Rzad A.

Egzamin z topologii 2012 - luty

W kratce wpisz odpowied¹ TAK lub NIE. 2p za poprawna, 0p brak, -1p za bªedna, +2p

bonus za komplet poprawnych.
Zadanie 1. Niech A = N, B = A \ {1, 2}, C = R \ Q, D = {

n+1

n

, n ∈ N}, E = D ∪ {0} b¦d¡

podzbiorami R ze standardow¡ metryk¡. Wówczas

a) A jest homeomorczny z D;

b) A jest homeomorczny z B oraz D jest homeomorczny z E;

c) »aden z powy»szych zbiorów nie jest zwarty;

d) wszystkie powy»sze zbiory s¡ równoliczne;

e) ka»da funkcja f : E → A jest ci¡gªa.

Zadanie 2. Niech X b¦dzie przestrzeni¡ zwart¡ i f : X → X odwzorowaniem ci¡gªym.

Wówczas

a) je»eli A ⊂ X jest domkni¦ty, to f(A) ⊂ X jest domkni¦ty;

b) je»eli B ⊂ X jest zwarty, to f

−1

(B) ⊂ X

jest zwarty;

c) wykres W = {(x, f(x)); x ∈ X} jest zwartym podzbiorem X × X;

d) je»eli ci¡g {x

n

}

zawarty w X jest ograniczony, to f(x

n

)

mo»e nie by¢ ograniczony;

e) je»eli ci¡g {x

n

}

zawarty w X speªnia warunek Cauchy'ego, to f(x

n

)

te» speªnia

warunek Cauchy'ego.
Zadanie 3. Niech (X, d) bedzie przestrzenia zupeªna. Wtedy

a) ka»dy domkniety podzbiór A ⊂ X jest przestrzenia zwarta;

b) (X, d) jest homeomorczna z przestrzenia ograniczona;

c) z ka»dego ciagu w X speªniaj¡cego warunek Cauchy'ego mo»na wybra¢ podci¡g

zbie»ny;

d) ka»da funkcja f : X → X speªniaj¡ca warunek Lipschitza ma punkt staªy.

e) je»eli A

1

⊂ A

2

⊂ A

3

⊂ ... ⊂ X

s¡ domkni¦te i lim δ(A

n

) = ∞

, to S

n∈N

A

n

= X

.

Poni»sze zadania rozwi¡zujemy na osobnych kartkach:
Zadanie 4.(6p) Niech (X, d) bedzie przestrzenia metryczna, f : X → X odwzorowaniem

ciagªym. Wyka», »e zbiór punktów staªych A = {x ∈ X : f(x) = x} jest zbiorem

domknietym w X. Czy zawsze musi on by¢ zwarty, niepusty ? (odp. uzasadnij)
Zadanie 5.(12p) Niech A

k

:= {(x, y); y = kx, y ∈ [0, 2]}

, B := {0} × [−2, 2]. Deniujemy

A = B ∪

S

k∈Z

A

k

. Prosz¦ zbada¢ domkni¦to±¢, ograniczono±¢, zwarto±¢, zupeªno±¢,

spójno±¢, lokaln¡ spójno±¢ zbioru A, je»eli w R

2

obierzemy

a)metryk¦ euklidesow¡;

b) metryk¦ rzek¦.
Zad.6.(6p) Udowodnij, »e w przestrzeni metrycznej X ka»da kula K(x, r) jest zbiorem

otwartym w X. W zbiorze X = {(x, y) ∈ R

2

: |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}

metryka jest dana wzorem

d((x

1

, y

1

), (x

2

, y

2

)) = |x

1

− x

2

| + 2|y

2

− y

1

|.

Narysuj kule K((−1, 1), 2).

Rzad B.

Egzamin z topologii 2012 - luty

W kratce wpisz odpowied¹ TAK lub NIE. 2p za poprawna, 0p brak, -1p za bªedna, +2p

bonus za komplet poprawnych.
Zadanie 1. Niech A = Z, B = A \ {1, 2}, C = R \ Q, D = {

n+1
n+2

, n ∈ N}, E = D ∪ {0} b¦d¡

podzbiorami R ze standardow¡ metryk¡. Wówczas

a) A jest homeomorczny z D;

b) A jest homeomorczny z B oraz D jest homeomorczny z E;

c) »aden z powy»szych zbiorów nie jest zwarty;

d) wszystkie powy»sze zbiory s¡ równoliczne;

e) ka»da funkcja f : E → C jest ci¡gªa.

Zadanie 2. Niech X b¦dzie przestrzeni¡ zwart¡ i f : X → X odwzorowaniem ci¡gªym.

Wówczas

a) je»eli A ⊂ X jest otwarty, to f(A) ⊂ X jest otwarty;

b) je»eli B ⊂ X jest zwarty, to f

−1

(B) ⊂ X

jest zwarty;

c) wykres W = {(x, f(x)); x ∈ X} jest zwartym podzbiorem X × X;

d) je»eli ci¡g {x

n

}

zawarty w X jest ograniczony, to f(x

n

)

jest ograniczony.

e) je»eli ci¡g {x

n

}

zawarty w X speªnia warunek Cauchy'ego, to f(x

n

)

jest zbie»ny.

Zadanie 3. Niech (X, d) bedzie przestrzenia zupeªna. Wtedy

a) z ka»dego ciagu w X speªniaj¡cego warunek Cauchy'ego mo»na wybra¢ podci¡g

zbie»ny;

b) ka»dy domkniety podzbiór A ⊂ X jest przestrzenia zwarta;

c) (X, d) jest homeomorczna z przestrzenia ograniczona;

d) ka»da funkcja f : X → X speªniaj¡ca warunek Lipschitza ma punkt staªy.

e) je»eli X ⊃ A

1

⊃ A

2

⊃ A

3

⊃ ...

s¡ domkni¦te i lim δ(A

n

) = 0

, to T

n∈N

A

n

6= ∅

.

Poni»sze zadania rozwi¡zujemy na osobnych kartkach:
Zadanie 4.(6p) Niech (X, d) bedzie przestrzenia metryczna, f : X → X odwzorowaniem

ciagªym. Wyka», »e zbiór punktów staªych A = {x ∈ X : f(x) = x} jest zbiorem

domknietym w X. Czy zawsze musi on by¢ zwarty, niepusty ? (odp. uzasadnij)
Zadanie 5.(12p) Niech A

k

:= {(x, y); y = kx, y ∈ [0, 2]}

, B := {0} × [−2, 2]. Deniujemy

A = B ∪

S

k∈Z

A

k

. Prosz¦ zbada¢ domkni¦to±¢, ograniczono±¢, zwarto±¢, zupeªno±¢,

spójno±¢, lokaln¡ spójno±¢ zbioru A, je»eli w R

2

obierzemy

a)metryk¦ euklidesow¡;

b) metryk¦ kolejow¡.
Zad.6.(6p) Udowodnij, »e w przestrzeni metrycznej X ka»da kula K(x, r) jest zbiorem

otwartym w X. W zbiorze X = {(x, y) ∈ R

2

: |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}

metryka jest dana wzorem

d((x

1

, y

1

), (x

2

, y

2

)) = 2|x

1

− x

2

| + |y

2

− y

1

|.

Narysuj kule K((−1, 1), 2).