Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 19
Wykres widma funkcji sporządzamy w ten sposób, iż na osi odciętych nanosimy punkty
odpowiadające w pewnej skali częstością
ω
n
i w każdym takim punkcie wystawiamy pionowy
odcinek o długości proporcjonalnej do wielkości A
n
2
. Tak otrzymany wykres nazywa się
spektrogramem analizowanej funkcji q(t).
(4.4)
q t
( )
a
o
2
1
N
n
a
n
cos n
2
π
T
⋅
t
⋅
⋅
b
n
sin n
2
π
T
⋅
t
⋅
⋅
+
∑
=
+
=
n
1
= 2
,
N
..
Małe amplitudy wyższych harmonicznych zazwyczaj pomija się, a funkcję w zależności od
żądanej dokładności przedstawia się w postaci
(4.3)
A
n
2
a
n
2
b
n
2
+
=
ω
N
A
N
2
,
(
)
.....
ω
2
A
2
2
,
(
)
ω
1
A
1
2
,
(
)
Kolejne wyrazy szeregu Fouriera opisują n-te harmoniczne drgań okresowych. Charakteryzuje
się je zbiorem par liczb: kolejnych częstości kołowych oraz kwadratów odpowiadających im
amplitud, otrzymując tzw. widmo funkcji
n
1
= 2
,
∞
..
b
n
2
T
0
T
t
q t
( ) sin n
2
π
T
⋅
t
⋅
⋅
⌠
⌡
d
⋅
=
(4.2)
a
n
2
T
0
T
t
q t
( ) cos n
2
π
T
⋅
t
⋅
⋅
⌠
⌡
d
⋅
=
a
o
2
T
0
T
t
q t
( )
⌠
⌡
d
⋅
=
gdzie
(4.1)
q t
( )
a
o
2
1
∞
n
a
n
cos n
ω
⋅ t⋅
(
)
⋅
b
n
sin n
ω
⋅ t⋅
(
)
⋅
+
(
)
∑
=
+
=
Do matematycznego opisu wszelkiego rodzaju zjawisk okresowych doskonale nadają się
szeregi trygonometryczne. Ruch okresowy nieharmoniczny można zastąpić skończoną sumą lub
nieskończonym szeregiem drgań harmonicznych. W pierwszym przypadku uzyskamy opis
przybliżony ruchu. Rozkład funkcji o okresie T, spełniającej warunki Dirichleta (znane z kursu
matematyki) polega na rozwinięciu w szereg Fouriera:
4. Analiza drgań harmonicznych
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 20
2
T
0
T
t
2 cos 3 t
⋅
(
)
2
⋅
2 cos 4 t
⋅
(
)
⋅
+
sin 3 t
⋅
(
)
+
(
)
3
sin 10
2
π
T
⋅
t
⋅
⋅
⌠
⌡
d
⋅
0
→
współczynnik b
10
.
.
.
2
T
0
T
t
2 cos 3 t
⋅
(
)
2
⋅
2 cos 4 t
⋅
(
)
⋅
+
sin 3 t
⋅
(
)
+
(
)
3
sin 1
2
π
T
⋅
t
⋅
⋅
⌠
⌡
d
⋅
3
−
→
współczynnik b
1
2
T
0
T
t
2 cos 3 t
⋅
(
)
2
⋅
2 cos 4 t
⋅
(
)
⋅
+
sin 3 t
⋅
(
)
+
(
)
3
sin 0
2
π
T
⋅
t
⋅
⋅
⌠
⌡
d
⋅
0
→
współczynnik b
0
2
T
0
T
t
2 cos 3 t
⋅
(
)
2
⋅
2 cos 4 t
⋅
(
)
⋅
+
sin 3 t
⋅
(
)
+
(
)
3
cos 10
2
π
T
⋅
t
⋅
⋅
⌠
⌡
d
⋅
9
2
→
współczynnik a
10
.
.
.
2
T
0
T
t
2 cos 3 t
⋅
(
)
2
⋅
2 cos 4 t
⋅
(
)
⋅
+
sin 3 t
⋅
(
)
+
(
)
3
cos 2
2
π
T
⋅
t
⋅
⋅
⌠
⌡
d
⋅
15
2
→
współczynnik a
2
2
T
0
T
t
2 cos 3 t
⋅
(
)
2
⋅
2 cos 4 t
⋅
(
)
⋅
+
sin 3 t
⋅
(
)
+
(
)
3
cos 1
2
π
T
⋅
t
⋅
⋅
⌠
⌡
d
⋅
0
→
współczynnik a
1
2
T
0
T
t
2 cos 3 t
⋅
(
)
2
⋅
2 cos 4 t
⋅
(
)
⋅
+
sin 3 t
⋅
(
)
+
(
)
3
⌠
⌡
d
⋅
37
2
→
współczynnik a
0
Współczynniki szeregu Fouriera obliczamy wg zależności (4.2). Z tytułu stosunkowo
rozbudowanej postaci funkcji q(t) obliczenia najlepiej przeprowadzić za pomocą jednego
z programów matematycznych np. Derive, Mathematica, MathCad. Posiłkując się
Mathcadem dla poszczególnych n otrzymujemy:
T
2
π
=
Okres funkcji
n
0 N
..
=
Zakres współczynników szeregu Fouriera
N
10
=
Przyjęto maksymalny rząd harmonicznych równy
q t
( )
2 cos 3 t
⋅
(
)
2
⋅
2 cos 4 t
⋅
(
)
⋅
+
sin 3 t
⋅
(
)
+
(
)
3
=
Wyznaczyć widmo amplitudowo-częstotliwościowe ruchu opisanego za pomocą funkcji
Przykład 4.1
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 21
Zestawienie wszystkich obliczonych wartości współczynników oraz suma ich kwadratów
a
n
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
18.5
-0
7.5
-0
18
-0
9.75
-0
7.5
-0
4.5
=
b
n
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
-3
0
8.25
0
0
0
3
0
2
0
=
a
n
( )
2
b
n
( )
2
+
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
342.25
9
56.25
68.062
324
0
95.062
9
56.25
4
20.25
=
Spektrogram funkcji q(t)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
200
400
Czestosc
K
w
a
d
ra
t
a
m
p
li
tu
d
y
Wykres sygnału - funkcji q(t) oraz jej aproksymacji szeregami Fouriera przy uwzględnieniu
rzędu N=10 oraz N=4.
0
1
2
3
4
5
6
20
0
20
40
60
80
Sygnal q(t)
Aproksymacja N=10
Aproksymacja N=4
Czas t
F
u
n
k
cja
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 22
5. Więzi odkształcalne w układach
Podczas badania rzeczywistego układu mechanicznego, z uwagi na jego złożoność buduje
się odpowiadający mu zastępczy model fizyczny. Dokonuje się pewnych uproszczeń
pomijając te czynniki, które w konkretnym przypadku są mniej ważne, a uwzględnia się
te cechy, które odgrywają najistotniejszą rolę w badanym ruchu. Uwzględnienie odkształceń
konstrukcji powoduje komplikacje obliczeniowe. Najczęściej brane są pod uwagę sprężyste
i wiskotyczne właściwości ustrojów. W modelu obiektu reprezentują je więzi liniowo-
sprężyste i tłumiki wiskotyczne.
Więzi liniowo-sprężyste
Oznaczane najczęściej symbolem sprężyny o charakterystyce k, nazywanej sztywnością.
Sztywnością k izolowanej więzi sprężystej nazywa się stosunek uogólnionej siły czynnej P
do odpowiadającego jej uogólnionego przemieszczenia q:
k
P
q
=
(5.1)
Stosunek uogólnionego przemieszczenia q do odpowiadającej mu uogólnionej siły P
nazywa się podatnością
δ:
δ
q
P
=
(5.2)
Wielkości uogólnione należy traktować jako obejmujące przemieszczenia i siły zarówno
w ruchu translacyjnym jak i rotacyjnym (siła-przesunięcie, moment-obrót).
P
q
q
k
k
Prawdziwa jest zawsze poniższa zależność
k
δ
⋅
1
=
(5.3)
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 23
Więź liniowo-sprężysta gromadzi energię potencjalną odkształcenia, której wartość można
wyznaczyć korzystając w wykresu zależności między siłą i przemieszczeniem
P
q
P
=
k
q
q
dq
o
E
p
L
=
q
P q
( )
⌠
⌡
d
=
0
q
o
q
k q
⋅
⌠
⌡
d
=
k q
o
2
⋅
2
=
(5.4)
Przykłady równoważnych parametrów więzi sprężystych w ustrojach prętowych poniżej
Przemieszczenie
Schemat układu
Podatność
Sztywność
L
P
q
EI
L
EA
P
q
q=
k=
3
L
3EI
L
3
P
3EI
3EI
δ=
3
L
EA
P L
q=
L
EA
k=
L
EA
δ=
EI
b
a
EI
q
P
a
q
b
EI
P
δ=
3EI (a+b)
q=
3 3
3
k=
b
a
P
b
a
3
3
3
3EI (a+b)
3
a b
3EI (a+b)
3 3
δ=
b
a
3EI (a+b)
q=
3EI (a+b)
2
2
b
a
P
k=
2
2
3EI (a+b)
2
2
a b
q
P
L/2
L/2
q=
48 EI
k=
3
L
3
L
P
48 EI
48 EI
δ=
3
L
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 24
Więzi sprężyste mogą występować w systemach złożonych, które składają się z układów
połączeń równoległych lub szeregowych. W takim przypadku niezbędne jest wyznaczenie
zastępczej wartości parametrów:
a) przy połączeniu równoległym, gdzie przemieszczenie wszystkich elementów sprężystych
jest jednakowe
P
q
k
1
2
k
z
k
q
P
Siła P przenoszona jest przez wszystkie elementy jednakowo zdeformowane stąd
P
k
1
q
⋅
k
2
q
⋅
+
=
k
1
k
2
+
(
)
q
⋅
=
k
z
q
⋅
=
(5.5)
Dla dowolnej liczby n elementów sprężystych będzie więc
k
z
1
n
i
k
i
∑
=
=
(5.6)
b) przy połączeniu szeregowym, gdzie przemieszczenie wypadkowe jest sumą przemieszczeń
elementów składowych, a siła oddziałująca jest jednakowa dla wszystkich składników
k
1
z
k
q
P
k
2
P
q
1
q
q
2
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 25
k
23
500000
N
m
=
k
23
k
2
k
3
+
=
Częściowa sztywność zastępcza sprężyn 2 i 3, pracujących równolegle
k
4
831131.56
N
m
=
k
4
3 E
⋅ I⋅ a b
+
(
)
3
⋅
a
3
b
3
⋅
=
Modelowa sztywność belki
Rozwiązanie:
b
280 cm
⋅
=
a
120 cm
⋅
=
- wymiary geometryczne
I
80.1 cm
4
⋅
=
E
205 GPa
⋅
=
- parametry sztywności belki wsporczej
g
9.807
m
sec
2
=
m
500 kg
⋅
=
- masa ciała oraz wartość przyśpieszenia ziemskiego
k
3
3 10
5
⋅
N
m
⋅
=
k
2
2 10
5
⋅
N
m
⋅
=
k
1
10
5
N
m
⋅
=
-sztywności sprężyn składowych
Dane:
P
z
k
q
k
1
2
k
k
3
m
b
a
EI
q
Wyznaczyć sztywność zastępczą układu wg schematu i danych poniżej
Przykład 5.1
(5.8)
1
k
z
1
n
i
1
k
i
∑
=
=
Dla dowolnej liczby n elementów sprężystych będzie więc
(5.7)
q
q
1
q
2
+
=
P
k
1
P
k
2
+
=
P
1
k
1
1
k
2
+
⋅
=
P
k
z
=
Przemieszczenie całkowite jako suma składowych wynosi
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 26
przedstawia pochodną uogólnionego przemieszczenia względem czasu.
q
•
Oznaczenie
(5.10)
D
c q
•
( )
2
⋅
2
=
Tłumik wiskotyczny gromadzi moc o wartości
(5.9)
c
P
q
•
=
P
q
c
.
c
q
.
P
Więzi te opisują opory ruchu. Najczęściej stosowanym modelem jest tłumik wiskotyczny.
Tłumik ten charakteryzuje się parametrem c, równym stosunkowi siły uogólnionej do
odpowiadającej jej prędkości przemieszczenia.
Więzi tłumiące
q
1.19 cm
=
q
P
k
z
=
Wypadkowe przemieszczenie masy m
P
4903.325 N
=
P
m g
⋅
=
Siła obciążająca układ
k
z
412189.863
N
m
=
k
z
k
1
k
234
+
=
Sztywność zastępcza całego układu
k
234
312189.863
N
m
=
k
234
1
1
k
23
1
k
4
+
=
Częściowa sztywność zastępcza układu złożonego z belki i wypadkowej sprężyny 23
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 27
Równanie (6.4) stanowi podstawę metody kinetostatycznej w dynamice, korzystającej z
zasady d'Alemberta :
"w każdej chwili czasowej siły działające na punkt materialny wraz z siłami bewładności
spełniają warunki rónowagi".
- jest siłą bezwładności działającą na punkt.
B
→
m
−
d
2
q
→
d t
2
⋅
=
gdzie
(6.4)
P
→
B
→
+
0
→
=
Równanie powyższe można przepisać w postaci
(6.3)
m
d
2
q
→
d t
2
⋅
P
→
=
W przypadku zagadnień objętych mechaniką budowli można przyjąć, że masa jest stała, wtedy
(6.2)
d
d t
m
dq
→
d t
⋅
P
→
=
Podstawą jest drugie prawo Newtona
"prędkość zmiany pędu punktu materialnego jest równa sile działąjącej na ten punkt"
wyrażone wzorem
Metoda Newtona, stosowana dla układów o niskiej liczbie stopni swobody, bazująca na
•
warunkach równowagi sił działających w czasie ruchu
E
k
- energia kinetyczna układu, będąca dodatnio określoną formą kwadratową
prędkości uogólnionych,
E
p
- energia potencjalna układu,
D - moc dysypowana w układzie (funkcja tłumienia),
L - praca sił zewnętrznych w sensie pracy przygotowanej.
gdzie
(6.1)
d
d t
∂ E
k
∂q
•
∂ D
⋅
∂q
•
+
∂ E
p
∂ q
+
∂ L
∂ q
=
6. Formułowanie równań ruchu
Metody budowy równań ruchu układów dyskretnych
Metoda równań Lagrange'a drugiego rodzaju, stosowana dla układów opisanych zbiorem
•
dowolnej ilości współrzędnych uogólnionych q
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 28
r
ij
- współczynniki sztywności, pozostałe oznaczenia jak wyżej.
gdzie
(6.8)
P
i
B
i
+
R
i
−
1
n
j
k
ij
q
j
⋅
( )
∑
=
=
Metoda przemieszczeń, stosowana dla układów, dla których stosunkowo łatwo będzie
•
wyznaczyć współczynniki sztywności. Polega na wyrażeniu sił uogólnionych, działających
na układ poprzez przemieszczenia punktów, do których siły są przyłożone. Równania
ruchu przybiorą postać:
q
i
- uogólnine przemieszczenie i=1,2...n.
P
j
- uogólnione siły zewnętrzne,
B
j
- siły bezwładności,
R
j
- siły oporów ruchu,
δ
ij
- współczynniki podatności.
gdzie
(6.7)
q
i
1
n
j
P
j
B
j
+
R
j
−
(
)
δ
ij
⋅
∑
=
=
Metoda sił, stosowana dla układów, dla których stosunkowo łatwo będzie wyznaczyć
•
współczynniki podatności. Polega na wyrażeniu uogólnionych przemieszczeń układu
poprzez siły, które na ten układ działają. Równania ruchu przyjmują postać:
W rezultacie zastosowania równania (6.6) uzyskuje się równania ruchu.
(6.6)
d
d t
E
k
E
p
+
(
)
0
=
Prawdziwa będzie więc zależność
E
k
- energia kinetyczna układu,
E
p
- energia potencjalna układu,
gdzie
(6.5)
E
k
E
p
+
const
=
Metoda energetyczna, stosowana dla układów zachowawczych, w których całkowita
•
energia w czasie ruchu pozostaje nie zmieniona, co można wyrazić jako
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 29
(7.5)
q
q
st
q
d
+
=
Przemieszczenie q jest przemieszczeniem całkowitym równym sumie składowej statycznej
i dynamicznej, co można zapisać jako
(7.4)
q
st
m g
⋅
k
=
Siła ciężkości wywołuje przemieszczenie statyczne
(7.3)
m
d
2
q
d t
2
⋅
c
d q
d t
⋅
+
k q
⋅
+
P
m g
⋅
+
=
Po wykorzystaniu zależności (7.2) równanie (7.1) przyjmie postać
- siła oporów ruchu
R
c
d q
d t
⋅
=
(7.2)
- siła bezwładności
B
m
d
2
q
d t
2
⋅
=
- siła sprężystości
S
k q
⋅
=
gdzie
(7.1)
S
−
B
−
R
−
m g
⋅
+
P
+
0
=
Po oswobodzeniu od więzów można ułożyć równanie równowagi sił rzutowanych na
kierunek pionowy (metoda Newtona):
P(t)
q(t)
P
m
k
c
mg
B
S
R
Rozważany jest następujący model obliczeniowy
7. Układy o jednym stopniu swobody
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 30
(7.9)
L
1
−
F s
( )
(
)
f t
( )
=
1
2
π
⋅ i⋅
λ i ∞
⋅
−
λ i ∞
⋅
+
s
F s
( ) e
s t
⋅
⋅
⌠
⌡
d
⋅
=
Transformacją odwrotną Laplace'a nazywamy operację opisaną całką
Związek ten czytamy: F(s) jest transformatą Laplace'a funkcji f(t). Zbiór wszystkich funkcji f(t)
nazywamy przestrzenią oryginału a zbiór wszystkich funkcji F(s) przestrzenią obrazu. Oryginał
zawsze będziemy oznaczać małą literą, a obraz odpowiednio dużą literą np. f(t) i F(s), q(t) i Q(s).
W literaturze można spotkać również oznaczenia odwrotne.
(7.8)
L f t
( )
(
)
F s
( )
=
0
∞
t
f t
( ) e
s
− t⋅
⋅
⌠
⌡
d
=
Zakładamy, że wszystkie badane funkcje spełniają założenia Dirichleta. Wówczas transformata
Laplace'a F(s) (funkcja zmiennej zespolonej s) funkcji czasu f(t) (funkcja zmiennej rzeczywistej t)
może być obliczona ze wzoru:
Jest to równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego o stałych współczynnikach. Postać
rozwiązania zależy od postaci siły wymuszającej oraz obecności sił tłumiących. Metod rozwiązania
tego typu równań jest kilka. Jednym z najlepszych jest sposób polegający na wykorzystaniu
transformacji całkowej Laplace'a (przekształcenie Laplace'a).
(7.7)
m
d
2
q
d t
2
⋅
c
d q
d t
⋅
+
k q
⋅
+
P
=
Ostateczna postać równania ruchu
q
d
q
=
Równanie (7.6) opisuje ruch masy m, mierzony od poziomu przemieszczenia statycznego.
Siła ciężkości nie ma na nie już wpływu. Przy obliczaniu naprężeń i przemieszczeń w układzie
należy uwzględniać jednak sumę wpływów statycznych i dynamicznych. W dalszych zapisach
celem ich uproszczenia, dla opisania przemieszczeń dynamicznych stosowany będzie zapis:
(7.6)
m
d
2
q
d
d t
2
⋅
c
d q
d
d t
⋅
+
k q
d
⋅
+
P
=
Dzięki zależności (7.4) upraszcza się ono do postaci
m
d
2
q
d
d t
2
⋅
c
d q
d
d t
⋅
+
k q
d
⋅
+
k q
st
⋅
+
P
m g
⋅
+
=
po wykorzystaniu (7.5) równanie (7.3) wygląda teraz:
d
2
q
st
d t
2
d q
st
d t
=
0
=
Ponieważ
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 31
f t
( )
1
=
↔
F s
( )
1
s
=
f t
( )
sin a t
⋅
(
)
=
↔
F s
( )
a
s
2
a
2
+
=
f t
( )
cos a t
⋅
(
)
=
↔
F s
( )
s
s
2
a
2
+
=
f t
( )
sinh a t
⋅
(
)
=
↔
F s
( )
a
s
2
a
2
−
=
f t
( )
cosh a t
⋅
(
)
=
↔
F s
( )
s
s
2
a
2
−
=
f t
( )
e
a
− t⋅
=
↔
F s
( )
1
s
a
+
=
Prawdziwe są następujące twierdzenia
L
d f t
( )
d t
s F s
( )
⋅
f 0
( )
−
=
(7.10)
L
d
2
f t
( )
d t
2
s
2
F s
( )
⋅
s f 0
( )
⋅
−
d f 0
( )
d t
−
=
(7.11)
L
d
n
f t
( )
d t
n
s
n
F s
( )
⋅
1
n
k
s
n k
−
d
k 1
−
f 0
( )
d t
k 1
−
⋅
∑
=
−
=
(7.11a)
L
0
t
τ
f
τ
( )
⌠
⌡
d
F s
( )
s
=
(7.12)
L f a t
⋅
(
)
(
)
1
a
F
s
a
⋅
=
a
0
>
(7.13)
L e
αt
−
f t
( )
⋅
(
)
F s
α
+
(
)
=
(7.14)
Przy czym wartości f(0) oraz
d f 0
( )
d t
oznaczają graniczne wartości funkcji f(t) przy t
zmierzającym do 0 z prawej strony, natomiast
α oznacza dowolną liczbę zespoloną.
W praktyce nie korzysta się z wzorów (7.8) i (7.9) lecz wykorzystuje się gotowe
zestawy transformat i oryginałów z tablic. Na przykład:
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 32
28
s
2
+
A
B s
⋅
+
(
) s
2
8 s
⋅
+
4
+
(
)
⋅
C
D s
⋅
+
(
) s
2
16
+
(
)
⋅
+
=
Obliczymy wielkości stałe A, B, C i D z równania
28
s
2
+
s
2
16
+
(
)
s
2
8 s
⋅
+
4
+
(
)
⋅
A
B s
⋅
+
s
2
16
+
(
)
C
D s
⋅
+
s
2
8 s
⋅
+
4
+
(
)
+
=
Odpowiadający jej oryginał można wyznaczyć za pomocą całki (7.9), ale w praktyce
korzysta się z odpowiednich tablic. Niestety w tablicach, nawet bardzo rozbudowanych
nie zawsze znajdziemy od razu odpowiedni obraz. Z reguły należy uzyskane wyrażenie
przekształcić do prostszej postaci poprzez rozłożenie na ułamki proste lub zmodyfikowanie
zapisu. Przykładowo zapisując wyrażenie
Q s
( )
24
s
2
16
+
(
)
s
2
8s
+
4
+
(
)
⋅
2
s
2
8s
+
4
+
(
)
+
=
2
28
s
2
+
s
2
16
+
(
)
s
2
8 s
⋅
+
4
+
(
)
⋅
⋅
=
Rozwiązaniem tego równania jest funkcja
s
2
Q s
( )
⋅
2
−
8 s
⋅ Q s
( )
⋅
+
4 Q s
( )
⋅
+
24
s
2
16
+
=
Ostatecznie mamy więc
L 6 sin 4
⋅
t
(
)
6
4
s
2
4
2
+
⋅
=
24
s
2
16
+
=
L 4 q t
( )
(
)
4 Q s
( )
⋅
=
L 8
d q t
( )
⋅
d t
⋅
⋅
8 s Q s
( )
⋅
q 0
( )
−
(
)
⋅
=
8 s
⋅ Q s
( )
⋅
=
L
d
2
q t
( )
d t
2
s
2
Q s
( )
⋅
s q 0
( )
⋅
−
d q 0
( )
d t
−
=
s
2
Q s
( )
⋅
2
−
=
Równanie w przestrzeni obrazu otrzymamy po zastosowaniu przekształcenia na wszystkich
składnikach równania w przestrzeni oryginału, tj.:
q 0
( )
0
=
d q 0
( )
d t
2
=
przy następujących warunkach początkowych
d
2
q
d t
2
8
d q
d t
⋅
+
4 q
⋅
+
6 sin 4t
⋅
=
Rozwiązać równanie różniczkowe
Przykład 7.1
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 33
Jego występowanie wiąże się z regułą (7.14), gdyż w tym wypadku argumentem funkcji
jest wyrażenie (s+4), gdzie w tym wypadku
α=4.
pojawiający się w dwóch ostatnich wyrażeniach.
e
4
− t
Należy zwrócić uwagę na czynnik
6
73
cosh
12 t
( )
⋅
e
4
− t
⋅
24
73
1
12
⋅
sinh
12 t
⋅
(
)
⋅
e
4
− t
⋅
−
↔
6
73
s
4
+
(
)
4
−
s
4
+
(
)
2
12
−
⋅
130
73
1
12
⋅
sinh
12 t
⋅
(
)
⋅
e
4
− t
⋅
↔
130
73
1
12
⋅
12
s
4
+
(
)
2
12
−
⋅
2
73
65
3 s
⋅
+
s
2
8 s
⋅
+
4
+
⋅
130
73
1
12
⋅
12
s
4
+
(
)
2
12
−
⋅
6
73
s
4
+
(
)
4
−
s
4
+
(
)
2
12
−
⋅
+
=
9
292
−
sin 4
⋅
t
6
73
cos 4t
⋅
−
↔
3
−
73
3
2 s
⋅
+
s
2
16
+
⋅
9
73
−
1
4
⋅
4
s
2
16
+
⋅
6
73
s
s
2
16
+
⋅
−
=
Jeśli teraz wyrażenia te zapiszemy w postaci ujętej w tablicach łatwo znajdziemy oryginały
28
s
2
+
s
2
16
+
(
)
s
2
8 s
⋅
+
4
+
(
)
⋅
convert parfrac
,
s
,
3
−
73
3
2 s
⋅
+
s
2
16
+
⋅
2
73
65
3 s
⋅
+
s
2
8 s
⋅
+
4
+
⋅
+
→
Wyrażenie to można również otrzymać natychmiast korzystając z programu MathCad,
wydając polecenie convert parfrac z menu Symbolic
28
s
2
+
s
2
16
+
(
)
s
2
8 s
⋅
+
4
+
(
)
⋅
1
73
9
−
6 s
⋅
−
s
2
16
+
(
)
130
6 s
⋅
+
s
2
8 s
⋅
+
4
+
(
)
+
⋅
=
oraz ostatecznie
D
6
73
=
C
130
73
=
B
6
73
−
=
A
9
73
−
=
Po rozwiązaniu utrzymujemy
0
B
D
+
=
1
A
8 B
⋅
+
C
+
=
0
8 A
⋅
4 B
⋅
+
16 D
⋅
+
=
28
4 A
⋅
16 C
⋅
+
=
oraz porównując współczynniki lewej i prawej strony przy tych samych potęgach s uzyskamy
następujący układ równań
4 A
⋅
16 C
⋅
+
8 A
⋅
4 B
⋅
+
16 D
⋅
+
(
) s
⋅
+
A
8 B
⋅
+
C
+
(
) s
2
⋅
+
B
D
+
(
) s
3
⋅
+
Porządkując prawą stronę względem zmiennej s:
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 34
Ostateczny opis funkcji q(t) będzie wyglądał następująco
q t
( )
9
146
−
sin 4
⋅
t
12
73
cos 4
⋅
t
−
4
73
e
4
− t
⋅
53
12
sinh
12 t
⋅
(
)
⋅
3 cosh
12 t
( )
⋅
+
⋅
+
=
Jej prezentacja graficzna jak niżej
0
0.5
1
1.5
2
0
0.2
0.4
0.6
q t
( )
t
Oczywiście wykorzystując program MathCad całą procedurę wyznaczenia oryginału można
uprościć. Program oferuje bowiem, między innymi, symboliczne wyznaczanie transformat oraz
oryginałów funkcji za pomocą poleceń laplace i invlaplace. Przykładowo
6 sin 4t
⋅
laplace t
,
24
s
2
16
+
→
24
s
2
16
+
invlaplace s
,
6 sin 4 t
⋅
(
)
⋅
→
W przypadku analizowanego zadania można więc błyskawicznie otrzymać
2
28
s
2
+
s
2
16
+
(
)
s
2
8 s
⋅
+
4
+
(
)
⋅
⋅
invlaplace s
,
12
−
73
cos 4 t
⋅
(
)
⋅
9
146
sin 4 t
⋅
(
)
⋅
−
12
73
exp
4
− t⋅
(
) cosh 2 3
1
2
t
⋅
⋅
⋅
⋅
+
106
219
exp
4
− t⋅
(
) 3
1
2
sinh 2 3
1
2
t
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
Pamiętając o notacji w programie wyrażeń
exp
4
− t
(
)
e
4
− t
=
oraz
3
1
2
3
=
można zauważyć, iż poza nieco odmiennym szykiem program podał identyczną odpowiedż.
2005-03-05
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha