Paradoks Żukowskiego
„Na każde ciała zanurzone w cieczy działa siłą ......... „. Przytoczona definicja brzmi znajomo,
nic dziwnego skoro już w szkole podstawowej była prezentowana przy okazji nauczania o
wyporze. Wypór utożsamiamy ze składową pionową parcia a ponadto obydwie wielkości
liczymy korzystając z tego samego wzoru W = P
y
= γ V
b
. Potrafimy nie tylko wskazać kierunek
działania tych sił ale także obliczyć ich wartość. Skoro tak to rozważmy rozkład sił działających
na płaszczyznę walca znajdującego się w bocznej ścianie zbiornika.
1. Zadanie
W
poziomej
ściance
zbiornika,
wypełnionego cieczą o ciężarze właściwym
γ, znajduje się prostokątny otwór, w który
wstawiono walec o średnicy D i tworzącej
równej L (Rys.1). Walec może obracać się
wokół
centralnej
osi
O,
leżącej
na
głębokości H.
Udowodnić, że wypadkowy napór hydrosta-
tyczny nie wywołuje momentu obrotowego
walca (paradoks Żukowskiego).
Rys. 1. Schemat obliczeniowy
2. Rozwiązanie
Wypadkowy napór hydrostatyczny (Parcie) nie będzie wywoływał momentu obrotowego,
gdy ramię działania parcia będzie wynosiło zero. Przypadek będzie miał miejsce wtedy, gdy
kierunek działania wypadkowej parcia będzie przechodził przez punkt O. W takim przypadku kąt
nachylenia wypadkowej parcia do poziomu α oraz kąt β wynikający z funkcji trygonometrycznej
powinny mieć taką samą wartość.
W celu oszacowania wartości naporu hydrostatycznego (parcia) określimy składowe siły P
x
i P
y
oraz określimy współrzędne kierunków działania składowych parcia i punku przyłożenia
wypadkowej parcia. Obliczenia wykonamy na oznaczeniach, bez podstawiania wartości
liczbowych do wzoru.
1. Składowa pozioma P
x
:
x
s
x
A
h
P
⋅
⋅
=
γ
,
L
D
A
H
h
x
s
⋅
=
=
L
D
H
P
x
⋅
⋅
⋅
=
γ
- kierunek działania wektora P
x
leży na głębokości:
x
s
s
c
A
h
J
h
h
ξ
+
=
→
H
D
H
L
D
H
D
L
H
L
D
H
D
L
H
h
c
⋅
+
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
=
⋅
⋅
⋅
+
=
12
12
12
12
2
2
3
3
2. Składowa pionowa P
y
- w przyjętym układzie współrzędnych gdzie zwrot osi pionowej
skierowany jest w dół, składowa P
y
zwrócona jest przeciwnie:
