12. Zmienna losowa typu skokowego (dyskretnego)

Zmienna losowa X jest typu skokowego (dyskretnego), jeśli przyjmuje ona tylko skończoną (lub przeliczalną) liczbę wartości {x₁, x₂, x₃,..., x_n} (tzw. punkty skokowe), tak, że dla każdego i=1,2,...,n.) (i=1,2,....)

P(X= x_i)= p_i>0,

gdzie
(
).

Oznacza to, że zmienna losowa X przyjmuje wartość
z prawdopodobieństwem
.

Funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (funkcją prawdopodobieństwa, rozkładem prawdopodobieństwa) zmiennej losowej X nazywamy funkcję p określoną wzorem

p(x_i)=P(X= x_i)_i.

Funkcję prawdopodobieństwa P określoną na wartości x_i oznaczamy przez p_i, czyli p_i=p(x_i).

Innym sposobem określania funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest metoda tabelkowa:

Dystrybuantą zmiennej losowej skokowej X jest funkcja F określona wzorem

,

gdzie sumowanie odbywa się po tych
, które spełniają nierówności
.

UWAGA!!!

Mając dany rozkład prawdopodobieństwa możemy wyznaczyć jej dystrybuantę i odwrotnie, mając daną dystrybuantę zmiennej losowej X możemy podać rozkład prawdopodobieństwa.

Przykład

(1) W pudełku jest 10 losów ponumerowanych od 1 do 10. Na los z numerem 1 pada główna wygrana 10, na losy z numerami 2 i 3 wygrana pocieszenia 1, a za wyciągnięcie pozostałych płacimy 2(wygrywamy - 2). Załóżmy, że wyciągnięcie każdego z losów jest jednakowo prawdopodobne. Doświadczenie polega na wyciągnięciu jednego losu.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω={1,2,...,10} i jest skończona. Określmy funkcję

X będzie zmienną losową skokową oznaczającą wygraną. gdzie A={-2,1,10}. Zauważmy, że

X(1)=10, X(2)=X(3)=1, X(4)=X(5)=...=X(10)=-2.

Określmy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X

P(X=10)=p₁=

P(X=1)= p₂+ p₃=

P(X=-2)= p₄+ p₅+ p₆+ p₇+ p₈+ p₉+ p₁₀=

Zapis tabelkowy

wartość zmiennej losowejł	-2	1	10
prawdopodobieństwo	0,7	0,2	0,1

Wyznaczmy dystrybuantę zmiennej losowej

Dla x≤-2 F(x)=P(X<x)=
=0

Dla -2<x≤1 F(x)=
=p₁=0,7

Dla 1<x≤10 F(x)=
=p₁+ p₂=0,7+0,2=0,9

Dla x>10 F(x)=
=p₁+ p₂+ p₃=0,7+0,2+0,1=1

Tak więc

(2) Niech zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa

	0	1	3	6

Wówczas dystrybuantę wyliczamy w następujący sposób

dla

dla

dla

dla

dla

Zatem możemy teraz zapisać dystrybuantę w uproszczony sposób

lub za pomocą tabelki

	0				1

Problem ten możemy teraz odwrócić, tzn. mamy zadaną dystrybuantę zmiennej losowej X określoną przy pomocy powyższej tabelki. Szukamy rozkładu prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej. Zauważamy, że punktami skokowymi są punkty 0, 1, 3, i 6 (jako punkty nieciągłości dystrybuanty), których prawdopodobieństwa wyznaczamy za pomocą następujących zależności

Stąd rozkład prawdopodobieństwa przedstawia się jak w tabelce na początku tego przykładu.

Możemy teraz, mając daną jedną zmienną losową, tworzyć na jej podstawie inne zmienne losowe.

13. Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej skokowej

Zmienna losowa X typu skokowego przyjmuje wartości ze zbioru {x₁, x₂, x₃,..., x_n}, zaś jego funkcją rozkładu prawdopodobieństwa jest p.

Wartością oczekiwaną (wartością przeciętną, wartością średnią, nadzieją matematyczną) zmiennej losowej skokowej X nazywamy liczbę

.

Wartość oczekiwana jest to więc pewna średnia ważona wartości zmiennej losowej.

UWAGA

Własności wartości oczekiwanej:

1.

2.

3.

4.

5.

6.
.

Przykład

1. Zmienna losowa X ma rozkład zadany za pomocą tabelki

	-5	-1	0	3
	0,2	0,1	0,45	0,25

Policzmy wartość oczekiwaną tej zmiennej losowej:




Wartość oczekiwana zmiennej losowej X wynosi -0,35.

2. Czasem dwie różne zmienne losowe mogą mieć takie same wartości oczekiwane, np. dla zmiennych losowych X i Y o rozkładach prawdopodobieństwa

	2	6
	-21		3		30

W obu przypadkach wartości oczekiwane wynoszą 4 (EX=4, EY=4,), jednak zmienna losowa X ma znacznie mniejszy rozrzut wartości (6-2=4) od zmiennej losowej Y (30-(-21)=51). W celu dokładniejszego opisania zmiennej losowej wprowadza się nowy charakteryzujący ją parametr - jest to wariancja.

Zmienną losową
nazywamy odchyleniem zmiennej losowej X od jej wartości oczekiwanej
.

Wariancją zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną kwadratu odchylenia zmiennej losowej X od jej wartości oczekiwanej -EX, tzn.

D²X=E(X-EX)².

Inaczej
.

Czasem wariancję zmiennej losowej X oznacza się przez
. Wariancja jest to więc miara rozrzutu zmiennej losowej X.

Uwaga

Własności wariancji:

1.


2.


3.


4.


5.


Odchyleniem standardowym (odchyleniem średnim) zmiennej losowej skokowej X nazywamy liczbę
(
).

Przykład

(1) Policzmy wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej X o rozkładzie prawdopodobieństwa

	-5	-1	0	3
	0,2	0,1	0,45	0,25

W tym celu musimy najpierw obliczyć
. Zapiszmy rozkład prawdopodobieństwa nowej zmiennej losowej


	0	1	9	25
	0,45	0,1	0,25	0,2

Wówczas





możemy obliczyć wariancję




Wariancja zmiennej losowej X jest zatem równa 7,23. Stąd odchylenie standardowe wynosi
.

14. Rozkłady zmiennych losowych skokowych.

Zmienna losowa X typu skokowego przyjmuje wartości ze zbioru {x₁, x₂, x₃,..., x_n}, zaś jego funkcją rozkładu prawdopodobieństwa jest p

1. Rozkład równomierny

Zmienna losowa X ma rozkład skokowy równomierny, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci

tzn. każda wartość zmiennej losowej jest przyjmowana z jednakowym prawdopodobieństwem.

Wówczas wartość oczekiwana i wariancja wyrażają się wzorami


,
,

zatem wartość oczekiwana zmiennej losowej skokowej o rozkładzie równomiernym jest średnią arytmetyczną wartości tej zmiennej losowej.

Przykład.

Rzucamy raz sześcienną kostką .Niech zmienna losowa X oznacza ilość wyrzuconych oczek. Wówczas X jest zmienna losową skokową ponieważ zbiór wartości jest skończony oraz jest to rozkład równomierny postaci

	1	2	3	4	5	6

EX=11/6

D²X=91/6-11/6=40/3

2. Rozkład jednopunktowy

Zmienna losowa X ma rozkład skokowy jednopunktowy, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci

	1

Jest to szczególny przypadek zmiennej losowej o rozkładzie równomiernym

Wówczas wartość oczekiwana i wariancja wyrażają się wzorami


,
.

3. Rozkład zero-jedynkowy

Zmienna losowa X ma rozkład skokowy zero-jedynkowy, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci

	0	1
	q	p

gdzie
.

Wówczas wartość oczekiwana i wariancja wyrażają się wzorami


,
.

4. Rozkład Bernoulliego (rozkład dwumianowy)

Schemat Bernoulliego (dwumianowy)

Schematem n prób Bernoulliego nazywamy n niezależnych doświadczeń losowych, w którym prawdopodobieństwo sukcesu (zajścia określonego zdarzenia) w każdym doświadczeniu jest stałe, niezależne od wyników poprzednich i równe p.

Prawdopodobieństwo, że na n przeprowadzonych doświadczeń według schematu Bernoulliego uzyska się k
sukcesów w dowolnej kolejności, wyraża się wzorem


, gdzie
.

Przykład

Mamy trzy pojemniki typu
, dwa pojemniki typu
i pięć pojemników typu
. Pojemniki typu
zawierają 12 białych kul, 3 zielone, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu
zawierają 3 białe kule, 12 zielonych, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu
zawierają 4 białe kule, 3 zielone, 12 czarnych i 1 niebieską. Losujemy ze zwrotem (zwracamy wylosowaną kulę do pojemnika z którego została wyjęta) 5 kul. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania 2 kul zielonych.

Losowanie odbywa się ze zwrotem, więc mamy do czynienia z doświadczeniami niezależnymi. Łatwo ustalamy, że
,
i prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu (wylosowania kuli zielonej) obliczymy stosując wzór na prawdopodobieństwo całkowite
, więc
. Stosujemy wzór Bernoulliego
.

Zmienna losowa X ma rozkład skokowy Bernoulliego (rozkład dwumianowy) z parametrami
, gdzie
,
, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci




gdzie
,
.

Wówczas wartość oczekiwana i wariancja wyrażają się wzorami
,
.

Przykład (rozkład Bernoulliego).

Koszykarz oddaje 4 rzuty do kosza. Piłka wpada do kosza z prawdopodobieństwem 0,8. Znajdźmy rozkład zmiennej losowej X przyjmującej wartości celnych rzutów do kosza.

Koszykarz może trafić 4 razy, 3 razy, itd., lub może nie trafić wcale. Wykorzystując schemat Bernoulliego obliczmy prawdopodobieństwa poszczególnej liczby sukcesów (trafionych rzutów) w pięciu próbach


,


,


,


,


.

Rozkład prawdopodobieństwa szukanej zmiennej losowej wygląda następująco

	0	1	2	3	4

Możemy teraz także obliczyć wartość oczekiwaną


zatem koszykarz średnio odda 3,2 (3 w zaokrągleniu do liczby całkowitej) rzuty celne do kosza. Obliczenie wariancji, pozostawiamy czytelnikowi .

4.Rozkład Poissona.

Zmienna losowa X ma rozkład skokowy Poissona z parametrem
, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci


,

gdzie
. Parametr λ ma interpretację wartości oczekiwanej i jest on równy prawdopodobieństwu p uzyskania sukcesu w pojedynczej próbie pomnożony przez ilość tych prób n, natomiast k oznacza liczbę sukcesów w n próbach.

Rozkład Poissona wiąże się z rozkładem Bernoulliego zależnością:

Dla dużych n następuje zbieżność rozkładu Bernoulliego do rozkładu Poissona z parametrem λ


,

gdzie
. Przybliżenie to jest w miarę dokładne, gdy
(czasem przyjmuje się, że
) i
,
(czasem przyjmuje się, że
, czyli gdy liczba prób jest większa lub równa 50, zaś prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie nie przekracza
oraz
.

Wówczas wartość oczekiwana i wariancja wyrażają się wzorami


,
.

Przykład

(1) Mamy trzy pojemniki typu
, dwa pojemniki typu
i pięć pojemników typu
. Pojemniki typu
zawierają 12 białych kul, 3 zielone, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu
zawierają 3 białe kule, 12 zielonych, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu
zawierają 4 białe kule, 3 zielone, 12 czarnych i 1 niebieską. Losujemy 120 kul ze zwrotem. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej 1 kuli niebieskiej.

Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej
. Zastosujemy wzór Poissona dla
, więc
. Mamy
,
. Ostatecznie szukane prawdopodobieństwo wynosi
.

(2) Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej trzech osób leworęcznych w 200 losowaniach, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo spotkania osoby leworęcznej w pewnej populacji ludzi wynosi 0,05.

Ponieważ spełnione są warunki:
oraz
, zatem mamy do czynienia z rozkładem Poissona. Wówczas
oraz




Ale
, zatem
, czyli (uwaga:
)










Ostatecznie szukane prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej trzech osób leworęcznych wynosi 0,011.

Zadania

Zad. 1 Rzucamy raz sześcienną kostką .Niech zmienna losowa X oznacza ilość wyrzuconych oczek. Wyznacz funkcję rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.

Zad. 2 W pudełku jest 10 losów ponumerowanych od 1 do 10. Na los z numerem 1 pada główna wygrana 10, na losy z numerami 2 i 3 wygrana pocieszenia 1, a za wyciągnięcie pozostałych płacimy 2(wygrywamy - 2). Załóżmy, że wyciągnięcie każdego z losów jest jednakowo prawdopodobne. Niech zmienna losowa X oznacza wartość wygranej. Wyznacz funkcję rozkładu prawdopodobieństwa.

Zad. 3 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Podać rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe sumie oczek na dwóch kostkach. Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej. Obliczyć P(5≤X<8), wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe tej zmiennej.

Zad. 4 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Podać rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe bezwzględnej różnicy liczby oczek na dwóch kostkach. Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej i narysować jej wykres

Zad. 5 W urnie mamy 6 kul białych i 4 czarne. Ciągniemy z urny kule ze zwrotem aż do otrzymania kuli białej ale co najwyżej 3 razy. Oblicz w tych warunkach wartość przeciętną, wariancję i odchylenie standardowe.

Zad. 6 Z bieżącej produkcji pobrano losowo 5 sztuk towaru. Niech X oznacza liczbę sztuk wadliwych wśród pobranych. Znaleźć rozkład zmiennej losowej X, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo wystąpienia sztuki wadliwej wynosi 0,1.

Zad. 7. Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa

xi	-5	-2	0	1	3	8
pi	0,1	0,2	0,1	0,2	C	0,1

Wyznaczyć stałą C oraz dystrybuantę F zmiennej losowej X. Oblicz P(X=1), P(X=2), P(X<3), P(-2≤X<3), F(1), F(2), EX, D²X.Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej U=2X+3 i W=X² -1 .

Zad. 8 Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa

	-5	-3	-1	4	7
	0,2	c	0,2	0,2	0,2

Wyznaczyć stałą c oraz dystrybuantę zmiennej losowej X.

Obliczyć
,
i
.

Zad. 9.Zmienna losowa Y ma rozkład prawdopodobieństwa

xk	0	1	2	3	4
pk	0,2	0,3	c	0,3	0,1

Wyznacz stała c. Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej Y .Oblicz EY, D²Y, DY

Zad. 10 Zmienna losowa X ma rozkład podany w tabelce

xi	-2	-1	0	1	2
pi	8/20	2/20	6/20	1/20	3/20

Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancje zmiennej losowej X oraz Y=X²

Zad. 11 Niech zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa

	0	1
	1/3	2/3

Wyznacz dystrybuantę F. Oblicz P(X=0), P(X=1), F(0), F(1)b

Zad. 12 Zmienna losowa X przyjmuje wartości x₁=1, x₂=3,x₃=4 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio 1/3,1/4,5/12. Wyznaczyć wartość dystrybuanty F(1), F(2,5), F(6).

Zad. 13 Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem
.

Oblicz P(5≤X<8).Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej. Oblicz EX, DX.

Zad. 14. Zmienna losowa Z przyjmuje wartości 0,1,2. Wiemy, że EX=1 oraz E²X=1,5. Wyznacz rozkład zmiennej losowej X

Zad. 15 Siła kiełkowania na partii pewnych ziaren została oceniona na 80%. Jakie jest prawdopodobieństwo , że spośród 5 ziaren wykiełkuje:

1. dokładnie 4 ziarna

2. mniej niż 4 ziarna

Zad. 16 Oblicz prawdopodobieństwo, że na 7 rzutów kostką do gry co najwyżej 2 razy wypadnie liczba oczek mniejsza niż 3.

Zad. 17 Podać rozkład Bernoulliego zmiennej losowej X dla n=5 i p=0,1.

Zad. 18 Rzucamy 10 razy symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że wyrzucimy co najmniej raz reszkę. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję wyrzuconych reszek.

Zad. 19 Koszykarz oddaje 4 rzuty do kosza. Piłka wpada do kosza z prawdopodobieństwem 0,8. Znajdźmy rozkład zmiennej losowej X przyjmującej wartości celnych rzutów do kosza. Oblicz przeciętną liczbę celnych rzutów

Zad. 20. Mamy trzy pojemniki typu
, dwa pojemniki typu
i pięć pojemników typu
. Pojemniki typu
zawierają 12 białych kul, 3 zielone, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu
zawierają 3 białe kule, 12 zielonych, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu
zawierają 4 białe kule, 3 zielone, 12 czarnych i 1 niebieską. Losujemy 120 kul ze zwrotem. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej 1 kuli niebieskiej.

Zad. 21 Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej trzech osób leworęcznych w 200 losowaniach, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo spotkania osoby leworęcznej w pewnej populacji ludzi wynosi 0,05.

Zad. 22 Prawdopodobieństwo wyprodukowaniu sztuki wadliwej wynosi 2%. Oblicz prawdopodobieństwo, że w partii towaru liczącej 100 sztuk znajduje się:

1. zero sztuk wadliwych

2. jedna sztuka wadliwa

3. dwie sztuka wadliwa

4. co najmniej trzy sztuki wadliwe

Zad. 23 Prawdopodobieństwo zdania egzaminu z rachunku prawdopodobieństwa na ocenę bardzo dobrą wynosi 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród 50 studentów informatyki zdających egzamin co najmniej jeden uzyska ocenę bardzo dobrą. Oblicz wartość oczekiwaną studentów z oceną bardzo dobrą.

9

---