Władysław Tomaszewicz — Tomasz Klimczuk

Podstawy Fizyki

Część II

Fizyka Klasyczna cd.

Fizyka Kwantowa

(na prawach rękopisu)

Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej

Politechnika Gdańska 2001

Rozdział 1

Drgania i fale
elektromagnetyczne

1.1

Drgania elektryczne

1.1.1

Obwód LC — drgania nietłumione

W obwodach, zawierających elementy o określonej indukcyjności, pojem-
ności i oporze omowym mogą w pewnych warunkach powstawać drgania
elektryczne. Rozpatrzymy najpierw tzw. obwód LC, to znaczy obwód złożo-
ny z solenoidu o indukcyjności L i kondensatora o pojemności C (rys. 1.1).
Będziemy zakładać, że opór elektryczny solenoidu i przewodów łączących go
z kondensatorem jest zaniedbywalnie mały.

Przyjmijmy, że w chwili początkowej bezwględna wartość ładunków elek-

trycznych, zgromadzonych na okładkach kondensatora, wynosi q

0

(rys. 1.1a).

q = +q

o

o

L

C

q = 0

L

C

q = 0

L

C

q = +q

o

o

I

a)

b)

c)

Rysunek 1.1:

1

2

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

Po zamknięciu wyłącznika na skutek różnicy potencjałów okładek konden-
satora w obwodzie popłynie prąd elektryczny. Gdyby w obwodzie nie było
solenoidu, natężenie prądu powinno stopniowo maleć aż do zera, ponieważ
zmniejsza się różnica potencjałów okładek. Indukowana w solenoidzie siła
elektromotoryczna dąży jednak, zgodnie z regułą Lenza, do podtrzymania
przepływu prądu. W rezultacie natężenie prądu wzrasta do momentu wy-
równania się potencjałów okładek (rys. 1.1b) a następnie zaczyna maleć.
Prąd będzie płynąć w tym samym kierunku do chwili, gdy na okładkach
kondensatora zgromadzą się ładunki równe co do bezwzględnej wartości po-
czątkowemu ładunkowi q

0

, ale o przeciwnych znakach (rys. 1.1c). Następnie

opisany proces będzie się powtarzać. W obwodzie LC będą więc zachodzić
nietłumione drgania elektryczne

.

Określimy teraz zależność ładunku na okładkach kondensatora i natę-

żenia prądu od czasu. W dowolnym momencie siła elektromotoryczna E

L

,

indukowana w solenoidzie, jest równa napięciu U

C

między okładkami kon-

densatora,

E

L

= U

C

,

(1.1)

gdzie

E

L

= −L

dI

dt

,

(1.2)

U

C

=

q

C

.

(1.3)

Otrzymujemy stąd równanie

L

dI

dt

+

q

C

= 0,

(1.4)

które, uwzględniając definicję natężenia prądu,

I =

dq

dt

,

(1.5)

można przepisać jako

L

d

2

q

dt

2

+

q

C

= 0.

(1.6)

Dzieląc to równanie przez L i wprowadzając oznaczenie

ω

2

0

=

1

LC

(1.7)

([ω

0

] = s

−1

), otrzymujemy następujące równanie różniczkowe:

d

2

q

dt

2

+ ω

2

0

q = 0.

(1.8)

DRGANIA ELEKTRYCZNE

3

Ma ono postać identyczną z równaniem, opisującym nietłumione drgania
oscylatora harmonicznego (część I, podrozdział 2.5.1). Rozwiązaniem tego
równania jest więc funkcja

q = q

0

cos (ω

0

t + ϕ) ,

(1.9)

określająca ładunek na okładkach kondensatora. Można to sprawdzić w ana-
logiczny sposób, jak w przypadku drgań harmonicznych, obliczając drugą
pochodną ładunku q i podstawiając d

2

q/dt

2

i q do równania (1.8). Korzy-

stając ze wzoru (1.5) otrzymujemy następujący wzór, określający natężenie
prądu w obwodzie

I =

dq

dt

= −ω

0

q

0

sin (ω

0

t + ϕ) .

(1.10)

Wprowadzając oznaczenie I

0

= ω

0

q

0

ostatni wzór można przepisać jako

I = −I

0

sin (ω

0

t + ϕ) .

(1.11)

Zgodnie z wzorami (1.9) i (1.11) zarówno ładunki na okładkach kondensatora
jak i natężenie prądu w obwodzie zmieniają się sinusoidalnie z czasem (rys.
1.2). W obwodzie LC zachodzą więc elektryczne drgania nietłumione. q

0

i I

0

są odpowiednio maksymalnymi bezwzględnymi wartościami ładunków

na okładkach i natężenia prądu a faza początkowa ϕ określa wartości q i I

+q

o

o

q

t

T/2

T

+ I

o

o

I

t

T/2

T

3/2 T

3/2 T

Rysunek 1.2:

4

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

w chwili początkowej. Jeżeli np. w chwili t = 0 ładunek q = q

0

, to ϕ = 0.

Natomiast ω

0

jest pulsacją (częstotliwością kątową) drgań elektrycznych. Jak

wynika ze wzoru (1.7), jest ona równa

ω

0

=

1

√

LC

.

(1.12)

Okres

drgań w obwodzie wyraża się natomiast wzorem

T =

2π
ω

0

,

(1.13)

czyli

T = 2π

√

LC .

(1.14)

Ostatni wzór nosi nazwę wzoru Thomsona (Kelvina). Zgodnie z nim, okres
drgań elektrycznych jest wprost proporcjonalny do pierwiastka kwadratowe-
go z indukcyjności solenoidu i pojemności kondensatora.

Rozpatrzymy jeszcze przemiany energii, zachodzące podczas drgań elek-

trycznych w obowodzie LC (por. rys. 1.1). Przypomnijmy, że zarówno nała-
dowany kondensator jak i solenoid z prądem posiadają określoną energię. W
chwili początkowej, gdy prąd nie płynie, cała energia obwodu jest zgroma-
dzona w polu elektrycznym kondensatora. Energia ta zamienia się stopniowo
w energię pola magnetycznego solenoidu. W momencie rozładowania kon-
densatora cała energia obwodu jest zmagazynowana w polu magnetycznym
wewnątrz solenoidu. Następnie jest ona z powrotem zamieniana w energię
pola elektrycznego w kondensatorze, itd. Opisany proces jest analogiczny
do kolejnych przemian energii potencjalnej drgającego ciała w jego energię
kinetyczną i na odwrót (por. część I, podrozdział 2.5.1).

Można łatwo wykazać, że w przypadku drgań elektrycznych w obwo-

dzie LC spełniona jest zasada zachowania energii. Energia naładowanego
kondensatora jest dana wzorem

E

pC

=

q

2

2C

(1.15)

(część I, wzór (4.80)). Korzystając ze wzoru (1.9), otrzymujemy

E

pC

=

q

2

0

2C

cos

2

(ω

0

t + ϕ) .

(1.16)

Natomiast energia solenoidu, przez który płynie prąd, wynosi

E

pL

=

LI

2

2

(1.17)

DRGANIA ELEKTRYCZNE

5

(część I, wzór (6.24)). Biorąc pod uwagę wzór (1.11), dostajemy

E

pL

=

LI

2

0

2

sin

2

(ω

0

t + ϕ) .

(1.18)

Uwzględniając związek I

0

= ω

0

q

0

i wzór (1.7) łatwo stwierdzić, że stałe

czynniki przed funkcjami trygonometrycznymi we wzorach (1.16) i (1.18) są
sobie równe:

LI

2

0

= Lω

2

0

q

2

0

= q

2

0

/C.

(1.19)

Jest teraz widoczne, że suma energii zgromadzonej w kondensatorze i w
solenoidzie nie zależy od czasu:

E

pC

+ E

pL

=

q

2

0

2C

=

LI

2

0

2

.

(1.20)

W otrzymanym wzorze wyrażenia zawierające q

0

i I

0

przedstawiają odpo-

wiednio maksymalną energię kondensatora i solenoidu.

1.1.2

Obwód RLC — drgania tłumione

Opisany w poprzednim podrozdziale przypadek drgań elektrycznych nietłu-
mionych w rzeczywistości praktycznie nie występuje. W normalnych wa-
runkach każdy obwód posiada bowiem skończony opór elektryczny i zgro-
madzona w obwodzie energia rozprasza się stopniowo na oporze w postaci
ciepła. Drgania elektryczne w obwodzie będą wówczas zanikać — nazywamy
je drganiami tłumionymi. Inną przyczyną utraty energii w obwodzie drgają-
cym jest emisja fal elektromagnetycznych. Zjawisko to rozpatrzymy póżniej.
Rozważając drgania nietłumione obwodu elektrycznego mamy więc na myśli
sytuację, gdy straty energii obwodu w danym przedziale czasu są do pomi-
nięcia.

Zbadamy teraz elektryczne drgania w obwodzie RLC, to znaczy w ob-

wodzie, składającym się z elementu o oporze R, solenoidu o indukcyjności
L i kondensatora o pojemności C (rys. 1.3). Po zamknięciu przełącznika w
obwodzie takim powstaną stopniowo zanikające drgania. Siła elektromoto-
ryczna E

L

, indukowana w solenoidzie, musi być równa sumie napięcia U

R

na

oporze i napięcia U

C

na kondensatorze,

E

L

= U

R

+ U

C

.

(1.21)

Poszczególne wielkości wyrażają się wzorami:

E

L

= −L

dI

dt

,

(1.22)

6

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

q = +q

o

o

L

C

R

Rysunek 1.3:

U

R

= RI,

(1.23)

U

C

=

q

C

(1.24)

(wzór (1.23) wynika z prawa Ohma). Po podstawieniu tych wyrażeń do rów-
nania (1.21) otrzymujemy równanie

L

dI

dt

+ RI +

q

C

= 0,

(1.25)

z którego, po uwzględnieniu związku

I =

dq

dt

,

(1.26)

wynika równanie różniczkowe

L

d

2

q

dt

2

+ R

dq

dt

+

q

C

= 0.

(1.27)

Dzieląc ostatnie równanie przez L i wprowadzając oznaczenia

ω

2

0

=

1

LC

,

(1.28)

β =

R

2L

(1.29)

([β

0

] = s

−1

), otrzymujemy w rezultacie następujące równanie różniczkowe

d

2

q

dt

2

+ 2β

dq

dt

+ ω

2

0

q = 0.

(1.30)

DRGANIA ELEKTRYCZNE

7

Jest ono identyczne z równaniem tłumionych drgań harmonicznych (patrz
część I, podrozdział 2.5.2). Zależność ładunku na okładce kondensatora od
czasu określa więc wzór

q = q

0

e

−βt

cos (ωt + ϕ) ,

(1.31)

gdzie pulsacja (częstotliwość kątowa) tłumionych drgań ładunku jest dana
wzorem

ω =

q

ω

2

0

− β

2

.

(1.32)

Można to bezpośrednio sprawdzić, obliczając pierwszą i drugą pochodną
ładunku q i podstawiając wielkości d

2

q/dt

2

, dq/dt i q do równania (1.30).

Czasową zależność natężenia prądu w obwodzie można teraz obliczyć, ko-
rzystając ze wzoru (1.26). Dla uproszczenia rozpatrzymy przypadek drgań
słabo tłumionych, gdy β  ω, ω

0

. Wówczas, jak łatwo pokazać, wystarczy

zróżniczkować tylko funkcję cosinus we wzorze (1.31), co daje wzór

I ≈ −ωq

0

e

−βt

sin (ωt + ϕ) .

(1.33)

Wprowadzając oznaczenie I

0

= ωq

0

≈ ω

0

q

0

wzrór ten możemy przepisać

jako

I ≈ −I

0

e

−βt

sin (ωt + ϕ) .

(1.34)

Podobnie, jak w przypadku drgań nietłumionych, początkowa faza ϕ we wzo-
rach (1.31) i (1.34) określa wartości q i I w chwili t = 0. Wykresy czasowego
przebiegu ładunku q i natężenia prądu I pokazuje rysunek 1.4. Ze względu
na występowanie w wymienionych wzorach czynnika e

−βt

, drgania elektrycz-

ne stopniowo zanikają z czasem. Zanik drgań jest tym szybszy, im większa
jest wartość współczynnika β, zwanego współczynnikiem tłumienia, tj. im
większa jest wartość stosunku R/L (patrz wzór (1.29)).

Uwzględniając wzory (1.28) i (1.29), wyrażenie (1.32) określające pulsa-

cję elektrycznych drgań tłumionych możemy zapisać jako

ω =

s

1

LC

−



R

2L



2

.

(1.35)

Natomiast okres drgań tłumionych wyraża się wzorem

T =

2π

ω

,

(1.36)

8

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

+q

o

o

q

t

T/2

T

+ I

o

o

I

3/2 T

t

T/2

T

3/2 T

q e

o

- t

b

q e

o

- t

b

I e

o

- t

b

I e

o

- t

b

Rysunek 1.4:

czyli

T =

2π

r

1

LC

−



R

2L



2

.

(1.37)

Porównując ostatni wzór ze wzorem (1.14) można stwierdzić, że okres drgań
tłumionych jest dłuższy od okresu drgań nietłumionych, podobnie jak w
przypadku drgań mechanicznych.

Zauważymy jeszcze, że wyrażenie (1.31) stanowi rozwiązanie równania

(1.30) tylko w przypadku, gdy β < ω

0

, tj. gdy R < 2

p

L/C. Inaczej pod

pierwiastkiem we wzorze (1.32) występuje zero lub liczba ujemna. Można
wykazać, że dla wartości β ­ ω

0

ładunek na okładkach i natężenie prądu

stopniowo zanikają bez oscylacji.

1.1.3

Obwód RLC — drgania wymuszone

Jak pokazano w poprzednim podrozdziale, energia zgromadzona w obwodzie
RLC zamienia się na ciepło wydzielane na oporze. W rezultacie swobodne
drgania elektryczne stopniowo zanikają. Aby wytworzyć w dowolnym ob-
wodzie niegasnące drgania elektryczne, należy doprowadzać do niego z ze-
wnątrz energię, równoważącą jej straty. Można to osiągnąć przez włączenie
w obwód źródła sinusoidalnie zmiennej siły elektromotorycznej — prądnicy

DRGANIA ELEKTRYCZNE

9

L

C

R

~

e

I

Rysunek 1.5:

prądu zmiennego (por. część I, podrozdział 6.2.1). Występujące wówczas w
obwodzie drgania elektryczne nazywamy drganiami wymuszonymi.

Rozpatrzymy teraz drgania wymuszone obwodu RLC, do którego zosta-

ło włączone szeregowo źródło zmiennej siły elektromotorycznej (rys. 1.5).
Przypadek ten ma duże znaczenie w elektrotechnice i radiotechnice. Założy-
my, że zależność zewnętrznej siły elektromotorycznej od czasu ma postać

E = E

0

sin (ωt) ,

(1.38)

gdzie E

0

jest amplitudą a ω pulsacją (częstotliwością kątową). Suma siły

elektromotorycznej E i siły elektromotorycznej samoindukcji w solenoidzie
E

L

jest równa sumie napięć U

R

na oporze i U

C

na kondensatorze,

E + E

L

= U

R

+ U

C

.

(1.39)

Ponieważ, jak poprzednio,

E

L

= −L

dI

dt

,

(1.40)

U

R

= RI,

(1.41)

U

C

=

q

C

,

(1.42)

ze wzoru (1.39) otrzymujemy równanie

L

dI

dt

+ RI +

q

C

= E

0

sin (ωt) .

(1.43)

Różniczkując obie strony tego równania względem czasu i korzystając ze
związku między ładunkiem na okładkach kondensatora i natężeniem prądu
w obwodzie,

I =

dq

dt

,

(1.44)

10

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

dostajemy następujące równanie różniczkowe, określające natężenie prądu:

L

d

2

I

dt

2

+ R

dI

dt

+

I

C

= E

0

ω cos (ωt) .

(1.45)

Będziemy szukać rozwiązania powyższego równania w postaci

I = I

0

sin (ωt − ϕ) .

(1.46)

Przyjmujemy więc, że pulsacja natężenia prądu jest równa pulsacji zewnętrz-
nej siły elektromotorycznej oraz, że w ogólnym przypadku występuje przesu-
nięcie fazowe

ϕ między prądem i siłą elektromotoryczną (rys. 1.6). Przesu-

nięcie fazowe i amplitudę natężenia prądu I

0

należy tak dobrać, aby funkcja

(1.46) była rozwiązaniem równania różniczkowego (1.45). W tym celu obli-
czymy pierwszą i drugą pochodną natężenia prądu:

dI

dt

= I

0

ω cos (ωt − ϕ) ,

(1.47)

d

2

I

dt

2

= −I

0

ω

2

sin (ωt − ϕ) .

(1.48)

Podstawiając natężenie prądu I i jego pochodne do równania (1.45), otrzy-
mujemy po prostych przekształceniach następujące równanie

I

0



1

ωC

− ωL



sin (ωt − ϕ) + I

0

R cos (ωt − ϕ) = E

0

cos (ωt) .

(1.49)

Wprowadzając oznaczenie α = ωt − ϕ, z którego wynika, że ωt = ϕ + α i

korzystając ze wzoru określającego cosinus sumy kątów ostatnie równanie
można zapisać w postaci

I

0



1

ωC

− ωL



sin α + I

0

R cos α = E

0

cos ϕ cos α − E

0

sin ϕ sin α.

(1.50)

e

I

t

0

Rysunek 1.6:

DRGANIA ELEKTRYCZNE

11

Aby było ono spełnione dla dowolnej chwili czasu, muszą być sobie równe
wyrazy po obu stronach równania, zawierające sin α oraz cos α. Otrzymuje-
my stąd wzory

I

0

R = E

0

cos ϕ,

(1.51)

I

0



ωL −

1

ωC



= E

0

sin ϕ.

(1.52)

Podnosząc teraz do kwadratu obie strony równań (1.51) i (1.52) i dodając
je do siebie otrzymujemy

I

2

0

"

R

2

+



ωL −

1

ωC



2

#

= E

2

0

,

(1.53)

skąd wynika wzór, określający amplitudę natężenia prądu:

I

0

=

E

0

r

R

2

+



ωL −

1

ωC



2

.

(1.54)

Natomiast dzieląc stronami równania (1.52) i (1.51) dostajemy wzór, okre-
ślający przesunięcie fazowe między prądem i zewnętrzną siłą elektromoto-
ryczną:

tg ϕ =

ωL −

1

ωC

R

.

(1.55)

Występującą we wzorze (1.54) wielkość

Z =

s

R

2

+



ωL −

1

ωC



2

(1.56)

nazywa się zawadą (oporem pozornym, impedancją) obwodu prądu zmienne-
go. Wzór (1.54) można więc zapisać jako

I

0

= E

0

Z

.

(1.57)

Jest on odpowiednikiem prawa Ohma, które dotyczy obwodu prądu stałe-
go, przy czym zawada stanowi odpowiednik oporu omowego R. Natomiast
wielkości

X

L

= ωL,

(1.58)

X

C

=

1

ωC

,

(1.59)

12

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

R

Z

wL

wC

1

wL

wC

1

j

Rysunek 1.7:

które pojawiają się we wzorach (1.54) - (1.56), nazywamy odpowiednio opo-
rem indukcyjnym

(induktancją) oraz oporem pojemnościowym (kapacitacją).

Wzory (1.55) - (1.56) mają prostą interpretację geometryczną. Narysuj-

my w dodatnim kierunku osi odciętych wektor o długości R, w dodatnim
kierunku osi rzędnych wektor o długości X

L

= ωL a w ujemnym kierunku

tej osi wektor o długości X

C

= 1/ωC (rys. 1.7). Wtedy, jak łatwo stwierdzić,

długość wypadkowego wektora jest równa zawadzie Z obwodu a kąt między
tym wektorem i osią odciętych jest równy przesunięciu fazowemu ϕ. Roz-
ważymy teraz napięcia na poszczególnych elementach obwodu. Amplituda
napięcia na oporze, zgodnie z prawem Ohma, wynosi

U

0R

= I

0

R.

(1.60)

Można wykazać, że amplitudy napięć na solenoidzie i kondensatorze są równe

U

0L

= I

0

X

L

= I

0

ωL,

(1.61)

U

0C

= I

0

X

C

=

I

0

ωC

.

(1.62)

Ponadto, zgodnie ze wzorem (1.57), amplituda zewnętrznej siły elektromo-
torycznej

E

0

= I

0

Z.

(1.63)

Powyższe cztery wielkości są odpowiednio proporcjonalne do oporu omowego
R, indukcyjnego X

L

, pojemnościowego X

C

i oporu pozornego Z. Amplitudy

napięć na poszczególnych elementach obwodu prądu zmiennego sumują się
więc geometrycznie w ten sam sposób, jak ich opory (rys. 1.7), przy czym

DRGANIA ELEKTRYCZNE

13

długość wypadkowego wektora jest równa amplitudzie E

0

siły elektromoto-

rycznej.

Zbadamy teraz zależność amplitudy natężenia prądu (1.54) i przesunięcia

fazowego (1.55) od pulsacji ω zewnętrznej siły elektromotorycznej. Można
łatwo stwierdzić, że dla wartości pulsacji ω

r

, określonej równaniem

ω

r

L −

1

ω

r

C

= 0,

(1.64)

czyli dla wartości

ω

r

=

1

√

LC

(1.65)

amplituda natężenia prądu ma maksymalną wartość, I

0

= E

0

/R, natomiast

prąd pokrywa się w fazie z zewnętrzną siłą elektromotoryczną, ϕ = 0.
Należy zauważyć, że pulsacja ω

r

jest równa pulsacji nietłumionych drgań

obwodu LC (wzór (1.12)). Gdy ω → ω

r

, amplituda I

0

natężenia prądu wy-

raźnie wzrasta. Zjawisko to nosi nazwę rezonansu elektrycznego a pulsację
ω

r

nazywa się pulsacją rezonansową. Jeżeli ω → 0, to opór pojemnościowy

X

C

= 1/ωC → ∞. Wówczas I

0

→ 0 i ϕ → −π/2. Jeżeli natomiast ω → ∞,

to opór indukcyjny X

L

= ωL → ∞. W tym przypadku I

0

→ 0 i ϕ → π/2.

Wykresy zależności amplitudy natężenia prądu I

0

i przesunięcia fazowego

ϕ od pulsacji ω siły elektromotorycznej są przedstawione na rys. 1.8a, b.

w

I

w

w

r

0

R >

1

R

2

p

w

r

2

p

2

0

0

R >

1

R

2

j

a)

b)

Rysunek 1.8:

14

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

Jak wynika z wykresów, przy zmniejszaniu się wartości oporu omowego R
zmiany wielkości I

0

i ϕ dla pulsacji ω ≈ ω

r

są coraz bardziej gwałtowne.

Obliczymy jeszcze moc, wydzielaną w obwodzie prądu zmiennego. Zagad-

nienie to było już rozpatrywane w części I (podrozdział 6.2.1) przy założeniu,
że przesunięcie fazowe między prądem a zewnętrzną siłą elektromotoryczną
jest równe zeru. Obecnie rozważymy ogólny przypadek. Korzystając ze wzo-
rów (1.38) i (1.46) dostajemy następujące wyrażenie, określające moc prądu
zmiennego w danej chwili czasu

P = EI = E

0

I

0

sin (ωt) sin (ωt − ϕ) .

(1.66)

Średnia moc prądu zmiennego w ciągu jednego okresu wyraża się wzorem

P

śr

=

1

T

Z

T

0

P dt.

(1.67)

Z ostatnich dwóch wzorów otrzymujemy

P

śr

= E

0

I

0

T

Z

T

0

sin (ωt) sin (ωt − ϕ) dt.

(1.68)

Powyższą całkę można łatwo obliczyć, korzystając ze wzoru

sin α sin β =

1
2

[cos (α − β) − cos (α + β)] .

W rezultacie otrzymujemy

Z

T

0

sin (ωt) sin (ωt − ϕ) dt

=

1
2

cos ϕ

Z

T

0

dt −

1
2

Z

T

0

cos (2ωt − ϕ) dt

=

T

2

cos ϕ

(1.69)

(ostatnia całka we wzorze jest, jak łatwo sprawdzić, równa zeru). Na średnią
moc prądu zmiennego dostajemy więc wzór

P

śr

= E

0

I

0

2

cos ϕ ,

(1.70)

który, uwzględniając definicje skutecznych wartości siły elektromotorycznej
i natężenia prądu, E

sk

= E

0

/

√

2, I

sk

= I

0

/

√

2, możemy przepisać w postaci

P

śr

= E

sk

I

sk

cos ϕ .

(1.71)

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

15

Wzory te różnią się od wyprowadzonych poprzednio (część I, wzory (6.47) i
(6.50)) dodatkowym czynnikiem cos ϕ, zwanym współczynnikiem mocy. Je-
żeli przesunięcie fazowe między natężeniem prądu i siłą elektromotoryczną
jest równe zeru, ϕ = 0 (np. w przypadku, gdy w obwodzie znajduje się
jedynie opór omowy), to cos ϕ = 1 i powyższe wzory sprowadzają się do
otrzymanych w części I. Jeżeli natomiast przesunięcie fazowe ϕ = π/2 lub
ϕ = −π/2 (gdy w obwodzie znajduje się tylko opór pojemnościowy lub opór

indukcyjny, patrz wzór (1.55)), to cos ϕ = 0 i w obwodzie nie jest w ogóle
wydzielana moc, P

śr

= 0.

1.2

Fale elektromagnetyczne

1.2.1

Prąd przesunięcia. Układ równań Maxwella

W I części wykładu zostały omówione podstawowe prawa opisujące zjawiska
elektromagnetyczne: prawo indukcji elektromagnetycznej Faraday’a (pod-
rozdział 6.1.1), prawo Amp`ere’a, dot. pola magnetycznego przewodników
z prądem (podrozdział 5.2.3), oraz prawo Gaussa dla pola elektrycznego
(podrozdział 4.1.1) i pola magnetycznego (podrozdział 5.1.2). W roku 1864
J.C. Maxwell zauważył, że w przypadku, gdy w przestrzeni istnieje zmien-
ne w czasie pole elektryczne, prawo Amp`ere’a powinno być uzupełnione o
dodatkowy wyraz. Otrzymany w ten sposób układ równań opisuje w za-
sadzie całość zjawisk elektromagnetycznych i nosi obecnie nazwę równań
Maxwella

. Na podstawie tych równań Maxwell m.in. przewidział istnienie

fal elektromagnetycznych i obliczył ich prędkość. Okazała się ona równa
prędkości światła, co wskazywało, że światło jest falą elektromagnetyczną.
Istnienie fal elektromagnetycznych wykazał doświadczalnie H. Hertz w 1888
r., a więc ok. 20 lat później. Dalej będziemy rozważać wyłącznie równania
Maxwella w próżni.

Uogólnimy najpierw prawo indukcji elektromagnetycznej Faraday’a. Zgo-

dnie z nim, indukowana w przewodniku siła elektromotoryczna wyraża się
wzorem

E = −

d

dt

Z

S

B

· dS,

(1.72)

gdzie całka po prawej stronie jest strumieniem pola magnetycznego, obej-
mowanego przez obwód. Jak już wspomniano (I część, podrozdział 6.1.1),
zmienne w czasie pole magnetyczne powoduje wytworzenie wirowego po-
la elektrycznego, zarówno w przewodniku jak i w ośrodku nieprzewodzącym
lub w próżni. Korzystając ze związku między potencjałem i natężeniem pola
elektrycznego (część I, wzór(4.34)), indukowaną w zamkniętym przewodniku

16

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

siłę elektromotoryczną można wyrazić wzorem

E =

I

C

E

· ds,

(1.73)

gdzie E — natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika, C — do-
wolna przebiegająca wewnątrz niego zamknięta krzywa. Otrzymujemy stąd
równanie

I

C

E

· ds = −

d

dt

Z

S

B

· dS ,

(1.74)

zwane I równaniem Maxwella. Równanie to, jakkolwiek wyprowadzone dla
przypadku przewodnika, stosuje się do wszystkich ośrodków i do próżni,
przy czym przez C należy rozumieć dowolną krzywą zamkniętą a przez S
— dowolną powierzchnię rozpiętą na tej krzywej.

Rozpatrzymy obecnie prawo Amp`ere’a, określające pole magnetyczne

przewodników z prądem. Zgodnie z podanym dotychczas sformułowaniem,
zachodzi związek

I

C

B

· ds = µ

0

I,

(1.75)

gdzie C jest dowolną zamkniętą krzywą a I — całkowitym natężeniem prą-
du, przepływającego przez dowolną powierzchnię, rozpiętą na krzywej C.
Łatwo jednak zauważyć, że podane równanie nie jest np. słuszne, gdy ob-
wód z prądem nie jest zamknięty. Jako przykład, rozważymy pokazany na

S

R

I

+q

-q

C

S

1

S

2

E

S

2

C

B

E

S

S

S

a)

b)

S

1

Rysunek 1.9:

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

17

E

B

E

B

dE

dt

>

0

dE

dt

<

0

a)

b)

Rysunek 1.10:

rysunku 1.9 obwód RC. Po zamknięciu przełącznika w obwodzie popłynie
prąd elektryczny, który wytworzy wokół przewodników magnetyczne pole.
Jeżeli chwilowe natężenie prądu w obwodzie wynosi I, to dla krzywej C i roz-
piętej na nim powierzchni S

1

ma miejsce związek (1.75) (przez powierzchnię

S

1

płynie prąd I) a dla powierzchni S

2

, rozpiętej na tej samej krzywej C,

związek

I

C

B

· ds = 0

(1.76)

(przez powierzchnię S

2

nie płynie żaden prąd). Otrzymujemy więc, zależnie

od wyboru powierzchni, różne wyniki.

Dla wyjaśnienia powyższej sprzeczności Maxwell przyjął, przez analogię

ze zjawiskiem indukcji elektromagnetycznej, że zmienne w czasie pole elek-
tryczne powoduje wytworzenie wirowego pola magnetycznego (rys. 1.10).
Należy zauważyć, że w przypadku, gdy pole elektryczne rośnie (dE/dt > 0),
zwrot linii sił wytworzonego pola magnetycznego jest zgodny z regułą śru-
by prawoskrętnej a w przypadku, gdy pole elektryczne maleje (dE/dt < 0)
— jest przeciwny. Obszar przestrzeni, w którym istnieje zmienne pole elek-
tryczne można więc traktować tak, jakby płynął w nim prąd elektryczny,
wywołujący pole magnetyczne. Maxwell nazwał ten fikcyjny prąd prądem
przesunięcia

. Równanie (1.76) powinno więc być zastąpione przez równanie

I

C

B

· ds = µ

0

I

p

,

(1.77)

gdzie I

p

oznacza natężenie prądu przesunięcia, „płynącego” między okład-

kami kondensatora. Dla zapewnienia niesprzeczności równań (1.75) i (1.77)

18

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

powinien zachodzić związek I = I

p

, co oznacza, że w każdej części rozważa-

nego obwodu „płynie prąd” o jednakowym natężeniu.

W celu wyprowadzenia wzoru, określającego prąd przesunięcia, skorzy-

stamy z podanego w I części wzoru (4.82),

q = ε

0

ES,

(1.78)

gdzie q jest ładunkiem na okładce płaskiego próżniowego kondensatora, E
— natężeniem pola w kondensatorze a S — powierzchnią okładki. Ponieważ

Φ

E

= ES

(1.79)

jest strumieniem elektrycznego pola przez powierzchnię S (i przez całą po-
wierzchnię S

2

) na rys. 1.9, więc

q = ε

0

Φ

E

.

(1.80)

Z definicji natężenia prądu otrzymujemy

I =

dq

dt

= ε

0

dΦ

E

dt

.

(1.81)

Ponieważ w rozważanym przypadku I = I

p

, natężenie prądu przesunięcia

wewnątrz kondensatora wyraża się wzorem

I

p

= ε

0

dΦ

E

dt

.

(1.82)

Strumień pola elektrycznego E przez dowolną powierzchnię S jest dany całką

Φ

E

=

Z

S

E

· dS.

(1.83)

Ogólne wyrażenie na prąd przesunięcia ma więc postać

I

p

= ε

0

d

dt

Z

S

E

· dS.

(1.84)

Po prawej stronie wzoru (1.75) w ogólnym przypadku powinna występować
suma natężenia I

p

prądu przesunięcia oraz natężenia I prądu przewodzenia:

I

C

B

· ds = µ

0

(I

p

+ I) .

(1.85)

Podstawiając wyrażenie (1.84) do ostatniego wzoru otrzymujemy równanie

I

C

B

· ds = ε

0

µ

0

d

dt

Z

S

E

· dS + µ

0

I ,

(1.86)

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

19

nazywane II równaniem Maxwella. Tutaj C jest dowolną krzywą a S —
dowolną rozpiętą na niej powierzchnią.

Jak wspomnieliśmy, w skład równań Maxwella wchodzi jeszcze prawo

Gaussa dla pola elektrycznego,

I

S

E

· dS =

Q

ε

0

,

(1.87)

oraz prawo Gaussa dla pola magnetycznego,

I

S

B

· dS = 0 .

(1.88)

Powyższe równania nazywa się odpowiednio III i IV równaniem Maxwella.

1.2.2

Fala elektromagnetyczna płaska. Prędkość fal elektro-
magnetycznych

Jak wspomniano, równania Maxwella opisują m.in. fale elektromagnetyczne.
Będziemy rozważać jedynie fale elektromagnetyczne w próżni i przyjmiemy,
że w danym obszarze nie ma ładunków elektrycznych i przewodników z prą-
dem. W równaniach (1.86) i (1.87) należy więc odpowiednio przyjąć I = 0
i Q = 0. Podamy najpierw intuicyjnie wyjaśnienie rozchodzenia się fal elek-
tromagnetycznych (rys. 1.11). Jeżeli np. w pewnym obszarze przestrzeni ist-

E(t)

B(t)

E(t)

B(t)

Rysunek 1.11:

20

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

x

y

z

E

B

c

Rysunek 1.12:

nieje zmienne w czasie pole elektryczne, to zgodnie z II równaniem Maxwella
(1.86) wytwarza ono zmieniające się z czasem, wirowe pole magnetyczne. Z
kolei zmiany pola magnetycznego powodują, na mocy I równania Maxwella
(1.74), powstanie zmiennego, wirowego pola elektrycznego, itd. W przestrze-
ni przemieszcza się więc fala elektromagnetyczna.

Najprostszą postacią fali elektromagnetycznej jest płaska fala harmo-

niczna

, pokazana na rysunku 1.12. W przypadku płaskiej fali elektromagne-

tycznej każda płaszczyzna prostopadła do wektora prędkości fali c jest jej
powierzchnią falową, na której wektory E i B mają stałą wartość i kierunek.
Jak wynika z rysunku, wektory natężenia pola elektrycznego E, indukcji po-
la magnetycznego B oraz prędkości fali c są w danym punkcie przestrzeni
wzajemnie prostopadłe i tworzą układ prawoskrętny. Jest to ogólna cecha
dowolnej fali elektromagnetycznej. Fale elektromagnetyczne są więc falami
poprzecznymi

. Na rys. 1.12 układ współrzędnych wybrano w ten sposób, że

wektory c, E i B są odpowiednio równoległe do osi x, y i z. Zgodnie z
określeniem fali harmonicznej, wielkości E i B zmieniają się sinusoidalnie ze
zmianą współrzędnej x i czasu t. Analogicznie jak w przypadku płaskiej fali
harmonicznej w ośrodku sprężystym (część I, podrozdział 2.6.2), rozważaną
falę elektromagnetyczną powinny opisywać równania

E = E

y

= E

0

cos [ω (t − x/c)] ,

(1.89)

B = B

z

= B

0

cos [ω (t − x/c)] ,

(1.90)

w których E

0

i B

0

są amplitudami natężenia pola elektrycznego i indukcji

pola magnetycznego a ω jest pulsacją fali. Dla uproszczenia dalszych wzorów
przyjęto, że faza początkowa fali jest równa zeru.

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

21

Dx

y

E + DE

B

DS

1

C

1

Dx

z

B + DB

B

DS

2

C

2

E

y

1

2

3

4

DS

E

a)

b)

c)

E

x

E

-DS

Rysunek 1.13:

Pokażemy teraz, że funkcje (1.89) - (1.90) stanowią istotnie rozwiązanie

równań Maxwella i obliczymy prędkość rozchodzenia się fali elektromagne-
tycznej. Przekształcimy najpierw I równanie Maxwella,

I

C

1

E

· ds = −

d

dt

Z

∆S

1

B

· dS,

(1.91)

do postaci różniczkowej. Za kontur całkowania C

1

wybierzemy leżącą w

płaszczyźnie xy prostokątną ramkę o wysokości y, b. małej szerokości ∆x i
powierzchni ∆S

1

= y · ∆x (rys. 1.13a). Przyjmując, że na całej powierzchni

∆S

1

indukcja pola magnetycznego B ma stałą wartość, z ostatniego równa-

nia otrzymuje się wzór

(E + ∆E) y − Ey ≈ −

∂

∂t

(By∆x) ,

(1.92)

skąd

∆E

∆x ≈ −

∂B

∂t

.

(1.93)

Przechodząc do granicy ∆E, ∆x → 0 dostajemy równanie

∂E

∂x

= −

∂B

∂t

.

(1.94)

W podobny sposób przekształcimy teraz do postaci różniczkowej II równanie
Maxwella,

I

C

2

B

· ds = ε

0

µ

0

d

dt

Z

∆S

2

E

· dS.

(1.95)

22

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

Wybierając za kontur całkowania C

2

prostokątną ramkę w płaszczyźnie xz,

mającą wysokość z, małą szerokość ∆x i powierzchnię ∆S

2

= z · ∆x (rys.

1.13b), otrzymujemy kolejno równania

− (B + ∆B) z + Bz ≈ ε

0

µ

0

∂

∂t

(Ez∆x) ,

(1.96)

∆B

∆x ≈ −

ε

0

µ

0

∂E

∂t

,

(1.97)

∂B

∂x

= −ε

0

µ

0

∂E

∂t

.

(1.98)

Przeciwne znaki w wyrażeniach po lewej stronie równań (1.92) i (1.96) wyni-
kają z różnych zwrotów wektorów E i E + ∆E na rys. 1.13a oraz wektorów
B

i B + ∆B na rys. 1.13b względem kierunku obiegu konturów całkowania.

Obliczając pochodne wielkości E i B, określonych wzorami (1.89) - (1.90)

otrzymujemy:

∂E

∂x

=

ω

c

E

0

sin [ω (t − x/c)] ,

(1.99)

∂E

∂t

= −ωE

0

sin [ω (t − x/c)] ,

(1.100)

∂B

∂x

=

ω

c

B

0

sin [ω (t − x/c)] ,

(1.101)

∂B

∂t

= −ωB

0

sin [ω (t − x/c)] ,

(1.102)

co po podstawieniu powyższych wyrażeń do równań (1.94) i (1.98) oraz
uproszczeniu wspólnych czynników daje następujące zależności

E

0

= cB

0

,

(1.103)

B

0

= cε

0

µ

0

E

0

.

(1.104)

Eliminując z otrzymanych równań amplitudy pola elektrycznego i magne-
tycznego, np. przez pomnożenie równań stronami, dostajemy wzór określa-
jący prędkość fali elektromagnetycznej w próżni

c =

1

√

ε

0

µ

0

.

(1.105)

Wzór ten był już podany bez wyprowadzenia w części I, w podrozdziale
5.2.2. W celu wyliczenia prędkości c wygodnie jest skorzystać ze związku

k =

1

4πε

0

,

(1.106)

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

23

w którym k jest współczynnikiem, występującym w niektórych wzorach elek-
trostatyki (patrz część I, podrozdział 4.2.1). Po prostych przekształceniach
wzór (1.105) można zapisać jako

c =

s

4πk

µ

0

.

(1.107)

Ponieważ k = 9 · 10

9

N·m

2

/C

2

, µ

0

= 4π · 10

−7

N/A

2

, więc

c =

s

4π · 9 · 10

9

N · m

2

/C

2

4π · 10

−7

N/A

2

= 3 · 10

8

m/s.

(1.108)

Otrzymana wartość jest równa prędkości rozchodzenia się światła w próżni.
Rezultat ten doprowadził Maxwella do wniosku, że światło jest falą elektro-
magnetyczną.

W podobny sposób można wyprowadzić wzór, określający prędkość v

fali elektromagnetycznej w ośrodku materialnym o stałej dielektrycznej ε

r

i

względnej przenikalności magnetycznej µ

r

:

v =

1

√

ε

0

ε

r

µ

0

µ

r

.

(1.109)

Biorąc pod uwagę, że dla większości ośrodków, za wyjątkiem ferromagne-
tycznych, µ

r

≈ 1, ze wzorów (1.105) i (1.109) otrzymujemy związek

v ≈

c

√

ε

r

.

(1.110)

Ponieważ stała dielektryczna dowolnego ośrodka materialnego ε

r

> 1, pręd-

kość fali elektromagnetycznej w ośrodku materialnym jest mniejsza od pręd-
kości fali w próżni, v < c. Wynik ten jest zgodny z doświadczeniem.

Sprawdzimy jeszcze, że przyjęta postać fali elektromagnetycznej jest

zgodna z III i IV równaniem Maxwella. Rozpatrzymy prawo Gaussa dla
pola elektrycznego,

I

S

E

· dS = 0.

(1.111)

Będziemy liczyć strumień pola elektrycznego po powierzchni S prostopadło-
ścianu, pokazanego na rys. 1.13c. Ponieważ w przeciwległych punktach ścia-
nek 1 i 2 natężenie pola E ma jednakową wartość i E k ∆S a przez pozostałe

ścianki nie przepływa żaden strumień, z ostatniego równania otrzymujemy

Z

S

1

EdS +

Z

S

2

E (−dS) = 0

(1.112)

24

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

(S

1

i S

2

— powierzchnie ścianek 1 i 2, S

1

= S

2

). Należy zauważyć, że gdyby

wektor natężenia pola E był nachylony do wektora prędkości c fali pod ką-
tem różnym od prostego, suma strumieni pola przez ścianki 3 i 4 i całkowity
strumień przez powierzchnię S byłyby różne od zera. Dla fali elektromagne-
tycznej musi więc zachodzić relacja E ⊥ c. W analogiczny sposób można

sprawdzić, że w przypadku rozważanej fali elektromagnetycznej spełnione
jest prawo Gaussa dla pola magnetycznego,

I

S

B

· dS = 0,

(1.113)

czego koniecznym warunkiem jest, aby B ⊥ c. Możemy więc stwierdzić, że

III i IV równanie Maxwella stanowią warunki poprzeczności fali elektroma-
gnetycznej.

1.2.3

Wektor Poyntinga. Natężenie fali elektromagnetycznej

Zarówno pole elektryczne jak i pole magnetyczne posiada określoną energię
(por. część I, podrozdziały 4.4.3 i 6.1.2). Rozchodzenie się fal elektromagne-
tycznych związane jest więc z przenoszeniem energii pola elektromagnetycz-
nego, podobnie jak rozchodzeniu się fal w sprężystym ośrodku towarzyszy
przekazywanie energii mechanicznej. Szybkość przepływu energii fali elek-
tromagnetycznej przez daną powierzchnię opisuje tzw. wektor Poyntinga S
(rys. 1.14). Podamy tutaj jego ogólną definicję, stosującą się do ośrodków
materialnych i do próżni. Kierunek wektora Poyntinga jest zgodny z kierun-
kiem wektora v prędkości fali, S k v a jego wartość liczbowa jest równa mocy

fali, przenoszonej przez jednostkową powierzchnię, prostopadłą do wektora
v

. Jeżeli więc oznaczyć przez ∆E

p

energię fali, przechodzącą w czasie ∆t

S

w

DE , DV

p

vDt

DS

Rysunek 1.14:

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

25

przez niewielką powierzchnię ∆S

⊥

, to wartość

S =

∆E

p

∆S

⊥

∆t

,

(1.114)

przy czym [S] =W/m

2

. Energia ∆E

p

odpowiada energii zawartej w b. ma-

łym prostopadłościanie o polu podstawy ∆S

⊥

i wysokości v∆t (rys. 1.14).

Ponieważ całkowita gęstość energii w = w

e

+ w

m

(w

e

i w

m

— gęstość ener-

gii pola elektrycznego i magnetycznego) wewnątrz prostopadłościanu jest w
przybliżeniu stała, więc

∆E

p

= w∆V = w∆S

⊥

v∆t

(1.115)

(∆V — objętość prostopadłościanu), skąd otrzymujemy wzór

S

= wv.

(1.116)

Korzystając ze wyrażeń, określających gęstości energii w

e

i w

m

(część I,

wzory (4.85) i (6.30)), ostatni wzór można przekształcić do postaci

S

= E × H

(1.117)

(patrz rys. 1.15), gdzie wektor natężenia pola magnetycznego H = B/µ

r

µ

0

.

Ze względu na zależność pola elektrycznego i pola magnetycznego fa-

li od czasu wartość wektora Poyntinga również zmienia się w czasie. Dla
harmonicznej fali elektromagnetycznej wygodnie jest wprowadzić pojęcie jej

S

E

H

v

Rysunek 1.15:

26

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

natężenia

I, będącego średnią bezwzględną wartością wektora Poyntinga w

ciągu jednego okresu T drgań,

I = S

śr

=

1

T

Z

T

0

EHdt

(1.118)

([I] =W/m

2

). W przypadku płaskiej fali elektromagnetycznej

E = E

0

cos [ω (t − x/c)] ,

(1.119)

H = H

0

cos [ω (t − x/c)] ,

(1.120)

co daje wzór

I =

E

0

H

0

T

Z

T

0

cos

2

[ω (t − x/c)] dt.

(1.121)

Ostatnią całkę oblicza się w podobny sposób, jak całkę (1.69) w podrozdzia-
le 1.1.3. Jest ona równa T/2. Natężenie płaskiej fali elektromagnetycznej
określa więc wzór

I =

E

0

H

0

2

.

(1.122)

Ze wzoru (1.103) wynika, że E

0

∼ H

0

. Można zatem stwierdzić, że natężenie

fali jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy natężenia jej pola elektrycz-
nego lub pola magnetycznego,

I ∼ E

2

0

∼ H

2

0

.

(1.123)

1.2.4

Promieniowanie fal elektromagnetycznych

Zgodnie z poprzednimi podrozdziałami, z obszaru przestrzeni, w którym wy-
stępuje zmienne w czasie pole elektryczne lub pole magnetyczne, rozchodzi
się fala elektromagnetyczna. Wobec tego w zasadzie każdy elektryczny ob-
wód drgający, np. obwód LC, jest źródłem fal elektromagnetycznych. Łatwo
stwierdzić, że w celu wytworzenia fal elektromagnetycznych np. o długości
rzędu metra częstotliwość ν drgań elektrycznych musi być stosunkowo wy-
soka. Można obliczyć ją ze wzoru

ν =

c

λ

.

(1.124)

Ponieważ prędkość fali elektromagnetycznej w próżni c = 3 · 10

8

m/s, więc

dla długości λ = 1 m częstotliwość ν = 3 · 10

2

MHz. Jak wynika ze wzoru

Thomsona (1.14), częstotliwość drgań obwodu LC wynosi

ν =

1

T

=

1

2π

√

LC

.

(1.125)

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

27

L

C

a)

b)

c)

d)

Rysunek 1.16:

Dla osiągnięcia możliwie wysokiej częstotliwości drgań należy więc dążyć do
zmniejszenia zarówno indukcyjności L jak i pojemności C obwodu. Ponadto,
aby wypromieniowywana przez obwód moc była jak największa, obszar prze-
strzeni, w którym obwód wytwarza zmienne pole elektryczne i magnetyczne,
powinien być możliwie duży. Oba cele można zrealizować, przekształcając
obwód LC w sposób pokazany na rys. 1.16a-d. Obwód redukuje się wówczas
do odcinka przewodnika, posiadającego niewielką indukcyjność i pojemność.
Drgania elektryczne w przewodniku mają charakter zbliżony do drgań dipola
elektrycznego

, tzn. układu dwóch równych, różnoimiennych ładunków +q i

−q, których odległość zmienia się okresowo w czasie (rys. 1.17). W odróżnie-

niu od pola elektrycznego nieruchomych ładunków, linie sił pola elektrycz-
nego drgającego dipola „odrywają się” od ładunków i przybierają kształt
pętli, przemieszczających się w przestrzeni (na rysunku pokazano linie sił
tylko z jednej strony dipola). Linie sił pola magnetycznego (nie pokazane
na rysunku) są prostopadłe do linii sił pola elektrycznego. Mają one kształt
współosiowych okręgów o rosnących z czasem promieniach, obejmujących
drgający dipol.

28

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

a)

b)

c)

d)

q

q

q

q

q

q

q

q

Rysunek 1.17:

a)

b)

Rysunek 1.18:

W celu podtrzymywania drgań elektrycznych w rozważanym obwodzie

należy doprowadzać do niego energię, np. przez połączenie ze źródłem zmien-
nej siły elektromotorycznej. W swoich doświadczeniach H. Hertz używał
układu złożonego z dwóch przewodzących prętów, rozdzielonych niewielką
przerwą, zwanego obecnie oscylatorem Hertza (rys. 1.18a). Drgania w oscy-
latorze Hertza były wzbudzane przez połączenie go ze źródłem powtarza-
jących się impulsów wysokiego napięcia. W momencie, w którym napięcie
osiągnie dostateczną wartość, między prętami przeskakuje iskra elektryczna
„zamykająca” obwód, w którym powstają tłumione drgania elektryczne. Do
rejestracji fal elektromagnetycznych Hertz stosował przewodzący pierścień
z niewielką przerwą zwany rezonatorem (rys. 1.18b), o częstotliwości drgań
własnych identycznej z częstotliwością drgań emitującego falę oscylatora. Na
skutek zjawiska rezonansu elektrycznego wymuszone drgania w rezonatorze
były na tyle silne, że można je było wykryć obserwując przeskakującą w
przerwie iskrę. Współcześnie do wytwarzania i odbioru fal radiowych i tele-
wizyjnych stosuje się anteny połączone z generatorami drgań elektrycznych

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

29

(nadajniki) i wzmacniaczami drgań elektrycznych (odbiorniki).

Hertz w swoich doświadczeniach udowodnił m.in., że fale elektromagne-

tyczne ulegają dyfrakcji, interferencji i załamaniu. Udało mu się też wy-
tworzyć stojące fale elektromagnetyczne i zmierzyć ich długość skąd, znając
częstotliwość drgań obwodu, mógł wyznaczyć prędkość fali elektromagne-
tycznej. Okazała się ona zgodna z wynikiem teorii Maxwella, co stanowiło
rozstrzygający dowód jej słuszności.

1.2.5

Widmo fal elektromagnetycznych

Fale elektromagnetyczne, występujące w przyrodzie i wytwarzane sztucznie,
obejmują b. szeroki zakres długości oraz, z uwagi na stałą prędkość ich roz-
chodzenia się w próżni, równie szeroki zakres częstotliwości, przekraczający
16 rzędów wielkości. Natura fal elektromagnetycznych, niezależnie od ich
długości, jest jednakowa. Fale o długościach różniących się co najmniej o
kilka rzędów mają jednak odmienne właściwości fizyczne. Podziału fal elek-
tromagnetycznych na poszczególne rodzaje dokonuje się głównie ze względu
na sposób ich powstawania. Pełne widmo fal elektromagnetycznych pokazuje
rys. 1.19. Granice długości fali między poszczególnymi rodzajami promienio-
wania elektromagnetycznego, pokazane na rysunku i podane poniżej, mają

4

3

2

1

0

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

d³ugie

œrednie

krótkie

promienie

podczerwone

œwiat³owidzialne

promienie

g

promienie

ultrafioletowe

promienie

rentgenowskie

mikrofale

fale radiowe

lg

[Hz]

n

lg

[m]

l

Rysunek 1.19:

30

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

jedynie orientacyjny charakter.

Fale radiowe

są wytwarzane za pomocą przyrządów elektronicznych. Do

celów radiofonii i radiokomunikacji stosuje się fale o długości od 10

4

m do 10

m. Programy telewizyjne przesyłane są na falach ultrakrótkich, o długości od
10 m do 10

−1

m. Fale elektromagnetyczne o długości od 10

−1

m do 10

−4

m

noszą nazwę mikrofal. Są one wykorzystywane głównie w technice radarowej.

Promieniowanie podczerwone, widzialne i nadfioletowe

powstaje na sku-

tek zmian energetycznych, zachodzących w zewnętrznych powłokach elektro-
nowych atomów i cząsteczek. Jest ono m.in. emitowane przez ciała ogrzane
do dostatecznie wysokiej temperatury. Fale ze stosunkowo wąskiego prze-
działu, od ok. 8·10

−7

m do ok. 4·10

−7

m są bezpośrednio widzialne ludzkim

okiem (barwy od czerwonej do fioletowej). Przedział fal o długości od 10

−3

m do 8 · 10

−7

m należy do podczerwieni a przedział fal o długości od 4 · 10

−7

do 10

−9

m — do nadfioletu. Ogólnie można stwierdzić, że energia promie-

niowania elektromagnetycznego rośnie wraz ze zmniejszaniem się długości
jego fali, tj. ze wzrostem częstotliwości. Przejawem tego są niektóre wła-
sności promieniowania nadfioletowego — zaczernia ono klisze fotograficzne,
powoduje fluorescencję (świecenie) niektórych ciał, zapoczątkowuje szereg
reakcji chemicznych.

Promienie Roentgena

(promienie X) powstają przy hamowaniu wiązki

wysokoenergetycznych naładowanych cząstek (głównie elektronów) w cia-
łach stałych a także podczas przemian energetycznych, mających miejsce w
wewnętrznych powłokach elektronowych atomów i cząsteczek. Długość fal
promieni Roentgena leży w zakresie od 10

−8

m do 10

−12

m. Są one b. prze-

nikliwe; ich własności fizyczne będą dokładniej omówione w dalszej części
wykładu.

Promieniowanie

γ jest emitowane przez pierwiastki promieniotwórcze

przy przemianach energetycznych wewnątrz wzbudzonych jąder atomowych.
Długość fal promieniowania γ jest mniejsza od 10

−10

m a ich własności

fizyczne są zbliżone do własności promieni Roentgena.