Parcie na powierzchnie zakrzywioną

Reakcję pomiędzy cieczą a ściankami naczynia w którym ciecz się znajduje nazywana jest

parciem. Parcie jest to siła [N]. Znajomość wartości parcia jest nieodzownym elementem
budownictwa wodnego, budownictwa ziemnego, budowy statków, ...

Metoda obliczania wartości parcia na powierzchnie płaskie różnie się od metody obliczania

parcia na powierzchnie zakrzywione dlatego pomimo wspólnych podstaw fizycznych muszą być
omawiane oddzielnie.
Parcie na powierzchnie zakrzywione rozkładamy na dwie składowe: poziomą, którą oznaczamy P

x

oraz pionową P

y

. Żeby to było możliwe ściankę zakrzywioną rzutujemy na płaszczyznę prostopadłą

do zwierciadła wody. W wyniku tej operacji otrzymujemy płaski obraz ścianki, na którą obliczamy
parcie.

1. Wprowadzenie

Przykładowy rozkład sił parcia na składowe
P

x

i P

y

działającego na ściankę zakrzywioną

przestawiono na rys. 1.

Rys. 1. Schemat działania składowych siły parcia

Wartość

wypadkowego

parcia

P na

powierzchnie zakrzywione obliczamy ze
wzoru:

2

2

y

x

P

P

P

+

=

(1)

gdzie: Px – składowa pozioma parcia [N],

Py – pionowa składowa parcia [N],

Sposób obliczania poszczególnych składowych parcia przedstawia się następująco;

Składowa pozioma P

x

– ściankę zakrzywioną

rzutujemy

na

płaszczyznę

pionową

–

prostopadłą do zwierciadła wody. W wyniku
tej operacji otrzymujemy płaski obraz ścianki
(Rys. 2).
Zarówno wzory na obliczenie składowej
poziomej Px jak i sama procedura obliczania
są takie jak w przypadku obliczania parcia na
ścianki płaskie P

x

=γFh. Wykorzystanie tego

wzoru nie wymaga rysowania wykresu parcia.

Rys. 2. Rzut ścianki na płaszczyznę pionową - redukcja

ścianki zakrzywionej do ścianki płaskiej

W przypadku gdy kształt ścianki, na którą obliczamy parcie jest kwadratem lub prostokątem
możemy zastosować wzór P

x

=γAb. We wzorze tym A jest powierzchnią wykresu parcia dlatego

procedurę rozpoczynamy od wykonania wykresu parcia.

Składowa pionowa P

y

- wzór z którego liczymy wartość składowej pionowej ma postać:

b

y

V

P

γ

=

(2)

gdzie:

V

b

– bryła parcia; określana indywidualnie dla każdego przypadku. Bryła parcia ograniczona

jest płaszczyznami; od dołu – ścianką, od góry – zwierciadłem wody a boki są to

płaszczyzny łączące górę i dół bryły parcia i nazywane płaszczyznami tworzącymi.

Kierunek działania wypadkowej parcia – kąt pod jakim wypadkowe parcie nachylone jest do
poziomu

α

α

α

tg

arc

P

P

tg

x

y

=

⇒

=

(3)

Punkt przyłożenia wypadkowej parcia -
punkt, przez który przechodzi kierunek
działania wypadkowej parcia

P

znajduje się

na

przecięciu

kierunków

działania

składowych

P

x

i

P

y

. Wypadkowe parcie

nachylone jest do poziomu pod obliczonym
kątem

α

. Kierunki działania składowych

parcia

P

x

i

P

y

przechodzą przez środki

ciężkości brył parcia.
Określenie punktu przyłożenia wypadkowej
parcia w przypadku brył symetrycznych jest
to o wiele prostsze niż w przypadku
złożonych układów:
- ścianki niesymetryczne – trzeba określić
przesunięcie względem środka ciężkości
zarówno w pionie jak i poziomie,
- ścianki symetryczne – wystarczy określić

przesunięcie w pionie ponieważ przesunięcie
w poziomie

η

=0 (Rys.3).

Można to osiągnąć metodami analitycznymi
lub w sposób graficzny (ścianki
symetryczne).

Rys. 3. Graficzne wyznaczenie punktu przyłożenia

wypadkowej parcia

2. Przykład

Obliczyć wartość parcia oraz określić kierunek działania wypadkowej parcia na ściankę pokazaną
na rysunku 4.

Rys. 4. Schemat obliczeniowy

Obliczenia przeprowadzamy wg schematu:

P

x

,

P

y

→

P,

→

α

.

W pierwszej kolejności wykreślamy wykresy składowej poziomej i pionowej po zrzutowaniu
ścianki na płaszczyznę pionową. Wykres parcia w układzie trójwymiarowym 3D i
dwuwymiarowym 2D przedstawiono na rys. 5. Dodatkowo zaznaczono wypadkowe parcia
składowych poziomej i pionowej.

Rys. 5. Wykres parcia w układzie 3D i 2D

Zwymiarowane bryły parcia przedstawiono na rys. 6. Bryła parcia będąca wykresem składowej
poziomej ma kształt prostopadłościanu ściętego lub innymi słowami graniastosłupa o podstawie
trapezu. Składowa pionowa jest różnicą prostopadłościanu i ćwiartki walca.

Rys. 6. Wymiary brył parcia

Składową poziomą obliczymy wykorzystując wzór

b

A

P

x

γ

=

(ścianka, na którą liczymy parcie ma

kształt prostokąta):

11

2

2

4

,

4

4

,

6

=

⋅

+

=

A

m

2

,

00

280,

863

8

11

9810

=

⋅

⋅

=

x

P

N

Podstawa bryły parcia składowej pionowej jest równa

9.66

2

2

4

,

6

2

4

1

=

−

⋅

π

m

2

a bryła parcia ma

objętość

77,27

8

9.66

=

⋅

=

b

V

m

3

. Wartość składowej pionowej wynosi:

757991,81

27

,

77

9810

=

⋅

=

=

b

u

V

P

γ

N

Wypadkowa parcia ma wartość:

1148,83

99

,

757

28

,

863

2

2

2

2

=

+

=

+

=

y

x

P

P

P

kN

Kierunek działania wypadkowej parcia:

°

=

=

⇒

=

=

40

878

,

0

0,878

28

,

863

99

,

757

arc

tg

α

α

Punkt, przez który przechodzi kierunek działania wypadkowej parcia P znajduje się na przecięciu
kierunków działania składowych Px i Py. Wypadkowe parcie działa od strony wody górnej i
nachylone jest do poziomu pod obliczonym kątem

α.

Środek ciężkości s

x

, przez który przechodzi

składowa

P

x

można wyznaczyć zarówno

analitycznie i graficznie. Metodę graficzną
wyznaczania

środka

ciężkości

trapezu

opisano przy omawianiu podziału parcia na
części o jednakowej powierzchni. Wartość
rzędnej środka ciężkości wynosi (Rys. 7)
[źródło:

Kubrak

J.,

1998,

Hydraulika

techniczna, Tab. 3.1, str. 58]:

53

,

0

4

,

6

4

,

4

4

,

6

4

,

4

2

3

2

=













+

+

⋅

=

s

z

m

Rys. 7. Wyznaczenie punktu przyłożenia wypadkowej parcia

W przypadku składowej pionowej osobno
określamy środki ciężkości fragmentów
składających

się

na

bryłę

parcia:

prostopadłościanu

i

wycinka

będącego

różnicą

prostopadłościanu

o

podstawie

kwadratu i ćwiartki walca. Dla omawianego
przypadku jest to obliczenie skomplikowane
dlatego postaramy się wyznaczyć punkt
przyłożenia wypadkowej parcia z funkcji
trygonometrycznych.

Punkt

przyłożenia

wypadkowej

parcia

z = 6,4 - y.

Długość

odcinka

y

wynika

z

funkcji

trygonometrycznej:

29

,

1

40

sin

2

2

40

sin

=

°

⋅

=

⇒

=

°

y

y

m

Rys. 8. Wyznaczenie punktu przyłożenia wypadkowej parcia

Zagłębienie punktu przyżenia punktu działania wypadkowej parcia wynosi 6,4 – 1, 29 = 5,01 m

3. Odpowiedź

Na ściankę działa siła parcia wypadkowego P =1149 kN, nachylona do poziomu pod kątem

α =

40°. Punkt przyłożenia wypadkowej parcia znajduje się w połowie szerokości ścianki 8/2 = 4,0 m a
jego zagłębienie wynosi z= 5,01 m.

Literatura:

Kubrak J.,1998, Hydraulika techniczna, Wyd. SGGW, Warszawa,
Kubrak E., Kubrak J., 2004, Hydraulika techniczna, przykłady obliczeń, Wyd. SGGW, Warszawa,
Podniesiński A., 1958, Zbiór zadań z hydrauliki, PWN, Łódź.

Katedra Inżynierii Wodnej, Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji, Uniwersytet Rolniczy w
Krakowie

[e-mail]