Paradoks Żukowskiego

„Na każde ciała zanurzone w cieczy działa siłą ......... „. Przytoczona definicja brzmi znajomo,
nic dziwnego skoro już w szkole podstawowej była prezentowana przy okazji nauczania o
wyporze. Wypór utożsamiamy ze składową pionową parcia a ponadto obydwie wielkości
liczymy korzystając z tego samego wzoru W = P

y

= γ V

b

. Potrafimy nie tylko wskazać kierunek

działania tych sił ale także obliczyć ich wartość. Skoro tak to rozważmy rozkład sił działających
na płaszczyznę walca znajdującego się w bocznej ścianie zbiornika.

1. Zadanie

W

poziomej

ściance

zbiornika,

wypełnionego cieczą o ciężarze właściwym
γ, znajduje się prostokątny otwór, w który
wstawiono walec o średnicy D i tworzącej
równej L (Rys.1). Walec może obracać się
wokół

centralnej

osi

O,

leżącej

na

głębokości H.
Udowodnić, że wypadkowy napór hydrosta-
tyczny nie wywołuje momentu obrotowego
walca (paradoks Żukowskiego).

Rys. 1. Schemat obliczeniowy

2. Rozwiązanie

Wypadkowy napór hydrostatyczny (Parcie) nie będzie wywoływał momentu obrotowego,

gdy ramię działania parcia będzie wynosiło zero. Przypadek będzie miał miejsce wtedy, gdy
kierunek działania wypadkowej parcia będzie przechodził przez punkt O. W takim przypadku kąt
nachylenia wypadkowej parcia do poziomu α oraz kąt β wynikający z funkcji trygonometrycznej
powinny mieć taką samą wartość.

W celu oszacowania wartości naporu hydrostatycznego (parcia) określimy składowe siły P

x

i P

y

oraz określimy współrzędne kierunków działania składowych parcia i punku przyłożenia
wypadkowej parcia. Obliczenia wykonamy na oznaczeniach, bez podstawiania wartości
liczbowych do wzoru.

1. Składowa pozioma P

x

:

x

s

x

A

h

P

⋅

⋅

=

γ

,

L

D

A

H

h

x

s

⋅

=

=

L

D

H

P

x

⋅

⋅

⋅

=

γ

- kierunek działania wektora P

x

leży na głębokości:

x

s

s

c

A

h

J

h

h

ξ

+

=

→

H

D

H

L

D

H

D

L

H

L

D

H

D

L

H

h

c

⋅

+

⋅

=

⋅

⋅

⋅

⋅

+

=

⋅

⋅

⋅

+

=

12

12

12

12

2

2

3

3

2. Składowa pionowa P

y

- w przyjętym układzie współrzędnych gdzie zwrot osi pionowej

skierowany jest w dół, składowa P

y

zwrócona jest przeciwnie:

)

(

2

1

V

V

V

P

b

y

−

⋅

−

=

⋅

−

=

γ

γ

gdzie: V

1

- objętość zakreskowana linią poziomą, V

2

- zakreskowana. linią pionową.

L

D

V

V

V

z

⋅

⋅

−

=

−

=

8

2

2

1

π

L

D

P

y

⋅

⋅

⋅

−

=

8

2

π

γ

-

linia działania składowej P

y

przechodzi przez środek ciężkości objętości bryły parcia V

z

π

3

2D

x

c

−

=

Rys. 2. Schemat działania sił a) składowych parcia, b) wypadkowej parcia

3. Napór całkowity (wypadkowa parcia) P:

2

y

2

P

P

P

x

+

=

→

(

)

L

8

2

2

2













⋅

⋅

−

+

⋅

⋅

⋅

=

D

L

D

H

P

π

γ

γ

2

2

H

64

D

L

8

1

D

P

⋅

+

⋅

⋅

⋅

=

π

γ

-

kierunek działania wypadkowej parcia P tworzy z poziomem kąt α;

x

y

P

P

tg

=

α

H

D

L

D

H

L

D

tg

⋅

⋅

−

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

−

=

8

8

2

π

γ

π

γ

α

Z rysunku wynika zależność trygonometryczna

s

c

h

h

OK

−

=

π

D

x

CK

c

3

2

−

=

=

H

D

H

H

H

OK

⋅

=

−

⋅

+

⋅

=

12

12

D

12

2

2

2

π

D

x

CK

c

3

2

−

=

=

po podstawieniu powyższych zależności
otrzymamy

H

D

D

H

D

D

H

D

tg

⋅

⋅

−

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

−

=

⋅

⋅

−

⋅

=

8

2

12

3

3

2

12

2

2

π

π

π

β

Rys. 3. Schemat działania sił składowych parcia

3. Dyskusja wyników

Z przeprowadzonej analizy wynika, że

β

α

tg

tg

=

wobec tego kierunek działania wypadkowej
parcia przecina oś obrotu walca (punkt O).
W związku z tym, moment pochodzący od
naporu hydrostatycznego (liczony jako siła
razy ramię siły), względem osi obrotu, jest
równy zeru.

Rys. 4. Schemat działania sił składowych parcia

Literatura:

Burka E.S, Nałęcz T.J., 1994, Mechanika płynów w przykładach, Wyd. Nauk. PWN, Warszawa,
Błażejewski R., 1991, 100 prostych ćwiczeń z wodą i powietrzem, Wyd. Nauk.-Techn., Warszawa

Katedra Inżynierii Wodnej, Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji, Uniwersytet Rolniczy w
Krakowie

[e-mail]

P

y

P

x

P

β

α