Slajd 1
Slajd 2
lajd 3
RUCH DRGAJĄCY
Swobodne drgania
harmoniczne
Drgania tłumione
Podstawowe definicje
drgania
– procesy, w których dana wielkość fizyczna na
przemian rośnie i maleje
drgania
swobodne
– gdy układ, na który nie działają
zmienne siły zewnętrzne, zostanie wyprowadzony z
położeni
okresowy
ruch drgający (periodyczny) – jeżeli wartości
wielkości fizycznych zmieniające się podczas drgań,
ą się w pewnych odstępach czasu
drgania
harmoniczne
– drgania opisane funkcją
harmoniczną (sin
ωt lub cosωt)
oscylator harmoniczny
– układ wykonujący drgania
harmoniczne np. wahadło, obwód LC
a równowagi
powtarzaj
S
Swobodny oscylator harmoniczny
)
sin(
)
(
ϕ
+
ω
=
t
A
t
s
o
wychylenie z
położenia
równowagi
amplituda -
maksymalne
wychylenie
częstość
kątowa
faza drgań
faza
początkowa
s(t)
t
A
T
o
=2π/ω
o
s(0)
0
π
ϕ
ω
ϕ
ω
2
+
+
=
+
+
)
(
)
(
t
T
t
o
o
o
o
o
T
ω
π
2
=
definicja okresu drgań
częstotliwość (częstość) drgań –
liczba drgań w jednostce czasu
ν
π
ω
2
=
o
(1Hz)
)
sin(
)
(
ϕ
= A
s 0
o
T
t
n =
- liczba drgań w czasie t
o
o
T
t
T
t
t
n
1
=
=
=
ν
- czas 1 drgania
częstotliwość kołowa -
Slajd 4
Równanie różniczkowe drgań
harmonicznych
)
sin(
)
(
ϕ
+
ω
=
t
A
t
s
o
π
+
ϕ
+
ω
ω
=
ϕ
+
ω
ω
=
2
t
A
t
A
dt
ds
o
o
o
o
sin
)
cos(
różnica faz π/2
(
)
π
+
ϕ
+
ω
ω
=
ϕ
+
ω
ω
−
=
t
A
t
A
dt
s
d
o
o
o
o
sin
)
sin(
2
2
2
2
różnica faz π
ω
o
t+ϕ
y
A
ω
o
Metoda wykresów fazowych
(
)
ϕ
+
ω
=
t
i
o
Ae
z
[
]
)
sin(
)
cos(
ϕ
+
ω
−
ϕ
+
ω
=
t
i
t
A
z
Opis przy pomocy liczb zespolonych
0
2
2
2
=
ω
+
s
dt
s
d
o
- równanie drgań
)
cos(
Re
ϕ
+
ω
=
t
A
z
o
o
o
s(t)
x
=
s
Slajd 6
Slajd 5
Przykład 1:
Mechaniczne drgania harmoniczne
Wahadło sprężynowe
x
k
F
r
r
−
=
x
k
F
r
r
−
=
x
o
=0
x
k – stała sprężystości
x
o
- położenie równowagi
(
)
o
x
x
k
F
−
−
=
x
k
F
−
=
x
k
t
d
x
d
m
−
=
2
2
0
2
2
=
+
x
m
k
dt
x
d
0
2
2
2
=
ω
+
s
dt
s
d
o
m
k
o
=
ω
)
cos(
ϕ
+
ω
=
t
A
x
o
)
sin(
ϕ
+
ω
ω
−
=
=
t
A
dt
dx
v
o
o
stałe A, ϕ wyznaczamy z warunków
początkowych np.
t
x
=
= )
(
0
0
)
cos(
ϕ
+
ω
ω
−
=
=
t
A
dt
dv
a
o
o
2
o
v
t
v
=
= )
(
0
Energia oscylatora harmonicznego
Energia kinetyczna
)
(
sin
ϕ
+
ω
ω
=
=
t
A
m
mv
E
o
o
k
2
2
2
2
2
2
Energia potencjalna
)
(
cos
ϕ
+
ω
=
=
∫
=
∫
−
=
t
A
k
kx
dx
kx
dx
F
U
o
x
x
2
2
2
0
0
2
2
Energia całkowita
2
2
2
2
2
A
m
kA
U
E
E
o
k
ω
=
=
+
=
E=E
k
+U
E
t
U
E
k
E/2
Slajd 7
lajd 9
Przykład 2:
Elektryczne drgania harmoniczne
W
C
Q
=
1
2
2
W
C
Q
=
1
2
2
W
LQ
=
1
2
2
W
LQ
=
1
2
2
t
T
=
1
4
t
T
=
1
2
t
T
=
3
4
0
1
2
2
=
+
Q
LC
dt
Q
d
(
)
ϕ
+
ω
=
t
Q
Q
o
o
cos
LC
o
1
=
ω
(
)
π
+
ϕ
+
ω
=
ϕ
+
ω
ω
−
=
=
2
0
t
I
t
Q
dt
dQ
I
o
o
o
o
cos
sin
/
C
U
SEM =
C
Q
dt
dI
L
=
−
C
Q
dt
Q
d
L
=
−
2
2
Slajd 8
Drgania tłumione
(
)
0
2
2
2
2
=
β
−
ω
+
u
dt
u
d
o
(
)
ϕ
+
ω
=
t
A
u
o
cos
)
t
cos(
ϕ
+
ω
=
β
− t
o
e
A
s
v
r
F
t
−
=
dt
ds
r
ks
dt
s
d
m
−
−
=
2
2
0
2
2
=
+
+
s
m
k
dt
ds
m
r
dt
s
d
siły oporu
(
)
2
2
o
ω
<
β
Dla słabego tłumienia
0
2
2
2
2
=
ω
+
β
+
s
dt
ds
dt
s
d
o
( )
t
u
e
s
t
β
−
=
Równanie drgań tłumionych:
(
)
2
2
2
β
−
ω
=
ω
o
oznaczamy:
Dla silnego tłumienia
(
)
2
2
o
ω
≥
β
2
2
o
e
A
u
o
ω
−
β
−
=
(
)
t
o
o
e
A
s
2
2
ω
−
β
+
β
−
=
ruch aperiodyczny
s
t
A
o
0
S
Analiza drgań tłumionych
)
t
cos(
ϕ
+
ω
=
β
− t
o
e
A
s
amplituda malejąca
wykładniczo w czasie
częstość drgań tłumionych
2
2
β
−
ω
=
ω
o
t
o
e
A
A
β
−
=
t
o
e
A
A
β
−
−
=
s, A
t
T
A
o
A
1
A
2
o
T
T
>
ω
π
=
2
logarytmiczny dekrement tłumienia
(
)
T
e
e
A
e
A
A
A
T
T
t
o
t
o
n
n
⋅
=
=
=
=
Λ
+
−
−
+
β
β
β
β
ln
ln
ln
1
czas relaksacji
β
=
τ
2
1
współczynnik dobroci
β
ω
2
o
Q ≈
Slajd 10
Fizyczny sens parametrów
oscylatora tłumionego
logarytmiczny dekrement tłumienia
charakteryzuje
szybkość zmniejszania się amplitudy
czas relaksacji τ
to okres po którym energia oscylatora
maleje e-krotnie
dobroć układu
to stosunek energii zmagazynowanej w
oscylatorze do energii traconej podczas jednego okresu
drgań (słabsze tłumienie – większa dobroć)
T
A
A
n
n
⋅
=
=
Λ
+
β
1
ln
e
e
A
e
A
t
E
t
E
t
o
t
o
=
≈
+
+
−
−
)
(
)
(
)
(
τ
β
β
τ
2
2
2
2
β
=
τ
2
1
(
)
t
o
e
A
dt
dE
β
β
2
2
2
−
−
=
τ
ω
β
ω
β
ω
β
π
π
o
o
ET
E
dE
E
Q
=
≈
=
=
=
2
2
2
2
2
T
dt
szybkość zmian energii
Slajd 12
Slajd 11
Swobodne tłumione drgania
ładunku w obwodzie RLC
SEM
V
IR
c
=
+
0
=
+
+
C
Q
IR
dt
dI
L
0
1
2
2
=
+
+
Q
LC
dt
dQ
L
R
dt
Q
d
0
2
2
2
2
=
ω
+
β
+
Q
dt
dQ
dt
Q
d
o
(
)
ϕ
+
ω
=
β
−
t
cos
t
o
e
Q
Q
2
2
4
1
L
R
LC
−
=
ω
LC
o
1
=
ω
L
R
2
=
β
gdzie
L
1
L
1
C
L
R
C
SEM
IR
V
C
I
R
=
β
=
τ
2
C
R
Q
o
=
τ
ω
≈
L
R
T
o
π
=
⋅
β
≈
Λ
Porównanie parametrów drgań
mechanicznych i elektrycznych
Q
β
ω
o
Q
x
s
Układ RLC
Wahadło
sprężynowe
Parametr
LC
1
m
k
L
R
2
m
r
2
C
L
R
1
m
k
r
1
R ⇔ r
L ⇔ m
C ⇔ 1/k
Slajd 13
lajd 15
Drgania wymuszone
Rezonans
Składanie drgań
Dudnienia
Prąd zmienny
Slajd 14
Drgania wymuszone
aby utrzymać drgania nietłumione należy
skompensować straty energii
siła wymuszająca lub siła elektromotoryczna
t
cos ω
=
o
F
F
t
cos ω
=
o
V
V
t
cos
ω
=
ω
+
β
+
m
F
x
dt
dx
dt
x
d
o
o
2
2
2
2
t
cos ω
=
ω
+
β
+
o
o
x
s
dt
ds
dt
s
d
2
2
2
2
równanie drgań wymuszonych
t
i
o
o
e
x
z
dt
dz
dt
z
d
ω
=
ω
+
β
+
2
2
2
2
równanie drgań wymuszonych
w postaci zespolonej
t
cos ω
+
−
−
=
o
F
dt
dx
r
kx
dt
x
d
m
2
2
równanie ruchu
S
Rozwiązanie równania drgań
wymuszonych
t
i
o
o
e
x
z
dt
dz
dt
z
d
ω
=
ω
+
β
+
2
2
2
2
t
i
o
e
z
z
Ω
=
Rozwiązania tego równania szuka się w postaci:
t
i
o
t
i
o
o
t
i
o
t
i
o
e
x
e
z
e
z
i
e
z
ω
Ω
Ω
Ω
=
ω
+
Ω
β
+
Ω
−
2
2
2
równania musi być spełnione dla każdej chwili czasu więc Ω = ω
(
)
(
)
(
)
(
)
i
x
x
i
x
z
o
o
o
o
o
o
o
o
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
4
2
ω
β
ω
ω
βω
ω
β
ω
ω
ω
ω
βω
ω
ω
+
−
−
+
+
−
−
=
+
−
=
(
)
i
b
a
i
z
e
z
z
o
i
o
o
⋅
+
=
ϕ
+
ϕ
=
⋅
=
ϕ
sin
cos
(
)
2
2
2
2
2
2
2
4
ω
β
+
ω
−
ω
=
+
=
=
o
o
o
x
b
a
z
A
2
2
2
ω
−
ω
βω
−
=
ϕ
o
tg
(
)
ϕ
+
ω
ω
ϕ
⋅
=
⋅
⋅
=
t
i
o
t
i
i
o
e
z
e
e
z
z
(
)
ϕ
+
ω
⋅
=
=
t
z
z
s
o
cos
Re
Slajd 16
Wnioski
po początkowym, nieustalonym stadium procesu
następują ustalone drgania wymuszone,
drgania wymuszone odbywają się z częstością
siły wymuszające
amplituda tych drgań zależy od amplitudy siły
wymuszającej, jej częstości i parametrów układu
drgającego,
stan
nieustalony
ustalone drgania
wymuszone
s
t
Slajd 18
Slajd 17
Właściwości ustalonych
rgań wymuszonych
(
)
2
2
2
2
2
2
4
o
o
o
o
x
x
A
ω
≈
ω
β
+
ω
−
ω
=
iła wymuszająca o małej częstości ω<<ω
o
b) Rezonans ω ≈ ω
o
o
o
r
d
dA
ω
≈
β
−
ω
=
ω
⇒
=
ω
2
2
2
0
o
o
o
o
r
x
x
A
βω
≈
β
−
ω
β
=
2
2
2
2
c) Siła wymuszająca o dużej częstości ω>>ω
o
o
x
częstość rezonansowa
ϕ
tg
ω
o
ω
0
2
π
ϕ
β
ω
ϕ
−
→
⇒
−∞
→
−
=
tg
wychylenie opóźnia się w fazie o π/2
β
2
0
0
2
2
2
→
ϕ
⇒
→
ω
−
ω
βω
−
=
ϕ
o
tg
zgodność fazy siły z wychyleniem
j,
sz
d
a) S
faza drgań zależy od częstości siły wymu ającej
2
ω
=
A
π
−
→
ϕ
⇒
→
ω
=
ϕ
0
tg
wychylenie opóźnia si
azie o π
ę w f
Amplituda drgań wymuszonych w
funkcji częstości siły wymuszającej
A
2
o
o
x
ω
ω
ω
o
ω
r
β=0
β
1
< β
2
< β
3
0
odchylenie
statyczne
Slajd 19
lajd 21
Składanie drgań jednakowych często-
ściach - metoda wykresów fazowych
(
)
1
1
1
ϕ
+
ω
=
t
A
x
o
cos
(
)
2
2
ϕ
+
ω
=
t
A
o
cos
(
)
ϕ
+
ω
=
+
=
t
A
x
x
x
o
cos
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
ϕ
+
ϕ
ϕ
+
ϕ
=
ϕ
cos
cos
sin
sin
A
A
A
A
tg
y
x
A
1
A
2
ϕ
1
ϕ
2
ϕ
A
(
)
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
ϕ
−
ϕ
+
+
=
cos
A
A
A
A
A
(
)
[
]
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
ϕ
−
ϕ
−
π
−
+
=
cos
A
A
A
A
A
z prawa cosinusów
2
x
Slajd 20
Dudnienia
t
cos
cos
ω
ω
∆
=
t
A
x
2
2
t
A
A
2
2
ω
∆
=
cos
~
ω
∆
π
=
2
o
T
A
A
A
t
~
~
cos
= 2
2
∆ω
A
2 cos
cos t
ω
t
2
T=
T =
o
2
π
2
π
ω
∆ω
x=
∆ω
2
1
x
x
x
+
=
t
cos ω
= A
x
1
t
A
x
)
cos(
ω
∆
+
ω
=
2
ω
<<
ω
∆
dwa drgania równoległe nieznacznie
różniące się częstościami (ϕ=0)
S
Składanie drgań wzajemnie
prostopadłych
)
t
cos(
t
cos
ϕ
+
ω
=
ω
=
B
y
A
x
ϕ
ω
−
ϕ
ω
=
ω
=
sin
t
sin
cos
t
cos
t
cos
B
y
;
A
x
2
1
−
=
ω
A
x
t
sin
ϕ
=
+
−
2
2
2
2
2
2
sin
B
y
AB
xy
A
x
m
=
± ±
0
2
4
,
,
m
= ± ±
±
1 3
5
,
,
,
Kształt krzywych Lissajous zależy od stosunku amplitud, częstości i początkowych faz drgań
.
Dla ϕ = mπ:
Dla ϕ = (2m+1)π:
Slajd 22
Prąd zmienny
t
V
V
o
ω
=
cos
t
cos
t
cos
ω
=
ω
=
=
o
o
I
R
V
R
V
I
0
=
−
ω
dt
dI
L
t
V
o
cos
(
)
(
)
2
2
π
−
ω
=
π
−
ω
ω
=
ω
ω
=
t
I
t
L
V
t
L
V
I
o
o
o
cos
cos
sin
t
V
V
C
Q
o
c
ω
=
=
cos
dQ
I
o
V
o
=R I
o
~V
R
~V
L
C
L
C
~V
I
o
o
c
I
C
V
ω
=
1
π/2
I
o
o
L
LI
V
ω
=
π/2
Rozważmy procesy zachodzące w obwodach
RLC po przyłożeniu napięcia zmiennego
L
R
L
ω
=
- reaktancja indukcyjna
C
R
C
ω
=
1
- reaktancja pojemnościowa
(
)
2
π
+
ω
=
ω
ω
=
=
t
I
t
CV
dt
I
o
o
cos
sin
Slajd 24
Slajd 23
Obwód RLC
( )
R
C
L
tg
ω
−
ω
=
ϕ
/
1
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
o
o
o
V
I
C
L
RI
=
−
+
ω
ω
(
)
2
2
1
C
L
R
V
I
o
o
ω
ω −
+
=
(
)
(
)
2
2
2
2
1
C
L
R
R
R
C
L
R
Z
−
+
=
ω
−
ω
+
=
t
V
V
o
ω
=
cos
(
)
ϕ
−
ω
=
t
I
I
o
cos
Jeśli napięcie zmienia się wg. prawa
to w obwodzie płynie prąd
(
)
2
2
2
o
C
L
R
V
V
V
V
=
−
+
R
C
L
V
V
V
tg
−
=
ϕ
L
R
C
V
V
C
V
L
V
R
~
V
R
=I
o
R
V
C
V
L
V
o
(V
L
-V
C
)
ϕ
π/2
-π/2
impedancja
reaktancja
Fale
Drgania normalne
Równanie falowe
Rodzaje fal
Slajd 25
lajd 27
Drgania o wielu stopniach
swobody
Wahadło sferyczne
Wahadło podwójne
Wahadło sprzężone
Układ fizyczny ma N stopni swobody, jeśli do opisu procesów
w nim zachodzących trzeba użyć N wielkości niezależnych
Slajd 26
Drgania normalne oscylatora o
dwóch stopniach swobody
x
1
x
2
k
k
(
)
2
1
1
2
1
2
1
2
2
kx
kx
x
x
k
kx
dt
x
d
m
+
−
=
−
+
−
=
(
)
2
1
1
2
2
2
2
2
2kx
kx
x
x
k
kx
dt
x
d
m
−
=
−
−
−
=
(
)
(
)
2
1
2
2
1
2
x
x
k
dt
x
x
d
m
+
−
=
+
(
)
(
)
2
1
2
2
1
2
3
x
x
k
dt
x
x
d
m
−
−
=
−
2
1
1
x
x +
=
Ψ
2
1
2
x
x −
=
Ψ
1
2
1
2
Ψ
−
=
Ψ
m
k
dt
d
2
2
2
2
3 Ψ
−
=
Ψ
m
k
dt
d
m
k
=
ω
1
m
k
3
2
=
ω
(
)
1
1
1
1
2
ϕ
+
ω
=
Ψ
t
A
cos
(
)
2
2
2
2
2
ϕ
+
ω
=
Ψ
t
A
cos
Nowe współrzędne nazywamy normalnymi, a same drgania
drganiami własnymi czyli normalnymi
S
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
2
1
1
2
1
ϕ
+
ω
+
ϕ
+
ω
=
Ψ
+
Ψ
=
t
A
t
A
x
cos
cos
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
2
1
2
2
1
ϕ
+
ω
−
ϕ
+
ω
=
Ψ
−
Ψ
=
t
A
t
A
x
cos
cos
Drgania oscylatora o dwóch stopniach swobody są superpozycją
dwóch drgań normalnych o różnych częstościach własnych
x
2
(
)
2
2
2
2
1
1
0
ϕ
+
ω
=
−
=
⇒
=
t
A
x
x
A
cos
wahadła drgają z tą samą częstością w zgodnych fazach, przeciwnych kierunkach
x
1
k
k
(
)
1
1
1
2
1
2
0
ϕ
+
ω
=
=
⇒
=
t
A
x
x
A
cos
wahadła drgają z tą samą częstością w zgodnych fazach i kierunkach
x
1
x
2
k
k
2
1
1
x
+
2
1
2
x
x −
=
Ψ
x
=
Ψ
Slajd 28
Dla układu o N stopniach swobody:
istnieje N częstotliwości własnych,
układ może wykonywać N drgań normalnych,
dla drgań normalnych wszystkie elementy drgają w tej
samej fazie, zaś amplitudy drgań są wzajemnie zależne
3
2
1
Ψ
3
Ψ
2
Ψ
1
Liczba stopni
swobody
N
Slajd 30
Slajd 29
Drgania normalne struny rozpiętej wzdłuż
osi x ze stałym naciągiem T o masie
jednostki długości µ
Ψ=Ψ(x,y,z,t)
Ψ
x
x
tg
∂
ψ
∂
=
α
≈
α
≈
α
⇒
→
α
sin
,
cos
1
0
dΨ
dx
α
dl
Rozważmy element
dl struny tworzący niewielki kąt
α z osią x
dx
dx
dm
µ
≈
α
µ
=
cos
x
T
tg
T
T
F
∂
ψ
∂
=
α
⋅
≈
α
=
sin
0
2
2
2
2
=
∂
ψ
∂
µ
−
∂
ψ
∂
t
T
x
T
v
ozn
µ
=
2
1
.
2
2
2
2
t
dx
t
dm
dF
∂
ψ
∂
⋅
µ
=
∂
ψ
∂
=
II zas. dyn. Newtona
dx
x
T
dx
x
F
dF
2
2
∂
ψ
∂
=
∂
∂
=
Wypadkowa siła poprzeczna
T
T
F
F+dF
0
1
2
2
2
2
2
=
∂
ψ
∂
−
∂
ψ
∂
t
v
x
otrzymujemy klasyczne równanie falowe
(
)
( )
(
)
ϕ
+
ω
⋅
=
Ψ
t
x
A
t
x
cos
,
0
1
2
2
2
2
2
=
∂
ψ
∂
−
∂
ψ
∂
t
v
x
(
)
ϕ
ω
ψ
+
=
∂
∂
t
x
d
A
d
x
cos
2
2
2
2
(
)
ϕ
+
ω
ω
−
=
∂
ψ
∂
t
A
t
cos
2
2
2
0
2
2
2
=
µ
ω
+
A
T
dx
A
d
0
2
2
2
=
+
A
k
dx
A
d
falowa
liczba
T
k
gdzie
−
µ
ω
=
( )
(
)
φ
+
⋅
=
x
k
A
x
A
o
cos
rozwiązaniem jest funkcja o okresie przestrzennym zwanym długością fali -λ
ν
=
πν
π
=
µ
ω
π
=
π
=
λ
⇒
π
=
λ
v
v
T
k
k
2
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
ϕ
+
ω
⋅
φ
+
=
Ψ
t
kx
A
t
x
o
cos
cos
,
Drganiom normalnym w układach ciągłych odpowiada powstanie w nich fal stojących
Drgania normalne, a fala stojąca
T
v
µ
=
2
1
Slajd 31
lajd 33
Drgania własne struny
(
)
(
)
(
)
ϕ
+
ω
⋅
φ
+
=
Ψ
t
kx
A
t
x
o
cos
cos
,
dla struny o skończonej długości L zamocowanej na obu końcach
( )
( )
0
0
=
Ψ
=
Ψ
t
L
t
,
,
z warunków brzegowych wynika
( )
(
)
2
0
π
φ
ϕ
ω
φ
±
=
⇒
=
+
⋅
t
A
o
cos
cos
(
)
0
2
=
+
⋅
+
ϕ
ω
π
t
kL
A
o
cos
cos
( )
π
n
kL
kL
=
⇒
= 0
sin
...
,
, 2
1
0
2
2
=
=
=
n
n
L
k
n
n
π
λ
µ
π
µ
ω
T
L
n
T
k
n
n
=
=
µ
π
ω
T
L
=
1
podstawowa
częstość kołowa
Slajd 32
Równanie falowe
x
Ψ
A
o
sinωt
λ
v
x
o
po czasie t
o
( )
( )
t
A
t
o
ω
=
Ψ
sin
,
0
(
)
(
)
o
o
o
t
t
A
t
x
−
ω
=
Ψ
sin
,
v
x
t
o
o
=
(
)
(
)
kx
t
A
x
t
A
v
x
t
A
t
x
o
o
o
−
ω
=
λ
π
−
ω
=
−
ω
=
Ψ
sin
sin
sin
,
2
(
)
(
)
kx
t
A
t
x
o
−
ω
=
Ψ
sin
,
faza fali
const
kx
t
=
−
ω
0
=
⋅
−
⋅
ω
dx
k
dt
k
dt
dx
v
ω
=
=
prędkość fazowa
(
)
(
)
kx
t
A
t
x
o
+
ω
=
Ψ
sin
,
propagacja w
kierunku -x
wektor
falowy
(
)
(
)
ϕ
+
−
ω
=
Ψ
kx
t
A
t
x
o
sin
,
T
v
gdzie
⋅
=
λ
λ
π
=
2
k
- długość fali,
- liczba falowa
S
Właściwości fal
fale harmoniczne opisane funkcją sinus lub cosinus
dowolny ruch falowy można przedstawić jako
superpozycję fal harmonicznych – analiza Fouriera
powierzchnia falowa (czoło fali) – zbiór punktów o
takiej samej fazie
linie prostopadłe do powierzchni falowej to
promień fali, wskazują kierunek propagacji
fale harmoniczną przedstawia się również w
zapisie zespolonym:
(
)
(
)
ikx
t
i
o
kx
t
i
o
e
e
A
e
A
t
x
−
ω
−
ω
=
=
Ψ ,
sens fizyczny ma tylko część rzeczywista zespolonej funkcji falowej
Zasada superpozycji: jeśli w ośrodku propagują się dwie fale, to wypadkowe
zaburzenie ośrodka jest równe sumie zaburzeń wywołanych przez poszczególne fale
Slajd 34
odzaje fal
w zależności od kształtu czoła fali:
płaskie
walcowe (koliste)
kuliste
w zależności od zmiennej wielkości
fizycznej:
skalarne (np. fale ciśnienia)
wektorowe (np. elektromagnetyczne)
• podłużne
• poprzeczne, tylko w ośrodkach sprężystych
• powierzchniowe
R
mogą być spolaryz wane
o
Slajd 36
Slajd 35
Energia fal
Fale stojące
Prędkość grupowa
Paczka falowa
Fale dźwiękowe
Energia przenoszona przez fale
α
∂
∂
α
π
∂
∂
sin
cos
=
−
=
⋅
=
t
y
T
t
y
T
u
F
P
2
r
r
(
)
v
x
t
A
y
/
cos
−
ω
=
t
v
TA
P
ω
ω
=
2
2
2
sin
2
1
2
/
sin
=
〉
ω
〈
t
2
2
2
A
v
T
P
ω
=
〉
〈
natężenie fali – średnia wartość przenoszonej mocy przez falę
x
y ∂
∂
−
=
α
/
sin
x
y
t
y
T
P
∂
∂
∂
∂
−
=
Dla małych kątów:
Obliczmy moc potrzebną do poruszania struną do góry i w dół z prędkością u
v
T
0
ur
Slajd 37
lajd 39
Fale stojące
x
Ψ
λ/2
strzałki
węzły
t
kx
A
ω
⋅
=
Ψ
+
Ψ
=
Ψ
cos
cos
2
2
1
(
)
A
A
n
x
n
n
kx
st
2
2
2
1
0
=
→
λ
±
=
⇒
=
π
±
=
...
,
,
(
)
0
2
2
1
2
1
0
2
1
=
→
λ
+
±
=
⇒
=
π
+
±
=
st
A
n
x
n
n
kx
...
,
,
(
)
kx
t
A
−
ω
=
Ψ
cos
1
(
)
kx
t
A
+
ω
=
Ψ
cos
2
Fala stojąca powstaje przy nakładaniu
się dwu harmonicznych fal biegnących
propagujących się w przeciwnych
kierunkach z jednakowymi
prędkościami i amplitudami
kx
A
A
st
cos
2
=
w każdym punkcie fali stojącej
zachodzą drgania o tej samej
częstotliwości z amplitudą
zależną od współrzędnej x
Slajd 38
Superpozycja fal harmonicznych
- prędkość grupowa
(
)
kx
t
A
o
−
ω
=
Ψ
sin
1
(
) (
)
(
)
x
dk
k
t
d
A
o
+
−
ω
ω
=
Ψ
sin
2
Rozważmy dwie fale harmoniczne o nieco różnych częstościach
ω
<<
ω
d
(
)
kx
t
x
dk
t
d
A
o
−
ω
⋅
−
⋅
ω
=
Ψ
+
Ψ
=
Ψ
sin
cos
2
2
2
1
w wyniku superpozycji dwóch fal otrzymaliśmy fale harmoniczną o częstości
nośnej ω i modulowanej amplitudzie przenoszonej z prędkością grupową v
g
const
x
dk
t
d
=
⋅
−
⋅
ω
0
=
⋅
−
⋅
ω
dx
dk
dt
d
dk
d
dt
dx
v
g
ω
=
=
- prędkość grupowa
x
Ψ
+
S
Dyspersja fal
k
v
ω
=
szukamy związku pomiędzy prędkością grupową a fazową
dk
dv
k
v
dk
dkv
dk
d
v
g
+
=
=
ω
=
λ
λ
π
−
=
λ
π
=
d
d
dk
2
2
2
λ
λ
−
=
d
dv
v
v
g
prędkością grupową różni się od fazowej, gdy prędkość
fazowa zależy od częstości (długości fali). Zależność v
od λ nazywamy dyspersją.
ośrodki dyspersyjne – (v≠v
g
) fale o różnej długości
rozchodzą się z różną prędkością, np. pryzmat dla światła
ośrodki niedyspersyjne – (v=v
g
) fale o różnej długości
rozchodzą się z taką samą prędkością, np. w próżni
Slajd 40
Superpozycja Fouriera
dając większą liczbę fal o częstościach bliskich ω
ο
boczne
dudnienia ulegają stłumieniu. Poniżej wykres dla sumy 5 fal.
Ψ
t
G(ω)
ω
ω
ο
∆ω
y sumowaniu nieskończonej liczby fal o częstościach bliskich ω
ο
i
amplitudach opisanych funkcją Gaussa otrzymujemy pojedynczą paczkę falową
Ψ
t
G(ω)
ω
ω
ο
∆ω
∆t
szerokość paczki
∆t=1/∆ω
Slajd 42
Slajd 41
aczka falowa
posługujemy się skończonymi
gami falowymi tzw. paczkami falowymi
paczka falowa powstaje w wyniku superpozycji
fal harmonicznych o częstościach z przedziału ∆ω
i amplitudach opisanych funkcją Gaussa
im mniejsze ∆ω tym bardziej paczka falowa
myta jest w czasie
paczka falowa rozchodzi się z prędkością
grupową
danej paczce falowej przyporządkowujemy
odpowiednie pasmo liczb falowych ∆k
dk
ω
∆
1
1
Do
Prz
P
w praktyce
cią
roz
x
t
v
v
d
k
g
g
∆
=
∆
⋅
=
=
ω
∆
ω
=
∆
Prędkość grupowa, a prędkość
fazowa paczki falowej
x
v
v
g
Slajd 43
lajd 45
Rozmycie paczki falowej
w ośrodku dyspersyjnym
Ψ(x,t)
t
G(ω)
ω
∆ω
∆ω⋅ ∆t>1
w ośrodku dyspersyjnym paczka falowa ulega deformacji (rozmyciu), gdyż
poszczególne składowe propagują się z różnymi prędkościami
w ośrodku niedyspersyjnym paczka falowa nie ulega rozmyciu
∆t
∆t
∆ω
Slajd 44
Fale dźwiękowe
(akustyczne)
dźwięki to podłużne fale sprężyste rozchodzące się w
ciałach stałych, cieczach i gazach o częstotliwościach
od 20 Hz (infradźwięki) do 20 KHz (ultradźwięki),
prędkość dźwięku B - moduł ściśliwości
ρ - gęstość ośrodka
powietrze 340 m/s, woda 1500 m/s, stal 6000 m/s
ton
–fala harmoniczna o określonej częstotliwości,
wysokość dźwięku
– jego częstotliwość,
barwa
– zbiór fal o różnych częstotliwościach,
natężenie
– moc na jednostkę powierzchni, ~ A
2
i ω
2
głośność - poziom natężenia dźwięku 10log(I/I
o
) [dB]
gdzie I
o
= 10
-12
W/m
2
to natężenie odniesienia - dolna
granica słyszalności (granica bólu 120 dB)
zjawisko Dopplera – zmiana częstości wynikająca z
wzajemnego ruchu obserwatora i źródła
ρ
B
v =
S
Z
O
V
o
λ
Zjawisko Dopplera – zmiana częstości
wynikająca z wzajemnego ruchu
obserwatora O i źródła Z
(
)
+
=
+
=
λ
+
=
λ
+
λ
=
u
v
f
u
f
v
u
v
u
t
t
v
ut
f
o
o
o
o
1
1
'
zbliżający się obserwator odbiera
fale o większej częstotliwości
liczba rejestrowanych
fal w czasie t
f
v
f
u
z
−
=
λ'
(
)
u
v
f
v
u
uf
u
f
z
z
−
=
−
=
λ
=
1
1
'
'
źródło zbliża się do obserwatora
fala ma mniejszą długość z
przodu, a większą z tyłu
gdy prędkość źródła większa
jest od prędkości dźwięku
powstaje fala uderzeniowa
u
v
M
z
=
=
θ
sin
liczba Macha
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
Z
O
V
z
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
drgania i fale pow kl III, Szkoła
Fizyka dla liceum Drgania i fale mechaniczne
fizyka drgania i fale pr klucz
Drgania i fale elektromagnetyczne
Sprawdzian z drgań, biologia operon testy sprawdzające, sprawdziany, Sprawdziany, Drgania i Fale
1 21 03 2014Czytanka Drgania i Fale
fizyka drgania i fale pr
Drgania i fale elektromagnetyczne
Zestaw11 drgania,fale
drgania i fale pp
IV Fale E M rut(1)
Drgania i fale mechaniczne klucz poziom podstawowy
drgania, biologia operon testy sprawdzające, sprawdziany, Sprawdziany, Drgania i Fale
drgania i fale, egzamin fizyka
elaktro drgania, biologia operon testy sprawdzające, sprawdziany, Sprawdziany, Drgania i Fale
Drgania i fale mechaniczn1, nauka, nauka dla każdego, fizyka różne, fizyka gimnazjum
Drgania - zadania, Fizyka, 06.Drgania i fale
więcej podobnych podstron