Slajd 1

Slajd 2

lajd 3

Fale elektromagnetyczne

Przyspieszony ładunek emituje pola

elektryczne i magnetyczne propagujące

się z prędkością światła c

Widmo 2

S

Równanie różniczkowe fali

elektromagnetycznej

rozpatrzmy prostokątny element nieskończonej powierzchni z prądem

powierzchniowym J [A/m]

S

d

t

E

c

S

d

j

s

d

B

S

S

C

o

r

v

r

r

r

r

⋅

∫ ∂

∂

∫

+

⋅

∫

µ

=

⋅

2

1

Jb

Bb

s

d

B

o

µ

=

=

∫ ⋅

2

r

r

2

J

B

o

µ

=

Z uogólnionego prawa Ampera dla konturu w

kształcie prostokąta o bokach a, b

wyznaczmy indukcję w pobliżu powierzchni:

0

0

→

∂

∂

⇒

→

dS

t

E

a

t

cos ω

=

o

J

J

( )

t

J

t

B

o

o

z

ω

µ

=

cos

,

2

0

J

x

z

y

0

a

b

B

r

B

r

Slajd 4

S

d

c

s

d

B

C

r

r

r

∫

∂

∂

+

=

∫ ⋅

t

E

2

1

0

(

)

(

)

bdx

c

b

B

b

dB

B

y

z

z

z

t

E

∂

∂

−

=

−

+

2

1

dx

c

dB

y

z

t

E

∂

∂

−

=

2

1

t

E

x

B

∂

∂

−

=

∂

∂

y

z

c

2

1

∫

∫

∂

∂

−

=

⋅

C

S

d

t

B

s

d

E

r

r

r

r

)

(

t

B

)

(

hdx

h

E

h

dE

E

z

y

y

y

∂

∂

−

=

−

+

Wyznaczmy pole magnetyczne w punkcie P odległym od płaszczyzny

bdx

E

dS

E

S

d

E

y

y

−

=

∫

−

=

∫ ⋅

r

r

element powierzchni (b;dx) jest

skierowany w kierunku ujemnych y

t

E

∂

∂

−

=













=

y

const

t

z

c

dx

dB

2

1

hdx

B

dS

B

S

d

B

z

z

=

∫

=

∫ ⋅

r

r

J

x

y

0

a

b

Br

Br

dx

b

P

B

r

B

d

B

r

r+

składową E

y

wyznaczymy z prawa

Faradaya dla konturu (h;dx)

Er

E

d

E

r

r+

h

dx

dE

z

y

t

B

∂

∂

−

=

t

B

x

E

∂

∂

−

=

∂

∂

z

t

B

∂

∂

−

=













=

z

const

t

y

dx

dE

y

z

Slajd 6

Slajd 5

Rozwiązując układ równań z dwiema niewiadomymi B

z

i E

y

otrzymujemy:

t

E

x

B

∂

∂

−

=

∂

∂

y

z

c

2

1

t

B

x

E

∂

∂

−

=

∂

∂

z

y













∂

∂

−

∂

∂

=













∂

∂

∂

∂

t

E

x

x

x

y

z

c

B

2

1

t

x

E

c

x

B

y

z

∂

∂

∂

−

=

∂

∂

2

2

2

2

1

2

2

2

t

t

x

t

B

t

x

E

t

∂

∂

−

=

∂

∂

∂













∂

∂

−

∂

∂

=













∂

∂

∂

∂

z

y

z

y

B

E

2

2

2

2

2

1

t

x

∂

∂

=

∂

∂

z

z

B

c

B













∂

∂

−

∂

∂

=













∂

∂

∂

∂

t

E

x

y

z

c

t

B

t

2

1

x

B

x

E

x

x

x

z

y

z

y

∂

∂

∂

−

=

∂

∂













∂

∂

−

∂

∂

=













∂

∂

∂

∂

t

t

B

E

2

2

2

2

2

2

2

1

t

E

c

x

t

B

y

z

∂

∂

−

=

∂

∂

∂

2

2

2

2

2

1

t

x

∂

∂

=

∂

∂

y

y

E

c

E

2

2

1

∂

=

∂

y

y

Porównując ze znanym

otrzymaliśmy różniczkowe

2

2

2

t

x

∂

∂

u

równaniem fali biegnącej

równania Maxwella dla E,B

Wnioski

„

wokół płaszczyzny z prądem zmiennym w

czasie powstają pola magnetyczne i

elektryczne, spełniające równanie falowe,

tzn. pola magnetyczne i elektryczne

rozchodzą się jak fala w kierunku osi x, z

prędkością fazową c

„

pola te są wzajemnie prostopadłe do

siebie i do kierunku rozchodzenia się tych

pól w przestrzeni (kierunku propagacji

fali), tzn. B

z

⊥ E

y

⊥ ñ

s

m

c

o

o

8

10

3

1

⋅

=

ε

µ

=

Br

Er

nr

B

E

B

E

n

r

r

r

r

r

×

×

=

y

x

z

Slajd 7

Slajd 8

lajd 9

Postać B

z

(x,t) i E

y

(x,t)

)









ϕ

+











 −

ω

=

c

x

t

B

t

B

o

z

cos

,

2

2

2

2

2

1

t

x

∂

∂

=

∂

∂

z

z

B

c

B

(

)











 −

ω

µ

=

c

x

t

J

t

x

B

o

o

z

cos

,

2

0

2

=

ϕ

µ

=

,

o

o

o

J

B











 −

ω

ω

=



















 −

ω

∂

∂

−

=

∂

∂

−

=

∂

∂

c

x

t

c

x

t

B

t

t

B

o

o

z

y

sin

B

cos

E

const

c

x

t

cB

dx

c

x

t

E

o

o

y

+











 −

ω

=

∫











 −

ω

ω

=

cos

sin

B











 −

ω

µ

=

=

c

x

t

J

c

cB

E

o

o

z

y

cos

2

( )

t

J

t

B

o

o

z

ω

µ

=

cos

,

2

0

Warunek brzegowy

( )

[

]

ϕ

+

ω

=

t

B

t

B

o

z

cos

,

0

Dla x=0

const=0 bo ρ=0

(

)











 −

ω

=

c

x

t

E

t

x

E

o

y

cos

,

E

o

= cB

o

Korzystając ze związku:

(

x

x

Br

E

z

x

Pole elektryczne i magnetyczne wokół płaszczyzny z sinusoidalnie zmieniającym

się prądem jest falą sinusoidalną rozchodzącą się w kierunku osi x z prędkością c

nazywaną

falą elektromagnetyczną

(

)











 −

ω

=

c

x

t

E

t

x

E

o

y

cos

,

(

)











 −

ω

=

c

x

t

B

t

x

B

o

z

cos

,

T

k

k

c

π

ω

λ

π

ω

2

,

2

,

=

=

=

y

z

x

c

B

E

E

B

J

r

y

S

Co będzie jeżeli prąd płynący przez

płaszczyznę nie będzie sinusoidalny?

Rozważmy przypadek, kiedy prąd

powierzchniowy określony jest funkcją

piłokształtną o okresie τ=2π/ω

(

)

∑













ω

=

∞

=1

1

n

o

n

n

J

J

t

sin

































 −

ω

∑

µ

=

=

c

x

t

n

n

J

c

cB

E

o

o

sin

1

2

Pole w dowolnym punkcie przestrzeni ma

również piłokształtną zależność od czasu

(

)

∑













ω

=

∞

=1

1

n

n

t

F

t

n

sin

)

(

Rozkład Fouriera periodycznej funkcji F(t)

( )

(

)

(

)













+

−

=

t

sin

t

sin

t

sin

ω

ω

ω

3

3

1

2

2

1

o

J

J

n=1

n=2

n=3

n=5

t

t

t

t

J

τ

Slajd 10

Wektor Poyntinga

Jedną z ważnych własności ruchu falowego jest zdolność przenoszenia

energii od punktu do punktu. Rozpatrzmy płaską falę elektromagnetyczną

padającą na przewodzącą płytkę o grubości ∆x indukując prąd I

0

E

E

c

P

o

S

∆

µ

−

=

∆

2

x

jz

I

o

∆

=

o

Ey

V =

x

j

c

J

c

E

o

o

∆

µ

−

=

µ

−

=

∆

2

2

Indukowany prąd I promieniuje

falę elektromagnetyczną

(

)

x

∆

=

=

o

o

z

y

jE

V

I

dt

dW

Moc tracona na ciepło Joule’a

x

jE

dt

dW

z

y

P

o

o

S

∆

=

=

∆

1

Straty mocy na jednostkę powierzchni wynoszą

Całkowita moc promieniowania z jednostki powierzchni równa

jest całkowitej mocy pochłoniętej w nieskończonej liczbie płytek

r

r

r

E

∆E

∆E

B

y

o

z

o

∆ x

j

pad

pad

B

E

P

o

S

×

= 1

Wektor Poyntinga

pad

pad

o

pad

pad

o

o

S

B

E

E

E

c

EdE

P

µ

=

∫

µ

=

µ

−

=

1

1

2

2

µ

c

Slajd 12

Slajd 11

Wektor Poytinga określa moc promieniowania

na jednostkę powierzchni i pokazuje kierunek

przepływu energii. Wektory E i B są chwilowymi

wartościami pola elektromagnetycznego

dV

c

P

c

dx

A

P

dt

A

P

dW

S

S

S

=

=

=

Wyznaczmy gęstość energii pola elektromagnetycznego

padającego na powierzchnię A o grubości dx

c

P

dV

dW

w

S

=

=













µ

+

ε

=

o

o

B

E

w

2

2

2

1

o

o

o

o

o

B

c

E

B

B

B

w

µ

+

µ

=

µ

+

µ

=

µ

=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

B

E

P

o

S

r

r

r

×

µ

= 1

c

dx

dt =

EB

c

w

o

µ

= 1

cB

E =

o

o

c

ε

µ

=

1

Znany wzór na gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego

Oddziaływanie

promieniowania z materią

„

słaby przewodnik absorbuje energię i pęd fali i

prawie nie odbija (grafit, zjonizowany gaz)

„

bardzo dobry przewodnik odbija falę całkowicie

(srebro, nadprzewodniki)

„

w dielektryku fala rozchodzi się z mniejszą

prędkością niż w próżni i ulega dyspersji (szkło,

gaz)

„

w plazmie fala rozchodzi się z prędkością

większą od prędkości światła

Slajd 13

lajd 15

Pęd (ciśnienie) promieniowania

∆x

B

E

F

m

J

c

y

o

z

o

(

)

x

z

j

I

o

∆

=

Bdt

cIy

dW

o

=

(

)(

)

x

z

y

jEdt

dW

o

o

∆

=

Ilość energii wydzielonej na ciepło Joule’a

w elemencie o grubości ∆x wynosi:

Bdt

y

x

cjz

dW

o

o

∆

=

cB

E =

Na indukowany prąd działa siła magnetyczna

zgodnie z kierunkiem padania fali

B

y

I

F

o

m

r

r

r

×

=

B

Iy

F

o

m

=

dV

c

P

dW

S

=

dV

c

P

p

d

S

2

r

r =

Element objętości dV cechuje wektor pędu

Pomiar pędu strumienia świetlnego jest

utrudniony bo wartość 1/c jest mała

dW

c

Bdt

Iy

dt

F

dp

o

m

1

=

=

=

Z II zas. dynamiki Newtona

Slajd 14

Odbicie promieniowania od

przewodnika

Na płytkę z idealnego przewodnika (np. nadprzewodnika) pada fala

elektromagnetyczna. Indukowany prąd powierzchniowy daje pole

promieniowania równe natężeniu fali padającej (bo nie ma strat).

pad

E

E

−

=

∆

r

E

pad

∆

r

E

∆

r

E

r

J

0

=

∆

+

=

E

E

E

pad

r

r

r

Fala stojąca

Fa

ita interferuje z padającą dając

falę stojącą. Za płytką indukowane pole

znosi się z falą padającą.

la odb

S

Oddziaływanie promieniowania z

dielektrykiem

3

2

4

r

m

e

e

r

o

o

ε

πε

=

ω

jeśli na atom pada fala elektromagnetyczna postaci











 −

ω

=

c

x

t

E

E

o

pad

cos

to ustalą się drgania wymuszone

(

)











 −

ω

ω

−

ω

−

=

c

x

t

m

eE

y

o

o

cos

2

2

W płytce dielektryka o N elektronach w jednostce objętości indukuje się prąd

o gęstości j

(

)











 −

ω

ω

−

ω

ω

−

=

−

=

c

x

t

m

E

Ne

dt

dy

e

N

j

o

o

sin

)

(

2

2

2

Pole promieniowania emitowane przez elektrony płytki

x

j

2

c

=

E

o

∆

µ

−

∆

Elektrony w postaci chmury

elektronowej przesunięte pod wpływem

zewnętrznego pola elektrycznego

względem protonu (polaryzacja

elektronowa) zaczynają drgać z

częstością kołową drgań własnych ω

o

po usunięciu tego pola.

Slajd 16

Wypadkowe pole elektryczne emitowanej fali jest superpozycją E

pad

i ∆E

E

E

E

pad

∆

+

=

'

( )

2

π

−

θ

∆

+

θ

=

cos

cos

'

o

o

E

E

E

Pole to jest przesunięte w fazie względem E

pad

o kąt ϕ (dla ∆E

o

<< E

o

)

o

o

E

E

tg

/

∆

=

ϕ

≈

ϕ

Przesunięcie fazowe wynika z mniejszej

prędkości u=c/n rozchodzenia się fali EM

w płytce o współczynniku załamania n

(

)

c

x

n

c

x

n

c

x

∆

−

ω

=













∆

−

∆

ω

=

ϕ

1

/

2

Ne

y

E

o

∆E

o

E’

o

θ

ϕ

π/

2

x

∆E

o

Światło (fala EM) w ośrodku dielektrycznym

(

)













π

−











 −

ω

∆

=











 −

ω

∆

ω

−

ω

ω

µ

=

∆

2

2

2

2

2

c

x

t

E

c

x

t

x

E

m

Ne

c

E

O

o

o

o

cos

sin

θ

o

E

∆

θ

(

)

2

2

2

1

−

ω

ε

+

=

o

o

m

n

ulega dyspersji: większe ω czyli krótsza fala

czynnik załamania jest większy –

rsja normalna

ω

to współ

tzw. dyspe

Slajd 18

Slajd 17

pryzmat

n

1

ω

ω

o

Dla większości atomów ω

o

>ω, gdzie ω odpowiada

zakresowi widzialnemu światła. Przy przejściu od

zakresu czerwonego do fioletowego widma

n

c

c

u

r

r

r

o

r

o

=

ε

µ

=

ε

ε

µ

µ

=

1

Współczynnik załamania związany jest z

przenikalnością dielektryczną i magnetyczną ośrodka

białe

współczynnik załamania wzrasta – rośnie również

odchylenie promieni przechodzących przez pryzmat

Promieniowanie elektromagnetyczne

w ośrodku zjonizowanym

(

)

2

2

2

2

1

ω

−

ω

ε

+

=

o

o

m

Ne

n

W plazmie lub zjonizowanym gazie elektrony nie

są związane, więc ω

o

=0

2

2

2

1

ω

ε

−

=

m

Ne

n

o

W tym przypadku współczynnik załamania n<1, co

oznacza, że prędkość fali jest większa od c (u=c/n).

Zjawisko to nosi nazwę dyspersji anomalnej.

Czynnikiem fizycznym powodującym pojawienie się prędkości

większej od prędkości światła są relacje fazowe pomiędzy siła

wymuszającą a przemieszczeniem oscylującego ładunku

(siła wyprzedza przemieszczenie)

Slajd 19

Promieniowanie ładunku punktowego

(promieniowanie dipolowe)

Z równań Maxwella można pokazać, że w odległości r od ładunku punktowego q

poruszającego się z przyspieszeniem a powstaje pole promieniowania postaci

θ

π

µ

−

=

sin

a

r

q

E

o

4

Polu temu towarzyszy pole magnetyczne

B=E/c, czyli ładunek jest źródłem fali

elektromagnetycznej o wektorze Poytinga

θ

π

µ

=

⋅

µ

=

2

2

2

2

2

16

1

sin

a

c

r

q

B

E

P

o

o

s

W przypadku ruchu

harmonicznego

a=-

ω

2

Acos

ωt

w

kierunku prostopadłym do

drgań otrzymujemy pole

promieniowania oscylującego

dipolu elektrycznego o

momencie dipolowym p

o

=qA

3

4

2

12

c

p

P

o

o

s

πε

ω

=

Dla ustalonej amplitudy oscylacji całkowita średnia

moc wypromieniowania jest proporcjonalna do

ω

4

a

P

s

θ











 −

ω

π

ω

µ

=











 −

ω

π

ω

µ

=

c

r

t

r

p

c

r

t

r

qA

E

o

o

o

cos

cos

4

4

2

2

Wave.swf

Slajd 20

Rozpraszanie światła

„

fala elektromagnetyczna oddziaływują na elektrony

pobudza je do drgań, w których elektrony, zbliżając się do

jądra i oddalając od niego, tworzą oscylujące dipole

elektryczne

„

dipole te stają się wtórnym źródłem promieniowania fal

EM, rozchodzących się we wszystkich kierunkach z taką

samą częstością jak fala pierwotna – rozpraszanie

Rayleigha

„

moc promieniowania rozproszonego zależy od ω

4

– stąd

przewaga barwy niebieskiej w rozpraszanym świetle

słonecznym

„

oprócz rozpraszania czynnikiem osłabienia fali pierwotnej

jest absorpcja światła i dyspersja