jurlewicz,probabilistyka, rozkład typu skokowego

background image

Przykłady rozkładów zmiennych losowych typu skokowego

Rozkład dwupunktow

y

Zmienna losowa X przyjmuje 2 wartości:

1

x

,

2

x

z prawdopodobieństwami:

p

x

X

P

=

=

)

(

1

;

q

p

x

X

P

=

=

=

1

)

(

2

gdzie:

1

=

+

q

p

,

1

0

p

.

Taka zmienna losowa jest często zwana zmienną losową binarną. Zmienne losowe binarne są
podstawowym narzędziem używanym do opisu właściwości stochastycznych urządzeń dwustanowych,
które występują bardzo często w elektronice, np. układy przekaźnikowe, układy cyfrowe itp.

Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta dla rozkładu dwupunktowego:

P(X=x)

P(X=x)

1-p

1

p

p

1-p

x

x

x

1

x

1

x

2

x

2



Wartość oczekiwana:

q

x

p

x

EX

2

1

+

=

Wariancja:

pq

x

x

2

1

2

2

)

(

=

σ

Przykładem takiej zmiennej losowej może być np. doświadczenie losowe: rzut monetą, wówczas:

2

/

1

=

=

q

p

.


Szczególnym przypadkiem rozkładu dwupunktowego jest rozkład zero – jedynkowy.
W tym przypadku:

1

1

=

x

,

0

2

=

x

,

p

X

P

=

=

1

)

0

(

,

p

X

P

=

=

)

1

(

Wartość oczekiwana:

=

=

+

=

=

2

1

)

1

(

0

1

k

k

k

p

p

p

p

x

EX

Wariancja:

=

=

q

p

p

m

x

X

V

k

k

2

)

(

)

(

Skokowy rozkład równomierny


Jest to rozkład postaci:

x

i

x

1

x

2

...

...

x

n

p

i

1/n

1/n

1/n

=

=

=

=

=

n

i

i

n

i

i

i

x

n

p

x

m

EX

1

1

1

=

=

=

=

n

i

i

n

i

i

i

m

x

n

p

m

x

X

V

1

2

1

2

)

(

1

)

)

(

background image

P(X=x)

1/n

x

4

x

3

x

1

x

5

x

6

x

n

x

x

2


Rozkład dwumianowy Bernoulli’ego B(n, p)

Niech będzie danych n niezależnych zmiennych losowych:

}

,...,

,

{

2

1

n

X

X

X

.Wszystkie zmienne

losowe

k

X

mają jednakowy rozkład dwupunktowy:

q

p

X

P

k

=

=

=

1

)

0

(

,

p

X

P

k

=

=

)

1

(

gdzie: k = 1, 2, ... , n.

Niech:

n

Y

- oznacza zmienną losową będącą sumą zmiennych losowych

k

X

:

n

n

X

X

X

Y

+

+

+

=

...

2

1

.

Ponieważ zmienne losowe

k

X

mogą przyjmować wartości 0 i 1, więc zmienna losowa

n

Y

będzie

przyjmować wartości całkowite od 0 do n.

Zmienna losowa

n

Y

przyjmuje wartość 0, gdy jednocześnie wszystkie składowe

k

X

przyjmują wartość 0.

Zmienna losowa

n

Y

przyjmuje wartość 1, gdy jednocześnie wszystkie składowe

k

X

przyjmują wartość 1.

W pozostałych przypadkach zmienna losowa

n

Y

przyjmuje wartość całkowitą pośrednią między 0 i n.

Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa

n

Y

przyjmuje konkretną wartość c wynosi:

c

n

c

n

q

p

c

n

c

Y

P





=

=

)

(

gdzie:

)!

(

!

!

c

n

c

n

c

n

=






Dla n = 1 , mamy oczywiście rozkład dwupunktowy.
Przykłady: wielokrotny rzut monetą, wielokrotny rzut kostką do gry.

Wartość oczekiwana:

nq

EX

=

Wariancja:

npq

p

p

n

X

V

=

=

)

1

(

)

(



Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa zmiennej o rozkładzie Bernoulli’ego dla n=10 i p=0,2.

background image

Przykład:
W systemie radarowym są wysyłane paczki sygnałów po 100 impulsów. Wskutek różnego rodzaju
zakłóceń impulsy nadane mogą ulec tak dużym zniekształceniom, że niektóre z nich mogą nie być wykryte
przez odbiornik. Prawdopodobieństwo przeoczenia w odbiorniku pojedynczego impulsu wynosi 0,1.
Obliczyć średnią liczbę impulsów rejestrowanych przez odbiornik oraz wariancję tej liczby.

Rozwiązanie:
X - zmienna losowa: liczba impulsów rejestrowanych przez odbiornik.
Ma ona rozkład dwumianowy o parametrach: n = 100, p = 0,1, q = 0,9.

Zdarzenie

}

)

(

{

c

X

=

ω

zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy na dokładnie c pozycjach w sumie pojawi się

jedynka. Czyli:

c

c

c

c

X

P





=

=

100

)

9

,

0

(

)

1

,

0

(

100

)

(

gdzie: c = 0, 1, ... , 100

90

)

1

,

0

1

(

100

)

1

(

=

=

=

p

n

EX

impulsów,

9

1

,

0

)

1

,

0

1

(

100

)

1

(

)

(

=

=

=

p

p

n

X

V


Rozkład Poissona


Jest to szczególny przypadek rozkładu dwumianowego, zachodzący wówczas, gdy

prawdopodobieństwo p sukcesu jest bardzo małe, a liczba realizacji n na tyle duża, że iloczyn

λ

=

p

n

jest wielkością stałą, dodatnią i niezbyt dużą.

λ

λ

λ

λ

=

 −





=

=

e

k

n

n

k

n

k

X

P

k

k

n

k

!

1

)

(

Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie Poissona:

λ

=

EX

Wariancja:

)

/

1

(

lim

)

(

n

X

V

n

λ

λ −

=


Zastosowanie rozkładu Poissona:
Do zjawisk losowych , gdzie liczba obserwowanych przypadków n jest bardzo duża, a
prawdopodobieństwo sukcesu p – bardzo małe.
Przykłady:

- rozpad promieniotwórczy: liczba jąder n – duża, prawdopodobieństwo rozpadu konkretnego jądra –

bardzo małe,

- zderzenia cząstek elementarnych, duża ilość cząstek, mała szansa na zderzenie,
- statystyczna kontrola jakości produktów, duża ilość sprawdzanych produktów, mała ilość produktów

wybrakowanych.

background image


Przykłady rozkładów zmiennych losowych typu ciągłego

Rozkład wykładniczy

Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o parametrze

0

>

λ

, jeśli:



<

=

0

0

0

)

(

x

dla

e

x

dla

x

f

x

λ

λ



<

=

0

1

0

0

)

(

x

dla

e

x

dla

x

F

x

λ

x

x

1/

λ

1

f(x)

F(x)

Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym:

λ

/

1

=

EX

Wariancja:

2

/

1

)

(

λ

=

X

V


Rozkłady wykładnicze występują w zagadnieniach ruchu na liniach telefonicznych, w problemach czasu
obsługi i czasu oczekiwania na obsługę na obsługę przy maszynach czy w sklepach, w problemach czasu
eksploatacji elementów, w teorii niezawodności.

Rozkład jednostajny


Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny w przedziale [ a, b ], jeżeli jej funkcja gęstości
prawdopodobieństwa jest postaci:

=

]

,

[

1

)

,

(

0

)

(

b

a

x

dla

a

b

b

a

x

dla

x

f

Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie równomiernym:

2

b

a

EX

+

=

background image

Wariancja:

12

)

(

)

(

2

a

b

X

V

=

Rozkład normalny, gaussowski


Znaczenie rozkładu normalnego w problematyce technicznej wynika stąd, że opisuje on wiernie
szeroką klasę wielkości przypadkowych spotykanych w praktyce. Wiąże się to z pewnymi następstwami
wynikającymi z twierdzeń granicznych. Przykładowo: zakłócenia w kanałach telekomunikacyjnych
nakładają się na przesyłane sygnały mają najczęściej rozkład normalny.
Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład normalny (rozkład Gaussa) jeśli jej funkcja gęstości
prawdopodobieństwa jest opisana wzorem:

( )

(

)

2

2

2

2

1

σ

π

σ

m

x

e

x

f

=

dla

<

<

x

gdzie:

m

oraz

0

>

σ

- parametry rozkładu normalnego


Wykres tej funkcji pokazuje rysunek:

W skrócie będziemy zapisywali, że zmienna losowa X ma rozkład normalny jako:

)

;

(

~

σ

m

N

X

Wartość oczekiwana i wariancja dla rozkładu normalnego wyrażają są następującymi wzorami:

2

2

)

(

2

2

2

)

(

2

2

2

2

2

1

)

(

)

(

2

1

)

(

σ

π

σ

π

σ

σ

σ

=

=

=

=

dx

e

m

x

x

D

m

dx

e

x

x

E

m

x

m

x

Gdzie: m - wartość oczekiwana zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym,

σ - odchylenie standardowe.

Krzywa gęstości rozkładu normalnego ma następujące własności:

jest symetryczna względem prostej x = m (rozkład normalny jest więc rozkładem

symetrycznym)

osiąga maksimum równe

π

σ

2

1

dla x = m,

jej ramiona mają punkty przegięcia dla x = m – σ oraz x = m + σ.

background image

Wartość parametru m decyduje o położeniu krzywej normalnej względem osi x. Im wartość oczekiwana

przyjmuje większe wartości, tym krzywa jest bardziej przesunięta w prawo. Wartość parametru σ

determinuje natomiast „smukłość” krzywej. Im odchylenie standardowe jest większe, tym krzywa jest

bardziej spłaszczona.

f

x

µ−3σ

µ−σ

µ−2σ

µ+σ

µ+3σ

µ+2σ

µ

1

2π σ

σ

1

0,3

0,2 σ

1

1

σ

0,1

f

x

1

µ

2

µ

3

µ

f

x

σ

4

σ

3

2

σ

σ

1

Gdzie: σ

1

> σ

2

> σ

3

> σ

4

Definicja:

Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny

)

;

(

σ

m

N

, to zmienna losowa

b

aX

Y

+

=

, gdzie:

b

a

,

0

- dowolne stałe, ma też rozkład normalny:

background image

)

|

|

;

(

σ

+

a

b

am

N

Wartość oczekiwana zmiennej losowej Y:

b

am

EY

+

=

Wariancja zmiennej losowej Y:

2

2

)

(

σ

=

a

Y

V


Unormowany (standaryzowany) rozkład normalny

Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny

)

;

(

σ

m

N

, to zmienna losowa

σ

m

X

Y

=

ma:

wartość oczekiwaną:

0

=

EY

,

odchylenie standardowe:

1

=

σ

.

Można wykazać, że zmienna losowa Y ma rozkład normalny o funkcji gęstości prawdopodobieństwa:

( )

2

/

2

2

1

y

e

y

f

=

π

dla:

<

<

y


Zmienna losowa Y jest zmienną losową unormowaną, a jej rozkład nazywamy unormowanym rozkładem

normalnym i oznaczamy jako:

)

1

;

0

(

N

, czyli:

σ

m

X

Y

=

)

1

;

0

(

~ N

Wykres funkcji gęstości standardowego rozkładu normalnego przyjmuje następującą postać:

Wykres dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego przyjmuje postać:


funkcja gęstości standardowego

rozkładu normalnego

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-4

-2

0

2

4

x

f(x)

dystrybuanta standardowego rozkładu

normalnego

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-4

-2

0

2

4

x

f(x)

background image

Dystrybuanta standaryzowanego rozkładu normalnego wyraża się wzorem:

( )

dt

e

x

F

t

x

2

/

2

2

1

=

π

Z symetrii wykresu funkcji gęstości względem osi y wynika, że:

)

(

1

)

(

x

F

x

F

=

.

Dystrybuantę zmiennej losowej standaryzowanej

)

1

;

0

(

~ N

X

oznacza się tradycyjnie symbolem

)

(x

Φ

.

Wartości dystrybuanty standaryzowanej

)

(x

Φ

są umieszczone w tablicach dla x > 0 co znacznie ułatwia

obliczenia. Można również skorzystać z wbudowanych funkcji Microsoft Excel (patrz przykład

normalny.xls), programów Mathlab lub Octave. Bez żadnych obliczeń mamy:

5

,

0

)

0

(

=

Φ

.

Obliczmy prawdopodobieństwo, że zmienna losowa o rozkładzie

)

;

(

σ

m

N

przyjmie wartość zawartą w

przedziale: ( a, b ):

=

=

<

<

)

(

)

(

)

(

a

F

b

F

b

X

a

P

b

m

x

dx

e

2

2

2

/

)

(

2

1

σ

σ

π

a

m

x

dx

e

2

2

2

/

)

(

2

1

σ

σ

π

Zajmijmy się pierwszą całką przedstawiającą wartość dystrybuanty w punkcie b. Wprowadźmy nową

zmienną:

σ

m

x

y

=

, wówczas omawiana całka przyjmie postać:

=

=

σ

π

/

)

(

2

/

2

2

1

)

(

m

b

y

dy

e

b

F

 −

Φ

+

σ

m

b

5

,

0

gdzie:

=

Φ

u

t

dt

e

u

0

2

/

2

2

1

)

(

π

Podobnie:

 −

Φ

+

=

σ

m

a

a

F

5

,

0

)

(

Zatem, podstawiając, otrzymamy:

 −

Φ

 −

Φ

=

<

<

σ

σ

m

a

m

b

b

X

a

P

)

(

Powyższy wzór jest prawdziwy wyłącznie dla zmiennych losowych X o rozkładzie normalnym.

Własności dystrybuanty przydatne przy rozwiązywaniu zadań.

)

(

1

)

(

x

F

x

F

=

)

(

)

(

a

F

a

X

P

=

<

)

(

1

)

(

a

F

a

X

P

=

>

)

(

)

(

)

(

a

F

b

F

b

X

a

P

=

<

<


Przybliżone prawdopodobieństwa tego, że wartość zmiennej losowej o rozkładzie normalnym należy do
kilku najczęściej spotykanych przedziałów:

682

,

0

)

(

=

+

<

<

σ

σ

m

X

m

P

954

,

0

)

2

2

(

=

+

<

<

σ

σ

m

X

m

P

background image

997

,

0

)

3

3

(

=

+

<

<

σ

σ

m

X

m

P


Przykład:

Zmienna losowa X ma rozkład normalny

)

2

;

1

(

N

. Obliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna

losowa X przyjmie wartość należącą do przedziału ( 0, 3 ).

 −

Φ

 −

Φ

=

<

<

σ

σ

m

x

m

x

X

P

1

2

)

3

0

(

=

 −

Φ

 −

Φ

2

1

0

2

1

3

=

)

2

/

1

(

)

1

(

Φ

Φ

=

Z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego

)

(u

Φ

otrzymujemy:

)

1

(

Φ

=0,841345,

)

5

,

0

(

Φ

=

0,691462, więc otrzymujemy ostatecznie:

=

)

2

/

1

(

1

)

1

(

Φ

+

Φ

= 0,841345 – 1 + 0,691462 = 0,533

Twierdzenia o rozkładzie sumy niezależnych zmiennych losowych


Twierdzenie 1

Jeżeli zmienne losowe X

1

, X

2

, ..., X

n

są niezależne i zmienna losowa X

i

dla i = 1, 2, ..., n ma rozkład N(m

i

;

σ

i

) to zmienna losowa Y=X

1

+X

2

+...+X

n

ma rozkład:

)

...

;

...

(

2

2

2

2

1

2

1

n

n

m

m

m

N

σ

σ

σ

+

+

+

+

+

+

Jeżeli zmienne losowe X

1

, X

2

, ..., X

n

są niezależne o takim samym rozkładzie X

i

:

N(m ;

σ

) dla i = 1, 2, ..., n,

to zmienna losowa Y ma rozkład:

)

;

(

n

nm

N

σ


Twierdzenie 2
Jeżeli zmienne losowe X

1

, X

2

są niezależne i zmienna losowa X

i

dla i = 1, 2 ma rozkład N(m

i

;

σ

i

) to zmienna

losowa Z = X

1

X

2

ma rozkład:

)

;

(

2

2

2

1

2

1

σ

σ

+

m

m

N

Jeżeli zmienne losowe X

1

, X

2

są niezależne o takim samym rozkładzie X

i

N(m ;

σ

) dla i = 1, 2 to zmienna

losowa Z = X

1

X

2

ma rozkład:

)

2

;

0

(

σ

N

Twierdzenie 3
Jeżeli zmienne losowe X

1

, X

2

, ..., X

n

są niezależne i zmienna losowa X

i

dla i = 1, 2, ..., n ma rozkład N(m

i

;

σ

i

) to zmienna losowa

=

=

n

i

i

X

n

X

1

1

ma rozkład:

)

...

1

);

...

(

1

(

2

2

2

2

1

2

1

n

n

n

m

m

m

n

N

σ

σ

σ

+

+

+

+

+

+


Jeżeli zmienne losowe X

1

, X

2

, ..., X

n

są niezależne o takim samym rozkładzie X

i

:

N(m ;

σ

)

dla i = 1, 2, ..., n, to zmienna losowa

=

=

n

i

i

X

n

X

1

1

ma rozkład:

)

;

(

n

m

N

σ





background image

Rozkład Rayleigha

Niech

1

Y

i

2

Y

- zmienne losowe niezależne o rozkładach normalnych i jednakowych wariancjach

2

σ

. Wówczas zmienna losowa

2

2

2

1

Y

Y

X

+

=

ma rozkład Rayleigha o funkcji gęstości

prawdopodobieństwa:

<

=

0

0

0

)

(

2

2

2

/

2

x

dla

x

dla

e

x

x

f

x

σ

σ

Przykład funkcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Rayleigha dla

2

σ

=2

Dystrybuanta:



<

=

0

0

0

1

)

(

2

2

2

/

x

dla

x

dla

e

x

F

x

σ

Wartość oczekiwana rozkładu Rayleigha:

σ

π

2

=

EX

Wariancja:

2

)

2

/

2

(

)

(

σ

π

=

X

V


Rozkład ten opisuje np. prędkość początkową elektronu emitowanego z katody.

Rozkład gamma

)

,

(

β

α

Γ

Zmienna losowa X ma rozkład gamma z parametrami

0

,

0

>

>

β

α

jeżeli jej funkcja gęstości

prawdopodobieństwa jest opisana wzorem:



>

Γ

=

0

x

dla

e

x

)

(

0,

x

dla

0

)

(

-

1

-

x

x

f

β

α

α

α

β

gdzie:

=

Γ

0

1

)

(

dt

e

t

t

α

α

.

Wartość oczekiwana:

β

α

/

=

EX

background image

Wariancja:

2

/

)

(

β

α

=

X

V

Własności funkcji gamma:

1

)

1

(

=

Γ

,

)

1

(

)

1

(

)

(

Γ

=

Γ

α

α

α

)!

1

(

)

(

=

Γ

n

n


Parametr

α

- parametr kształtu.

Parametr

β

- parametr skali.





0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0

3

α = 0.5

α = 1

α = 1.5

α = 3

1

2

4

5

Gęstości rozkładu gamma dla różnych wartości parametru kształtu

α

(

β

=1).


Zadania

1. Pewien przyrząd psuje się średnio po 20 godzinach eksploatacji. Obliczyć prawdopodobieństwo

zdarzenia, że przyrząd ten ulegnie uszkodzeniu w czasie 20 godzin pracy.


2. Dana jest zmienna losowa o rozkładzie normalnym N( 0 ; 1). Obliczyć prawdopodobieństwo, że

wartość bezwzględna tej zmiennej losowej będzie większa od 1.

3. Zmienna losowa X podlega rozkładowi normalnemu N( 1; 2 ). Wyznaczyć stałą a tak, aby

95

,

0

)

|

1

(|

=

<

a

X

P

.

4. Zmienna losowa X ma rozkład normalny

)

;

2

(

σ

N

. Wyznaczyć odchylenie standardowe

σ

tej

zmiennej jeśli wiadomo, że

6826

,

0

)

3

.

2

7

,

1

(

=

<

<

X

P

.

5. Wiadomo, że przeciętny wiek kobiety w chwili urodzenia dziecka wynosi 26,9 lat, przy odchyleniu

standardowym 5,5 roku. Zakładamy, że rozkład wieku kobiet w chwili urodzenia dziecka jest
normalny. Wyznaczyć wiek kobiet rodzących dziecko, którego nie przekracza 80% badanej
populacji kobiet.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
jurlewicz,probabilistyka, zdarzenia i elementy kombinatoryki
jurlewicz,probabilistyka, zmienne losowe wielowymiarowe
jurlewicz,probabilistyka, zmien Nieznany
jurlewicz,probabilistyka, zmienne losowe wielowymiarowe
jurlewicz,probabilistyka, zadania
6 3 Zmienna losowa typu skokowego
jurlewicz,probabilistyka, rozkl Nieznany
(3924) 5zmienna losowa typu skokowego, Matematyka ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
(3924) 5zmienna losowa typu skokowego
jurlewicz,probabilistyka, twierdzenia graniczne
jurlewicz,probabilistyka, test

więcej podobnych podstron