- 1 -

Konspekt wykładu dla IEIP - 3

Obwody prądu sinusoidalnie zmiennego - cz. 1.

Klasyfikacja prądów ze względu na zmienność w czasie

Klasyfikacja prądów

prądy przemienne

prądy zmienne

prądy stałe

prądy sinusoidalnie

zmienne

prądy okresowe

- wartość chwilowa:
wartość natężenia, napięcia itd. w danej, konkretnej chwili czasowej;
oznaczenie:

)

t

(

j

,

)

t

(

e

,

)

t

(

v

,

)

t

(

u

,

)

t

(

i

; gdy stałe: I, U, V, E, J;

- prąd stały:

wartość i zwrot prądu są stałe;

- prąd zmienny

albo wartość, albo zwrot, albo i jedno i drugie zmienne;

- prąd przemienny:

prąd zmienny, który przyjmuje wartości dodatnie i ujemne;

Prąd okresowy

i

t

T

- prąd okresowy:

prąd dla którego istnieje takie T, że jest:

)

t

(

i

)

T

t

(

i

=

+

T - okres,

[ ]

s

1

T

=

;

T

1

f

=

- częstotliwość,

[ ]

Hz

1

f =

;

Dla prądów okresowych definiuje się wartości opisujące przebieg „globalnie”: wartość

średnią i wartość skuteczną (dla przebiegów nieregularnych nie jest to, oczywiście, możliwe).

- 2 -

Wartość średnia (natężenia, napięcia, itd.):

Wartość średnia (natężenia, napięcia, itd.) prądu okresowego to wartość takiego umyślonego

prądu stałego, który w czasie jednego okresu przenosi taki sam ładunek jak dany prąd okresowy.

Wzór matematyczny:

∫

⋅

=

≡

T

0

dt

)

t

(

i

T

1

I

śr

I

Wartość średnia przebiegu sinusoidalnego wynosi zero.

Wartość skuteczna (natężenia, napięcia, itd.):

Wartość skuteczna (natężenia, napięcia, itd.) to wartość odpowiedniego parametru (natężenia,

napięcia, itd.) takiego, umyślonego prądu stałego, który daje identyczny skutek energetyczny jak dany
prąd okresowy (w tym samym czasie, będącym wielokrotnością jednego okresu).

Najczęściej definicję tę odnosi się do prądu przepływającego przez rezystor: wartość

skuteczna prądu okresowego to taka wartość umyślonego prądu stałego, który przepływając przez
niezmienną rezystancję R w czasie jednego okresu T, powoduje wydzielenie na tej rezystancji takiej
samej ilości energii cieplnej, co prąd okresowy w tym samym czasie.

prąd okresowy

)

t

(

i

o okresie T

umyślony prąd stały I

energia cieplna pobrana przez rezystor R w czasie jednego okresu:

∫

⋅

=

T

0

dt

2

)

t

(

i

R

T

W

=

T

I

R

W

2

T

⋅

⋅

=

z warunku równoważności wynika:

∫

⋅

=

⋅

⋅

T

0

2

)

t

(

2

dt

i

R

T

I

R

a stąd:

∫

⋅

=

T

0

dt

2

)

t

(

i

T

1

I

Matematycznie wartość skuteczna jest więc „pierwiastkiem ze średniej z kwadratu”.
Tak wartość skuteczna bywa nazywana w niektórych obcych językach.
Np. po angielsku: root-mean-square.
Zapisuje się to tak:

rms

V

220

U

=

Dla napięcia jest oczywiście:

∫

⋅

=

T

0

dt

2

)

t

(

u

T

1

U

współczynnik szczytu:

współczynnik kształtu:

skuteczna

wart.

masymalna

wart.

k

sz

=

średnia

wart.

skuteczna

wart.

k

k

=

- 3 -

Moc czynna:

Wartości chwilowe mocy pobieranej lub wydawanej przez dwójnik elektryczny równe są

iloczynowi napięcia przyłożonego do dwójnika i prądu płynącego przez dwójnik (pod wpływem tego
napięcia):

)

t

(

i

)

t

(

u

)

t

(

p

⋅

=

Jeżeli przebiegi prądu i napięcia są okresowe to również przebieg mocy jest okresowy.
Można wyznaczyć jego wartość średnią.
Nosi ona nazwę mocy czynnej i oznaczana jest dużą literą P.
Moc czynną wylicza się ją z takiego samego wzoru jak wartości średnie innych przebiegów:

∫

∫

⋅

=

⋅

=

T

0

dt

)

t

(

i

)

t

(

u

T

1

T

0

dt

)

t

(

p

T

1

P

Jednostką mocy czynnej jest 1 W (wat).

Prąd sinusoidalnie zmienny

Jest nim taki prąd, którego zmienność w czasie opisuje wyrażenie matematyczne:

)

t

sin(

I

))

t

(

sin(

I

i

I

max

max

)

t

(

Ψ

+

ω

=

τ

+

⋅

ω

=

Prąd sinusoidalnie zmienny

i

t

_

_

max

- I

max

I

τ = I

ω

Ψ

τ - czas jaki minął od chwili przejścia przebiegu przez „zero” do chwili kiedy rozpoczęto

mierzenie czasu (chwili:

0

t

= ).

Okres prądu sinusoidalnego to czas T (mierzony w jednostkach czasu, tj. w sekundach i

jednostkach pochodnych); okres funkcji sinus to kąt pełny

π

2 (mierzony w jednostkach kątów, tj. w

radianach albo w stopniach), stąd konieczny jest współczynnik przeliczeniowy

ω (mierzony w

radianach na sekundę).

Nosi on nazwę pulsacji. Jego wartość wynika z zależności:

π

=

⋅

ω

2

T

(okres funkcji sinus

musi odpowiadać okresowi przebiegu).

Stąd:

f

2

T

1

2

π

=

π

=

ω

Wartość pulsacji przebiegu sinusoidalnego wynika z prędkości kątowej (też oznaczanej

ω ) z

jaką kręci się wirnik prądnicy generującej ten przebieg (Sprawa jest trochę bardziej skomplikowana,
tak jest tylko wtedy gdy pole magnetyczne ma jedną parę biegunów).

Przyjęło się przedstawiać graficznie przebiegi sinusoidalne nie w funkcji czasu lecz w funkcji

iloczynu t

ω , a więc odpowiadającego czasowi kąta (tzw. kata fazowego):

- 4 -

Prąd sinusoidalny w funkcji t

ω

i

ωt

_

_

max

- I

max

I

I

Ψ = τω

- amplituda:

m

I

,

max

I

- faza, kąt fazowy (argument funkcji sin):

I

t

)

t

(

Ψ

+

ω

=

υ

- faza początkowa, początkowy kąt fazowy:

τ

⋅

ω

=

Ψ

=

Ψ

+

⋅

ω

=

υ

I

I

)

0

(

0

- pulsacja:

ω

- okres:

ω

π

⋅

=

2

T

- częstotliwość:

T

1

f

=

;

f

2

⋅

π

=

ω

- wartość średnia:

0

śr

I

=

- Wartość średnia przebiegu sinusoidalnego wyprostowanego (dwu- lub jednopołówkowo) jest różna
od zera.

- wartość skuteczna:

2

m

I

I

=

(To NIE JEST definicja wartości skutecznej, a jedynie wzór na jej wyliczanie dla
przebiegów sinusoidalnych!)

W Europie energia elektryczna dostarczana do mieszkań ma napięcie o wartości skutecznej

220 V. Przebiegi napięć i prądów mają częstotliwość 50 Hz. Odpowiada to okresowi

ms

20

s

02

,

0

50

1

T

=

=

=

. Pulsacja wynosi:

s

rad

314

50

2

≈

⋅

π

=

ω

.

Dwa lub więcej przebiegów:

Np. natężenie prądu i wymuszającego ten prąd napięcia:

- przebiegi synchroniczne:

o takiej samej pulsacji.

- 5 -

Dwa przebiegi sinusoidalne synchroniczne

u, i

(t)

u

(t)

i

ωt

- przesunięcie fazowe (

ϕ ) napięcia względem natężenia

I

U

Ψ

−

Ψ

=

ϕ

(napięcie wyprzedza natężenie o kąt ϕ )

Suma (różnica) przebiegów sinusoidalnych synchronicznych (o tej samej pulsacji) jest też
przebiegiem sinusoidalnym.

Wskazy (napięcia, natężenia)

Metoda odwołuje się do koła trygonometrycznego:

Prąd sinusoidalny i wskaz wirujący

(wartości maksymalnej)

i

ωt

3

ωt

3

ωt

2

ωt

2

ωt

1

ωt

1

ωt

ω

_

_

max

- I

max

I

max

I

I

Ψ

I

Ψ

Wskaz (wektor) ma długość równą amplitudzie odwzorowywanego przebiegu, umieszczony jest w
początku układu współrzędnych i obraca się (lewoskrętnie) z prędkością kątową równą pulsacji

ω .

- 6 -

Dodawanie przebiegów sinusoidalnych synchronicznych:

rys. 6.09. Dodawanie prądów sinusoidalny
jako wskazów wirujących wartości maksymalnych

i

3m

I

2m

I

1m

I

ωt

3

Ψ

3

Ψ

2

Ψ

2

Ψ

1

Ψ

I

Ψ

W praktyce powszechnie stosowany jest wskaz wartości skutecznej, a nie wskaz wartości

maksymalnej.
Jest on

2 razy krótszy, stąd uzyskane przebiegi trzeba przemnażać przez 2 .

PRZYKŁAD I:

Niech:

A

)

t

314

sin(

2

3

)

t

(

1

i

=

A

)

2

t

314

sin(

2

4

A

)

t

314

cos(

657

,

5

)

t

(

2

i

π

+

=

=

Należy wyznaczyć:

)

t

(

2

i

)

t

(

1

i

)

t

(

3

i

+

=

Jest:

A

3

2

2

3

2

max

1

I

1

I

=

=

=

rad

0

1 =

Ψ

A

4

2

657

,

5

2

max

2

I

2

I

=

=

=

rad

2

2

π

=

Ψ

Z twierdzenia Pitagorasa:

A

5

2

4

2

3

2

2

I

2

1

I

3

I

=

+

=

+

=

)

o

53,13

(

rad

927

,

0

3

4

tg

arc

1

I

2

I

tg

arc

3

≈

≈

=

=

Ψ

Jest zatem:

A

)

927

,

0

t

314

sin(

2

5

)

t

(

3

i

+

=

I3

I2

I1

Ψ3

rys. 6.10. Dodawanie wskazów prądu I

- 7 -

PRZYKŁAD II:

Niech:

A

)

3

t

314

sin(

2

3

)

t

(

1

i

π

+

=

A

)

6

t

314

sin(

657

,

5

)

t

(

2

i

π

+

=

Należy wyznaczyć:

)

t

(

2

i

)

t

(

1

i

)

t

(

3

i

+

=

Jest:

A

3

1

I

=

rad

3

1

π

=

Ψ

A

4

2

I =

rad

6

2

π

=

Ψ

Wartości 3

I oraz 3

Ψ najprościej wyliczyć dodając do siebie rzędne i odcięte wskazów, tj. ich

rzuty na osie „x” i „y”. Takie rzuty nazywane są w elektrotechnice składowymi ortogonalnymi
(prostopadłymi) prądu.

A

5

,

1

2

1

3

)

3

cos(

3

1

cos

1

I

x

1

I

=

⋅

=

π

⋅

=

Ψ

=

A

2,598

2

3

3

)

3

sin(

3

1

sin

1

I

y

1

I

≈

⋅

=

π

⋅

=

Ψ

=

A

3,464

2

3

4

)

6

cos(

4

2

cos

2

I

x

2

I

≈

⋅

=

π

⋅

=

Ψ

=

A

2

2

1

4

)

6

sin(

4

2

sin

2

I

y

2

I

=

⋅

=

π

⋅

=

Ψ

=

A

964

,

4

3,464

1,5

x

2

I

x

1

I

x

3

I

=

+

≈

+

=

A

598

,

4

2

598

,

2

y

2

I

y

1

I

y

3

I

=

+

≈

+

=

A

766

,

6

2

598

,

4

2

964

,

4

2

y

3

I

2

x

3

I

3

I

≈

+

≈

+

=

)

42,8

(

rad

0,747

4,598

4,964

tg

arc

I

I

tg

arc

o

3y

3x

3

≈

≈

≈

=

Ψ

Jest zatem:

A

)

747

,

0

t

314

sin(

2

766

,

6

)

t

(

3

i

+

≈

I3

I2

I1

Ψ3

Ψ2

Ψ1

rys. 6.10a. Dodawanie wskazów prądu II

I3

I3y

I3x

I2

I2y

I2x

I1

I1y

I1x

Ψ

3

Ψ

2

Ψ

1

rys. 6.10b. Dodawanie wskazów prądu
metodą dodawania składowych

- 8 -

Metoda symboliczna

Metoda wykresów wskazowych ułatwia obliczanie przebiegów sinusoidalnych.
Zamiast dodawać funkcje sinusoidalne dodaje się do siebie (geometrycznie) reprezentujące je

wskazy.

Najprościej robi się to dodając (albo odejmując) od siebie rzuty wskazów na osie „x” i „y”.
Elektrycy znaleźli sposób, by jeszcze uprościć, „zautomatyzować” te obliczenia. Zastosowali

do nich liczby zespolone.

Reprezentacją liczby zespolonej

ib

a

j

e

Z

Z

+

=

α

=

na „płaszczyźnie zespolonych” (o osiach

Re - realis i Im - imaginaris) jest wektor o początku w początku układu, długości Z i kącie względem
osi liczb rzeczywistych (osi Re - realis) równym

α . Wartości

α

=

cos

Z

a

i

α

=

sin

Z

b

to rzuty tego

wektora na osie Re - realis i Im - imaginaris. Dodawanie liczb zespolonych to dodawanie
(geometryczne) reprezentujących je wektorów.

Wszystko idealnie pasuje do wskazów.
Metoda, w której wskazy zapisuje się używając liczb zespolonych nosi nazwę metody

symbolicznej.

Jest przebieg sinusoidalny (np. prądu):

)

I

t

sin(

max

I

)

t

(

i

Ψ

+

ω

=

Odpowiada mu (reprezentuje go, „symbolizuje” go - stąd nazwa metody) wskaz wartości

skutecznej o długości:

2

max

I

I

=

i początkowym kącie nachylenia względem osi odciętych (osi „x”)

równym: I

Ψ .

Stosując metodę symboliczną wskazowi

I

max

,

2

I

Ψ przyporządkowuje się liczbę zespoloną

o module

I

Z

= i kącie

I

Ψ

=

α

.

W elektrotechnice stosuje się nieco inne oznaczenia niż w matematyce.
Przede wszystkim liczba urojona jest tu oznaczana literą „j”, a nie „i”. W elektrotechnice litera

„i” zarezerwowana jest dla oznaczania natężenia prądu.

Po drugie wielkości, które przyjmują wartości będące liczbami zespolonymi wyróżnia się się

podkreślając je.

)

I

t

sin(

max

I

)

t

(

i

Ψ

+

ω

=

⇒

Ψ

⋅

=

j

e

I

I

PRZYKŁAD:

Niech:

A

)

3

t

314

sin(

2

3

)

t

(

1

i

π

+

=

A

)

6

t

314

sin(

657

,

5

)

t

(

2

i

π

+

=

Należy wyznaczyć:

)

t

(

2

i

)

t

(

1

i

)

t

(

3

i

+

=

Jest:

A

3

1

I

=

rad

3

1

π

=

Ψ

A

3

j

e

3

1

I

π

⋅

=

A

4

2

I

=

rad

6

2

π

=

Ψ

A

6

j

e

4

2

I

π

⋅

=

- 9 -

A

j4,598

4,9641

j2)

(3,4641

j2,598)

1,5

(

6

j

e

4

3

j

e

3

2

I

1

I

3

I

+

=

+

+

+

≈

π

⋅

+

π

⋅

=

+

=

Aby można było wyznaczyć przebieg wartości chwilowych prądu

)

t

(

3

i

trzeba

przekształcić 3

I z postaci algebraicznej do postaci wykładniczej:

A

747

,

0

j

e

7664

,

6

j4,598

4,9641

3

I

⋅

≈

+

≈

Prąd

)

t

(

3

i

ma przebieg:

A

)

747

,

0

t

314

sin(

2

7664

,

6

)

t

(

3

i

+

=

Zauważmy, że wprowadzenie liczb zespolonych jedynie „zautomatyzowało” obliczenia.
Sens metody pozostał niezmieniony.

- 10 -

Odbiornik w obwodzie prądu sinusoidalnie zmiennego

i(t)

u(t)

odbiornik liniowy,
pasywny
prądu
sinusoidalnego

Przebieg wartości chwilowych napięcia:

)

U

t

sin(

2

U

)

U

t

sin(

m

U

)

t

(

u

Ψ

+

ω

=

Ψ

+

ω

=

Prąd płynący pod wpływem tego napięcia jest również prądem okresowym, sinusoidalnym:

)

t

sin(

2

I

)

t

sin(

I

i

I

I

m

)

t

(

Ψ

+

ω

=

Ψ

+

ω

=

ΨU

u, i

ωt

i(t)

u(t)

ΨI

Empirycznie stwierdzono, że dla odbiornika liniowego, pasywnego wartość skuteczna prądu

jest wprost proporcjonalna do wartości skutecznej wywołującego ten prąd napięcia:

U

I

oraz, że dla danej pulsacji

ω i dla danego odbiornika

przesunięcie fazowe miedzy prądem i wywołującym go
napięciem jest stałe:

ϕ

=

=

Ψ

−

Ψ

const

I

U

Z

I

U = ← współczynnik proporcjonalności:

impedancja







=

ϕ

=

Ψ

−

Ψ

⋅

=

const

I

Z

U

I

U

Powyższa zależność jest nazywana prawem Ohma dla przebiegów sinusoidalnie zmiennych.

Inna postać prawa Ohma:







=

ϕ

−

=

Ψ

−

Ψ

⋅

=

const

U

Y

I

U

I

gdzie:

Z

1

Y

=

← współczynnik proporcjonalności: admitancja

U

I

Re

φ

ΨU

ΨI

Odbiornik pasywny liniowy
- wykres wskazowy

- 11 -

Jednostki:

[ ]

Ω

=

=

1

A

1

V

1

1

Z

[ ]

S

1

V

1

A

1

1

Y

=

=

Terminy „impedancja” i „admitancja” pochodzą od łacińskich:
- impedio - przeszkadzać, tamować, stać na zawadzie
- admitto - wprawić w ruch, dozwolić, przyjąć.

Te same zależności przy zastosowaniu metody symbolicznej:

U

j

e

U

U

Ψ

⋅

=

I

j

e

I

I

Ψ

⋅

=

)

I

U

(

j

e

I

U

j

e

Z

Z

Ψ

−

Ψ

⋅

=

ϕ

⋅

=

← impedancja zespolona

I

Z

U

⋅

=

)

I

(

j

e

I

Z

U

j

e

U

U

ϕ

+

Ψ

⋅

⋅

=

Ψ

⋅

=

)

U

I

(

j

e

U

I

j

e

Y

j

e

1

Z

1

Z

1

Y

Ψ

−

Ψ

⋅

=

ϕ

−

⋅

=

ϕ

⋅

=

=

← admitancja zespolona

Każdy odbiornik liniowy, pasywny można opisać przy pomocy impedancji zespolonej

ϕ

⋅ j

e

Z

, której moduł

I

U

Z

=

opisuje proporcjonalność wartości skutecznych prądu i napięcia

występujących w odbiorniku, zaś argument

I

U Ψ

−

Ψ

=

ϕ

stałe (dla danego odbiornika, przy danej

pulsacji) przesunięcie fazowe pomiędzy tymi wielkościami:

I

Z

U

⋅

=

Alternatywny, równoważny opis wykorzystuje pojęcie admitancji zespolonej:

U

Y

I

⋅

=

- 12 -

Idealne elementy pasywne w obwodach prądu sinusoidalnego

- rezystor idealny

Element, który jest opisywany przez prawa Ohma i Joule’a:

Prawo Ohma:

)

t

(

i

R

)

t

(

R

u

⋅

=

(albo:

)

t

(

R

u

G

)

t

(

i

⋅

=

);

Prawo Joule'a:

2

)

t

(

i

R

)

t

(

i

)

t

(

R

u

)

t

(

p

⋅

=

⋅

=

Rezystor idealny

i

(t)

u

R(t)

R (G)

energia

cieplna

W rezystorze idealnym zachodzi jedno jedynie zjawisko: zjawisko cieplnego rozpraszania

energii elektrycznej

W rezystorze rzeczywistym mogą występować jeszcze inne zjawiska wywołane związanym z

przepływem prądu powstawaniem pola elektrycznego i magnetycznego i występującymi przy tym
przemianami energetycznymi.

Rozważa się jeszcze inne elementy idealne, w których zachodzą pojedyncze zjawiska

fizyczne.

Są nimi: idealna cewka indukcyjna (induktor) i idealny kondensator oraz idealne sprzężenie

magnetyczne a także idealne źródło napięciowe (SEM) i idealne źródło prądowe (SPM).

- idealna cewka indukcyjne (induktor)

Wokół przewodnika z prądem (

)

t

(

i

) istnieje zawsze pole magnetyczne.

Pole to jest wirowe - jego linie sił tworzą zamknięte linie otaczające przewodnik.
Pole opisują wektory: natężenia pola (

)

t

(

H

) i indukcji magnetycznej (

)

t

(

B

).

Są one funkcjami czasu - podobnie jak prąd.

Prąd i pole magnetyczne

B(t)

H(t)

i(t)

Strumień indukcji magnetycznej

B

S

S

Φ

Strumień indukcji magnetycznej:

S

B

S

⋅

=

Φ

- jeżeli wektor indukcji jest prostopadły do

powierzchni S w każdym jej punkcie i w każdym punkcie ma taką samą wartość B.

Zwrot wektorów opisujących pole określa reguła śruby prawoskrętnej.
Prąd płynący w przewodniku wytwarza pole. „Globalnie” charakteryzuje je całkowity

strumień. Na ogół nie jest on prosty do wyznaczania ale nam chodzi jedynie o (oczywistą tu) intuicję.

Stosunkowo łatwo wyznacza się strumień cewki, tj. przewodnika tworzącego pewną liczbę

zwojów. Obliczanie strumienia wytwarzanego przez cewkę ułatwia to, że przechodzi on w całości
przez jej wnętrze. Właśnie dlatego przy analizowaniu zjawisk związanych ze wzajemnym

- 13 -

oddziaływaniem prądu i wytwarzanego przezeń pola magnetycznego rozważa się właśnie cewkę.
Należy jednak pamiętać, ze zjawiska te występują dla dowolnych układów elementów wiodących prąd
elektryczny - także dla odosobnionego przewodnika.

Pole magnetyczne

cewki indukcyjnej

z

Φ

(t)

i

Strumień magnetyczny
sprzężony z cewką

z

Φ

Rozważmy teraz cewkę w której nie płynie prąd, a przez którą przenika strumień magnetyczny

Φ stanowiący część „zewnętrznego” pola magnetycznego.

Mówimy, że jest to strumień sprzężony z cewką.
Strumień

Φ sprzężony jest z każdym zwojem cewki. Cewka składa się z „z” zwojów. Jeżeli

jakieś zjawisko (spowodowane przez istnienie strumienia

Φ ) występuje w każdym zwoju to dla cewki

występuje ono „z” razy. Jest „z-zwielokrotnione”. Tak jak gdyby z cewką jednozwojową sprzężony
był strumień z-krotnie większy.

Stąd koncepcja nowej wielkości fizycznej: strumienia sprzężonego

Ψ :

Φ

⋅

=

Ψ z

.

W polu magnetycznym na igłę magnetyczną (albo na przewodnik z prądem) działają siły.

Wykonywana jest praca (skręcenia igły, przesunięcia przewodnika). Istnieje zatem energia, która w tę
pracę się zamienia. Ta energia jest zmagazynowana w polu.

Im silniejsze (a więc charakteryzowane przez większą indukcję, większy strumień) pole tym

więcej jest w nim energii. Zmniejszanie się (lub zwiększanie) strumienia oznacza zmniejszanie się
(lub zwiększanie) ilości tej energii. Tak jak zmniejszanie się (lub zwiększanie) energii kinetycznej
poruszającego się ciała przy zmianie jego prędkości. Ta energia musi być dostarczana lub gdzieś
odprowadzana. Przejawia się to jako występowanie siły bezwładności (w przypadku ruchu i ciała) i
siły elektromotorycznej indukcji (w przypadku pola magnetycznego i cewki).

Indukowanie się SEM w cewce

z

Φ

(t)

i

(t)

e

Zwrot SEM indukującej się w cewce przy zmianie sprzężonego z nią strumienia

magnetycznego jest taki, by linie pola magnetycznego wytworzonego przez prąd jaki popłynąłby pod
jej wpływem miały taki sam zwrot jak linie sił pola sprzężonego z cewką.

Wartość tej SEM określa wzór:

t

z

t

e

∆

∆Φ

⋅

−

=

∆

∆Ψ

−

=

Zależność ta nosi nazwę prawa Faradaya.

- 14 -

Gdy strumień maleje (

0

<

∆Ψ

) iloraz

t

∆

∆Ψ

jest ujemny, a zaindukowana SEM wymusza prąd

podtrzymujący pole. Gdy strumień rośnie (

0

>

∆Ψ

) iloraz

t

∆

∆Ψ

jest dodatni - prąd wymuszany przez

zaindukowaną SEM pole osłabia.

SEM indukcji przeciwstawia się zatem zmianie pola magnetycznego (mówi się tu o „prawie

przekory”). Tak samo działa siła bezwładności przeciwstawiająca się zmianie prędkości ciała.

Wróćmy teraz do cewki, przez którą płynie prąd i która wytwarza pole magnetyczne. Pole

sprzężone z cewką jest tu jednocześnie polem przez cewkę (ściślej: przez prąd płynący w cewce)
wytwarzanym. Zjawisko indukowania się SEM przy zmianie wartości strumienia sprzężonego z
cewką nosi w tym przypadku nazwę zjawiska samoindukcji (bo sama cewka jest źródłem pola).

Strumień magnetyczny „

Φ ” wytworzony przez prąd „i” płynący w cewce ma - w środowisku

nieferromagnetycznym - wartość proporcjonalną do natężenia tego prądu. Proporcjonalny do prądu
jest też - oczywiście - strumień sprzężony

Φ

⋅

=

Ψ z

.

Strumień sprzężony i prąd
w środowisku nieferromagnetycznym

Ψ

i

α

Współczynnik proporcjonalności L pomiędzy strumieniem sprzężonym wytwarzanym przez

prąd płynący w układzie przewodników (przykładowo w cewce) i natężeniem tego prądu nosi nazwę

indukcyjności:

α

=

Φ

⋅

=

Ψ

=

tg

i

z

i

L

.

Jednostką indukcyjności jest henr:

[ ]

[ ]

[ ]

s

1

A

1

s

V

1

A

1

Wb

1

i

H

1

L

⋅

Ω

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

Ψ

=

⋅

=

Zatem prawo Faradaya można dla zjawiska samoindukcji zapisać następująco:

t

i

L

t

e

∆

∆

⋅

−

=

∆

∆Ψ

−

=

Cewka jest odbiornikiem energii elektrycznej. Obowiązuje dla niej zatem strzałkowanie

odbiornikowe, nie źródłowo. Stąd zależność pomiędzy napięciem na cewce a SEM:

)

t

(

e

)

t

(

u

−

=

.

Jest teraz:

t

i

L

e

u

L

∆

∆

⋅

=

−

=

Dla wartości chwiowych:

dt

di

L

t

i

lim

L

u

)

t

(

)

t

(

0

t

)

t

(

L

⋅

=

∆

∆

⋅

=

→

i

(t)

u

L(t)

e

(t)

L

energia

pola

magnetycznego

Cewka idealna (induktor)

- 15 -

Cewka idealna (induktor) to abstrakcyjny element, w którym występuje tylko jedno zjawisko:

zjawisko samoindukcji opisywane prawem Faradaya.

Zjawisko samoindukcji:

dt

)

t

(

di

L

)

t

(

L

u

⋅

=

Zjawisko samoindukcji występuje w każdym elemencie przewodzącym prąd - nie tylko w

specjalnie skonstruowanej cewce.

- kondensator

Kondensator to układ dwu przewodników przedzielonych materiałem nieprzewodzącym
(dielektrykiem - także próżnią).

Przewodniki tworzące kondensator nazywane są okładzinami.
Jeżeli do jednej okładziny kondensatora doprowadzi się ładunek Q to, skutkiem działania sił

kulombowskich, do drugiej okładziny dopłynie ładunek o takiej samej wartości lecz o przeciwnym
znaku:

Q

Q

Q

=

−

=

+

Pomiędzy okładzinami zaistnieje pole elektryczne. Każdy punkt tego pola charakteryzowany

jest wartością potencjału elektrycznego. Różnica potencjałów okładzin to napięcie występujące na
kondensatorze.

Napięcie „U” charakteryzujące pole wytworzone przez ładunek „Q” zgromadzony na

okładzinach kondensatora ma wartość proporcjonalną do tego ładunku.

Zależność napięcia od ładunku kondensatora

Q

U

-

-

+

+

-

-

+

+

Q-

Q+

U

α

Współczynnik proporcjonalności C pomiędzy ładunkiem kondensatora i napięciem

występującym pomiędzy okładzinami kondensatora nosi nazwę pojemności:

α

=

=

tg

U

Q

C

.

Jednostką pojemności jest farad:

[ ]

[ ]

[ ]

Ω

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

=

⋅

=

s

s

S

1

V

1

s

A

1

V

1

C

1

U

1

Q

1

F

1

C

Pojemność elektryczna charakteryzuje nie tylko celowo wykonane kondensatory ale każdy

układ przewodników, w którym mogą gromadzić się ładunki tworzące pole elektryczne.

Aby ładunki znalazły się na okładzinie kondensatora muszą tam dopłynąć. Taki przepływ

ładunków to prąd elektryczny.

W czasie „

t

∆ ” do kondensatora dopływa ładunek: t

i

q

∆

⋅

=

∆

.

Dla kondensatora o pojemności „C” słuszna jest zależność: u

C

q

∆

⋅

=

∆

Łącząc te wzory otrzymujemy:

t

i

u

C

)

t

(

∆

⋅

=

∆

⋅

.

Stąd zależność łącząca prąd i napięcie kondensatora:

t

u

C

i

∆

∆

⋅

=

Dla wartości chwilowych:

dt

du

C

t

u

lim

C

i

)

t

(

)

t

(

0

t

)

t

(

⋅

=

∆

∆

⋅

=

→

- 16 -

Kondensator idealny to element, w którym zachodzi wyłącznie zjawisko gromadzenia

ładunków opisywane zależnością pomiędzy parametrami pola elektrycznego wytwarzanego przez te
ładunki i prądem ładunki dostarczającym:

i

(t)

u

C(t)

C

energia
pola

elektrycznego

Kondensator idealny

Równanie kondensatora:

dt

)

t

(

du

C

)

t

(

i

⋅

=