(3924) 5zmienna losowa typu skokowego

background image

XII. Zmienna losowa typu skokowego (dyskretnego)

Zmienna losowa X jest typu skokowego (dyskretnego), jeśli przyjmuje ona tylko skończoną (lub przeliczalną)
liczbę wartości {x

1

, x

2

, x

3

,..., x

n

} (tzw. punkty skokowe), tak, że dla każdego i=1,2,...,n.) (i=1,2,....)

P(X= x

i

)= p

i

>0,

gdzie

1

1

=

=

n

i

i

p

(

1

1

=

=

i

i

p

).

Oznacza to, że zmienna losowa X przyjmuje wartość

i

x

z prawdopodobieństwem

i

p

.

Funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (funkcją prawdopodobieństwa, rozkładem prawdopodobieństwa)
zmiennej losowej X nazywamy funkcję p określoną wzorem

p(x

i

)=P(X= x

i

)

i

.

Funkcję prawdopodobieństwa P określoną na wartości x

i

oznaczamy przez p

i

, czyli p

i

=p(x

i

).

Innym sposobem określania funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest metoda tabelkowa:

i

x

1

x

2

x

n

x

i

p

1

p

2

p

n

p

Dystrybuantą zmiennej losowej skokowej X jest funkcja F określona wzorem

( )

(

)

<

<

=

<

=

x

x

i

i

p

x

X

P

x

F

,

gdzie sumowanie odbywa się po tych

i

x

, które spełniają nierówności

x

x

i

<

<

.

UWAGA!!!
Mając dany rozkład prawdopodobieństwa możemy wyznaczyć jej dystrybuantę i odwrotnie, mając daną
dystrybuantę zmiennej losowej X możemy podać rozkład prawdopodobieństwa.

Przykład
(1)

W pudełku jest 10 losów ponumerowanych od 1 do 10. Na los z numerem 1 pada główna wygrana 10,
na losy z numerami 2 i 3 wygrana pocieszenia 1, a za wyciągnięcie pozostałych płacimy 2(wygrywamy
– 2). Załóżmy, że wyciągnięcie każdego z losów jest jednakowo prawdopodobne. Doświadczenie
polega na wyciągnięciu jednego losu.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych

={1,2,...,10} i jest skończona. Określmy funkcję

R

A

X

:

X będzie zmienną losową skokową oznaczającą wygraną. gdzie A={-2,1,10}. Zauważmy, że
X(1)=10, X(2)=X(3)=1, X(4)=X(5)=...=X(10)=-2.
Określmy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X

P(X=10)=p

1

=

10

1

P(X=1)= p

2

+ p

3

=

10

2

P(X=-2)= p

4

+ p

5

+ p

6

+ p

7

+ p

8

+ p

9

+ p

10

=

10

7

Zapis tabelkowy

wartość zmiennej losowejł

-2

1

10

prawdopodobieństwo

0,7

0,2

0,1

Wyznaczmy dystrybuantę zmiennej losowej

Dla

x

-2

F(x)=P(X<x)=

<

x

x

i

i

p =0

Dla

–2<x

1

F(x)=

<

x

x

i

i

p =p

1

=0,7

1

background image

Dla

1<x

10

F(x)=

<

x

x

i

i

p =p

1

+ p

2

=0,7+0,2=0,9

Dla

x>10 F(x)=

<

x

x

i

i

p =p

1

+ p

2

+ p

3

=0,7+0,2+0,1=1

Tak więc

10

10

1

1

2

2

1

9

,

0

7

,

0

0

)

(

>

<

<




=

x

x

x

x

dla

dla

dla

dla

x

F

(2)

Niech zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa

i

x

0 1 3 6

i

p

3

1

6

1

3

1

6

1

Wówczas dystrybuantę wyliczamy w następujący sposób

dla

0

x

( )

(

)

0

=

=

<

=

<

x

x

i

i

p

x

X

P

x

F

dla

1

0

<

x

( )

3

1

1

=

=

=

<

p

p

x

F

x

x

i

i

dla

3

1

<

x

( )

2

1

6

1

3

1

2

1

=

+

=

+

=

=

<

p

p

p

x

F

x

x

i

i

dla

6

3

<

x

( )

6

5

3

1

6

1

3

1

3

2

1

=

+

+

=

+

+

=

=

<

p

p

p

p

x

F

x

x

i

i

dla

6

>

x

( )

1

6

1

3

1

6

1

3

1

4

3

2

1

=

+

+

+

=

+

+

+

=

=

<

p

p

p

p

p

x

F

x

x

i

i

Zatem możemy teraz zapisać dystrybuantę w uproszczony sposób

( )



>

<

<

<

=

6

,

1

6

3

,

6

5

3

1

,

2

1

1

0

,

3

1

0

,

0

x

x

x

x

x

x

F

lub za pomocą tabelki

x

(

]

0

,

(

]

1

,

0

(

]

3

,

1

(

]

6

,

3

(

)

+ ∞

,

6

F

0

3

1

2

1

6

5

1

Problem ten możemy teraz odwrócić, tzn. mamy zadaną dystrybuantę zmiennej losowej X określoną przy
pomocy powyższej tabelki. Szukamy rozkładu prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej. Zauważamy, że
punktami skokowymi są punkty 0, 1, 3, i 6 (jako punkty nieciągłości dystrybuanty), których
prawdopodobieństwa wyznaczamy za pomocą następujących zależności

2

background image

(

)

( )

( )

3

1

0

3

1

0

lim

0

0

1

=

=

=

=

=

+

F

x

F

X

P

p

x

(

)

( )

( )

6

1

3

1

2

1

1

lim

1

1

2

=

=

=

=

=

+

F

x

F

X

P

p

x

(

)

( )

( )

3

1

2

1

6

5

3

lim

3

3

3

=

=

=

=

=

+

F

x

F

X

P

p

x

(

)

( )

( )

6

1

6

5

1

6

lim

6

6

4

=

=

=

=

=

+

F

x

F

X

P

p

x

Stąd rozkład prawdopodobieństwa przedstawia się jak w tabelce na początku tego przykładu.

Możemy teraz, mając daną jedną zmienną losową, tworzyć na jej podstawie inne zmienne losowe.

XIII.

Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej skokowej

Zmienna losowa X typu skokowego przyjmuje wartości ze zbioru {x

1

, x

2

, x

3

,..., x

n

}, zaś jego funkcją rozkładu

prawdopodobieństwa jest p.
Wartością oczekiwaną (wartością przeciętną, wartością średnią, nadzieją matematyczną) zmiennej losowej
skokowej X nazywamy liczbę

=

+

+

=

=

n

i

n

n

i

i

p

x

p

x

p

x

EX

1

1

1

.

Wartość oczekiwana jest to więc pewna średnia ważona wartości zmiennej losowej.
UWAGA
Własności wartości oczekiwanej:
1.

( )

c

c

E

=

2.

( )

aEX

aX

E

=

3.

b

EX

b

X

E

+

=

+

)

(

4.

(

)

EY

EX

Y

X

E

+

=

+

5.

(

)

0

=

EX

X

E

6.

(

)

bEY

aEX

bY

aX

E

+

=

+

.

Przykład

(1)

Zmienna losowa X ma rozkład zadany za pomocą tabelki

i

x

-5

-1

0

3

i

p

0,2 0,1 0,45 0,25

Policzmy wartość oczekiwaną tej zmiennej losowej:

( )

35

,

0

75

,

0

1

,

0

1

25

,

0

3

45

,

0

0

1

,

0

1

2

,

0

5

1

=

+

=

+

+

+

=

=

=

n

i

i

i

p

x

EX

Wartość oczekiwana zmiennej losowej X wynosi

–0,35.

(2)

Czasem dwie różne zmienne losowe mogą mieć takie same wartości oczekiwane, np. dla zmiennych
losowych X i Y o rozkładach prawdopodobieństwa

i

x

2

6

i

p

2

1

2

1

W obu przypadkach wartości oczekiwane wynoszą 4 (EX=4, EY=4,), jednak zmienna losowa X ma
znacznie mniejszy rozrzut wartości (6-2=4) od zmiennej losowej Y (30-(-21)=51). W celu

i

y

-21

3

30

i

p

3

1

3

1

3

1

3

background image

dokładniejszego opisania zmiennej losowej wprowadza się nowy charakteryzujący ją parametr – jest to
wariancja.

Zmienną losową

d

X

nazywamy odchyleniem zmiennej losowej X od jej wartości oczekiwanej

d

EX

=

.

Wariancją zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną kwadratu odchylenia zmiennej losowej
X od jej wartości oczekiwanej -EX, tzn.

D

2

X=E(X-EX)

2

.

Inaczej

(

)

(

)

(

)

n

n

n

i

i

i

p

EX

x

p

EX

x

p

EX

x

X

D

2

1

2

1

1

2

2

+

+

=

=

=

.

Czasem wariancję zmiennej losowej X oznacza się przez

VarX

. Wariancja jest to więc miara rozrzutu

zmiennej losowej X.

Uwaga
Własności wariancji:
1.

( )

0

2

=

c

D

2.

( )

X

D

a

aX

D

2

2

2

=

3.

(

)

X

D

b

X

D

2

2

=

+

4.

(

)

Y

D

X

D

Y

X

D

2

2

2

+

=

+

5.

( )

( )

2

2

2

EX

X

E

X

D

=

Odchyleniem standardowym (odchyleniem średnim) zmiennej losowej skokowej X nazywamy liczbę

X

D

DX

2

=

(

X

D

2

=

σ

).

Przykład
(1)

Policzmy wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej X o rozkładzie prawdopodobieństwa

i

x

-5

-1

0

3

i

p

0,2 0,1 0,45 0,25

W tym celu musimy najpierw obliczyć

( )

2

X

E

. Zapiszmy rozkład prawdopodobieństwa nowej

zmiennej losowej

2

X

2

i

x

0

1

9

25

i

p

0,45 0,1 0,25 0,2

Wówczas

( )

35

,

7

5

25

,

2

1

,

0

2

,

0

25

25

,

0

9

1

,

0

1

45

,

0

0

2

=

+

+

=

+

+

+

=

X

E

35

,

0

=

EX

możemy obliczyć wariancję

( )

( )

(

)

7,23

12

,

0

35

,

7

35

,

0

35

,

7

2

2

2

2

=

=

=

=

EX

X

E

X

D

Wariancja zmiennej losowej X jest zatem równa 7,23. Stąd odchylenie standardowe wynosi

68

,

2

23

,

7

2

=

=

=

X

D

DX

.

XIV.

Rozkłady zmiennych losowych skokowych.

Zmienna losowa X typu skokowego przyjmuje wartości ze zbioru {x

1

, x

2

, x

3

,..., x

n

}, zaś jego funkcją rozkładu

prawdopodobieństwa jest p

1.

Rozkład równomierny

Zmienna losowa X ma rozkład skokowy równomierny, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci

4

background image

i

x

1

x

2

x

n

x

i

p

n

1

n

1

n

1

tzn. każda wartość zmiennej losowej jest przyjmowana z jednakowym prawdopodobieństwem.
Wówczas wartość oczekiwana i wariancja wyrażają się wzorami

=

=

n

i

i

x

n

EX

1

1

,

(

)

=

=

n

i

i

EX

x

n

X

D

1

2

2

1

,

zatem wartość oczekiwana zmiennej losowej skokowej o rozkładzie równomiernym jest średnią arytmetyczną
wartości tej zmiennej losowej.
Przykład.
Rzucamy raz sześcienną kostką .Niech zmienna losowa X oznacza ilość wyrzuconych oczek. Wówczas X jest
zmienna losową skokową ponieważ zbiór wartości jest skończony oraz jest to rozkład równomierny postaci

i

x

1 2

3

4

5

6

i

p

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

EX=11/6
D

2

X=91/6-11/6=40/3

2

. Rozkład jednopunktowy

Zmienna losowa X ma rozkład skokowy jednopunktowy, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci

i

x

1

x

i

p

1

Jest to szczególny przypadek zmiennej losowej o rozkładzie równomiernym

Wówczas wartość oczekiwana i wariancja wyrażają się wzorami

1

x

EX

=

,

0

2

=

X

D

.

3

. Rozkład zero-jedynkowy

Zmienna losowa X ma rozkład skokowy zero-jedynkowy, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci

i

x

0 1

i

p

q p

gdzie

p

q

=

1

.

Wówczas wartość oczekiwana i wariancja wyrażają się wzorami

p

EX

=

,

pq

X

D

=

2

.

4.

Rozkład Bernoulliego (rozkład dwumianowy)

Schemat Bernoulliego (dwumianowy)
Schematem n prób Bernoulliego
nazywamy n niezależnych doświadczeń losowych, w którym
prawdopodobieństwo sukcesu (zajścia określonego zdarzenia) w każdym doświadczeniu jest stałe, niezależne
od wyników poprzednich i równe p.

Prawdopodobieństwo, że na n przeprowadzonych doświadczeń według schematu Bernoulliego uzyska się k

)

0

(

n

k

sukcesów w dowolnej kolejności, wyraża się wzorem

k

n

k

k

n

q

p

k

n

P





=

,

, gdzie

p

q

p

=

<

<

1

,

1

0

.

Przykład

Mamy trzy pojemniki typu

1

A , dwa pojemniki typu

2

A i pięć pojemników typu

3

A . Pojemniki typu

1

A

zawierają 12 białych kul, 3 zielone, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu

2

A zawierają 3 białe kule, 12

zielonych, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu

3

A zawierają 4 białe kule, 3 zielone, 12 czarnych i 1

5

background image

niebieską. Losujemy ze zwrotem (zwracamy wylosowaną kulę do pojemnika z którego została wyjęta) 5
kul. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania 2 kul zielonych.

Losowanie odbywa się ze zwrotem, więc mamy do czynienia z doświadczeniami niezależnymi. Łatwo
ustalamy, że

5

=

n

,

2

=

k

i prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu (wylosowania kuli zielonej)

obliczymy stosując wzór na prawdopodobieństwo całkowite

24

,

0

20

3

10

5

20

12

10

2

20

3

10

3

=

+

+

=

p

, więc

76

,

0

1

=

=

p

q

. Stosujemy wzór Bernoulliego

253

,

0

439

,

0

0576

,

0

10

)

76

,

0

(

)

24

,

0

(

2

5

3

2

2

,

5

=

=





=

P

.

Zmienna losowa X ma rozkład skokowy Bernoulliego (rozkład dwumianowy) z parametrami

(

)

p

n,

, gdzie

N

n

,

1

0

<

<

p

, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci

(

)

(

)

k

n

k

q

p

k

n

p

n

k

P

k

X

P





=

=

=

,

,

gdzie

p

q

=

1

,

n

k

0

.

Wówczas wartość oczekiwana i wariancja wyrażają się wzorami

np

EX

=

,

npq

X

D

=

2

.

Przykład (rozkład Bernoulliego).

Koszykarz oddaje 4 rzuty do kosza. Piłka wpada do kosza z prawdopodobieństwem 0,8. Znajdźmy
rozkład zmiennej losowej X przyjmującej wartości celnych rzutów do kosza.
Koszykarz może trafić 4 razy, 3 razy, itd., lub może nie trafić wcale. Wykorzystując schemat
Bernoulliego obliczmy prawdopodobieństwa poszczególnej liczby sukcesów (trafionych rzutów) w
pięciu próbach

(

)

625

256

5

4

5

1

5

4

4

4

4

4

0

4

4

=

=

⋅

⋅





=

=

k

P

,

(

)

625

256

5

1

5

4

4

5

1

5

4

3

4

3

3

1

3

4

=

⋅

=

⋅

⋅





=

=

k

P

,

(

)

625

96

5

1

5

4

6

5

1

5

4

2

4

2

2

2

2

2

4

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅





=

=

k

P

,

(

)

625

16

5

1

5

4

4

5

1

5

4

1

4

1

3

3

1

4

=

⋅

=

⋅

⋅





=

=

k

P

,

(

)

625

1

5

1

5

1

5

4

0

4

0

4

4

0

4

=

=

⋅

⋅





=

=

k

P

.

Rozkład prawdopodobieństwa szukanej zmiennej losowej wygląda następująco

i

x

0

1

2

3

4

i

p

625

1

625

16

625

96

625

256

625

256

Możemy teraz także obliczyć wartość oczekiwaną

2

,

3

625

2000

625

1024

625

768

625

192

625

16

625

256

4

625

256

3

625

96

2

625

16

1

625

1

0

=

=

+

+

+

=

+

+

+

+

=

EX

zatem

koszykarz średnio odda 3,2 (3 w zaokrągleniu do liczby całkowitej) rzuty celne do kosza. Obliczenie
wariancji, pozostawiamy czytelnikowi .

4.Rozkład Poissona.

Zmienna losowa X ma rozkład skokowy Poissona z parametrem

0

>

λ

, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa

jest postaci

6

background image

(

)

!

,

k

e

k

P

k

λ

λ

λ

=

,

gdzie

{ }

0

N

k

. Parametr

λ

ma interpretację wartości oczekiwanej i jest on równy prawdopodobieństwu p

uzyskania sukcesu w pojedynczej próbie pomnożony przez ilość tych prób n, natomiast k oznacza liczbę
sukcesów w n próbach.
Rozkład Poissona wiąże się z rozkładem Bernoulliego zależnością:
Dla dużych n następuje zbieżność rozkładu Bernoulliego do rozkładu Poissona z parametrem

λ

!

k

e

q

p

k

n

k

k

n

k

λ

λ





,

gdzie

np

=

λ

. Przybliżenie to jest w miarę dokładne, gdy

50

n

(czasem przyjmuje się, że

100

n

) i

1

,

0

p

,

10

=

np

λ

(czasem przyjmuje się, że

[

]

10

,

1

.

0

λ

, czyli gdy liczba prób jest większa lub równa

50, zaś prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie nie przekracza

10

1

oraz

10

np

.

Wówczas wartość oczekiwana i wariancja wyrażają się wzorami

λ

=

EX

,

λ

=

X

D

2

.

Przykład
(1)

Mamy trzy pojemniki typu

1

A , dwa pojemniki typu

2

A i pięć pojemników typu

3

A . Pojemniki typu

1

A

zawierają 12 białych kul, 3 zielone, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu

2

A zawierają 3 białe kule, 12

zielonych, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu

3

A zawierają 4 białe kule, 3 zielone, 12 czarnych i 1

niebieską. Losujemy 120 kul ze zwrotem. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej 1
kuli niebieskiej.

Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej

05

,

0

20

1

10

5

20

1

10

2

20

1

10

3

=

+

+

=

p

.

Zastosujemy wzór Poissona dla

05

,

0

,

1

lub

0

,

120

=

=

=

p

k

n

, więc

6

05

,

0

120

=

=

λ

. Mamy

0025

,

0

1

!

0

6

)

6

,

0

(

6

0

6

=

=

e

e

P

,

015

,

0

6

!

1

6

)

6

,

1

(

6

1

6

=

=

e

e

P

. Ostatecznie szukane

prawdopodobieństwo wynosi

0175

,

0

015

,

0

0025

,

0

)

6

,

1

(

)

6

,

0

(

+

=

+

P

P

.

(2)

Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej trzech osób leworęcznych w 200 losowaniach,
jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo spotkania osoby leworęcznej w pewnej populacji ludzi wynosi
0,05.
Ponieważ spełnione są warunki:

1

,

0

05

,

0

=

p

oraz

50

200

=

n

, zatem mamy do czynienia z

rozkładem Poissona. Wówczas

10

200

05

,

0

=

=

λ

oraz

(

)

(

) (

) (

) (

)

3

2

1

0

3

0

=

+

=

+

=

+

=

=

k

P

k

P

k

P

k

P

k

P

Ale

(

)

!

,

k

e

k

P

k

λ

λ

λ

=

, zatem

(

)

!

10

10

,

10

k

e

k

P

k

=

, czyli (uwaga:

1

!

0

=

)

(

)

=

+

+

+

=

!

3

10

!

2

10

!

1

10

!

0

10

3

0

3

10

2

10

1

10

0

10

e

e

e

e

k

P

=

+

+

+

=

+

+

+

=

10

10

10

10

10

10

10

10

3

500

50

10

6

1000

2

100

10

e

e

e

e

e

e

e

e

011

,

0

61767

683

20589

3

683

3

683

3

683

10

10

=

=

=

e

e

Ostatecznie szukane prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej trzech osób leworęcznych wynosi
0,011.

7

background image

Zadania

Zad. 1 Rzucamy raz sześcienną kostką .Niech zmienna losowa X oznacza ilość wyrzuconych oczek. Wyznacz
funkcję rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
Zad. 2 W pudełku jest 10 losów ponumerowanych od 1 do 10. Na los z numerem 1 pada główna wygrana 10,
na losy z numerami 2 i 3 wygrana pocieszenia 1, a za wyciągnięcie pozostałych płacimy 2(wygrywamy – 2).
Załóżmy, że wyciągnięcie każdego z losów jest jednakowo prawdopodobne. Niech zmienna losowa X oznacza
wartość wygranej. Wyznacz funkcję rozkładu prawdopodobieństwa.
Zad. 3 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Podać rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe
sumie oczek na dwóch kostkach. Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej. Obliczyć P(5

X<8), wartość

oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe tej zmiennej.
Zad. 4 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Podać rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe
bezwzględnej różnicy liczby oczek na dwóch kostkach. Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej i narysować jej
wykres
Zad. 5 W urnie mamy 6 kul białych i 4 czarne. Ciągniemy z urny kule ze zwrotem aż do otrzymania kuli białej
ale co najwyżej 3 razy. Oblicz w tych warunkach wartość przeciętną, wariancję i odchylenie standardowe.
Zad. 6 Z bieżącej produkcji pobrano losowo 5 sztuk towaru. Niech X oznacza liczbę sztuk wadliwych wśród
pobranych. Znaleźć rozkład zmiennej losowej X, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo wystąpienia sztuki
wadliwej wynosi 0,1.
Zad. 7. Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa

x

i

-5

-2

0

1

3 8

pi

0,1 0,2 0,1 0,2 C 0,1

Wyznaczyć stałą C oraz dystrybuantę F zmiennej losowej X. Oblicz P(X=1), P(X=2), P(X<3), P(-2

X<3),

F(1), F(2), EX, D

2

X.Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej U=2X+3 i W=X

2

-1 .

Zad. 8 Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa

i

x

-5 -3 -1

4

7

i

p

0,2 c 0,2 0,2 0,2

Wyznaczyć stałą c oraz dystrybuantę zmiennej losowej X.
Obliczyć

(

)

4

4

<

X

P

,

EX

i

X

D

2

.

Zad. 9.Zmienna losowa Y ma rozkład prawdopodobieństwa

x

k

0

1

2

3

4

p

k

0,2

0,3 c

0,3

0,1

Wyznacz stała c. Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej Y .Oblicz EY, D

2

Y, DY

Zad. 10 Zmienna losowa X ma rozkład podany w tabelce

x

i

-2

-1

0

1

2

p

i

8/20

2/20

6/20

1/20

3/20

Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancje zmiennej losowej X oraz Y=X

2

Zad. 11 Niech zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa

i

x

0

1

i

p

1/3 2/3

Wyznacz dystrybuantę F. Oblicz P(X=0), P(X=1), F(0), F(1)b
Zad. 12 Zmienna losowa X przyjmuje wartości x

1

=1, x

2

=3,x

3

=4 z prawdopodobieństwami równymi

odpowiednio 1/3,1/4,5/12. Wyznaczyć wartość dystrybuanty F(1), F(2,5), F(6).

Zad. 13 Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem



<

<

<

<

<

=

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

F

10

1

10

5

7

6

5

2

7

3

2

1

7

1

1

0

)

(

.

Oblicz P(5

X<8).Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej. Oblicz EX, DX.

8

background image

Zad. 14. Zmienna losowa Z przyjmuje wartości 0,1,2. Wiemy, że EX=1 oraz E

2

X=1,5. Wyznacz rozkład

zmiennej losowej X
Zad. 15 Siła kiełkowania na partii pewnych ziaren została oceniona na 80%. Jakie jest prawdopodobieństwo ,
że spośród 5 ziaren wykiełkuje:

(a)

dokładnie 4 ziarna

(b)

mniej niż 4 ziarna

Zad. 16 Oblicz prawdopodobieństwo, że na 7 rzutów kostką do gry co najwyżej 2 razy wypadnie liczba oczek
mniejsza niż 3.
Zad. 17 Podać rozkład Bernoulliego zmiennej losowej X dla n=5 i p=0,1.
Zad. 18 Rzucamy 10 razy symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że wyrzucimy co
najmniej raz reszkę. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję wyrzuconych reszek.
Zad. 19 Koszykarz oddaje 4 rzuty do kosza. Piłka wpada do kosza z prawdopodobieństwem 0,8. Znajdźmy
rozkład zmiennej losowej X przyjmującej wartości celnych rzutów do kosza. Oblicz przeciętną liczbę celnych
rzutów
Zad. 20. Mamy trzy pojemniki typu

1

A , dwa pojemniki typu

2

A i pięć pojemników typu

3

A . Pojemniki typu

1

A zawierają 12 białych kul, 3 zielone, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu

2

A zawierają 3 białe kule, 12

zielonych, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu

3

A zawierają 4 białe kule, 3 zielone, 12 czarnych i 1

niebieską. Losujemy 120 kul ze zwrotem. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej 1 kuli
niebieskiej.
Zad. 21 Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej trzech osób leworęcznych w 200
losowaniach, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo spotkania osoby leworęcznej w pewnej populacji ludzi
wynosi 0,05.
Zad. 22 Prawdopodobieństwo wyprodukowaniu sztuki wadliwej wynosi 2%. Oblicz prawdopodobieństwo, że
w partii towaru liczącej 100 sztuk znajduje się:

(a) zero sztuk wadliwych
(b) jedna sztuka wadliwa
(c) dwie sztuka wadliwa
(d) co najmniej trzy sztuki wadliwe

Zad. 23 Prawdopodobieństwo zdania egzaminu z rachunku prawdopodobieństwa na ocenę bardzo dobrą
wynosi 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród 50 studentów informatyki zdających egzamin co
najmniej jeden uzyska ocenę bardzo dobrą. Oblicz wartość oczekiwaną studentów z oceną bardzo dobrą.

9


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
(3924) 5zmienna losowa typu skokowego, Matematyka ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
6 3 Zmienna losowa typu skokowego
Zmienna losowa typu ciaglego, ZUT, III Semestr, Metody probabilistyczne i statystyka
jurlewicz,probabilistyka, rozkład typu skokowego
6 4 Zmienna losowa typu ciągłego
DOBÓR NASTAW REGULATORÓW TYPU PID METODĄ CHARAKTERYSTYK SKOKOWYCH
Statystyka zmienna losowa skokowa
rozw zmienna losowa skokowa
Cukrzyca typu 1
3 Cukrzyca typu LADA i MODY
Urazy kolana i stawu skokowego
Charakterystyka odpowiedzi immunologicznej typu GALT faza indukcji
AKCJA Z UŻYCIEM PASA RATOWNICZEGO TYPU WĘGORZ

więcej podobnych podstron