Przykłady rozkładów zmiennych losowych typu skokowego
Rozkład dwupunktow
y
Zmienna losowa X przyjmuje 2 wartości:
1
x
,
2
x
z prawdopodobieństwami:
p
x
X
P
=
=
)
(
1
;
q
p
x
X
P
=
−
=
=
1
)
(
2
gdzie:
1
=
+
q
p
,
1
0
≤
≤
p
.
Taka zmienna losowa jest często zwana zmienną losową binarną. Zmienne losowe binarne są
podstawowym narzędziem uŜywanym do opisu właściwości stochastycznych urządzeń dwustanowych,
które występują bardzo często w elektronice, np. układy przekaźnikowe, układy cyfrowe itp.
Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta dla rozkładu dwupunktowego:
P(X=x)
P(X=x)
1-p
1
p
p
1-p
x
x
x
1
x
1
x
2
x
2
Wartość oczekiwana:
q
x
p
x
EX
2
1
+
=
Wariancja:
pq
x
x
2
1
2
2
)
(
−
=
σ
Przykładem takiej zmiennej losowej moŜe być np. doświadczenie losowe: rzut monetą, wówczas:
2
/
1
=
=
q
p
.
Szczególnym przypadkiem rozkładu dwupunktowego jest rozkład zero – jedynkowy.
W tym przypadku:
1
1
=
x
,
0
2
=
x
,
p
X
P
−
=
=
1
)
0
(
,
p
X
P
=
=
)
1
(
Wartość oczekiwana:
∑
=
=
−
⋅
+
⋅
=
=
2
1
)
1
(
0
1
k
k
k
p
p
p
p
x
EX
Wariancja:
∑
⋅
=
⋅
−
=
q
p
p
m
x
X
V
k
k
2
)
(
)
(
Skokowy rozkład równomierny
Jest to rozkład postaci:
x
i
x
1
x
2
...
...
x
n
p
i
1/n
1/n
1/n
∑
∑
=
=
=
=
=
n
i
i
n
i
i
i
x
n
p
x
m
EX
1
1
1
∑
∑
=
=
−
=
−
=
n
i
i
n
i
i
i
m
x
n
p
m
x
X
V
1
2
1
2
)
(
1
)
)
(
P(X=x)
1/n
x
4
x
3
x
1
x
5
x
6
x
n
x
x
2
Rozkład dwumianowy Bernoulli’ego B(n, p)
Niech będzie danych n niezaleŜnych zmiennych losowych:
}
,...,
,
{
2
1
n
X
X
X
.Wszystkie zmienne
losowe
k
X
mają jednakowy rozkład dwupunktowy:
q
p
X
P
k
=
−
=
=
1
)
0
(
,
p
X
P
k
=
=
)
1
(
gdzie: k = 1, 2, ... , n.
Niech:
n
Y
- oznacza zmienną losową będącą sumą zmiennych losowych
k
X
:
n
n
X
X
X
Y
+
+
+
=
...
2
1
.
PoniewaŜ zmienne losowe
k
X
mogą przyjmować wartości 0 i 1, więc zmienna losowa
n
Y
będzie
przyjmować wartości całkowite od 0 do n.
Zmienna losowa
n
Y
przyjmuje wartość 0, gdy jednocześnie wszystkie składowe
k
X
przyjmują wartość 0.
Zmienna losowa
n
Y
przyjmuje wartość 1, gdy jednocześnie wszystkie składowe
k
X
przyjmują wartość 1.
W pozostałych przypadkach zmienna losowa
n
Y
przyjmuje wartość całkowitą pośrednią między 0 i n.
Prawdopodobieństwo tego, Ŝe zmienna losowa
n
Y
przyjmuje konkretną wartość c wynosi:
c
n
c
n
q
p
c
n
c
Y
P
−
⋅
=
=
)
(
gdzie:
)!
(
!
!
c
n
c
n
c
n
−
=
Dla n = 1 , mamy oczywiście rozkład dwupunktowy.
Przykłady: wielokrotny rzut monetą, wielokrotny rzut kostką do gry.
Wartość oczekiwana:
nq
EX
=
Wariancja:
npq
p
p
n
X
V
=
−
=
)
1
(
)
(
Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa zmiennej o rozkładzie Bernoulli’ego dla n=10 i p=0,2.
Przykład:
W systemie radarowym są wysyłane paczki sygnałów po 100 impulsów. Wskutek róŜnego rodzaju
zakłóceń impulsy nadane mogą ulec tak duŜym zniekształceniom, Ŝe niektóre z nich mogą nie być wykryte
przez odbiornik. Prawdopodobieństwo przeoczenia w odbiorniku pojedynczego impulsu wynosi 0,1.
Obliczyć średnią liczbę impulsów rejestrowanych przez odbiornik oraz wariancję tej liczby.
Rozwiązanie:
X - zmienna losowa: liczba impulsów rejestrowanych przez odbiornik.
Ma ona rozkład dwumianowy o parametrach: n = 100, p = 0,1, q = 0,9.
Zdarzenie
}
)
(
{
c
X
=
ω
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy na dokładnie c pozycjach w sumie pojawi się
jedynka. Czyli:
c
c
c
c
X
P
−
⋅
=
=
100
)
9
,
0
(
)
1
,
0
(
100
)
(
gdzie: c = 0, 1, ... , 100
90
)
1
,
0
1
(
100
)
1
(
=
−
⋅
=
−
=
p
n
EX
impulsów,
9
1
,
0
)
1
,
0
1
(
100
)
1
(
)
(
=
⋅
−
⋅
=
−
=
p
p
n
X
V
Rozkład Poissona
Jest to szczególny przypadek rozkładu dwumianowego, zachodzący wówczas, gdy
prawdopodobieństwo p sukcesu jest bardzo małe, a liczba realizacji n na tyle duŜa, Ŝe iloczyn
λ
=
⋅
p
n
jest wielkością stałą, dodatnią i niezbyt duŜą.
λ
λ
λ
λ
−
−
=
−
=
=
e
k
n
n
k
n
k
X
P
k
k
n
k
!
1
)
(
Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie Poissona:
λ
=
EX
Wariancja:
)
/
1
(
lim
)
(
n
X
V
n
λ
λ −
=
∞
→
Zastosowanie rozkładu Poissona:
Do zjawisk losowych , gdzie liczba obserwowanych przypadków n jest bardzo duŜa, a
prawdopodobieństwo sukcesu p – bardzo małe.
Przykłady:
- rozpad promieniotwórczy: liczba jąder n – duŜa, prawdopodobieństwo rozpadu konkretnego jądra –
bardzo małe,
- zderzenia cząstek elementarnych, duŜa ilość cząstek, mała szansa na zderzenie,
- statystyczna kontrola jakości produktów, duŜa ilość sprawdzanych produktów, mała ilość produktów
wybrakowanych.
Przykłady rozkładów zmiennych losowych typu ciągłego
Rozkład wykładniczy
Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o parametrze
0
>
λ
, jeśli:
≥
<
=
−
0
0
0
)
(
x
dla
e
x
dla
x
f
x
λ
λ
≥
−
<
=
−
0
1
0
0
)
(
x
dla
e
x
dla
x
F
x
λ
x
x
1/
λ
1
f(x)
F(x)
Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym:
λ
/
1
=
EX
Wariancja:
2
/
1
)
(
λ
=
X
V
Rozkłady wykładnicze występują w zagadnieniach ruchu na liniach telefonicznych, w problemach czasu
obsługi i czasu oczekiwania na obsługę na obsługę przy maszynach czy w sklepach, w problemach czasu
eksploatacji elementów, w teorii niezawodności.
Rozkład jednostajny
Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny w przedziale [ a, b ], jeŜeli jej funkcja gęstości
prawdopodobieństwa jest postaci:
∈
−
∉
=
]
,
[
1
)
,
(
0
)
(
b
a
x
dla
a
b
b
a
x
dla
x
f
Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie równomiernym:
2
b
a
EX
+
=
Wariancja:
12
)
(
)
(
2
a
b
X
V
−
=
Rozkład normalny, gaussowski
Znaczenie rozkładu normalnego w problematyce technicznej wynika stąd, Ŝe opisuje on wiernie
szeroką klasę wielkości przypadkowych spotykanych w praktyce. WiąŜe się to z pewnymi następstwami
wynikającymi z twierdzeń granicznych. Przykładowo: zakłócenia w kanałach telekomunikacyjnych
nakładają się na przesyłane sygnały mają najczęściej rozkład normalny.
Mówimy, Ŝe zmienna losowa X ma rozkład normalny (rozkład Gaussa) jeśli jej funkcja gęstości
prawdopodobieństwa jest opisana wzorem:
( )
(
)
2
2
2
2
1
σ
π
σ
m
x
e
x
f
−
−
=
dla
∞
<
<
∞
−
x
gdzie:
m
oraz
0
>
σ
- parametry rozkładu normalnego
Wykres tej funkcji pokazuje rysunek:
W skrócie będziemy zapisywali, Ŝe zmienna losowa X ma rozkład normalny jako:
)
;
(
~
σ
m
N
X
Wartość oczekiwana i wariancja dla rozkładu normalnego wyraŜają są następującymi wzorami:
2
2
)
(
2
2
2
)
(
2
2
2
2
2
1
)
(
)
(
2
1
)
(
σ
π
σ
π
σ
σ
σ
=
−
=
=
=
−
−
∞
∞
−
−
−
∞
∞
−
∫
∫
dx
e
m
x
x
D
m
dx
e
x
x
E
m
x
m
x
Gdzie: m - wartość oczekiwana zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym,
σ - odchylenie standardowe.
Krzywa gęstości rozkładu normalnego ma następujące własności:
•
jest symetryczna względem prostej x = m (rozkład normalny jest więc rozkładem
symetrycznym)
•
osiąga maksimum równe
π
σ
2
1
dla x = m,
•
jej ramiona mają punkty przegięcia dla x = m – σ oraz x = m + σ.
Wartość parametru m decyduje o połoŜeniu krzywej normalnej względem osi x. Im wartość oczekiwana
przyjmuje większe wartości, tym krzywa jest bardziej przesunięta w prawo. Wartość parametru σ
determinuje natomiast „smukłość” krzywej. Im odchylenie standardowe jest większe, tym krzywa jest
bardziej spłaszczona.
f
x
µ−3σ
µ−σ
µ−2σ
µ+σ
µ+3σ
µ+2σ
µ
1
2π σ
σ
1
0,3
0,2 σ
1
1
σ
0,1
f
x
1
µ
2
µ
3
µ
f
x
σ
4
σ
3
2
σ
σ
1
Gdzie: σ
1
> σ
2
> σ
3
> σ
4
Definicja:
Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny
)
;
(
σ
m
N
, to zmienna losowa
b
aX
Y
+
=
, gdzie:
b
a
,
0
≠
- dowolne stałe, ma teŜ rozkład normalny:
)
|
|
;
(
σ
⋅
+
a
b
am
N
Wartość oczekiwana zmiennej losowej Y:
b
am
EY
+
=
Wariancja zmiennej losowej Y:
2
2
)
(
σ
⋅
=
a
Y
V
Unormowany (standaryzowany) rozkład normalny
Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny
)
;
(
σ
m
N
, to zmienna losowa
σ
m
X
Y
−
=
ma:
wartość oczekiwaną:
0
=
EY
,
odchylenie standardowe:
1
=
σ
.
MoŜna wykazać, Ŝe zmienna losowa Y ma rozkład normalny o funkcji gęstości prawdopodobieństwa:
( )
2
/
2
2
1
y
e
y
f
−
=
π
dla:
∞
<
<
∞
−
y
Zmienna losowa Y jest zmienną losową unormowaną, a jej rozkład nazywamy unormowanym rozkładem
normalnym i oznaczamy jako:
)
1
;
0
(
N
, czyli:
σ
m
X
Y
−
=
)
1
;
0
(
~ N
Wykres funkcji gęstości standardowego rozkładu normalnego przyjmuje następującą postać:
Wykres dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego przyjmuje postać:
funkcja gęstości standardowego
rozkładu normalnego
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-4
-2
0
2
4
x
f(x)
dystrybuanta standardowego rozkładu
normalnego
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-4
-2
0
2
4
x
f(x)
Dystrybuanta standaryzowanego rozkładu normalnego wyraŜa się wzorem:
( )
dt
e
x
F
t
x
2
/
2
2
1
−
∞
−
∫
=
π
Z symetrii wykresu funkcji gęstości względem osi y wynika, Ŝe:
)
(
1
)
(
x
F
x
F
−
=
−
.
Dystrybuantę zmiennej losowej standaryzowanej
)
1
;
0
(
~ N
X
oznacza się tradycyjnie symbolem
)
(x
Φ
.
Wartości dystrybuanty standaryzowanej
)
(x
Φ
są umieszczone w tablicach dla x > 0 co znacznie ułatwia
obliczenia. MoŜna równieŜ skorzystać z wbudowanych funkcji Microsoft Excel (patrz przykład
normalny.xls), programów Mathlab lub Octave. Bez Ŝadnych obliczeń mamy:
5
,
0
)
0
(
=
Φ
.
Obliczmy prawdopodobieństwo, Ŝe zmienna losowa o rozkładzie
)
;
(
σ
m
N
przyjmie wartość zawartą w
przedziale: ( a, b ):
=
−
=
<
<
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
b
X
a
P
∫
∞
−
−
−
−
b
m
x
dx
e
2
2
2
/
)
(
2
1
σ
σ
π
∫
∞
−
−
−
a
m
x
dx
e
2
2
2
/
)
(
2
1
σ
σ
π
Zajmijmy się pierwszą całką przedstawiającą wartość dystrybuanty w punkcie b. Wprowadźmy nową
zmienną:
σ
m
x
y
−
=
, wówczas omawiana całka przyjmie postać:
∫
−
∞
−
−
=
=
σ
π
/
)
(
2
/
2
2
1
)
(
m
b
y
dy
e
b
F
−
Φ
+
σ
m
b
5
,
0
gdzie:
∫
−
=
Φ
u
t
dt
e
u
0
2
/
2
2
1
)
(
π
Podobnie:
−
Φ
+
=
σ
m
a
a
F
5
,
0
)
(
Zatem, podstawiając, otrzymamy:
−
Φ
−
−
Φ
=
<
<
σ
σ
m
a
m
b
b
X
a
P
)
(
PowyŜszy wzór jest prawdziwy wyłącznie dla zmiennych losowych X o rozkładzie normalnym.
Własności dystrybuanty przydatne przy rozwiązywaniu zadań.
)
(
1
)
(
x
F
x
F
−
=
−
)
(
)
(
a
F
a
X
P
=
<
)
(
1
)
(
a
F
a
X
P
−
=
>
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
b
X
a
P
−
=
<
<
PrzybliŜone prawdopodobieństwa tego, Ŝe wartość zmiennej losowej o rozkładzie normalnym naleŜy do
kilku najczęściej spotykanych przedziałów:
682
,
0
)
(
=
+
<
<
−
σ
σ
m
X
m
P
954
,
0
)
2
2
(
=
+
<
<
−
σ
σ
m
X
m
P
997
,
0
)
3
3
(
=
+
<
<
−
σ
σ
m
X
m
P
Przykład:
Zmienna losowa X ma rozkład normalny
)
2
;
1
(
N
. Obliczyć prawdopodobieństwo, Ŝe zmienna
losowa X przyjmie wartość naleŜącą do przedziału ( 0, 3 ).
−
Φ
−
−
Φ
=
<
<
σ
σ
m
x
m
x
X
P
1
2
)
3
0
(
=
−
Φ
−
−
Φ
2
1
0
2
1
3
=
)
2
/
1
(
)
1
(
−
Φ
−
Φ
=
Z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego
)
(u
Φ
otrzymujemy:
)
1
(
Φ
=0,841345,
)
5
,
0
(
Φ
=
0,691462, więc otrzymujemy ostatecznie:
=
)
2
/
1
(
1
)
1
(
Φ
+
−
Φ
= 0,841345 – 1 + 0,691462 = 0,533
Twierdzenia o rozkładzie sumy niezaleŜnych zmiennych losowych
Twierdzenie 1
JeŜeli zmienne losowe X
1
, X
2
, ..., X
n
są niezaleŜne i zmienna losowa X
i
dla i = 1, 2, ..., n ma rozkład N(m
i
;
σ
i
) to zmienna losowa Y=X
1
+X
2
+...+X
n
ma rozkład:
)
...
;
...
(
2
2
2
2
1
2
1
n
n
m
m
m
N
σ
σ
σ
+
+
+
+
+
+
JeŜeli zmienne losowe X
1
, X
2
, ..., X
n
są niezaleŜne o takim samym rozkładzie X
i
:
N(m ;
σ
) dla i = 1, 2, ..., n,
to zmienna losowa Y ma rozkład:
)
;
(
n
nm
N
σ
Twierdzenie 2
JeŜeli zmienne losowe X
1
, X
2
są niezaleŜne i zmienna losowa X
i
dla i = 1, 2 ma rozkład N(m
i
;
σ
i
) to zmienna
losowa Z = X
1
−
X
2
ma rozkład:
)
;
(
2
2
2
1
2
1
σ
σ
+
−
m
m
N
JeŜeli zmienne losowe X
1
, X
2
są niezaleŜne o takim samym rozkładzie X
i
−
N(m ;
σ
) dla i = 1, 2 to zmienna
losowa Z = X
1
−
X
2
ma rozkład:
)
2
;
0
(
σ
N
Twierdzenie 3
JeŜeli zmienne losowe X
1
, X
2
, ..., X
n
są niezaleŜne i zmienna losowa X
i
dla i = 1, 2, ..., n ma rozkład N(m
i
;
σ
i
) to zmienna losowa
∑
=
=
n
i
i
X
n
X
1
1
ma rozkład:
)
...
1
);
...
(
1
(
2
2
2
2
1
2
1
n
n
n
m
m
m
n
N
σ
σ
σ
+
+
+
+
+
+
JeŜeli zmienne losowe X
1
, X
2
, ..., X
n
są niezaleŜne o takim samym rozkładzie X
i
:
N(m ;
σ
)
dla i = 1, 2, ..., n, to zmienna losowa
∑
=
=
n
i
i
X
n
X
1
1
ma rozkład:
)
;
(
n
m
N
σ
Rozkład Rayleigha
Niech
1
Y
i
2
Y
- zmienne losowe niezaleŜne o rozkładach normalnych i jednakowych wariancjach
2
σ
. Wówczas zmienna losowa
2
2
2
1
Y
Y
X
+
=
ma rozkład Rayleigha o funkcji gęstości
prawdopodobieństwa:
<
≥
=
−
0
0
0
)
(
2
2
2
/
2
x
dla
x
dla
e
x
x
f
x
σ
σ
Przykład funkcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Rayleigha dla
2
σ
=2
Dystrybuanta:
<
≥
−
=
−
0
0
0
1
)
(
2
2
2
/
x
dla
x
dla
e
x
F
x
σ
Wartość oczekiwana rozkładu Rayleigha:
σ
π
2
=
EX
Wariancja:
2
)
2
/
2
(
)
(
σ
π
−
=
X
V
Rozkład ten opisuje np. prędkość początkową elektronu emitowanego z katody.
Rozkład gamma
)
,
(
β
α
Γ
Zmienna losowa X ma rozkład gamma z parametrami
0
,
0
>
>
β
α
jeŜeli jej funkcja gęstości
prawdopodobieństwa jest opisana wzorem:
>
Γ
≤
=
0
x
dla
e
x
)
(
0,
x
dla
0
)
(
-
1
-
x
x
f
β
α
α
α
β
gdzie:
∫
∞
−
−
=
Γ
0
1
)
(
dt
e
t
t
α
α
.
Wartość oczekiwana:
β
α
/
=
EX
Wariancja:
2
/
)
(
β
α
=
X
V
Własności funkcji gamma:
1
)
1
(
=
Γ
,
)
1
(
)
1
(
)
(
−
Γ
−
=
Γ
α
α
α
)!
1
(
)
(
−
=
Γ
n
n
Parametr
α
- parametr kształtu.
Parametr
β
- parametr skali.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
3
α = 0.5
α = 1
α = 1.5
α = 3
1
2
4
5
Gęstości rozkładu gamma dla róŜnych wartości parametru kształtu
α
(
β
=1).
Zadania
1. Pewien przyrząd psuje się średnio po 20 godzinach eksploatacji. Obliczyć prawdopodobieństwo
zdarzenia, Ŝe przyrząd ten ulegnie uszkodzeniu w czasie 20 godzin pracy.
2. Dana jest zmienna losowa o rozkładzie normalnym N( 0 ; 1). Obliczyć prawdopodobieństwo, Ŝe
wartość bezwzględna tej zmiennej losowej będzie większa od 1.
3. Zmienna losowa X podlega rozkładowi normalnemu N( 1; 2 ). Wyznaczyć stałą a tak, aby
95
,
0
)
|
1
(|
=
<
−
a
X
P
.
4. Zmienna losowa X ma rozkład normalny
)
;
2
(
σ
N
. Wyznaczyć odchylenie standardowe
σ
tej
zmiennej jeśli wiadomo, Ŝe
6826
,
0
)
3
.
2
7
,
1
(
=
<
<
X
P
.
5. Wiadomo, Ŝe przeciętny wiek kobiety w chwili urodzenia dziecka wynosi 26,9 lat, przy odchyleniu
standardowym 5,5 roku. Zakładamy, Ŝe rozkład wieku kobiet w chwili urodzenia dziecka jest
normalny. Wyznaczyć wiek kobiet rodzących dziecko, którego nie przekracza 80% badanej
populacji kobiet.