W Y K Ł A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I METODA PRZEMIESZCZEŃ- PRZYKŁAD
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 3
Metoda przemieszczeń
Wzory transformacyjne na momenty przęsłowe przywęzłowe: 2 EI
M =
(2ϕ + ϕ − 3ψ )
ik
i
k
ik
ϕ i
ϕ k
l
V − V
k
i
ψ =
ik
l
2 EI
M =
(2ϕ + ϕ − 3ψ )
ki
k
i
ik
l
(3.1)
6 EI
T = −
(ϕ + ϕ − 2ψ )
ik
2
i
k
ik
l
l
6 EI
T = −
(ϕ + ϕ − 2ψ )
ki
2
k
i
ik
l
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
W Y K Ł A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I METODA PRZEMIESZCZEŃ- PRZYKŁAD
M = 0
ik
ϕ i
ϕ k
3 EI
M =
(ϕ −ψ )
ki
k
ik
l
3 EI
T = −
(ϕ −ψ )
ik
2
k
ik
l
(3.2)
3 EI
T = −
(ϕ −ψ )
l
ki
2
k
ik
l
M = 0
ki
3 EI
M =
(ϕ −ψ )
ik
i
ik
l
3 EI
T = −
(ϕ −ψ )
ik
2
k
ik
l
(3.3)
l
3 EI
T = −
(ϕ −ψ )
ki
2
k
ik
l
ϕ i
ϕ k
EI
M =
( ϕ
− + ϕ )
ki
i
k
l
EI
M =
(ϕ − ϕ )
ik
i
k
l
T
(3.4)
ik = 0
Tki = 0
l
ϕ i
ϕ
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Ł
k odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
W Y K Ł A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I METODA PRZEMIESZCZEŃ- PRZYKŁAD
W powyższych przypadkach pomijamy wpływ sił normalnych Wykresy momentów na prętach obustronnie utwierdzonych: 2
ql
2
ql
Pl
12
12
8
2
ql
3 Pl
8
16
Przykład
Założenie metody: pręty pracują jako obustronnie utwierdzone h
l
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
W Y K Ł A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I METODA PRZEMIESZCZEŃ- PRZYKŁAD
R
R ϕ
R ϕ
R u
R p q M
1 =
( )
1
1 +
( )
1
2
+ ( )
1
3
+ ( , , )
1
= 0
R R ϕ R ϕ R u R p q M
2 =
( )
2
1 +
( )
2
2
+
( )
2
3
+
( , ,
)
2
= 0
R R ϕ R ϕ R u R p q M
3 =
( )
3
1 +
( )
3
2
+ ( )
3
3
+ ( , , )
3
= 0
R (ϕ ) = r ϕ
1
1
11 1
Z = ϕ
1
1
Z = ϕ
2
2
Z = ϕ
3
3
r Z
r Z
r Z
r
11 1 + 12
2 + 13
3 + 1 P = 0
r Z r Z r Z r
21 1 + 22
2 + 23
3 + 2 P = 0
r Z r Z r Z r
31 1 + 32
2 + 33
3 + 3 P = 0
gdzie:
rik- reakcja węzła „i” spowodowana jednostkowym przemieszczeniem węzła „k”
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
W Y K Ł A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I METODA PRZEMIESZCZEŃ- PRZYKŁAD
riP- reakcja węzła i spowodowana obciążeniem zewnętrznym stan Z1=1 (φ1=1)
ϕ = ,1 ϕ = ,
0 ϕ = ,
0 ψ ik = 0
1
0
2
Na podstawie wzorów 1.1-2.2 otrzymujemy następujące wartości momentów przywęzłowych:
M = 0
01
3 EI
M
s
=
10
h
4 EI
M
r
=
12
l
2 EI
M
r
=
21
l
M
∑ = 0
1
4 EIr
l
4 EI
3 EL
r
r
s
=
−
11
3 EI s
l
h
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper h
W Y K Ł A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I METODA PRZEMIESZCZEŃ- PRZYKŁAD
M
∑
= 0
2 EI
2
r
l
2 EI
r
r
=
21
l
Reakcje r3i obliczyć można np. za pomocą równania pracy wirtualnej. Przy obliczaniu reakcji r31 posłużymy się jednak siłami tnącymi zapisując równanie równowagi (tnące obliczone z momentów) 3 EI s
h
M
∑
= 0
0
3 EI
T ⋅ h
s
+
= 0
r = T + T
10
31
10
23
h
3 EI
3 EI
r
s
= −
3
T = −
31
2
10
h
2
h
Dla stanu 2 postępujemy analogicznie do 1
stan Z3=1 (u2=1)
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
W Y K Ł A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I METODA PRZEMIESZCZEŃ- PRZYKŁAD
1
ψ =ψ =
01
10
h
ψ
ψ
01
23
1
ψ =ψ =
23
32
h
Ze wzorów 1.1-2.2
M = 0
01
3 EI
M
s
= −
10
2
h
M = 0
12
M = 0
21
6 EI
M
s
= −
23
2
h
6 EI
M
s
= −
32
2
h
6 EI s
h
3 EI
3 EI
s
s
r = −
h
13
2
h
6 EI s
6 EI
r = −
s
23
2
h
h
Reakcję r33 obliczymy korzystając z równania pracy wirtualnej: 3 EI
6 EI
6
r ⋅
EI
1−
s (ψ ) − (
s +
s )(ψ ) = 0
33
2
01
2
2
23
h
h
h
15 EI
r
s
=
33
3
h
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
W Y K Ł A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I METODA PRZEMIESZCZEŃ- PRZYKŁAD
stan P
Wykres momentów ma postać:
2
ql
2
ql
12
12
2
ql
r = −
1 p
12
2
ql
r =
2 p
12
Reakcję r3p otrzymamy z równowagi wyciętej części (momenty w prętach 01 i 23 równa zeru, więc tnące w tych prętach również są zerowe) r 3 = − P
p
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
W Y K Ł A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I METODA PRZEMIESZCZEŃ- PRZYKŁAD
Obliczone wartości reakcji rik oraz rip podstawiamy do układu równań kanonicznych:
r Z
r Z
r Z
r
11 1 + 12
2 + 13
3 + 1 P = 0
r Z r Z r Z r
21 1 + 22
2 + 23
3 + 2 P = 0
r Z r Z r Z r
31 1 + 32
2 + 33
3 + 3 P = 0
Obliczamy wartości Z1, Z2, Z3 równych φ1, φ2, u2, Końcową wartość momentów otrzymujemy na drodze superpozycji: M = M ϕ
ϕ
1 1 + M 2
2 + M u
3 2 + M P
gdzie:
M1-wartość momentu wywołanego stanem Z1
M2-wartość momentu wywołanego stanem Z2
M3-wartość momentu wywołanego stanem Z3
MP-wartość momentu wywołanego stanem P
φ1, φ2, u2-wartości obliczone z układu równań kanonicznych Momenty końcowe uzyskać można za pomocą wzorów transformacyjnych:
2 EI
M =
(2ϕ + ϕ − 3ψ )
ik
i
k
ik
l
3 EI
M =
(ϕ −ψ )
ki
k
ik
l
podstawiając za odpowiednie φi, φk wartości z równań kanonicznych φ1, φ2, natomiast w miejsce ψik odpowiednie ψ=u2/h Wartości końcowych sił tnących obliczamy dla poszczególnych prętów za pomocą znanych już wartości momentów, natomiast siły normalne otrzymujemy z równowagi węzłów.
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
W Y K Ł A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I METODA PRZEMIESZCZEŃ- PRZYKŁAD
Równania pracy wirtualnej w metodzie przemieszczeń Stosowanie równań pracy wirtualnej do obliczania reakcji w metodzie przemieszczeń wiąże się z przyjęciem określonych założeń.
Nawiążmy do powyższego przypadku.
Zakładamy istnienie stanu wieloprzegubowego: Wymuszając w powyższym stanie obrót węzła lub przemieszczenie, nie wywołujemy powstawania sił wewnętrznych (M=0).Momenty powstałe w stanie Z1 (str....) traktujemy jako obciążenie zewnętrzne pracujące na wirtualnym przemieszczeniu. W wyniku tego zabiegu prawe strony równań pracy wirtualnej zerują się.
W stanie wieloprzegubowym wymuszamy jednostkowy obrót węzła 1: 4 EIr
l
3 EI s
h
Równania pracy wirtualnej mają postać:
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
W Y K Ł A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I METODA PRZEMIESZCZEŃ- PRZYKŁAD
3 EI
4 EI
r ⋅1
s
+
⋅1
r
−
⋅1 = 0 ⋅1
11
h
h
4 EI
3 EI
r
r
s
=
−
11
h
h
3 EI s 1
4 EI
r ⋅1+
( )
r
−
( )
0 = 0 ⋅1
31
h
h
h
3 EI
r
s
= −
31
2
h
Przy obliczaniu reakcji rip pamiętać trzeba o uwzględnieniu prócz pracy momentów wywołanych stanem P o uwzględnieniu w równaniach pracy wirtualnej, pracy sił zewnętrznych P na odpowiednich przemieszczeniach δ (obliczonych z równania łańcucha kinematycznego).
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper