Data wykonania: 26.10.2012

Anna Kempa

Mateusz Baranowicz

Konrad Ostrowski

Urszula Kowalska

Adam Młynarczyk

Grupa 2

Zespół 3

SPRAWOZDANIE

PARCIE HYDROSTATYCZNE

1. Cel i zakres ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest określenie wartości parcia hydrostatycznego oraz ramię siły parcia hydrostatycznego metodą doświadczalną, dla następujących wariantów napełnień:

1. Wariant I – zbiornik napełniony cieczą, pływak pusty

2. Wariant II – zbiornik pusty, pływak napełniony cieczą

3. Wariant III – zbiornik i pływak napełnione wodą

1. Wprowadzenie teoretyczne

Parcie hydrostatyczne (P) - to siła powierzchniowa, z jaką ciecz znajdująca się w stanie spoczynku oddziałuje na ścianę zbiornika lub powierzchnię w nim umieszczoną. Parcie hydrostatyczne, jako wypadkowa parć elementarnych prostopadłych do elementów powierzchni A, skierowane jest normalnie do tej płaszczyzny. Wartość parcia hydrostatycznego można określić dwoma następującymi metodami:

• Metoda rachunkowa – stosuje się ją zwykle w przypadkach, gdy łatwo jest określić środek ciężkości powierzchni, na którą działa ciecz.

P = γ * h_S * A

gdzie: P - parcie hydrostatyczne

γ - ciężar objętościowy cieczy

h_S - zagłębienie środka ciężkości powierzchni, na którą działa ciecz, pod jej swobodną powierzchnią

A - pole powierzchni, na którą działa ciecz

• Metoda rachunkowo – wykreślna - metoda ta wymaga sporządzenia wykresu parcia i obliczenia objętości bryły parcia; umożliwia wyznaczenie położenia wektora parcia, który przechodzi przez środek ciężkości bryły parcia

P = γ * V

gdzie: V - objętość bryły parcia hydrostatycznego

Dla ścian pionowych lub nachylonych środek parcia znajduje się zawsze poniżej środka ciężkości ściany. W przypadku ścian symetrycznych względem osi pionowej, odległość między zagłębieniem środka ciężkości ściany h_S a zagłębieniem środka parcia h_P wyraża zależność:

$$\mathrm{h}_{\mathrm{P}}\mathrm{=}\mathrm{h}_{\mathrm{S}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{0}}}{\mathrm{h}_{\mathrm{S}}\mathrm{*A}}$$

I₀ - moment bezwładności ściany

1. Opis stanowiska pomiarowego

Schemat modelu do określania parcia hydrostatycznego:

Dane:

• a = 0,34 m

• b = 0,44 m

• R₁ = 0,2 m

• R₂ = 0,3 m

• R_o = 0,375 m – rzędna osi obrotu nad dnem

• A = 100 cm² – pole przekroju poprzecznego

T_w = 23C

• Gęstość wody dla tej temperatury

$$\rho = 997,54\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

• Grubości ścianek pływaka x = 0,004 m; y = 0,007 m

• Długość zewnętrzna ściany pływaka z = 0,1m

• i=0,086 m – długość wewnętrzna pierwszej ściany pływaka

• j=0,092 m - długość wewnętrzna drugiej ściany pływak

1. Pomiary

Ćwiczenie wykonano według następujących wariantów:

1. Wariant I – zbiornik napełniony cieczą, pływak pusty

2. Wariant II – zbiornik pusty, pływak napełniony cieczą

3. Wariant III – zbiornik i pływak napełnione wodą

Numer wariantu	Poziom wody [m]	Masa [kg]
Wariant I	0,130	0,075
	0,145	0,125
	0,195	0,370
Wariant II	0,130	0,090
	0,145	0,140
	0,195	0,420
Wariant III	0,130	0,015
	0,145	0,020
	0,195	0,060

1. Obliczenia

• Obliczenie parcia metodą analityczną:

Wartość parcia hydrostatycznego wyznaczono ze wzoru:

P = γ * h_S * A

1. Do policzenia zagłębienia środka ciężkości powierzchni, na którą działa ciecz wykorzystaliśmy następującą zależność:

$$h_{S} = H - \ \frac{{H - (R}_{0} - R_{2})}{2} - (R_{0} - R_{2})$$

Obliczenia wykonujemy dla H=0,13 m

$$h_{S} = 0,13m - \frac{0,13m - \left( 0,375m - 0,30m \right)}{2} - \left( 0,375m - 0,30m \right) = 0,0275m$$

Wzór na środek ciężkości dla H=0,195 m będzie wyglądał następująco:

$$h_{S} = H - \ \frac{z}{2} - \left( R_{0} - R_{2} \right) = 0,195m - \ \frac{0,1m}{2} - \ \left( 0,375m - 0,30m \right) = 0,070m$$

Analogicznie wyliczamy dla pozostałych wariantów:

Poziom wody [m]	Wartość hS[m]
0,130	0,0275
0,145	0,0350
0,195	0,0700

1. Do obliczenia parcia hydrostatycznego potrzebujemy również wyznaczyć pole powierzchni A, na którą działa ciecz dla poszczególnych wariantów.

Dla poszczególnych wariantów wzór na A będzie wyglądał następująco:

Wariant I A₁ = (H−(R₀−R₂)) * z      (dla  0, 195m A₁ = z²)

Wariant II A₂ = (z−2*y) * (H−x−(R₀−R₂))     (dla 0, 195m A₂ = i * j)

Wariant III A₃ = A₁ − A₂

gdzie: z=0,1 m – bok ścianki pływaka

x=0,004 m – grubość pierwszej ścianki

y=0,007 m – grubość drugiej ścianki

i=0,086 m – długość wewnętrzna pierwszej ściany pływaka

j=0,092 m - długość wewnętrzna drugiej ściany pływaka

Przykładowe obliczenie dla Wariantu I, gdzie H=0,13 m

A₁ = (0,13−(0,375−0,3)) * 0, 1 = 0, 0055 m²

Obliczone wartości A dla pozostałych wariantów:

Numer wariantu	Poziom wody [m]	Pole A [m^2]
Wariant I	0,130	0,0055
	0,145	0,0070
	0,195	0,0100
Wariant II	0,130	0,00439
	0,145	0,00568
	0,195	0,007912
Wariant III	0,130	0,00111
	0,145	0,00132
	0,195	0,002088

Liczymy wartość parcia metodą analityczną:

$$P = \gamma*h_{S}*A = 9785,87\frac{N}{m^{3}}*0,0275m*0,0055m^{2} = 1,4801N$$

Pozostałe wyniki przedstawiono w tabeli:

Numer wariantu	Poziom wody [m]	Parcie hydrostatyczne [N]
Wariant I	0,130	1,4801
	0,145	2,3975
	0,195	6,8501
Wariant II	0,130	1,1814
	0,145	1,9454
	0,195	5,4198
Wariant III	0,130	0,2987
	0,145	0,4521
	0,195	1,4303

• Obliczenie ramienia siły parcia metodą analityczną:

Wartość ramienia siły parcia policzono z następującego wzoru:

$$c = h_{S} + \frac{I_{0}}{h_{S}*A} + (R_{0} - H)$$

gdzie: d - wzniesienie osi obrotu wagi nad zwierciadło wody w zbiorniku lub pływaku

1. Obliczenia momentu bezwładności

$$\text{Wariant\ I\ \ \ \ \ \ \ }I_{0} = \ \frac{z*{(H - \left( R_{0} - R_{2} \right))}^{3}}{12}\ \ \ \ \ \ (dla\ 0,195m\ \ I_{0} = \ \frac{z^{4}}{12}\ )$$

$$\text{Wariant\ II\ \ \ \ \ }I_{0} = \ \frac{i*{(H - \left( R_{0} - R_{2} \right) + x)}^{3}}{12}\ \ \ \ \ (dla\ 0,195m\ I_{0} = \ \frac{i*j^{3}}{12})$$

$$\text{Wariant}\text{\ III\ \ \ \ I}_{0} = \ \frac{z*\left( H - \left( R_{0} - R_{2} \right) \right)^{3} - i*{\left( H - {(R}_{0} - R_{2} \right) + x)}^{3}\ }{12}\ \ (dla\ 0,195m\text{\ \ I}_{0} = = \ \frac{z^{4} - \text{ij}^{3}}{12})$$

Przykładowe obliczenie dla Wariantu I, gdzie H=0,13m

$$I_{0} = \ \frac{0,1*{(0,13 - 0,075)}^{3}}{12} = 1,386*10^{- 6}\ {\lbrack m}^{4}\rbrack$$

Tabela momentów bezwładności ściany dla poszczególnych wariantów:

Numer wariantu	Poziom wody [m]	Moment bezwładności [m^4]
Wariant I	0,130	1, 386 * 10^−6
	0,145	2, 858 * 10^−6
	0,195	8, 333 * 10^−6
Wariant II	0,130	9, 507 * 10^−7
	0,145	2, 060 * 10^−6
	0,195	5, 581 * 10^−6
Wariant III	0,130	4, 353 * 10^−7
	0,145	7, 980 * 10^−7
	0,195	2, 752 * 10^−6

Obliczenie ramienia siły parcia dla wariantu I, gdzie H = 0, 13 m:

$$c = 0,0275m + \frac{1,386*10^{- 6}m^{4}}{0,0275m*0,0055m^{2}} + (0,375m - 0,13m) = 0,2817m$$

Dla pozostałych wariantów i poziomu wody wyniki przedstawiono w tabeli:

Numer wariantu	Poziom wody [m]	Ramie siły parcia [m]
Wariant I	0,130	0,2817
	0,145	0,2662
	0,195	0,2619
Wariant II	0,130	0,2804
	0,145	0,2660
	0,195	0,2601
Wariant III	0,130	0,2868
	0,145	0,2823
	0,195	0,2688

• Doświadczalnie wyznaczona wielkość siły parcia:

Do obliczenia wartości siły parcia na podstawie pomiarów posłużono się następującym wzorem:

$$P = \frac{G*a(lub\ b)}{c}$$

Gdzie: G = m * g- obciążenie szalki

a(lub b) – długość ramienia wagi

Obliczenia dla wariantu I oraz H = 0, 13 m:

$$P = \frac{0,075kg*9,81\frac{N}{\text{kg}}*0,44m}{0,2817m} = 1,1492N$$

Tabela dla pozostałych wyników:

Numer wariantu	Poziom wody [m]	Parcie [N]
Wariant I	0,130	1,1492
	0,145	2,0269
	0,195	6,0980
Wariant II	0,130	1,0706
	0,145	1,7555
	0,195	5,3859
Wariant III	0,130	0,2258
	0,145	0,3058
	0,195	0,9635

• Doświadczalnie wyznaczone ramię siły parcia:

Doświadczalną wartość ramienia siły parcia obliczamy z następującego wzoru:

$$c = \frac{G*a(lub\ b)}{P}$$

Gdzie P = γ * h_S * A - wartość siły parcia liczona metodą analityczną

Obliczenia wykonujemy dla wariantu I oraz H = 0, 13 m:

$$c = \frac{0,075kg*9,81\frac{\text{kg}}{m^{3}}*0,44m}{1,4801N} = 0,2187m$$

Reszta wyników została przedstawiona w tabeli:

Numer wariantu	Poziom wody [m]	Ramie siły parcia [m]
Wariant I	0,130	0,2187
	0,145	0,2251
	0,195	0,2331
Wariant II	0,130	0,2541
	0,145	0,2400
	0,195	0,2585
Wariant III	0,130	0,2168
	0,145	0,1910
	0,195	0,1811

• Obliczanie siły parcia metodą rachunkowo - wykreślną:

W celu obliczenia siły parcia metodą rachunkowo-wykreślną narysowano wykresy parcia i wyznaczono parcie jako objętość bryły parcia. Do obliczeń posłużono się następującym wzorem:

P = γ * V

gdzie: V - objętość bryły parcia

V = P_p * h_B

gdzie: P_p-pole podstawy bryły parcia

 h_B- wysokość bryły parcia

h_B1 - wysokość bryły parcia dla Wariantu I, h_B1 = 0, 10 m

h_B2 - wysokość bryły parcia dla Wariantu II, h_B2 = 0, 086 m

h_B3 - wysokość bryły parcia dla Wariantu III, h_B3 = 0, 10 m

Podstawa bryły parcia w Wariantach I i II jest trójkątem równoramiennym więc wzór na objętość bryły parcia przyjmuje następującą postać:

$$V = \frac{f^{2}}{2}*h_{B}$$

gdzie: f - długość podstawy bryły parcia

Podstawą bryły parcia dla Wariantu III jest trapez, a więc objętość w tym przypadku liczymy jako iloczyn pola powierzchni trapezu i wysokości bryły parcia.

Przykładowe obliczenie przedstawiamy dla Wariantu I, gdzie H = 0, 13 m

$$V = \frac{{(0,055m)}^{2}}{2}*0,1m = 0,000151m^{3}$$

Pozostałe wyniki obliczeń objętości bryły parcia przedstawia tabela:

Numer wariantu	Poziom wody [m]	Objętość bryły parcia[m^3]
Wariant I	0,130	0,000151
	0,145	0,000245
	0,195	0,000720
Wariant II	0,130	0,000112
	0,145	0,000187
	0,195	0,000579
Wariant III	0,130	0,000039
	0,145	0,000058
	0,195	0,000141

Obliczenia wartości parcia dla Wariantu I, gdzie H = 0, 13 m

$$P = 9785,87\frac{N}{m^{3}}*0,000151m^{3} = 1,478N$$

Tabela pozostałych pomiarów

Numer wariantu	Poziom wody [m]	Parcie [N]
Wariant I	0,130	1,4777
	0,145	2,3975
	0,195	7,0458
Wariant II	0,130	1,0960
	0,145	1,8300
	0,195	5,6660
Wariant III	0,130	0,3816
	0,145	0,5676
	0,195	1,3798

• ZESTAWIENIE WYNIKÓW

Poziom wody [m]	Wariant I	Wariant II	Wariant III
Wartości parcia wyznaczone metodą analityczną [N]
0,130 [m]	1,4801	1,1814	0,2987
0,145 [m]	2,3975	1,9454	0,4521
0,195 [m]	6,8501	5,4198	1,4303
Wartości ramienia siły parcia wyznaczone metodą analityczną [m]
0,130 [m]	0,2817	0,2804	0,2868
0,145 [m]	0,2662	0,2660	0,2823
0,195 [m]	0,2619	0,2601	0,2688
Wartości parcia wyznaczone metodą rachunkowo-wykreślną [N]
0,130 [m]	1,4777	1,0960	0,3816
0,145 [m]	2,3975	1,8300	0,5676
0,195 [m]	7,0458	5,6660	1,3798
Wartość parcia wyznaczone na podstawie dokonanych pomiarów [N]
0,130 [m]	1,1492	1,0706	0,2258
0,145 [m]	2,0269	1,7555	0,3058
0,195 [m]	6,0980	5,3859	0,9635
Wartość ramienia siły parcia wyznaczone na podstawie dokonanych pomiarów [m]
0,130 [m]	0,2187	0,2541	0,2168
0,145 [m]	0,2251	0,2400	0,1910
0,195 [m]	0,2331	0,2585	0,1811

1. Błędy pomiarowe

Niepewność wzorcowa dla linijki, którą się posługiwano wynosi:

H = 0, 001m

Kolejną wielkością, obarczoną błędem pomiaru było h_s – zagłębienie środka ciężkości. Niepewność tego pomiaru obliczamy korzystając z metody różniczki zupełnej:

$$\left( h_{s} \right) = \left| \frac{dh_{s}}{\text{dH}}*H \right| = \left| \frac{d\left( H - \frac{H - \left( R_{0} - R_{2} \right)}{2} - \left( R_{0} - R_{2} \right) \right)}{\text{dH}}*H \right| = \left| \frac{1}{2}*H \right|$$

(h_s) = |0,5*0,001m| = 0, 0005m

Wielkości pozostałe użyte w naszym doświadczeniu zostały pobrane z opisu załączonego do instrukcji ćwiczenia lub tablic, dlatego uznano je za pewne i nie liczymy dla nich błędów. Błędy wielkości parcia oraz ramienia siły zależą jedynie od pomiarów wysokości słupa cieczy. Niepewność ta jest niewielka, więc uznano że jej wpływ na wynik doświadczenia jest znikomy i nie liczono błędów wyznaczanych wielkości. Stwierdzono, że na niepewności pomiarów większy wpływ miały:

• Niedokładne wypoziomowanie zbiornika

• Niedokładność wskazań wagi

• Niedokładne masy odważników

• Błędy odczytu

1. Wnioski

Na podstawie obserwacji dokonanych podczas przeprowadzonych doświadczeń i wykonanych obliczeń, możemy stwierdzić, iż otrzymane wyniki są zgodne z oczekiwanymi.

• Wraz ze wzrostem napełnienia zbiornika (lub pływaka) wodą wzrasta siła parcia, co potwierdza, że parcie jest siłą powierzchniową (wartość siły parcia jest proporcjonalna do powierzchni na którą oddziałuje)

• Kolejnym zaobserwowanym zjawiskiem, w trakcie wykonywania trzeciego wariantu, jest znoszenie się sił parcia, co jest przykładem na znoszenie się pary sił o takiej samej wartości, przeciwnym zwrocie oraz działającej wzdłuż zadanej osi.

• Ponadto największe parcie zanotowano dla wariantu pierwszego, podczas którego parcie oddziaływało na największa powierzchnię.

• Zgodnie z założeniem powierzchniowego charakteru siły parcia, obliczając różnicę wartości pomiędzy wynikami z wariantu pierwszego oraz wariantu drugiego otrzymano parcie obliczone w wariancie trzecim.

• Rozbieżności występujące w wartościach ramienia oraz siły parcia są spowodowane przez: niedokładne wypoziomowaniem zbiornika, błąd w wytarowaniu wagi oraz niedokładne odczyty obserwatorów.