Mechanika ogólna

Wykład

Wykład nr

nr 14

Elementy

Elementy kinematyki i dynamiki

kinematyki i dynamiki

Kinematyka



Dział

Dział mechaniki

mechaniki zajmujący się

zajmujący się

matematycznym opisem układów

mechanicznych oraz badaniem

geometrycznych właściwości ich ruchu,

bez wnikania w związek między

ruchem, a siłami go powodującymi.



Ruch

Ruch ciała

ciała –– zmiana położenia w

zmiana położenia w

przestrzeni, względem innego ciała,

które traktujemy jako nieruchome.

Podstawowe pojęcia



Przestrzeń i czas;

–– Współrzędne;

Współrzędne;

–– Tor ruchu;

Tor ruchu;



Ruch postępowy:



Ruch postępowy:

–– Prędkość;

Prędkość;

–– Przyspieszenie;

Przyspieszenie;



Ruch obrotowy:

–– Prędkość kątowa;

Prędkość kątowa;

–– Przyspieszenie kątowe.

Przyspieszenie kątowe.

Równania ruchu



Wektor wodzący poruszającego się

punktu:

Funkcje skalarne opisujące ruch punktu:

 





Funkcje skalarne opisujące ruch punktu:

 

x t



 

y t



 

z t





 

Równanie ruchu po torze

(równanie drogi)



Równanie opisujące ruch punktu P,

gdy znany jest tor ruchu względem

nieruchomego położenia

początkowego P

 

s t



 

s t

Prędkość w ruchu

prostoliniowym



W ruchu jednostajnym:



W dowolnym ruchu prostoliniowym:







–– Prędkość średnia:

Prędkość średnia:

–– Prędkość chwilowa:

Prędkość chwilowa:





lim









Prędkość w ruchu

krzywoliniowym

(1)



Prędkość punktu:

–– Wektor o module równym wartości

Wektor o module równym wartości

bezwzględnej pochodnej drogi po czasie,

skierowany wzdłuż stycznej do toru ruchu

i o zwrocie w kierunku ruchu w danej

chwili.

lim







Prędkość w ruchu

krzywoliniowym

(2)



Składowe prędkości w układzie

współrzędnych równe są pochodnym po

czasie odpowiednich współrzędnych:



 



 



 



Moduł prędkości (wartość liczbowa):



Rzut prędkości punktu na oś układu

współrzędnych równy jest prędkości z

jaką porusza się rzut punktu wzdłuż osi.



 



 



 











Prędkość w ruchu

krzywoliniowym

(3)



W układzie współrzędnych

prostokątnych rzuty prędkości punktu

są prędkościami rzutów wektora

wodzącego

wodzącego rr..



Prędkość punktu równa jest pochodnej

geometrycznej względem czasu

promienia wodzącego tego punktu:

 

d ds

ds dt





Przyspieszenie punktu



Pierwsza pochodna prędkości

względem czasu:



 









Składowe w układzie kartezjańskim

można wyrazić jako drugie pochodne

współrzędnych:

 











Przyspieszenie styczne i

normalne do toru ruchu



Całkowite przyspieszenie punktu jest

równe sumie składowych

równe sumie składowych –– stycznej i

stycznej i

normalnej do toru ruchu:



 





















  















Składowe przyspieszenia

w ruchu po torze kołowym



Prędkość w zależności od prędkości

kątowej:



Promień krzywizny:

















Promień krzywizny:



Składowe przyspieszenia:



Przyspieszenie kątowe:





























Szczególne przypadki ruchu



Ruch jednostajnie przyspieszony

prostoliniowy;



Ruch harmoniczny;



Ruch harmoniczny;



Ruch krzywoliniowy ze stałym

przyspieszeniem.

Ruch jednostajnie

przyspieszony prostoliniowy



Ruch po prostej ze stałym co do wartości

i kierunku przyspieszeniem:



Prędkość:



Położenie punktu:

const

  



 





C t







Położenie punktu:



Warunki brzegowe:



Stałe całkowania:



Równanie ruchu:



Równanie prędkości:

C t





(

x t



(

v t



0 x



v t





 

0 x

v t





 

x t

Ruch harmoniczny



Punkt

Punkt P

P poruszający się jednostajnie

poruszający się jednostajnie

po okręgu o promieniu

po okręgu o promieniu rr::







 





Ruch rzutu punktu

Ruch rzutu punktu P

P po osi

po osi xx::



P









cos

 

 













 







sin



 



 







cos

d x



 





 



 

Ruch

harmoniczny



Wykresy

położenia,

prędkości

i przyspieszenia:

Ruch ciała sztywnego



Ciało sztywne

Ciało sztywne –– układ punktów

układ punktów

materialnych, których wzajemne

odległości pozostają niezmienne.



Ruch postępowy;



Ruch obrotowy;



Złożenie ruchów:

–– Ruch płaski;

Ruch płaski;

–– Ruch kulisty.

Ruch kulisty.

Ruch postępowy ciała

sztywnego



W ruchu

W ruchu postępowym

postępowym prędkości i

prędkości i

przyspieszenia wszystkich punktów

ciała są jednakowe. Punkty ciała

poruszają się po jednakowych

równolegle przesuniętych torach.



Ruch obrotowy ciała

sztywnego



Ruch

Ruch obrotowy

obrotowy wokół

wokół

nieruchomej osi obrotu

(środka obrotu w ruchu

płaskim).



Torami punktów ciała są

okręgi w płaszczyznach

prostopadłych do osi

obrotu i środkach leżących

na tej osi.

Ruch obrotowy ciała

sztywnego



Równanie ruchu obrotowego ciała sztywnego:



Prędkość

liniowa:

 





 







liniowa:



Prędkość

kątowa:



Przyspieszenie

kątowe:



Składowe przyspieszenia

liniowego:

 





 







 























Dynamika



Dział

Dział mechaniki

mechaniki zajmujący się

zajmujący się

badaniem związków między ruchem

punktów materialnych i ciał sztywnych

oraz sił go wywołujących.



Dynamika bada zależności między

takimi wielkościami jak: siła,

przyspieszenie, prędkość, pęd, kręt,

praca, energia itd.

Pierwsza zasada

dynamiki Newtona



Prawo bezwładności

Prawo bezwładności::

–– Z punktu widzenia dynamiki jest wszystko

Z punktu widzenia dynamiki jest wszystko

jedno, czy ciało się porusza ruchem

jednostajnym prostoliniowym, czy jest w

spoczynku.

–– W obu przypadkach siły działające na

W obu przypadkach siły działające na

ciało są w równowadze.

–– Można zawsze założyć istnienie

Można zawsze założyć istnienie

nieruchomego układu odniesienia.

Druga zasada dynamiki

Newtona



Pod działaniem stałej siły punkt materialny

porusza się ruchem jednostajnie

przyspieszonym po linii prostej.

przyspieszonym po linii prostej.
Przyspieszenie z jakim porusza się punkt

Przyspieszenie z jakim porusza się punkt



Przyspieszenie z jakim porusza się punkt

jest wprost proporcjonalne do działającej

siły (wypadkowej układu sił), a odwrotnie

proporcjonalne do masy ciała.



Trzecia zasada dynamiki

Newtona



Siły wzajemnego oddziaływania dwóch

punktów materialnych równoważą się,

tj. mają jednakowe moduły i kierunki,

zaś zwroty przeciwne.







Zasada superpozycji



Efekt działania kilku wpływów na ciało

można wyrazić jako sumę efektów ich

działania.

działania.
Przyspieszenie z jakim porusza się ciało

Przyspieszenie z jakim porusza się ciało



Przyspieszenie z jakim porusza się ciało

pod wpływem układu sił (siły

wypadkowej) może zostać obliczone

jako suma przyspieszeń powodowanych

przez każdą z sił składowych.

...





 





 



Prawo grawitacji



Dwa ciała działają na siebie wzajemnie

jednakowymi co do wartości i

przeciwnie zwróconymi siłami o wartości

odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu

odległości między ich środkami i wprost

proporcjonalnej do iloczynu mas tych

ciał.

m m





Równania ruchu punktu

materialnego



Dynamiczne równanie różniczkowe ruchu

punktu materialnego:



     









Dynamiczne różniczkowe równania ruchu

we współrzędnych prostokątnych:

    











m x

m a

  







m z

m a

  







m y

m a

  







Skalarne równania ruchu



Rzutowanie przyspieszenia na osie

normalną, styczną i binormalną:

m a







m a

 







Wektor przyspieszenia całkowitego leży

na płaszczyźnie ściśle stycznej do toru.

m a









m a

 





m a









Pierwsze i drugie zadanie

dynamiki



Pierwsze zadanie dynamiki:

–– Dana jest masa i równania ruchu punktu

Dana jest masa i równania ruchu punktu

materialnego, należy wyznaczyć siły

działające na ten punkt;



Drugie zadanie dynamiki:

–– Dana jest masa i siły działające na punkt

Dana jest masa i siły działające na punkt

materialny, należy wyznaczyć równania

ruchu tego punktu.

Pierwsze zadanie

dynamiki



Równanie ruchu:



Składowe wypadkowej we współrzędnych

prostokątnych:

   



Składowe wypadkowej we współrzędnych

prostokątnych:



Wartość i kierunek wypadkowej:

 





 

cos



P i



 

cos



P j







cos



P k



Drugie zadanie dynamiki



Ruch punktu pod działaniem siły:

–– Stałej co do wartości i kierunku;

Stałej co do wartości i kierunku;

const



–– Zależnej od czasu;

Zależnej od czasu;

–– Zależnej od prędkości;

Zależnej od prędkości;

–– Zależnej od położenia.

Zależnej od położenia.

 



 



 



Ruch pod działaniem

stałej siły

(1)



Rzut ukośny:



Równania ruchu:





 



max



Składowe przyspieszeń:



Składowe prędkości:



Równania ruchu:

 

  

 

x t

C t









 





 



 

y t

C t

 



Ruch pod działaniem

stałej siły

(2)



Warunki brzegowe:

(

cos

v t





(

sin

v t





(

x t



(

y t



max



Stałe całkowania:



Równania prędkości:



Równania ruchu

cos





 

sin

v t



  

(

x t



(

y t



sin





cos





 

cos

x t

v t





 

sin

y t

v t



 



Ruch pod działaniem siły

zależnej od położenia



Drgania liniowe:



Różniczkowe

równanie ruchu:



Rozwiązanie ogólne:

(Równanie ruchu harmonicznego prostego)



 













sin

cos











sin

 





cos





sin





Ruch nieswobodnego

punktu materialnego



W przypadku, gdy warunki zewnętrzne

ograniczają swobodę ruchu, w

równaniu ruchu należy uwzględnić

także siły bierne (reakcje więzów):



 















Siła bezwładności



Równanie ruchu:



Siła bezwładności

((d’Alemberta

d’Alemberta):







const



((d’Alemberta

d’Alemberta):



Zasada

Zasada d’Alemberta

d’Alemberta::

–– Siły rzeczywiste działające na

Siły rzeczywiste działające na

punkt materialny równoważą

się z siłą bezwładności tego

punktu.

 

 

