1. PODSTAWY FIZYCZNE

Wahadło matematyczne

„Wahadłem matematycznym płaskim nazywamy punkt materialny poruszający się po okręgu koła w polu grawitacyjnym”. W praktyce najczęstszą realizacją takiego wahadła jest metalowa kulka o bardzo małych rozmiarach zawieszona na sprężystej nici. Będziemy teraz rozpatrywać przypadek oscylacyjnego ruchu wahadła w płaszczyźnie pionowej.

Długość łuku S zakreślanego przez wahadło wyraża się wzorem

S = l

gdzie: l - odległość punktu materialnego od osi obrotu, φ - kąt wychylenia wahadła (wychylenie). Równanie ruchu takiego wahadła ma postać

m(d²S)/(dt²) = -mgsinφ

lub na podstawie wzoru na długość łuku

(d²φ)/(dt²) = -(gsinφ)/l

Rozwiązanie tego równania w przypadku ruchu oscylacyjnego φ≤ φ₀ prowadzi do następującej zależności okresu drgań wahadła T od maksymalnego kąta wychylenia φ_m

T = 2π(l/g)^1/2 ∑[(2n)!/(2ⁿn!)²]²sin²ⁿ(φ_m/2)

Z analizy tego wzoru wynika, że okres drgań wahadła matematycznego rośnie wraz ze wzrostem maksymalnego wychylenia φ_m.

W celu uproszczenia dalszych rozważań przepiszmy ostatni wzór w postaci

T = 2π(l/g)1/2f(φ_m)

,gdzie f(φ_m) = ∑[(2n)!/(2ⁿn!)²]²sin²ⁿ(φ_m/2) jest tylko funkcją φ_m.

Dla kątów φ_m < π/2 wystarczy wziąć pierwsze cztery wyrazy sumy z wzoru na T (aby zapewnić dokładność przynajmniej do trzech cyfr znaczących trzeba skorzystać z tabeli poprawek). Wtedy wzór na T można zapisać w prostszej formie

T ≅ 2π( l/g)^1/2[1 + (1/4)sin²(φ_m/2) + (9/64)sin⁴(φ_m/2) + (225/2304)sin⁶(φ_m/2)]

gdzie: g=9,80665 m/s²

W przypadku zmniejszania wartości kąta φ_m możemy kolejno rezygnować z poprawek wyższych rzędów utrzymując nadal tę samą dokładność, by w końcu otrzymać:

T = 2π(l/g)^1/2

^φm⇒0

Ostatnie przybliżenie (formalnie dla φ_m = 0) prowadzi do niezależności okresu wahań od amplitudy φ_m - jest to tzw. izochronizm wahań (przypadek drgań harmonicznych). W praktyce występowanie zjawiska izochronizmu dla wahadła matematycznego w skończonym przedziale wartości φ_m związane jest z oczywistą niedoskonałością przyrządów pomiarowych, tym większy przedział wartości φ_m, w którym występuje „niezależność” okresu T od wychylenia φ_m.

W ćwiczeniu można wyodrębnić dwa, po części niezależne, cele: jeden związany jest z badaniem zjawiska anharmoniczności drgań wahadła, tzn. z badaniem zależności okresu wahadła T od kąta maksymalnego wychylenia φ_m; drugi cel, bardziej „użytkowy” - dotyczy wahadła różnicowego i poświęcony jest jak najdokładniejszemu, w danych warunkach, wyznaczeniu wartości przyspieszenia ziem.

2. WYNIKI POMIARÓW.

Badanie zależności okresu drgań wahadła od kąta wychylenia.

Φm[º]	T1/2	T2/2	T3/2	T4/2	T5/2	T6/2	T7/2	T8/2	T9/2	T10/2	<T/2>	<T>
5	0,694	0,692	0,690	0,694	0691,	0690	0,692	0,693	0693	0,692	0,6921
10	0,694	0,693	0,693	0,694	0,694	0,694	0,694	0,694	0,695	0,694	0,6939
20	0,697	0,697	0,696	0,696	0,697	0,696	0,697	0,697	0,697	0,697	0,6967
30	0,703	0,703	0,702	0,702	0,703	0,703	0,703	0,702	0,704	0,702
40	0,712	0,711	0,712	0713	0,713	0,712	0,711	0,712	0,712	0,711
50	0,725	0,725	0,725	0,725	0,724	0,725	0,726	0,726	0,726	0,726
60	0,742	0,740	0,740	0,742	0,741	0,741	0,740	0,741	0,740	0,741
70	0,760	0,761	0,760	0,761	0,761	0.761	0,760	0,761	0,760	0,760

Wahadło różnicowe

Pierwszy z wymienianych wzorów na T daje możliwość określenia przyspieszenia ziemskiego z pomiaru okresu drgań T, długości wahadła l i wychylenia φ_m. Pomiar długości wahadła matematycznego l jest niewygodny (trudność w ustaleniu położenia środka masy soczewki wahadła) i zazwyczaj obarczony dość dużym błędem. W przypadku wahadła różnicowego pozbywamy się tej trudności dokonując, po prostu, pomiaru zmiany długości wahadła d_l - stąd nazwa wahadła - (d_l = l₀ - l_i ; l₀ - początkowa długość wahadła różnicowego, l_i - długość wahadła różnicowego w przypadku i-tej zmiany jego długości), który może być w warunkach przeprowadzanego eksperymentu, znacznie bardziej dokładny.

W tej sytuacji korzystając z drugiego ze wzorów na T, dla wahadła różnicowego można napisać

T₀ = 2π(l₀/g)^1/2f(φ_m)

T_i = 2π(l_i/g)^1/2 f(φ_m) (i=1,2...itd.)

φ_m = 10°

przy czym: T₀ i T_i - mierzone okresy drgań wahadła o długościach odpowiednio l₀i l_i.

Podnosząc ostatnie dwa wzory do kwadratu i odejmując stronami otrzymujemy ostatecznie

T₀² - T_i² = 4π²/g d_i f(φ_m)

f(φ_m)=(1+0,00908)=1,00908

Właśnie badanie ostatniej zależności przy warunku i >>1 jest punktem wyjścia do wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego g metodą wahadła różnicowego.

Badanie zależności okresu drgań wahadła od zmiany długości.

lw [m]	lw [m]	T1 [s]	T2 [s]	T3 [s]	T4 [s]	<T> [s]	Ti^2 [s]
0,40	0,005	0,7242	0,7236	0,7236	0,7235	1,4474	2,0949
0,50	0,005	0,7708	0,7709	0,7708	0,7701	1,5412	2,3752
0,60	0,005	0,8423	0,8419	0,8420	0,8419	1,684	2,8358
0,70	0,005	0,8506	0,8502	0,8499	0,8513	1,701	2,8934
0,80	0,005	0,9248	0,9240	0,9251	0,9226	1,8482	3,4158

g= 4π²d_i f(φ_m)/ T₀² - T_i²

di [m]	T0^2 - Ti^2 [s^2]	G [m/s^2]
0,4	1,3209	11,9428±0,007
0,5	1,0406	10,9498±0,007
0,6	0,88	10,7983±0,007
0,7	0,9224	12,8462±0,007

Wnioski :

Po wykonaniu ćwiczenia można wysnuć następujące wnioski:

• wahadło wytrącone ze stanu równowagi waha się w płaszczyźnie pionowej i jest to niewątpliwie ruch okresowy

• okres wahadła praktycznie nie zależy od amplitudy

• wychylenie α < 5°, gdyż powyżej tej granicy ruch przestaje być harmoniczny (dla małych kątów sinα = tgα = α)

• wahadło można zastosować do pomiaru czasu

• idealny przyrząd do mierzenia przyspieszenia ziemskiego g. (Zamiast wykonywać doświadczenie ze spadkiem swobodnym ciał wystarczy zmierzyć l i T).

• okres wahadła fizycznego jest niezależny od masy krążka

2

---