1

ZASADY FUNDAMENTOWANIA OBRABIAREK

Obliczanie amortyzatorów

Zastosowanie amortyzatorów w układzie obiekt izolowany - fundament - podłoże pociąga

za sobą zmianę parametrów dynamicznych tego układu w stosunku do układu nie

izolowanego. Obliczanie izolacji drganiowej polega na:

1) doborze podstawowych parametrów, określających efektywność izolacji, do których

należą:

- masa względnie moment bezwładności układu drgającego,

- współczynnik sztywności amortyzatora,

- tłumienie amortyzatora;

2) określenie wymiarów i kształtu amortyzatora,

3) określeniu:

- wartości amplitud przemieszczeń drgań wymuszonych obrabiarki izolowanej oraz

wartości sił przekazywanych na podłoże w przypadku izolacji drganiowej czynnej,

- częstości skrętnych drgań własnych izolowanego obiektu, jeśli drgania te istnieją.

Uwaga: W dalszym ciągu często będzie się używać określenia częstości drgań wyrażonej

nie, jak dotychczas, w [rad/s], lecz w hercach [Hz], mianowicie częstość drgań własnych

obiektu izolowanego f

o

i częstość wymuszeń f. Związki między nimi określone są przez

zależność:

π

ω

2

=

f

(4.19)

Zakładając efektywność izolacji

µ

, przy spełnieniu warunku

µ

≤

1/15 przy ξ = 0 oraz z

zależności (4.13) i (4.14) otrzymamy:

µ

µ

α

+

=

1

(4.20)

Następnie określa się wymaganą część drgań własnych obiektu izolowanego p przy

zadanej częstości wymuszeń

ω

z zależności

p

ω

α

=

:

α

ω

=

p

(4.21)

Wtedy konieczną wielkość sztywności ogólnej (zastępczej) C

z

wszystkich amortyzatorów

wyznacza się na podstawie zależności:

2

p

m

C

z

⋅

=

(4.22)

Wielkość potrzebnego współczynnika tłumienia drgań

µ

amortyzatorów można określić

z wykresu na Rys.4.5.

Rys.4.12. Schematy umieszczania amortyzatorów względem obrabiarki i fundamentu.
Amortyzatory sprężynowe można stosować w zależności od współczynnika oporu

niesprężystego

γ

. On z kolei zależy stosunku przyspieszenia kątowego elementów

obrotowych maszyny

ε

do kwadratu częstości jej drgań własnych f

0

(

2

0

f

ε

)

oraz w

zależności od wymaganego stosunku maksymalnej amplitudy drgań maszyny przy jej

rozruchu lub hamowaniu A

max

do amplitudy drgań maszyny w ruchu ustalonym A

(

A

A

max

) - Rys.4.12. Gdy

γ

≤

0,03

, to można stosować amortyzatory sprężynowe.

Natomiast jeśli

γ

>

0,03 ,

to koniecznie należy stosować amortyzatory gumowe,

względnie gumowo-sprężynowe.

W przypadku wymuszeń bodących wynikiem ruchu nie wyważonych elementów

maszyny amplitudę siły wymuszającej obliczamy z zależności (4.8).

Obliczanie sprężyn śrubowych amortyzatorów

2

Uwaga: Poniższe obliczenia dotyczą sprężyn wykonanych z drutu o przekroju kołowrym

poddanym obciążeniu pionowemu.

1. Częstość siły wymuszającej:

[ ]

Hz

n

f

60

=

(4.23)

gdzie n - liczba obrotów (cykli) maszyny na minutę.

2. Częstość kołowa siły wymuszającej:









⋅

⋅

=

s

f

1

2

π

ω

(4.24)

3. Masa obiektu izolowanego będąca sumą mas izolowanej maszyny m

m

i

ewentualnie fundamentu m

t

:

[ ]

kg

m

m

m

t

m

+

=

(4.25)

4. Amplituda drgań pionowych obiektu izolowanego:

[ ]

m

m

F

A

2

0

ω

⋅

=

(4.26)

F

0

- amplituda siły wymuszającej [N].

5. Częstość kołowa drgań własnych obiektu izolowanego:









=

s

p

1

α

ω

(4.27)

gdzie

α

≥ 4 .

6. Sztywność zastępcza wszystkich amortyzatorów:









⋅

=

m

N

p

m

C

z

2

(4.28)

7. Sztywność jednej sprężyny:









=

m

N

w

C

C

z

,

(4.29)

w - liczba sprężyn dobrana w zależności od możliwości ich rozmieszczenia i ustawienia.

8. Obciążenie statyczne na jedną sprężynę:

[ ]

N

n

Q

F

st

=

(4.30)

9. Obciążenie dynamiczne przekazywane na jedną sprężynę w ruchu ustalonym

izolowanej maszyny:

[ ]

N

C

A

F

⋅

=

dyn

(4.31)

10. Obciążenie obliczeniowe na jedną sprężynę:

[ ]

N

F

F

F

dyn

st

obl

5

,

1

⋅

+

=

(4.32)

11. Wskaźnik sprężyny:

d

D

z

=

(4.33)

wskaźnik sprężyny przyjmuje się w granicach 4 ÷ 10.

D - średnica nawinięcia sprężyny,

d - średnica druta sprężyny.

12. Dopuszczalne naprężenie styczne materiału sprężyny:









=

2

0

m

N

k

s

τ

τ

(4.34)

τ

s

- granica plastyczności na ścinanie,

k

o

- współczynnik bezpieczeństwa, przyjmowany w granicach 1,5 ÷ 2,0 .

13. Średnica drutu sprężyny:

[ ]

m

τ

z

F

k

,

d

obl

⋅

⋅

=

6

1

(4.35)

k - współczynnik określony z wykresu na Rys.4.13.

3

Rys.4.13. Przebieg wartości współczynnika k w funkcji wskaźnika sprężyny

d

D

z

=

.

14. Średnica nawinięcia sprężyny:

[ ]

m

d

z

D

⋅

=

(4.36)

15. Liczba pracujących zwojów sprężyny:

3

8

z

C

d

G

i

⋅

⋅

=

(4.37)

G - moduł sprężystości przy skręcaniu.

16. Liczba wszystkich zwojów sprężyny:

2

1

i

i

i

+

=

(4.38)

i

2

- liczba nie pracujących zwojów sprężyny: dla i < 7 i

2

= 1,5, dla i > 7 i

2

= 2,5.

17. Skok sprężyny:

(

)

[ ]

m

D

h

5

,

0

25

,

0

÷

=

(4.39)

18. Wysokość nie obciążonej sprężyny:

(

)

[ ]

m

d

i

h

i

H

5

,

0

2

0

−

+

⋅

=

(4.40)

Dla sprężyn pracujących na ściskanie musi zachodzić:

2

0

≤

D

H

(4.41)

Obliczanie amortyzatorów z jednakowymi sprężynami o zadanych wymiarach

1. Sztywność jednej sprężyny:









⋅

⋅

⋅

=

m

N

i

z

d

G

C

3

8

(4.42)

G - moduł sprężystości na skręcanie,

d - średnica drutu sprężyny,

d

D

z

=

- wskaźnik sprężyny,

i - liczba pracujących zwojów sprężyny.

2. Obciążenie dynamiczne przypadające na jedną sprężynę przy ustalonym ruchu

izolowanej maszyny:

[ ]

N

C

A

F

⋅

=

dyn

(4.43)

A - amplituda drgań izolowanej maszyny w jej ruchu ustalonym.

3. Maksymalne dopuszczalne obciążenie statyczne przypadające na jedną sprężynę:

[ ]

N

F

D

K

d

F

dyn

⋅

−

⋅

⋅

⋅

⋅

=

5

,

1

8

3

st

τ

π

(4.44)

K - współczynnik określany z wykresu na Rys.4.13,

D - średnica nawinięcia sprężyny,

τ

- dopuszczalne naprężenie na skręcanie materiału sprężyny

4. Liczba sprężyn z warunku sztywności:

C

C

w

z

≤

(4.45)

C

z

- sztywność zastępcza wszystkich sprężyn.

5. Liczba sprężyn z warunku wytrzymałości:

st

F

Q

w

≥

(4.46)

Q - ciężar izolowanego obiektu [N].

Obliczania amortyzatorów gumowych

1. Pole przekroju poprzecznego amortyzatorów gumowych:

[ ]

2

m

Q

S

σ

≥

(4.47)

Q [N] – obciążenie działające na wszystkie amortyzatory gumowe,

σ

- naprężenie statyczne w gumie,

dla gumy o twardości Shore’a < 40:

σ

= (0,1

÷ 0,3) [MPa]

dla gumy o twardości Shore’a > 40:

σ

= (0,3

÷ 0,5) [MPa]

2. Sztywność zastępcza wszystkich amortyzatorów gumowych:









⋅

=

m

N

p

m

C

z

2

(4.48)

m - masa obiektu izolowanego,

α

ω

=

p

- częstość kołowa drgań własnych obiektu izolowanego.

3. Robocza wysokość amortyzatora:

4

[ ]

m

C

S

E

H

z

d

⋅

=

1

(4.49)

E

d

[N/m

2

] - dynamiczny moduł sprężystości gumy określany z wykresu na Rys.4.14.

4. Sumaryczny przekrój poprzeczny:

a) dla amortyzatorów o przekroju kwadratowym:

[ ]

2

2

m

b

n

S

⋅

=

(4.50)

n – liczba amortyzatorów,

b [m] – bok kwadratu amortyzatora,

b) dla amortyzatorów o przekroju kołowym:

[ ]

2

2

785

.

0

m

D

n

S

⋅

⋅

≈

(4.51)

D - średnica amortyzatora o przekroju kołowym [m],

Rys.4.14. Przebieg wartości dynamicznego i statycznego modułu sprężystości gumy w

funkcji twardości Shore’a

Uwaga: b lub D zaleca się dobierać przy warunku: H

1

≤ b (lub D) ≤ (1,5÷ 8) H

1

. Przy

szerokich amortyzatorach o małej wysokości (krępych) wysokość robocza będzie

stanowiła nieznaczną część pełnej wysokości H - dlatego amortyzator nawet z miękkiej

gumy będzie bardzo sztywny. Z tej przyczyny zaleca się stosować dla amortyzacji

rowkowane lub perforowane płyty gumowe.

5. Liczba amortyzatorów powinna się mieścić w granicach:

a) dla amortyzatorów o przekroju kwadratowym:

2

1

2

1

64

H

S

n

H

S

<

<

⋅

(4.52)

b) dla amortyzatorów o przekroju kołowym:

2

1

2

1

27

.

1

64

27

.

1

H

S

n

H

S

⋅

<

<

⋅

⋅

(4.53)

6. Pełna wysokość amortyzatora:

[ ]

m

D

b

D

b

H

H

)

(lub

)

2

.

1

125

.

0

(

8

)

(lub

1

÷

=

+

=

(4.54)

Obliczanie elementów gumowych przy zadanych ich wymiarach

1. Maksymalne obciążenie przypadające na jeden amortyzator gumowy:

[ ]

N

S

F

σ

⋅

=

1

st

(4.55)

1

S

[m

2

] - powierzchnia przekroju poprzecznego jednego amortyzatora,

σ

[N/m

2

] - obliczeniowe naprężenie statyczne w gumie,

2. Robocza wysokość amortyzatora powinna się znajdować w przedziale:

[ ]

m

D

b

D

b

H

H

)

(lub

)

2

.

1

125

.

0

(

8

)

(lub

1

÷

=

−

=

(4.56)

3. Sztywność amortyzatora:









⋅

=

m

N

H

E

S

C

d

1

1

(4.57)

E

d

[N/m

2

] - dynamiczny moduł sprężystości gumy określany z wykresu na Rys.4.14.

4. Liczba amortyzatorów:

a) z warunku sztywności:

C

C

n

z

≤

(4.58)

C

z

- sztywność zastępcza wszystkich amortyzatorów gumowych

b) z warunku wytrzymałości:

st

F

Q

n

≤

(4.59)

Q [N] - ciężar obiektu izolowanego.

5

5. Obciążenie przypadające na jeden amortyzator:

[ ]

N

n

Q

Q

1

≤

(4.60)

6. Ugięcie statyczne amortyzatora:

[ ]

m

E

S

H

Q

st

⋅

⋅

=

1

1

1

st

λ

(4.61)

E

st

[N/m

2

] - statyczny moduł sprężystości gumy określany z wykresu na Rys.4.14.

Obliczanie amortyzatorów kombinowanych gumowo - sprężynowych

1. Sztywność wszystkich amortyzatorów sprężynowych:

a)

przy równoległym połączeniu sprężyn i elementów gumowych (Rys.4.6a):









−

=

m

N

C

C

C

zg

z

zs

(4.62)

b)

przy szeregowym połączeniu sprgżyn i elementów gumowych (Rys.4.6b):









⋅

−

⋅

=

m

N

C

C

C

g

s

zg

z

zs

γ

γ

γ

(4.63)

C

z

[N/m] - sztywność zastępcza wszystkich (gumowych i sprężynowych) amortyzatorów,

γ

- współczynnik tłumienia drgań amortyzatorów kombinowanych (określa się z wykresu

na rys.4.12),

γ

s

- współczynnik tłumienia drgań sprężyny, dla sprężyn stalowych przyjmuje się:

γ

s

=

0,01,

γ

g

- współczynnik tłumienia drgań gumy, dla amortyzatorów z dużym tłumieniem

przyjmuje się:

γ

g

= 0,15 ÷ 0,20 .

2. Sztywność wszystkich amortyzatorów gumowych:

a) przy równoległym połączeniu sprężyn stalowych i elementów gumowych (Rys.4.6a):









⋅

−

⋅

=

m

N

C

C

C

g

s

zs

z

zg

γ

γ

γ

(4.64)

b) przy szeregowym połączeniu sprężyn stalowych i elementów gumowych









−

⋅

=

m

N

C

C

C

C

C

z

zs

zs

z

zg

(4.65)

3. Obciążenie statyczne przenoszone przez elementy gumowe:

[ ]

N

C

A

Q

zg

g

⋅

=

max

(4.66)

A

max

[m] - amplituda drgań maszyny przy jej rozruchu lub hamowaniu.

4. Wielkość obciążenia statycznego przenoszonego przez sprężyny:

[ ]

N

Q

Q

Q

g

s

−

=

(4.67)

Q [N] - ciężar izolowanego obiektu.

5. Wymiary jak i liczbę sprężyn stalowych oraz elementów gumowych określa się wg

obliczonych wielkości C

zs

, Q

s

i C

zg

, Q

g

. W amortyzatorach kombinowanych sprężyny

powinny być obliczane wytrzymałościowo z uwzględnieniem pełnego obciążenia

przypadającego na wszystkie amortyzatory (sprężyny i elementy gumowe).

6. Wysokość elementów gumowych w amortyzatorach kombinowanych określona

obliczeniami z reguły jest mniejsza od wysokości sprężyn i dlatego w takich

przypadkach elementy gumowe należy ustawić na specjalnych podkładkach (rys.4.15).

Rys.4.15. Eliminowanie nierówności wysokości elementów gumowych i sprężyn w

amortyzatorach

kombinowanych

przez

zastosowanie

specjalnych

podkładek.

[ ]

m

H

H

h

gumy

st

spr

st

g

s

_

_

λ

λ

+

−

−

=

(4.68)

H

g

- całkowita wysokość sprężymy w stanie nie obciążonym,

Hg - całkowita wysokość elementu gumowego w stanie nie obciążonym,

λ

st_spr

- statyczne ugięcie sprężyny pod obciążeniem Q

s

,

λ

st_gumy

- statyczne ugięcie gumy pod obciążeniem Q

g

.

Przykłady amortyzatorów

Typowy przykład amortyzatora sprężynowego pokazuje Rys.4.16. Rama podstawy

maszyny lub płyta fundamentowa 1 opiera się na górnej części pokrywy amortyzatora

2. Jest ona połączona za pomocą śruby i unieruchomiona przeciwnakrętką.

6

Nacisk od maszyny przekazywany jest na sprężyny za pośrednictwem śruby 3, która

opiera się na płytce stalowej 4. Płytka ta spoczywa na zespole sprężyn 5 i jest z nimi

mechanicznie związana. Górna pokrywa amortyzatora jest oddzielona. Dalsze

przykłady amortyzatorów sprężynowych są pokazane na Rys.4.17 i 18, przy czym

amortyzator z Rys.4.18 jest wyposażony w gumowe wkładki tłumiące drgania.

Przykłady podkładek, płyt i dywanów gumowych podano na Rys.4.19.

Na Rys.4.20 przedstawiona jest szczegółowa budowa amortyzatora gumowo-

metalowego. Zasada jogo pracy polega na wykorzystaniu właściwości gumy, która przy

ś

ciekaniu deformuje się wskutek zmiany kształtu, a nie objętości. Przy działaniu siły

pionowej pole obciążonej powierzchni jest równe sumie pól górnej i dolnej podstawy

elementu gumowego, zewnętrznej powierzchni rowków

∆

1

i

∆

2

oraz wewnętrznej

powierzchni elementu gumowego. Wtedy sztywność amortyzatora jest najmniejsza.

Przy zwiększaniu obciążania następuje wypychanie gumy w kierunku powierzchni

swobodnych, które przez to maleją, a sztywność amortyzatora wzrasta. Przez zmianę

szerokości rowków

∆

1

i

∆

2

można w szerokich granicach zmieniać sztywność

amortyzatora w kierunku pionowym. Aby móc nastawiać wielkość współczynnika

sztywności w płaszczyźnie poziomej, w amortyzator wbudowano żebro usztywniające

5, którego zmiana wysokości powoduje zmianę podatności gumy w tej płaszczyźnie.

Rys.4.16.Typowy przykład amortyzatora sprężynowego

Rys.4.17. Przykład amortyzatora sprężynowego.

Rys.4.18. Przykład amortyzatora sprężynowego wyposażonego w gumowe wkładki

tłumiące drgania.

7

Rys.4.19. Przykłady podkładek, płyt i dywanów gumowych

Rys.4.20. Szczegółowa budowa przykładowego amortyzatora gumowo-metalowego.

8

Przebieg ćwiczenia i zadania do wykonania

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie obciążeń statycznych w podporach i

zaprojektowanie układu amortyzatorów biernej izolacji drganiowej.

Zadania do wykonania:

1.

Dla wskazanej obrabiarki zbudować model rozkładu mas jej części (silnik,

przekładnie, głowice, obudowa itp.) i ich środków ciężkości względem

przyjętego ogólnego układu współrzędnych. Poszczególnym częściom przypisać

proste bryły. Model zbudować z 5-ciu do 10-ciu części – mas Q

i

, których suma

mas będzie się zgadzała z całkowitą masą maszyny Q

c

.

2.

Wykonać rysunek modelu rozkładu mas części i ich środków ciężkości w 3

rzutach. Na rysunku zaznaczyć początek przyjętego ogólnego układu

współrzędnych.

3.

W tabeli przedstawić dane dla poszczególnych części obrabiarki: nazwa, masa,

współrzędne x

i

, y

i

, z

i

środka ciężkości:

nazwa

masa [kg]

x

i

[m]

y

i

[m]

z

i

[m]

silnik

…

…

…

…

przekładnia

…

…

…

…

…

…

…

…

…

4.

Wyznaczyć współrzędne środka ciężkości x

c

, y

c

, z

c

całej obrabiarki ze wzorów:

c

n

n

c

Q

x

Q

x

Q

x

Q

x

⋅

+

+

⋅

+

⋅

=

...

2

2

1

1

,

c

n

n

c

Q

y

Q

y

Q

y

Q

y

⋅

+

+

⋅

+

⋅

=

...

2

2

1

1

,

c

n

n

c

Q

z

Q

z

Q

z

Q

z

⋅

+

+

⋅

+

⋅

=

...

2

2

1

1

i przyjąć względem niego nowy - centralny układ współrzędnych. Określić

odległości punktów podparcia obrabiarki od niego dla całej obrabiarki w 3

rzutach.

5.

W tabeli przedstawić dane dla poszczególnych punktów podparcia obrabiarki: nr,

współrzędną x

pi

, y

pi

, z

pi

w nowym - centralnym układzie współrzędnych.

nr punktu podparcia

x

pi

[m]

y

pi

[m]

z

pi

[m]

1

…

…

…

...

…

…

…

6.

Z układu równań sił i momentów wyznaczyć obciążenie statyczne R

i

przypadające na poszczególne punkty podparcia obrabiarki wynikające z

rozkładu mas obrabiarki – przyjąć symetryczne położenie min 2 podpór -> 3

niewiadome:

n

c

z

R

R

R

Q

F

+

+

=

∑

...

:

2

1

,

n

n

x

c

x

R

x

R

x

R

M

p

p2

2

p1

1

...

0

:

⋅

+

+

⋅

+

⋅

=

∑

,

n

n

y

c

y

R

y

R

y

R

M

p

p2

2

p1

1

...

0

:

⋅

+

+

⋅

+

⋅

=

∑

,

n

n

z

c

z

R

z

R

z

R

M

p

p2

2

p1

1

...

0

:

⋅

+

+

⋅

+

⋅

=

∑

.

7.

W zależności od obciążenia dobrać układ i materiał izolacji drganiowej

8.

Przeprowadzić obliczenia i zaprojektować amortyzator. Wyniki obliczeń i

schemat amortyzatora przedstawić w tabeli 3-kolumnowej: Dane, Obliczenia

(lub schemat), Wyniki:

Dane:

Obliczenia (schemat)

Wyniki:

….

n = 4

b = 0,1 [m]

….

….

[ ]

2

2

m

b

n

S

⋅

=

….

…

S = 0,04 [m

2

]

….

9.

Wykonać rysunek złożeniowy zespołu zaprojektowanego amortyzatora.