Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 19
Wykres widma funkcji sporządzamy w ten sposób, iż na osi odciętych nanosimy punkty
odpowiadające w pewnej skali częstością
ω
n
i w każdym takim punkcie wystawiamy pionowy
odcinek o długości proporcjonalnej do wielkości A
n
2
. Tak otrzymany wykres nazywa się
spektrogramem analizowanej funkcji q(t).
(4.4)
q t
( )
a
o
2
1
N
n
a
n
cos n
2
π
T
⋅
t
⋅
⋅
b
n
sin n
2
π
T
⋅
t
⋅
⋅
+
∑
=
+
=
n
1
= 2
,
N
..
Małe amplitudy wyższych harmonicznych zazwyczaj pomija się, a funkcję w zależności od
żądanej dokładności przedstawia się w postaci
(4.3)
A
n
2
a
n
2
b
n
2
+
=
ω
N
A
N
2
,
(
)
.....
ω
2
A
2
2
,
(
)
ω
1
A
1
2
,
(
)
Kolejne wyrazy szeregu Fouriera opisują n-te harmoniczne drgań okresowych. Charakteryzuje
się je zbiorem par liczb: kolejnych częstości kołowych oraz kwadratów odpowiadających im
amplitud, otrzymując tzw. widmo funkcji
n
1
= 2
,
∞
..
b
n
2
T
0
T
t
q t
( ) sin n
2
π
T
⋅
t
⋅
⋅
⌠
⌡
d
⋅
=
(4.2)
a
n
2
T
0
T
t
q t
( ) cos n
2
π
T
⋅
t
⋅
⋅
⌠
⌡
d
⋅
=
a
o
2
T
0
T
t
q t
( )
⌠
⌡
d
⋅
=
gdzie
(4.1)
q t
( )
a
o
2
1
∞
n
a
n
cos n
ω
⋅ t⋅
(
)
⋅
b
n
sin n
ω
⋅ t⋅
(
)
⋅
+
(
)
∑
=
+
=
Do matematycznego opisu wszelkiego rodzaju zjawisk okresowych doskonale nadają się
szeregi trygonometryczne. Ruch okresowy nieharmoniczny można zastąpić skończoną sumą lub
nieskończonym szeregiem drgań harmonicznych. W pierwszym przypadku uzyskamy opis
przybliżony ruchu. Rozkład funkcji o okresie T, spełniającej warunki Dirichleta (znane z kursu
matematyki) polega na rozwinięciu w szereg Fouriera:
4. Analiza drgań harmonicznych
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 20
2
T
0
T
t
2 cos 3 t
⋅
(
)
2
⋅
2 cos 4 t
⋅
(
)
⋅
+
sin 3 t
⋅
(
)
+
(
)
3
sin 10
2
π
T
⋅
t
⋅
⋅
⌠
⌡
d
⋅
0
→
współczynnik b
10
.
.
.
2
T
0
T
t
2 cos 3 t
⋅
(
)
2
⋅
2 cos 4 t
⋅
(
)
⋅
+
sin 3 t
⋅
(
)
+
(
)
3
sin 1
2
π
T
⋅
t
⋅
⋅
⌠
⌡
d
⋅
3
−
→
współczynnik b
1
2
T
0
T
t
2 cos 3 t
⋅
(
)
2
⋅
2 cos 4 t
⋅
(
)
⋅
+
sin 3 t
⋅
(
)
+
(
)
3
sin 0
2
π
T
⋅
t
⋅
⋅
⌠
⌡
d
⋅
0
→
współczynnik b
0
2
T
0
T
t
2 cos 3 t
⋅
(
)
2
⋅
2 cos 4 t
⋅
(
)
⋅
+
sin 3 t
⋅
(
)
+
(
)
3
cos 10
2
π
T
⋅
t
⋅
⋅
⌠
⌡
d
⋅
9
2
→
współczynnik a
10
.
.
.
2
T
0
T
t
2 cos 3 t
⋅
(
)
2
⋅
2 cos 4 t
⋅
(
)
⋅
+
sin 3 t
⋅
(
)
+
(
)
3
cos 2
2
π
T
⋅
t
⋅
⋅
⌠
⌡
d
⋅
15
2
→
współczynnik a
2
2
T
0
T
t
2 cos 3 t
⋅
(
)
2
⋅
2 cos 4 t
⋅
(
)
⋅
+
sin 3 t
⋅
(
)
+
(
)
3
cos 1
2
π
T
⋅
t
⋅
⋅
⌠
⌡
d
⋅
0
→
współczynnik a
1
2
T
0
T
t
2 cos 3 t
⋅
(
)
2
⋅
2 cos 4 t
⋅
(
)
⋅
+
sin 3 t
⋅
(
)
+
(
)
3
⌠
⌡
d
⋅
37
2
→
współczynnik a
0
Współczynniki szeregu Fouriera obliczamy wg zależności (4.2). Z tytułu stosunkowo
rozbudowanej postaci funkcji q(t) obliczenia najlepiej przeprowadzić za pomocą jednego
z programów matematycznych np. Derive, Mathematica, MathCad. Posiłkując się
Mathcadem dla poszczególnych n otrzymujemy:
T
2
π
=
Okres funkcji
n
0 N
..
=
Zakres współczynników szeregu Fouriera
N
10
=
Przyjęto maksymalny rząd harmonicznych równy
q t
( )
2 cos 3 t
⋅
(
)
2
⋅
2 cos 4 t
⋅
(
)
⋅
+
sin 3 t
⋅
(
)
+
(
)
3
=
Wyznaczyć widmo amplitudowo-częstotliwościowe ruchu opisanego za pomocą funkcji
Przykład 4.1
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 21
Zestawienie wszystkich obliczonych wartości współczynników oraz suma ich kwadratów
a
n
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
18.5
-0
7.5
-0
18
-0
9.75
-0
7.5
-0
4.5
=
b
n
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
-3
0
8.25
0
0
0
3
0
2
0
=
a
n
( )
2
b
n
( )
2
+
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
342.25
9
56.25
68.062
324
0
95.062
9
56.25
4
20.25
=
Spektrogram funkcji q(t)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
200
400
Czestosc
K
w
a
d
ra
t
a
m
p
li
tu
d
y
Wykres sygnału - funkcji q(t) oraz jej aproksymacji szeregami Fouriera przy uwzględnieniu
rzędu N=10 oraz N=4.
0
1
2
3
4
5
6
20
0
20
40
60
80
Sygnal q(t)
Aproksymacja N=10
Aproksymacja N=4
Czas t
F
u
n
k
cja
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 22
5. Więzi odkształcalne w układach
Podczas badania rzeczywistego układu mechanicznego, z uwagi na jego złożoność buduje
się odpowiadający mu zastępczy model fizyczny. Dokonuje się pewnych uproszczeń
pomijając te czynniki, które w konkretnym przypadku są mniej ważne, a uwzględnia się
te cechy, które odgrywają najistotniejszą rolę w badanym ruchu. Uwzględnienie odkształceń
konstrukcji powoduje komplikacje obliczeniowe. Najczęściej brane są pod uwagę sprężyste
i wiskotyczne właściwości ustrojów. W modelu obiektu reprezentują je więzi liniowo-
sprężyste i tłumiki wiskotyczne.
Więzi liniowo-sprężyste
Oznaczane najczęściej symbolem sprężyny o charakterystyce k, nazywanej sztywnością.
Sztywnością k izolowanej więzi sprężystej nazywa się stosunek uogólnionej siły czynnej P
do odpowiadającego jej uogólnionego przemieszczenia q:
k
P
q
=
(5.1)
Stosunek uogólnionego przemieszczenia q do odpowiadającej mu uogólnionej siły P
nazywa się podatnością
δ:
δ
q
P
=
(5.2)
Wielkości uogólnione należy traktować jako obejmujące przemieszczenia i siły zarówno
w ruchu translacyjnym jak i rotacyjnym (siła-przesunięcie, moment-obrót).
P
q
q
k
k
Prawdziwa jest zawsze poniższa zależność
k
δ
⋅
1
=
(5.3)
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 23
Więź liniowo-sprężysta gromadzi energię potencjalną odkształcenia, której wartość można
wyznaczyć korzystając w wykresu zależności między siłą i przemieszczeniem
P
q
P
=
k
q
q
dq
o
E
p
L
=
q
P q
( )
⌠
⌡
d
=
0
q
o
q
k q
⋅
⌠
⌡
d
=
k q
o
2
⋅
2
=
(5.4)
Przykłady równoważnych parametrów więzi sprężystych w ustrojach prętowych poniżej
Przemieszczenie
Schemat układu
Podatność
Sztywność
L
P
q
EI
L
EA
P
q
q=
k=
3
L
3EI
L
3
P
3EI
3EI
δ=
3
L
EA
P L
q=
L
EA
k=
L
EA
δ=
EI
b
a
EI
q
P
a
q
b
EI
P
δ=
3EI (a+b)
q=
3 3
3
k=
b
a
P
b
a
3
3
3
3EI (a+b)
3
a b
3EI (a+b)
3 3
δ=
b
a
3EI (a+b)
q=
3EI (a+b)
2
2
b
a
P
k=
2
2
3EI (a+b)
2
2
a b
q
P
L/2
L/2
q=
48 EI
k=
3
L
3
L
P
48 EI
48 EI
δ=
3
L
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 24
Więzi sprężyste mogą występować w systemach złożonych, które składają się z układów
połączeń równoległych lub szeregowych. W takim przypadku niezbędne jest wyznaczenie
zastępczej wartości parametrów:
a) przy połączeniu równoległym, gdzie przemieszczenie wszystkich elementów sprężystych
jest jednakowe
P
q
k
1
2
k
z
k
q
P
Siła P przenoszona jest przez wszystkie elementy jednakowo zdeformowane stąd
P
k
1
q
⋅
k
2
q
⋅
+
=
k
1
k
2
+
(
)
q
⋅
=
k
z
q
⋅
=
(5.5)
Dla dowolnej liczby n elementów sprężystych będzie więc
k
z
1
n
i
k
i
∑
=
=
(5.6)
b) przy połączeniu szeregowym, gdzie przemieszczenie wypadkowe jest sumą przemieszczeń
elementów składowych, a siła oddziałująca jest jednakowa dla wszystkich składników
k
1
z
k
q
P
k
2
P
q
1
q
q
2
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 25
k
23
500000
N
m
=
k
23
k
2
k
3
+
=
Częściowa sztywność zastępcza sprężyn 2 i 3, pracujących równolegle
k
4
831131.56
N
m
=
k
4
3 E
⋅ I⋅ a b
+
(
)
3
⋅
a
3
b
3
⋅
=
Modelowa sztywność belki
Rozwiązanie:
b
280 cm
⋅
=
a
120 cm
⋅
=
- wymiary geometryczne
I
80.1 cm
4
⋅
=
E
205 GPa
⋅
=
- parametry sztywności belki wsporczej
g
9.807
m
sec
2
=
m
500 kg
⋅
=
- masa ciała oraz wartość przyśpieszenia ziemskiego
k
3
3 10
5
⋅
N
m
⋅
=
k
2
2 10
5
⋅
N
m
⋅
=
k
1
10
5
N
m
⋅
=
-sztywności sprężyn składowych
Dane:
P
z
k
q
k
1
2
k
k
3
m
b
a
EI
q
Wyznaczyć sztywność zastępczą układu wg schematu i danych poniżej
Przykład 5.1
(5.8)
1
k
z
1
n
i
1
k
i
∑
=
=
Dla dowolnej liczby n elementów sprężystych będzie więc
(5.7)
q
q
1
q
2
+
=
P
k
1
P
k
2
+
=
P
1
k
1
1
k
2
+
⋅
=
P
k
z
=
Przemieszczenie całkowite jako suma składowych wynosi
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 26
przedstawia pochodną uogólnionego przemieszczenia względem czasu.
q
•
Oznaczenie
(5.10)
D
c q
•
( )
2
⋅
2
=
Tłumik wiskotyczny gromadzi moc o wartości
(5.9)
c
P
q
•
=
P
q
c
.
c
q
.
P
Więzi te opisują opory ruchu. Najczęściej stosowanym modelem jest tłumik wiskotyczny.
Tłumik ten charakteryzuje się parametrem c, równym stosunkowi siły uogólnionej do
odpowiadającej jej prędkości przemieszczenia.
Więzi tłumiące
q
1.19 cm
=
q
P
k
z
=
Wypadkowe przemieszczenie masy m
P
4903.325 N
=
P
m g
⋅
=
Siła obciążająca układ
k
z
412189.863
N
m
=
k
z
k
1
k
234
+
=
Sztywność zastępcza całego układu
k
234
312189.863
N
m
=
k
234
1
1
k
23
1
k
4
+
=
Częściowa sztywność zastępcza układu złożonego z belki i wypadkowej sprężyny 23
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 27
Równanie (6.4) stanowi podstawę metody kinetostatycznej w dynamice, korzystającej z
zasady d'Alemberta :
"w każdej chwili czasowej siły działające na punkt materialny wraz z siłami bewładności
spełniają warunki rónowagi".
- jest siłą bezwładności działającą na punkt.
B
→
m
−
d
2
q
→
d t
2
⋅
=
gdzie
(6.4)
P
→
B
→
+
0
→
=
Równanie powyższe można przepisać w postaci
(6.3)
m
d
2
q
→
d t
2
⋅
P
→
=
W przypadku zagadnień objętych mechaniką budowli można przyjąć, że masa jest stała, wtedy
(6.2)
d
d t
m
dq
→
d t
⋅
P
→
=
Podstawą jest drugie prawo Newtona
"prędkość zmiany pędu punktu materialnego jest równa sile działąjącej na ten punkt"
wyrażone wzorem
Metoda Newtona, stosowana dla układów o niskiej liczbie stopni swobody, bazująca na
•
warunkach równowagi sił działających w czasie ruchu
E
k
- energia kinetyczna układu, będąca dodatnio określoną formą kwadratową
prędkości uogólnionych,
E
p
- energia potencjalna układu,
D - moc dysypowana w układzie (funkcja tłumienia),
L - praca sił zewnętrznych w sensie pracy przygotowanej.
gdzie
(6.1)
d
d t
∂ E
k
∂q
•
∂ D
⋅
∂q
•
+
∂ E
p
∂ q
+
∂ L
∂ q
=
6. Formułowanie równań ruchu
Metody budowy równań ruchu układów dyskretnych
Metoda równań Lagrange'a drugiego rodzaju, stosowana dla układów opisanych zbiorem
•
dowolnej ilości współrzędnych uogólnionych q
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 28
r
ij
- współczynniki sztywności, pozostałe oznaczenia jak wyżej.
gdzie
(6.8)
P
i
B
i
+
R
i
−
1
n
j
k
ij
q
j
⋅
( )
∑
=
=
Metoda przemieszczeń, stosowana dla układów, dla których stosunkowo łatwo będzie
•
wyznaczyć współczynniki sztywności. Polega na wyrażeniu sił uogólnionych, działających
na układ poprzez przemieszczenia punktów, do których siły są przyłożone. Równania
ruchu przybiorą postać:
q
i
- uogólnine przemieszczenie i=1,2...n.
P
j
- uogólnione siły zewnętrzne,
B
j
- siły bezwładności,
R
j
- siły oporów ruchu,
δ
ij
- współczynniki podatności.
gdzie
(6.7)
q
i
1
n
j
P
j
B
j
+
R
j
−
(
)
δ
ij
⋅
∑
=
=
Metoda sił, stosowana dla układów, dla których stosunkowo łatwo będzie wyznaczyć
•
współczynniki podatności. Polega na wyrażeniu uogólnionych przemieszczeń układu
poprzez siły, które na ten układ działają. Równania ruchu przyjmują postać:
W rezultacie zastosowania równania (6.6) uzyskuje się równania ruchu.
(6.6)
d
d t
E
k
E
p
+
(
)
0
=
Prawdziwa będzie więc zależność
E
k
- energia kinetyczna układu,
E
p
- energia potencjalna układu,
gdzie
(6.5)
E
k
E
p
+
const
=
Metoda energetyczna, stosowana dla układów zachowawczych, w których całkowita
•
energia w czasie ruchu pozostaje nie zmieniona, co można wyrazić jako
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 29
(7.5)
q
q
st
q
d
+
=
Przemieszczenie q jest przemieszczeniem całkowitym równym sumie składowej statycznej
i dynamicznej, co można zapisać jako
(7.4)
q
st
m g
⋅
k
=
Siła ciężkości wywołuje przemieszczenie statyczne
(7.3)
m
d
2
q
d t
2
⋅
c
d q
d t
⋅
+
k q
⋅
+
P
m g
⋅
+
=
Po wykorzystaniu zależności (7.2) równanie (7.1) przyjmie postać
- siła oporów ruchu
R
c
d q
d t
⋅
=
(7.2)
- siła bezwładności
B
m
d
2
q
d t
2
⋅
=
- siła sprężystości
S
k q
⋅
=
gdzie
(7.1)
S
−
B
−
R
−
m g
⋅
+
P
+
0
=
Po oswobodzeniu od więzów można ułożyć równanie równowagi sił rzutowanych na
kierunek pionowy (metoda Newtona):
P(t)
q(t)
P
m
k
c
mg
B
S
R
Rozważany jest następujący model obliczeniowy
7. Układy o jednym stopniu swobody
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 30
(7.9)
L
1
−
F s
( )
(
)
f t
( )
=
1
2
π
⋅ i⋅
λ i ∞
⋅
−
λ i ∞
⋅
+
s
F s
( ) e
s t
⋅
⋅
⌠
⌡
d
⋅
=
Transformacją odwrotną Laplace'a nazywamy operację opisaną całką
Związek ten czytamy: F(s) jest transformatą Laplace'a funkcji f(t). Zbiór wszystkich funkcji f(t)
nazywamy przestrzenią oryginału a zbiór wszystkich funkcji F(s) przestrzenią obrazu. Oryginał
zawsze będziemy oznaczać małą literą, a obraz odpowiednio dużą literą np. f(t) i F(s), q(t) i Q(s).
W literaturze można spotkać również oznaczenia odwrotne.
(7.8)
L f t
( )
(
)
F s
( )
=
0
∞
t
f t
( ) e
s
− t⋅
⋅
⌠
⌡
d
=
Zakładamy, że wszystkie badane funkcje spełniają założenia Dirichleta. Wówczas transformata
Laplace'a F(s) (funkcja zmiennej zespolonej s) funkcji czasu f(t) (funkcja zmiennej rzeczywistej t)
może być obliczona ze wzoru:
Jest to równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego o stałych współczynnikach. Postać
rozwiązania zależy od postaci siły wymuszającej oraz obecności sił tłumiących. Metod rozwiązania
tego typu równań jest kilka. Jednym z najlepszych jest sposób polegający na wykorzystaniu
transformacji całkowej Laplace'a (przekształcenie Laplace'a).
(7.7)
m
d
2
q
d t
2
⋅
c
d q
d t
⋅
+
k q
⋅
+
P
=
Ostateczna postać równania ruchu
q
d
q
=
Równanie (7.6) opisuje ruch masy m, mierzony od poziomu przemieszczenia statycznego.
Siła ciężkości nie ma na nie już wpływu. Przy obliczaniu naprężeń i przemieszczeń w układzie
należy uwzględniać jednak sumę wpływów statycznych i dynamicznych. W dalszych zapisach
celem ich uproszczenia, dla opisania przemieszczeń dynamicznych stosowany będzie zapis:
(7.6)
m
d
2
q
d
d t
2
⋅
c
d q
d
d t
⋅
+
k q
d
⋅
+
P
=
Dzięki zależności (7.4) upraszcza się ono do postaci
m
d
2
q
d
d t
2
⋅
c
d q
d
d t
⋅
+
k q
d
⋅
+
k q
st
⋅
+
P
m g
⋅
+
=
po wykorzystaniu (7.5) równanie (7.3) wygląda teraz:
d
2
q
st
d t
2
d q
st
d t
=
0
=
Ponieważ
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 31
f t
( )
1
=
↔
F s
( )
1
s
=
f t
( )
sin a t
⋅
(
)
=
↔
F s
( )
a
s
2
a
2
+
=
f t
( )
cos a t
⋅
(
)
=
↔
F s
( )
s
s
2
a
2
+
=
f t
( )
sinh a t
⋅
(
)
=
↔
F s
( )
a
s
2
a
2
−
=
f t
( )
cosh a t
⋅
(
)
=
↔
F s
( )
s
s
2
a
2
−
=
f t
( )
e
a
− t⋅
=
↔
F s
( )
1
s
a
+
=
Prawdziwe są następujące twierdzenia
L
d f t
( )
d t
s F s
( )
⋅
f 0
( )
−
=
(7.10)
L
d
2
f t
( )
d t
2
s
2
F s
( )
⋅
s f 0
( )
⋅
−
d f 0
( )
d t
−
=
(7.11)
L
d
n
f t
( )
d t
n
s
n
F s
( )
⋅
1
n
k
s
n k
−
d
k 1
−
f 0
( )
d t
k 1
−
⋅
∑
=
−
=
(7.11a)
L
0
t
τ
f
τ
( )
⌠
⌡
d
F s
( )
s
=
(7.12)
L f a t
⋅
(
)
(
)
1
a
F
s
a
⋅
=
a
0
>
(7.13)
L e
αt
−
f t
( )
⋅
(
)
F s
α
+
(
)
=
(7.14)
Przy czym wartości f(0) oraz
d f 0
( )
d t
oznaczają graniczne wartości funkcji f(t) przy t
zmierzającym do 0 z prawej strony, natomiast
α oznacza dowolną liczbę zespoloną.
W praktyce nie korzysta się z wzorów (7.8) i (7.9) lecz wykorzystuje się gotowe
zestawy transformat i oryginałów z tablic. Na przykład:
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 32
28
s
2
+
A
B s
⋅
+
(
) s
2
8 s
⋅
+
4
+
(
)
⋅
C
D s
⋅
+
(
) s
2
16
+
(
)
⋅
+
=
Obliczymy wielkości stałe A, B, C i D z równania
28
s
2
+
s
2
16
+
(
)
s
2
8 s
⋅
+
4
+
(
)
⋅
A
B s
⋅
+
s
2
16
+
(
)
C
D s
⋅
+
s
2
8 s
⋅
+
4
+
(
)
+
=
Odpowiadający jej oryginał można wyznaczyć za pomocą całki (7.9), ale w praktyce
korzysta się z odpowiednich tablic. Niestety w tablicach, nawet bardzo rozbudowanych
nie zawsze znajdziemy od razu odpowiedni obraz. Z reguły należy uzyskane wyrażenie
przekształcić do prostszej postaci poprzez rozłożenie na ułamki proste lub zmodyfikowanie
zapisu. Przykładowo zapisując wyrażenie
Q s
( )
24
s
2
16
+
(
)
s
2
8s
+
4
+
(
)
⋅
2
s
2
8s
+
4
+
(
)
+
=
2
28
s
2
+
s
2
16
+
(
)
s
2
8 s
⋅
+
4
+
(
)
⋅
⋅
=
Rozwiązaniem tego równania jest funkcja
s
2
Q s
( )
⋅
2
−
8 s
⋅ Q s
( )
⋅
+
4 Q s
( )
⋅
+
24
s
2
16
+
=
Ostatecznie mamy więc
L 6 sin 4
⋅
t
(
)
6
4
s
2
4
2
+
⋅
=
24
s
2
16
+
=
L 4 q t
( )
(
)
4 Q s
( )
⋅
=
L 8
d q t
( )
⋅
d t
⋅
⋅
8 s Q s
( )
⋅
q 0
( )
−
(
)
⋅
=
8 s
⋅ Q s
( )
⋅
=
L
d
2
q t
( )
d t
2
s
2
Q s
( )
⋅
s q 0
( )
⋅
−
d q 0
( )
d t
−
=
s
2
Q s
( )
⋅
2
−
=
Równanie w przestrzeni obrazu otrzymamy po zastosowaniu przekształcenia na wszystkich
składnikach równania w przestrzeni oryginału, tj.:
q 0
( )
0
=
d q 0
( )
d t
2
=
przy następujących warunkach początkowych
d
2
q
d t
2
8
d q
d t
⋅
+
4 q
⋅
+
6 sin 4t
⋅
=
Rozwiązać równanie różniczkowe
Przykład 7.1
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 33
Jego występowanie wiąże się z regułą (7.14), gdyż w tym wypadku argumentem funkcji
jest wyrażenie (s+4), gdzie w tym wypadku
α=4.
pojawiający się w dwóch ostatnich wyrażeniach.
e
4
− t
Należy zwrócić uwagę na czynnik
6
73
cosh
12 t
( )
⋅
e
4
− t
⋅
24
73
1
12
⋅
sinh
12 t
⋅
(
)
⋅
e
4
− t
⋅
−
↔
6
73
s
4
+
(
)
4
−
s
4
+
(
)
2
12
−
⋅
130
73
1
12
⋅
sinh
12 t
⋅
(
)
⋅
e
4
− t
⋅
↔
130
73
1
12
⋅
12
s
4
+
(
)
2
12
−
⋅
2
73
65
3 s
⋅
+
s
2
8 s
⋅
+
4
+
⋅
130
73
1
12
⋅
12
s
4
+
(
)
2
12
−
⋅
6
73
s
4
+
(
)
4
−
s
4
+
(
)
2
12
−
⋅
+
=
9
292
−
sin 4
⋅
t
6
73
cos 4t
⋅
−
↔
3
−
73
3
2 s
⋅
+
s
2
16
+
⋅
9
73
−
1
4
⋅
4
s
2
16
+
⋅
6
73
s
s
2
16
+
⋅
−
=
Jeśli teraz wyrażenia te zapiszemy w postaci ujętej w tablicach łatwo znajdziemy oryginały
28
s
2
+
s
2
16
+
(
)
s
2
8 s
⋅
+
4
+
(
)
⋅
convert parfrac
,
s
,
3
−
73
3
2 s
⋅
+
s
2
16
+
⋅
2
73
65
3 s
⋅
+
s
2
8 s
⋅
+
4
+
⋅
+
→
Wyrażenie to można również otrzymać natychmiast korzystając z programu MathCad,
wydając polecenie convert parfrac z menu Symbolic
28
s
2
+
s
2
16
+
(
)
s
2
8 s
⋅
+
4
+
(
)
⋅
1
73
9
−
6 s
⋅
−
s
2
16
+
(
)
130
6 s
⋅
+
s
2
8 s
⋅
+
4
+
(
)
+
⋅
=
oraz ostatecznie
D
6
73
=
C
130
73
=
B
6
73
−
=
A
9
73
−
=
Po rozwiązaniu utrzymujemy
0
B
D
+
=
1
A
8 B
⋅
+
C
+
=
0
8 A
⋅
4 B
⋅
+
16 D
⋅
+
=
28
4 A
⋅
16 C
⋅
+
=
oraz porównując współczynniki lewej i prawej strony przy tych samych potęgach s uzyskamy
następujący układ równań
4 A
⋅
16 C
⋅
+
8 A
⋅
4 B
⋅
+
16 D
⋅
+
(
) s
⋅
+
A
8 B
⋅
+
C
+
(
) s
2
⋅
+
B
D
+
(
) s
3
⋅
+
Porządkując prawą stronę względem zmiennej s:
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 34
Ostateczny opis funkcji q(t) będzie wyglądał następująco
q t
( )
9
146
−
sin 4
⋅
t
12
73
cos 4
⋅
t
−
4
73
e
4
− t
⋅
53
12
sinh
12 t
⋅
(
)
⋅
3 cosh
12 t
( )
⋅
+
⋅
+
=
Jej prezentacja graficzna jak niżej
0
0.5
1
1.5
2
0
0.2
0.4
0.6
q t
( )
t
Oczywiście wykorzystując program MathCad całą procedurę wyznaczenia oryginału można
uprościć. Program oferuje bowiem, między innymi, symboliczne wyznaczanie transformat oraz
oryginałów funkcji za pomocą poleceń laplace i invlaplace. Przykładowo
6 sin 4t
⋅
laplace t
,
24
s
2
16
+
→
24
s
2
16
+
invlaplace s
,
6 sin 4 t
⋅
(
)
⋅
→
W przypadku analizowanego zadania można więc błyskawicznie otrzymać
2
28
s
2
+
s
2
16
+
(
)
s
2
8 s
⋅
+
4
+
(
)
⋅
⋅
invlaplace s
,
12
−
73
cos 4 t
⋅
(
)
⋅
9
146
sin 4 t
⋅
(
)
⋅
−
12
73
exp
4
− t⋅
(
) cosh 2 3
1
2
t
⋅
⋅
⋅
⋅
+
106
219
exp
4
− t⋅
(
) 3
1
2
sinh 2 3
1
2
t
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
Pamiętając o notacji w programie wyrażeń
exp
4
− t
(
)
e
4
− t
=
oraz
3
1
2
3
=
można zauważyć, iż poza nieco odmiennym szykiem program podał identyczną odpowiedż.
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
bud mechanika budowli - 02, met przemieszczen
harmonogram CWICZ, BUDOWNICTWO polsl, sem IV, sem IV, Mechanika budowli, matreiały na mb
Mechanika budowli I egzamin (03 07 09)(2)
WAHADLO1, MIBM WIP PW, fizyka 2, laborki fiza(2), 9-Drgania harmoniczne tłumione w układach mechanic
Egzamin Mech Bud, Politechnika Krakowska, VII Semestr, Mechanika budowli, Przykładowe zadania, egzam
Lab 9, MIBM WIP PW, fizyka 2, laborki fiza(2), 9-Drgania harmoniczne tłumione w układach mechaniczny
mech bud 1, Budownictwo, Inżynierka, Budownictwo, Semestr 3, Mechanika budowli, zjazd 2 mech bud pom
calkowanie graficzne, Budownictwo, Inżynierka, Budownictwo, Semestr 3, Mechanika budowli, zjazd 2 me
39.2009-03-03 - DRGANIA MECHANICZNE prca na lekcjiIIB IIA, fizyka, 0, prace klasowe fizyka (monisia1
091, MIBM WIP PW, fizyka 2, laborki fiza(2), 9-Drgania harmoniczne tłumione w układach mechanicznych
Harmonogram rygory mechanika budowli sem2 AiU 1011
Wykl Mechanika Budowli 15 Opis Ruchu Drgania Wlasne Tlumione
Sprawozdanie z 9, MIBM WIP PW, fizyka 2, laborki fiza(2), 9-Drgania harmoniczne tłumione w układach
Teoria Mech Bud, Budownictwo UTP, rok II, semestr 3, Mechanika Budowli
Mechanika bud-ściąga, Mechanika Budowli 2, teoo, mech dox
mech bud, Prywatne, Budownictwo, Materiały, IV semestr, IV sem, Mechanika budowli
harmonogram CWICZ, BUDOWNICTWO polsl, sem IV, sem IV, Mechanika budowli, matreiały na mb
więcej podobnych podstron