego

f (z) =

∞

X

n=0

z

n

n

Licza

‘

c

ρ = lim

n→∞

|a

n+1

|

|a

n

|

= lim

n→∞

n

n + 1

= lim

n→∞

1

1 +

1

n

= 1 ,

15

otrzymujemy promień zbieżności R = 1/ρ = 1. Szereg jest zbieżny w
wne

‘

trzu koła jednostkowego o środku w punkcie z

0

= 0.

2.

Dla szeregu

∞

X

n=0

(z + 1 − i)

n

3

n

n

2

,

środek koła zbieżności to z

0

= −1 + i. Licza

‘

c

ρ = lim

n→∞

|a

n+1

|

|a

n

|

= lim

n→∞

3

n

n

2

3

n+1

(n + 1)

2

= lim

n→∞

1

3 (1 + 1/n)

2

=

1
3

,

znajdujemy promień zbieżności R = 1/ρ = 3.

2.4

Szereg geometryczny

Szeregu geometryczny jest zdefiniowany w naste

‘

puja

‘

cy spsoób

f (z) =

∞

X

n=0

z

n

(2.17)

Obszar zbieżności to wne

‘

trze koła o środku w punkcie z

0

= 0. Licza

‘

c

ρ = lim

n→∞

|a

n+1

|

|a

n

|

= lim

n→∞

1
1

= 1

(2.18)

znajdujemy promień zbieżności R = 1/ρ = 1. Obszar zbieżności jest zatem
zadany przez warunek |z| < 1.

Policzmy sume

‘

szeregu geometrycznego, rozważaja

‘

c N -ta

‘

sume

‘

cze

‘

ścio-

wa

‘

S

N

= 1 + z + z

2

+ . . . + z

N

=

1 − z

N +1

1 − z

.

(2.19)

W obszarze zbieżności szeregu lim

N →∞

|z|

N +1

= 0 i sta

‘

d granica

S = lim

N →∞

S

N

=

1

1 − z

.

(2.20)

Tak wie

‘

c dla |z| < 1 zachodzi

∞

X

n=0

z

n

=

1

1 − z

(2.21)

16

2.5

Funkcja eksponencjalna

Funkcja eksponencjalna zmiennej zespolonej z jest zdefiniowana poprzez
szereg pote

‘

gowy:

e

z

=

∞

X

n=0

z

n

n!

(2.22)

Podstawiaja

‘

c liczbe

‘

rzeczywista

‘

z = x otrzymujemy znana

‘

z analizy rzeczy-

wistej funkcje

‘

eksponencjalna

‘

e

x

, gdzie e to liczba Eulera

e =

∞

X

n=0

1

n!

= lim

n→∞



1 +

1

n



n

≈ 2.71828.

(2.23)

Funkcja e

z

jest rozszerzeniem funkcji rzeczywistej e

x

na cała

‘

płaszczyzne

‘

zespolona

‘

. Licza

‘

c bowiem

ρ = lim

n→∞

|a

n+1

|

|a

n

|

= lim

n→∞









n!

(n + 1)!









= lim

n→∞

1

n + 1

= lim

n→∞

1

n

1 +

1

n

= 0 ,

stwierdzamy, że promień zbieżności R = 1/ρ = ∞ i szereg (2.22) jest bez-
wzgle

‘

dnie zbieżny na całej płaszczyźnie zespolonej.

Dla funkcji eksponencjalnej słuszny jest wzór

e

z

1

e

z

2

= e

z

1

+z

2

(2.24)

Udowodnimy to mnoża

‘

c dwa szeregi

1 + z

1

+

z

2

1

2!

+

z

3

1

3!

+ . . .

!

1 + z

2

+

z

2

2

2!

+

z

3

2

3!

+ . . .

!

=

=

1 + (z

1

+ z

2

) +

z

2

1

2!

+ z

1

z

2

+

z

2

2

2!

!

+

z

3

1

3!

+

z

2

1

2!

z

2

+ z

1

z

2

2

2!

+

z

3

2

3!

!

+ . . .

!

=

1 + (z

1

+ z

2

) +

(z

1

+ z

2

)

2

2!

+

(z

1

+ z

2

)

3

3!

+ . . .

!

.

17

Ze wzoru tego znajdujemy dla dowolnego n ∈ N

(e

z

)

n

= e

z

· ... · e

z

|

{z

}

n−razy

= e

nz

(2.25)

Ponadto z równości e

z

e

−z

= e

0

= 1 wynika

1

e

z

= e

−z

(2.26)

2.6

Uzasadnienie wzoru Eulera

Policzmy funkcje

‘

eksponencjalna

‘

dla czysto urojonego argumentu z = iy,

e

iy

=

∞

X

n=0

(iy)

n

n !

=

∞

X

k=0

(iy)

2k

(2k) !

+

∞

X

k=0

(iy)

2k+1

(2k + 1) !

=

∞

X

k=0

(−1)

k

y

2k

(2k) !

+ i

∞

X

k=0

(−1)

k

y

2k+1

(2k + 1) !

=

1 −

y

2

2!

+

y

4

4!

+ . . .

!

|

{z

}

cos y

+ i

y

1!

−

y

3

3!

+

y

5

5!

+ . . .

!

|

{z

}

sin y

(2.27)

gdzie zidentyfikowaliśmy rozwinie

‘

cia w szereg Taylora funkcji cosinus i sinus

zmiennej rzeczywistej y. Udowodniliśmy w ten sposób wzór Eulera :

e

iy

= cos y + i sin y

(2.28)

Wzór ten pozwala zapisać liczbe

‘

zespolona

‘

w postaci

z = r (cos φ + i sin φ) = r e

iφ

(2.29)

Postać to pozwala w naturalny sposób mnożyć i dzielić liczby zespolone

z

1

· z

2

= (r

1

e

iφ

1

)(r

2

e

iφ

2

) = r

1

r

2

e

i(φ

1

+φ

2

)

(2.30)

z

1

z

2

=

r

1

e

iφ

1

r

2

e

iφ

2

=

r

1

r

2

e

i(φ

1

−φ

2

)

(2.31)

18

Przykład
Przy pomocy formy biegunowej łatwo policzymy

1 + i =

√

2 e

iπ/4

1 − i =

√

2 e

−iπ/4

−1 − i = (−1) · (1 + i) = e

iπ

√

2 e

iπ/4

=

√

2 e

5π i/4

−1 + i = (−1) · (1 − i) = e

iπ

√

2 e

−iπ/4

=

√

2 e

3π i/4

Wzór (2.28) pozwala policzyć wartość funkcji eksponencjalnej dla dowol-

nego argumentu zespolonego

e

z

= e

x+iy

= e

x

e

iy

.

(2.32)

Sta

‘

d

e

z

= e

x

(cos y + i sin y)

(2.33)

Zauważmy że ze wzgle

‘

du na okresowość funkcji trygonometrycznych eks-

ponenta nie zmienia sie

‘

przy transformacji:

y → y + 2πk .

(2.34)

Funkcja eksponencjalna jest wie

‘

c funcja

‘

okresowa

‘

z okresem podstawo-

wym 2πi, gdyż dla dowolnych całkowitych k zachodzi

e

z+i(2πk)

= e

z

(2.35)

Przykład
Obliczmy

e

4+3πi

= e

4

e

3πi

= e

4

{cos(3π) + isin(3π)} = −e

4

.

19

Wykład 3

Funkcje zespolone

3.1

Funkcje zmiennej zespolonej

Jeśli znamy regułe

‘

przypisuja

‘

ca

‘

liczbie zespolonej z liczbe

‘

zespolona

‘

w to

mówimy, że w jest funkcja

‘

z, co zapisujemy

w = f (z) .

(3.1)

Jeśli według tej regułu jednej liczbie z odpowiada jedna liczba w to mamy
funkcje

‘

jednowartościowa

‘

. Jeżeli jednej wartości z odpowiada wiele war-

tości w to otrzymujemy funkcje

‘

wielowartościowa

‘

. Ponieważ w = u + iv

jest liczba

‘

zespolona

‘

, która zależy od liczby zespolonej z = x + iy to

f (z) = u(x, y) + i v(x, y) .

(3.2)

Mówimy, że funkcja u to cze

‘

ść rzeczywista

‘

funkcji f , natomiast v to jej

cze

‘

ść urojona

.

Przykład:
Dla f (z) = z

2

mamy

w = z

2

= (x + iy)

2

= (x

2

− y

2

) + 2ixy

Sta

‘

d

u(x, y) = x

2

− y

2

v(x, y) = 2xy .

20

Jeżeli ograniczamy sie

‘

tylko do pewnego podzbioru płaszczyzny zespo-

lonej D ⊂ C, z której działa funkcja to D nazywamy dziedzina

‘

funkcji f .

Wtedy

R = f (D)

(3.3)

to obraz dziedziny poprzez funkcje

‘

f . Zwykle staramy sie

‘

określić funkcje

‘

na całej płaszczyźnie zespolonej z wyja

‘

tkiem punktów, w których wartość

funkcji jest nieskończona lub nieokreślona. Na przykład

f (z) =

1

1 + z

(3.4)

jest nieskończona w punkcie z = −1.

Przykład:
Funkcja w = z

2

z dziedzina

‘

D

D = {z = (x,y); x ­ 0, y ­ 0}

odwzorowuje pierwsza

‘

ćwiartke

‘

płaszczyzny zespolonej w górna

‘

pół-

płaszczyzne

‘

R = {w = (u,v); −∞ < u < ∞, v ­ 0}.

3.2

Pot¸

ega całkowita liczby zespolonej

Liczbe

‘

zespolona

‘

można podnieść do pote

‘

gi całkowitej n, korzystaja

‘

c ze

wzoru

z

n

= (re

iφ

)

n

= r

n

e

inφ

(3.5)

Otrzymujemy w ten sposób funkcje

‘

pote

‘

gowa

‘

o wykładniku natutalnym

f (z) = z

n

(3.6)

Dla z = e

iφ

otrzymujemy wzór de Moivre’a

(cos φ + i sin φ)

n

= cos(nφ) + i sin(nφ)

(3.7)

Możemy przy jego pomocy wyprowadzić wzory trygonometryczne na wielo-
krotność ka

‘

ta, na przykład

(cos φ + i sin φ)

2

= (cos

2

φ − sin

2

φ) + i (2 sin φ cos φ) = cos(2φ) + i sin(2φ)

i sta

‘

d

cos(2φ) = cos

2

φ − sin

2

φ

(3.8)

sin(2φ) = 2 sin φ cos φ .

(3.9)

21

Przykład:
Policzmy

(1 + i)

100

= (

√

2 e

iπ/4

)

100

= (

√

2)

100

(e

iπ/4

)

100

= 2

50

e

25πi

= −2

50

.

3.3

Pierwiastki liczby zespolonej

Zdefiniujemy n-ty pierwiastek liczby zespolonej korzystaja

‘

c ze wzoru

n

√

z = z

1/n

=



r e

iφ



1/n

=



r e

i(φ+2πk)



1/n

(3.10)

gdzie k ∈ Z. Sta

‘

d ostateczny wzór

n

√

z = r

1/n

exp



i (φ + 2πk)

n



(3.11)

Dla k = 0, 1, . . . , (n −1) otrzymujemy n różnych pierwiastków. Sta

‘

d funk-

cja

f (z) =

n

√

z

(3.12)

jest wielowartościowa, tzn. tej samej wartości z odpowiada n różnych
wartości pierwiastka.

Przykład
Obliczmy trzeci pierwiastek z jedynki

3

√

1 = e

2πk i/3

,

k = 0, 1, 2

(3.13)

i sta

‘

d trzy pierwiastki

z

1

= 1

z

2

= e

2π i/3

= −

1
2

+

√

3

2

i

z

3

= e

4π i/3

= −

1
2

−

√

3

2

i .

(3.14)

22

3.4

Funkcje trygonometryczne

Z równań

e

iy

= cos y + i sin y

(3.15)

e

−iy

= cos y − i sin y

(3.16)

wyliczymy cosinus i sinus zmiennej rzeczywistej y

cos y =

e

iy

+ e

−iy

2

,

sin y =

e

iy

− e

−iy

2i

.

(3.17)

Zaste

‘

puja

‘

c y zmienna

‘

zespolona

‘

z, otrzymujemy jako definicje

cos z =

e

iz

+ e

−iz

2

sin z =

e

iz

− e

−iz

2i

(3.18)

Funkcje te sa

‘

określone na całej płaszczyźnie zespolonej. W przeciwieństwie

do argumentu zespolonego moduł zespolonych funkcji trygonometrycznych
nie jest ograniczony

, gdyż dla y → ± ∞ znajdujemy

|cos(iy)| =











e

i(iy)

+ e

−i(iy)

2











=

e

−y

+ e

y

2

→ ∞.

Funkcje tangens i cotangens zdefiniowane sa

‘

w naste

‘

puja

‘

cy sposób

tg z =

sin z

cos z

,

ctg z =

cos z

sin z

.

(3.19)

Łatwo udowodnić, że dla argumentu zepolonego wcia

‘

ż słuszna jest toż-

samość

cos

2

z + sin

2

z = 1 .

(3.20)

Ponadto, cosinus jest funkcja

‘

parzysta

‘

, natomiast sinus nieparzysta

‘

cos(−z) = cos z ,

sin(−z) = −sin(z).

(3.21)

Przykład
Policzmy

cos(5i) =

1
2

(e

−5

+ e

5

) .

23

3.5

Funkcje hiperboliczne

Definiuje sie

‘

funkcje hiperboliczne określone na całej płaszczyźnie zespolonej

cosh z =

e

z

+ e

−z

2

sinh z =

e

z

− e

−z

2

.

(3.22)

Zachodzi dla nich

cosh

2

z − sinh

2

z = 1 .

(3.23)

Podobnie jak dla funkcji trygonometrycznych, cosh jest funkcja

‘

parzysta

‘

,

natomiast sinh jest funkcja

‘

nieparzysta

‘

:

cosh(−z) = cosh z

(3.24)

sinh(−z) = −sinhz .

(3.25)

W analogii do funkcji trygonometrycznych defniujemy również tangens

i cotangens hiperboliczny

tgh z =

sinh z

cosh z

,

ctgh z =

cosh z

sinh z

.

(3.26)

Przykład
Policzmy

cosh(iπ) =

e

iπ

+ e

−iπ

2

= cos π = 1

sinh(iπ) =

e

iπ

− e

−iπ

2

= i sin π = 0 .

Przykład ten ilustruje prosty zwia

‘

zek pomie

‘

dzy funkcjami hiperbolicz-

nymi i trygonometrycznymi

cosh(iz) = cos z

sinh(iz) = i sin z .

(3.27)

24

3.6

Logarytm zmiennej zespolonej

Logarytm zmiennej zespolonej z 6= 0 definiuje sie

‘

jako funkcje

‘

odwrotna

‘

do

funkcji wykładniczej,

w = ln z ,

<=>

e

w

= z

(3.28)

Sta

‘

d wynika

e

ln z

= z

(3.29)

Ze wzgle

‘

du na okresowość funkcji wykładniczej

e

w

= e

w+2πk i

(3.30)

logarytm jest funkcja

‘

wieloznaczna

‘

dla k ∈ Z. Tej samej wartości z odpo-

wiada wie

‘

c nieskończenie wiele wartości logarytmu

ln z = w + 2πk i .

(3.31)

Dla postaci biegunowej z = |z|e

iφ

otrzymujemy

ln z = ln |z| + i(φ + 2πk)

(3.32)

gdyż

e

ln z

= e

ln |z| + i(φ + 2πk)

= e

ln |z|

e

i(φ + 2πk)

= |z|e

iφ

= z .

Wartości logarytmu dla ustalonego n nazywamy gałe

‘

zia

‘

logarytmu

.

Przykład

ln 1 = ln |1| + i(0 + 2πn) = 2πni

ln(−1) = ln| − 1| + i(π + 2πn) = iπ + 2πni

ln(i) = ln e

iπ/2

= ln |e

iπ/2

| + i(π/2 + 2πn) = i(π/2 + 2πni)

ln(1 + i) = ln



√

2 e

iπ/4



= ln

√

2 + i (π/4 + 2πn i) .

25

Logarytm jest określony na całej płaszczyźnie zespolonej z wyja

‘

tkiem

dowolnej półprostej o pocza

‘

tku w punkcie z = 0 zwanej cie

‘

ciem

. Zwykle

wybiera sie

‘

ja

‘

wzdłuż ujemnej półosi rzeczywistej. Wtedy gała

‘

ź główna lo-

garytmu jest zdefiniowana dla ka

‘

ta

−π < φ ¬ π .

(3.33)

Wartość logarytmu wykazuje skok przy przejściu przez cie

‘

cie. Tak wie

‘

c dla

liczb rzeczywistych mniejszych od zera mamy tuż powyżej cie

‘

cia

ln z = ln |z| + iπ ,

(3.34)

a wykonuja

‘

c pełny obrót zgodnie z ruchem wskazówek zegara, otrzymujemy

tuż poniżej cie

‘

cia

ln z = ln |z| − iπ .

Nie można wie

‘

c określić jednoznacznie wartości funkcji wzdłuż cie

‘

cia. Mo-

żemy natomiast rozważyć sytuacje

‘

, w której po wykonaniu pełnego obrotu

przechodzimy na inny płat Riemanna płaszczyzny zespolonej. Logarytm
jest wtedy funkcja

‘

jednoznaczna

‘

, określona

‘

na nieskończonej rodzinie takich

płatów.

Pocza

‘

tek cie

‘

cia w punkcie z = 0 nazywamy punktem rozgałe

‘

zienia

.

Przy jego obiegu wartość funkcji nie wraca do wartości wyjściowej wykazuja

‘

c

niecia

‘

głość (skok).

1. Z definicji logarytmu i własności eksponenty otrzymujemy

e

ln(z

1

·z

2

)

= z

1

· z

2

= e

ln z

1

e

ln z

2

= e

ln z

1

+ ln z

2

.

Tak wec logarytm iloczynu to suma logarytmów z dokładnościa

‘

do

czynnika 2πk i

ln(z

1

· z

2

) = ln z

1

+ ln z

1

+ 2πk i

(3.35)

2. Podobnie, ze wzgle

‘

du na

e

ln(z

1

/z

2

)

=

z

1

z

2

=

e

ln z

1

e

ln z

2

= e

ln z

1

− ln z

2

,

otrzymujemy

ln



z

1

z

2



= ln z

1

− lnz

1

+ 2πk i

(3.36)

26

3. Policzmy jeszcze dla całkowitego n

e

ln(z

n

)

= z

n

=



e

ln z



n

= e

n ln z

i sta

‘

d

ln(z

n

) = n ln z + 2πk i

(3.37)

3.7

Pot¸

ega zespolona

Operacje

‘

podnoszenia do zespolonej pote

‘

gi w przy zespolonej podstawie

z 6= 0 definiujemy w naste

‘

puja

‘

cy sposób

z

w

= e

w ln z

(3.38)

W wyniku funkcja

f (z) = z

w

(3.39)

jest wielowartościowa

‘

ze wzgle

‘

du na wyste

‘

puja

‘

cy w definicji logarytm. W

zwia

‘

zku z tym nie sa

‘

ogólnie słuszne

relacje znane z przypadku rzeczy-

wistego

z

w

z

u

6= z

w+u

(z

1

z

2

)

w

6= z

w

1

z

w

2

(z

w

)

u

6= z

wu

.

(3.40)

Przykład

1. Policzmy

1

i

= e

i ln 1

= e

i{(0+2πni)}

= e

−2πn

.

(3.41)

Otrzymaliśmy nieskończenie wiele wartości dla n ∈ Z. Dla

i

1/2

= e

(ln i)/2

= e

i(π/2+2πn)/2

= e

iπ/4

e

iπn

= ±

1

√

2

(1 + i)

mamy tylko dwie wartości.

2. Korzystaja

‘

c z wyniku (3.41) znajdujemy

(1

i

)

i

=



e

−2πn



i

= e

i ln e

−

2πn

= e

i {−2πn+2πk i}

= e

−2πn i−2πk

,

gdzie k, n ∈ Z. Podczas, gdy

1

i·i

= 1

−1

= e

− ln 1

= e

−2πni

6= (1

i

)

i

.

27