LINIE TRANSMISYJNE TEM

(Repetytorium)

Andrzej Karwowski

Niniejszy dokument, zawierający przypomnienie i – być może – niewielkie rozszerzenie wia-
domości z teorii linii długiej, zamyka komplet materiałów pomocniczych do wykładu z pól
fal elektromagnetycznych wyznaczając tym samym zakres materiaşu obowiązującego do eg-
zaminu.

Spis treści

1

Wprowadzenie

3

2

Elementy teorii linii TEM

4

2.1 Równania wiążące prąd i napięcie. Parametry jednostkowe linii . . . . . . . .

4

2.2 Ogólne rozwiązania równań opisujących linię . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.3 Fale w linii. Parametry falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.4 Zjawiska falowe w linii o skończonej długości . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.4.1

Współczynnik odbicia. Dopasowanie falowe linii . . . . . . . . . . . .

9

2.4.2

Rozkłady prądu i napięcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.4.3

Fala stojąca. Współczynnik fali stojącej . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.4.4

Impedancja wejściowa linii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2

Rozdział 1

Wprowadzenie

Rzeczywisty obwód elektryczny można uznać za obwód o stałych skupionych, jeżeli prędkość
zmian dowolnej wielkości elektrycznej w obwodzie jest na tyle mała, że zmiana tej wielko-
ści w czasie rozchodzenia się fali elektromagnetycznej w dowolnym kierunku obwodu jest
dostatecznie mała w porównaniu z całkowitą zmianą tej wielkości w warunkach analizy. W
przypadku periodycznych przebiegów elektrycznych oznacza to, że fala elektromagnetyczna
zdąży przebiec wzdłuż całego obwodu w czasie znacznie krótszym od okresu przebiegu. Tego
rodzaju procesy periodyczne nazywa się procesami kwazistacjonarnymi. Przebiegi elektrycz-
ne w obwodzie można uważać za kwazistacjonarne, gdy największy wymiar liniowy obwodu
jest znacznie mniejszy od długości fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w ośrodku, w
którym znajduje się obwód. W praktyce zwykle przyjmuje się, że przebieg periodyczny jest
kwazistacjonarny w obwodzie, którego największy wymiar liniowy jest mniejszy od 0.1λ,
gdzie λ oznacza długośc fali. Jeśli warunek ten nie jest spełniony, to obwód nie może być
traktowany jako obwód o parametrach skupionych, w analizie zaś trzeba uwzględniać fakt, że
parametry elektryczne obwodu (pojemność, indukcyjność, itd.) są rozłożone wzdłuż obwodu.
Inaczej mówiąc analizę obwodu można prowadzić tylko metodami teorii pola elektromagne-
tycznego. Zauważmy, że wraz ze wzrostem częstotliwości warunek kwazistacjonarności jest,
praktycznie rzecz biorąc, coraz trudniej spełnić. Przykładowo, obwód, którego największy
wymiar liniowy wynosi 10 cm, spełnia warunek kwazistacjonarności w zakresie częstotliwo-
ści aż do około 300 MHz. Natomiast w pasmie 12 GHz (telewizja satelitarna) warunek ten
spełniają obwody, których największy wymiar jest nie większy niż 2.5 mm.

W zastosowaniach ważną rolę odgrywają struktury, dla których warunek kwasistacjonar-

ności nie jest spełniony tylko w odniesieniu do jednego wymiaru liniowego, tj. długości.
Oczywiście, należy je – ogólnie – traktować jako struktury o parametrach rozłożonych ze
wszystkimi tego konsekwencjami. Można jednak przyjąć, że parametry są rozłożone tylko w
jednym kierunku, tzn. wzdłuż struktury, co pozwala prowadzić analizę metodami teorii obwo-
dów. Przykładem takich struktur są linie kablowe o torach współosiowych lub symetrycznych
wykorzystywane w telekomunikacji do przesyłania sygnałów ze źródła do odległego odbiorni-
ka. Na gruncie teorii pola elektromagnetycznego można wykazać, że fala elektromagnetyczna
rozchodząca się w torach bezstratnych jest falą TEM. Z tego powodu struktury, o których mo-
wa wyżej, będziemy dalej nazywać liniami TEM albo – nawiązując do terminologii przyjętej
w teorii obwodów – liniami długimi.

3

Rozdział 2

Elementy teorii linii TEM

2.1

Równania wiążące prąd i napięcie. Parametry jednost-
kowe linii

Równania wiążące zespolone amplitudy U(z) i I(z) napięcia i prądu, odpowiednio, w dowol-
nym przekroju linii (patrz Rys. 2.1) w stanie ustalonym przy pobudzeniu sinusoidalnym mają
postać

−

dU(z)

dz

= (R + jωL)I(z)

(2.1)

−

dI(z)

dz

= (G + jωC)U(z)

(2.2)

Występujące w równaniach (2.1) parametry R, L, G i C nazywane są parametrami jednost-
kowymi linii

- jednostkowa rezystancja R (Ω/m)
- jednostkowa indukcyjność L (H/m),
- jednostkowa konduktancja (upływność) (S/m),
- jednostkowa pojemność (F/m)

Obrazowo rzecz ujmując parametry jednostkowe określają gęstość, z jaką rezystancja, induk-
cyjność, upływność i pojemność są rozłożone wzdłuż linii. Wartości tych parametrów zależą
od geometrii linii i od właściwości elektrycznych ośrodka zapełniającego przestrzeń między
przewodami linii. Można wykazać, że parametry jednostkowe linii wypełnionej materiałem o
przenikalności elektrycznej ǫ, przenikalności magnetycznej µ i konduktywności σ są powią-
zane zależnościami

G
C

=

σ

ǫ

(2.3)

LC = µǫ

(2.4)

Rys. 2.1. Schemat odcinka linii obciążonej impedancją Z

L

4

Zależności te są bardzo ważne i użyteczne. Z jednej strony, wiążą one jednostkowe parametry
linii z parametrami wypełniającego ją ośrodka, z drugiej zaś – umożliwiają wyznaczenie
jednostkowej indukcyjności i konduktancji linii, gdy znana jest jej pojemność jednostkowa.
Jest to pożyteczne spostrzeżenie, ponieważ obliczanie pojemności jest zazwyczaj łatwiejsze
niż obliczanie indukcyjności.

2.2

Ogólne rozwiązania równań opisujących linię

Różniczkując względem zmiennej z pierwsze równanie układu (2.1) i podstawiając do otrzy-
manego wyniku drugie równanie otrzymujemy

d

2

U(z)

dz

2

− (R + jωL)(G + jωC)U(z) = 0 .

(2.5)

Z kolei eliminując w analogiczny sposób z układu (2.1) napięcie U(z) dochodzimy do rów-
nania

d

2

I(z)

dz

2

− (R + jωL)(G + jωC)I(z) = 0 .

(2.6)

Po wprowadzeniu oznaczenia

γ = α + jβ =

q

(R + jωL)(G + jωC) ,

(2.7)

równania (2.5) i (2.6) przyjmują postać

d

2

U(z)

dz

2

− γ

2

U(z) = 0

d

2

I(z)

dz

2

− γ

2

I(z) = 0

(2.8)

Ogólne rozwiązania tych równań mają postać

U(z) = U

+

(z) + U

−

(z) = U

+

0

e

−

γz

+ U

−

0

e

γz

I(z) = I

+

(z) + I

−

(z) = I

+

0

e

−

γz

+ I

−

0

e

γz

(2.9)

gdzie U

+

0

, U

−

0

, I

+

0

i I

−

0

są stałymi całkowania. Ponieważ (2.9) mają być rozwiązaniami ukła-

du (2.1), tj. układu dwóch równń różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu, z których
każde może mieć tylko jedną stałą całkowania, więc tylko dwie spośród stałych U

+

0

, U

−

0

, I

+

0

i I

−

0

mogą być niezależne. Rzeczywiście, po zróżniczkowaniu względem z wyrażeń (2.9) i

podstawieniu otrzymanych wyników do równań (2.1) otrzymujemy po elementarnych prze-
kształceniach

U

+

0

=

γ

G + jωC

I

+

0

(2.10)

U

−

0

= −

γ

G + jωC

I

−

0

(2.11)

skąd wynika, że

U

−

0

U

+

0

= −

I

−

0

I

+

0

(2.12)

5

i

U

+

0

I

+

0

= −

U

−

0

I

−

0

=

γ

G + jωC

.

(2.13)

Wprowadzając oznaczenie

Z

0

=

γ

G + jωC

=

R + jωL

γ

=

s

R + jωL

G + jωC

(2.14)

przepisujemy (2.13) jako

U

+

0

I

+

0

= −

U

−

0

I

−

0

= Z

0

,

(2.15)

łącząc zaś (2.14), (2.10) i (2.11) z rozwiązaniami (2.9) przekształcamy te ostatnie do postaci

U(z) = U

+

0

e

−

γz

+ U

−

0

e

γz

I(z) =

1

Z

0

h

U

+

0

e

−

γz

− U

−

0

e

γz

i

(2.16)

Stałe U

+

0

i U

−

0

można wyznaczyć z warunków granicznych na zaciskach linii, tzn. z warunków

pobudzenia i obciążenia linii.

2.3

Fale w linii. Parametry falowe

Weźmy pod uwagę składnik

U

+

(z) = U

+

0

e

−

γz

(2.17)

rozwiązania (2.9) równania dla napięcia w linii. Uwzględniając (2.7) możemy przepisać (2.17)
jako

U

+

(z) = U

+

0

e

−

αz

e

−

jβz

(2.18)

Przebieg czasowo-przestrzenny napięcia U

+

otrzymamy mnożąc wyrażenie po prawej stro-

nie (2.18) przez exp(jωt) i biorąc część urojoną wyniku. Otrzymujemy w ten sposób

u(z, t) = |U

+

0

|e

−

αz

sin

h

ωt − βz + arg U

+

0

i

.

(2.19)

Ze wzoru tego wynika, że przesunięcia fazy napięcia na drodze z jest równe βz. Współczynnik
β można więc interpretować jako przesunięcie fazy przypadające na jednostkę długości, co
uzasadnia nazwanie β współczynnikiem fazy albo przesuwnością falową. Na podstawie wzoru
(2.19) można wyznaczyć prędkość v przemieszczania się wzdłuż linii punktów o tej samej
fazie, tzn. prędkość fazową. Stałą fazę mają punkty, dla których

ωt − βz + arg U

+

0

= const .

(2.20)

Po zróżniczkowaniu obu stron tego równania względem czasu otrzymujemy

ω − β

dz

dt

= 0 ,

(2.21)

gdzie dz/dt jest właśnie poszukiwaną prędkością.
Ostatecznie mamy więc

v =

ω
β

.

(2.22)

6

Parametry jednostkowe linii są nieujemne; na podstawie wzoru (2.7) nietrudno zatem

stwierdzić, że

0 ¬ arg γ ¬

π

2

(2.23)

skąd wynika, że

α ­ 0

i

β ­ 0

(2.24)

Ponieważ α jest dodatnie, więc amplituda napięcia danego wzorem (2.17) maleje eksponen-
cjalnie ze wzrostem współrzędnej z. Współczynnik α decyduje zatem o tłumieniu napięcia
wzdłuż linii. Z tego powodu nazywamy go współczynnikiem tłumienia lub tłumiennością fa-
lową linii. Ma on sens tłumienia przypadającego na jednostkę długości linii. Współczynnik

γ

dany wzorem (2.7) nazywa się współczynnikiem propagacji albo tamownością falową linii.

Rozważania powyżej wskazują na to, że przebieg określony zależnością (2.19) można

interpretować jako tłumioną falę napięcia rozchodzącą się wzdłuż linii z prędkością v. Falę
tę przyjęto nazywać falą padającą (zakładamy, że współrzędna z wzrasta w kierunku od
początku linii do jej końca). Analogicznie można zinterpretować drugi składnik rozwiązania
równania dla napięcia w linii, tzn. składnik z dodatnim wykładnikiem eksponenty. Mamy
tutaj również do czynienia z falą tłumioną, lecz rozchodzącą się w przeciwnym kierunku,
tj. w kierunku malejącej współrzędnej z. Falę tę nazywamy falą odbitą (napięcia). Napięcie
U(z) (patrz (2.9)) w dowolnym przekroju linii jest więc sumą fal padającej, U

+

(z), i odbitej

U

−

(z), a stałe całkowania U

+

0

i U

−

0

mają sens, odpowiednio, zespolonych amplitud tych fal na

początku linii. Zaznaczmy w tym miejscu, że chociaż pojęcie ‘fala’ odnosi się do przebiegów
czasowo-przestrzennych, będziemy je tutaj często odnosić także do samych tylko amplitud
zespolonych odpowiednich przebiegów.

Długość λ fali w linii można wyznaczyć dzieląc predkość fazową v przez częstotliwość f

rozchodzącego się przebiegu

λ =

v

f

,

(2.25)

skąd po uwzględnieniu zależności (2.22) otrzymujemy

λ =

2π

β

.

(2.26)

Wszystkie rozważania tego rozdziału można powtórzyć dla rozwiązania opisującego prąd

w linii, interpretując składniki tego rozwiązania (patrz (2.9)) jako falę padającą i falę odbi-
tą (prądu), odpowiednio. Ponieważ w wyrażeniach opisujących padające i odbite fale prądu
i napięcia występuje, w wykładniku eksponenty, ten sam współczynnik γ, więc nietrudno
stwierdzić, że wszystkie te fale rozchodzą się w linii z tą samą prędkością v i są w tym
samym stopniu tłumione.

Ze wzorów (2.9), (2.14) i (2.15) wynika, że w każdym poprzecznym przekroju linii sto-

sunek zespolonych amplitud napięcia i prądu fali padającej jest wielkością stałą i równą Z

0

.

Dotyczy to również wziętego ze znakiem minus stosunku zespolonych amplitud napięcia i
prądu fali odbitej. Parametr Z

0

, związany z parametrami jednostkowymi linii wzorem (2.14)

i mający wymiar impedancji, będziemy nazywać impedancją charakterystyczną linii.

Wszystkie parametry charakteryzujące linię, o których mowa w tym paragrafie, określa

się wspólnym mianem parametrów falowych linii. Ich wartości zależą od parametrów jed-
nostkowych linii i częstotliwości roboczej. Ogólne wzory na parametry falowe są, niestety,
dość skomplikowane, mało przejrzyste i przez to mało przydatne w rutynowych obliczeniach.

7

Przykładowo, obliczenie tłumienności i przesuwności linii wymaga rozdzielenia wyrażenia po
prawej stronie wzoru (2.7) na część rzeczywistą i urojoną, po czym otrzymujemy

α, β =

s

1
2

q

[R

2

+ (ωL)

2

] [G

2

+ (ωC)

2

] ±

1
2

(R G − ω

2

LC) ,

(2.27)

gdzie znak plus bierzemy przy obliczaniu parametru α, natomiast znak minus – przy obliczaniu
β.

W celu uzyskania lepszego wglądu w zjawiska falowe w linii TEM rozważymy szczególny

przypadek linii bezstratnej.

Linia bezstratna

(R = 0, G = 0)

Kładąc R = 0 i G = 0 we wzorze (2.7) otrzymujemy

γ = α + jβ = jω

√

LC ,

(2.28)

co oznacza, że

α = 0

(2.29)

β = ω

√

LC

(2.30)

Prędkość fazowa fali w linii

v =

ω
β

=

1

√

LC

.

(2.31)

Biorć pod uwagę związek (2.4) otrzymujemy

v =

1

√

µǫ

,

(2.32)

a zakładając, że linię wypełnia materiał niemagnetyczny (µ

r

= 1)

v =

c

√

ǫ

r

,

(2.33)

gdzie c=1/õ

0

ǫ

0

jest prędkością światła w wolnej przestrzeni, to znaczy w próżni.

Ze wzorów (2.33) i (2.25) wynika, że długość fali w linii

λ =

λ

0

√

ǫ

r

,

(2.34)

gdzie λ

0

= c/f oznacza długość fali w wolnej przestrzeni.

Impedancja charakterystyczna linii

Z

0

= R

0

+ jX

0

=

s

L

C

,

(2.35)

skąd wynika

R

0

=

s

L

C

(2.36)

X

0

= 0 .

(2.37)

8

2.4

Zjawiska falowe w linii o skończonej długości

2.4.1

Współczynnik odbicia. Dopasowanie falowe linii

Rozważmy odcinek jednorodnej linii przesyłowej o długości l i parametrach falowych γ i Z

0

.

Załóżmy, że w przekroju z = 0 linię zasila generator o napięciu źródłowym U

g

i impedancji

wewnętrznej Z

g

. W przekroju z = l linia jest zakończona obciążeniem impedancyjnym Z

L

,

to znaczy

U(z)

I(z)







z

=l

=

U

L

I

L

= Z

L

.

(2.38)

Kładąc z = l w równaniach (2.16) otrzymujemy

U

L

= U

+

0

e

−

γl

+ U

−

0

e

γl

,

(2.39)

I

L

=

1

Z

0

h

U

+

0

e

−

γl

− U

−

0

e

γl

i

.

(2.40)

Rozwiązując te równania ze względu na U

+

0

i U

−

0

z uwzględnieniem warunku granicznego

(2.38) otrzymujemy

U

+

0

=

1
2

(U

L

+ I

L

Z

0

) e

γl

,

(2.41)

U

−

0

=

1
2

(U

L

− I

L

Z

0

) e

−

γl

.

(2.42)

Zauważmy, że stosunek zespolonych amplitud fal napięcia odbitej i padającej na końcu linii

U

−

(l)

U

+

(l)

=

U

−

0

e

γl

U

+

0

e

−

γl

=

U

L

− I

L

Z

0

U

L

+ I

L

Z

0

=

Z

L

− Z

0

Z

L

+ Z

0

= Γ

L

,

(2.43)

gdzie

Γ

L

=

Z

L

− Z

0

Z

L

+ Z

0

= |Γ

L

|e

jθ

L

(2.44)

nazywa się napięciowym współczynnikiem odbicia na końcu linii, tzn. przy obciążeniu Z

L

.

Analizując wyrażenie po prawej stronie (2.44) nietrudno stwierdzić, że

0 ¬ |Γ

L

| ¬ 1 .

(2.45)

Moduł współczynnika odbicia linii przyjmuje największą wartość, równą 1, gdy linia jest na
końcu zwarta (Z

L

= 0) lub rozwarta (Z

L

= ∞). Jeżeli natomiast impedancja obciążenia linii

jest równa impedancji charakterystycznej linii (Z

L

= Z

0

), to współczynnik odbicia na końcu

linii przyjmuje wartość równą zeru.

Stosunek zespolonych amplitud fal odbitej i padającej można obliczać w dowolnym prze-

kroju linii. Można zatem mówić o współczynniku odbicia w dowolnym przekroju

Γ = Γ(z) =

U

−

(z)

U

+

(z)

=

U

−

0

e

γz

U

+

0

e

−

γz

=

(U

L

− I

L

Z

0

) e

−

γ

(l−z)

(U

L

+ I

L

Z

0

) e

γ

(l−z)

.

(2.46)

Po uwzględnieniu warunku granicznego (2.38) oraz wzoru (2.44) otrzymujemy

Γ = Γ

L

e

−

2γ(l−z)

= |Γ

L

|e

−

2α(l−z)

e

j

[θ

L

−

2β(l−z)]

.

(2.47)

9

Ze wzoru tego wynika, że jeśli napięciowy współczynnik odbicia na końcu linii, Γ

L

, jest

równy zeru, to równy zeru jest także współczynnik odbicia w dowolnym przekroju linii. W
linii nie występuje zatem fala odbita, a napięcie w dowolnym przekroju jest równe napięciu fali
padającej. Taki stan nazywamy stanem dopasowania falowego linii. Warunkiem dopasowania
falowego jest

Z

L

= Z

0

,

(2.48)

a obciążenie spełniające ten warunek nazywamy dopasowanym falowo do linii. W praktyce z
reguły bardzo dba się o to, by linie pracowały w stanie dopasowania falowego.

Ze wzoru (2.47) wynika także, że moduł współczynnika odbicia w dowolnym przekroju

linii bezstratnej (α = 0) jest taki sam jak moduł współczynnika odbicia na końcu linii. Nato-
miast w linii stratnej (nawet bardzo mało stratnej) moduł współczynnika odbicia w dowolnym
przekroju linii jest zawsze mniejszy od modułu tego współczynnika na końcu linii. Nietrudno
to objaśnić: wystarczy zauważyć, że amplituda fali odbitej od obciążenia i przemieszczającej
się w kierunku zacisków wejściowych linii maleje na skutek tłumienia. Można stąd również
wywnioskować, że w linii nieskończenie długiej fala odbita nie występuje; taka hipotetyczna
linia jest więc zawsze dopasowana falowo.

Na podstawie zależności (2.12) stwierdzamy, że współczynnik odbicia dla prądu, zdefinio-

wany jako stosunek zespolonych amplitud fal prądu odbitej i padającej, różni się tylko znakiem
od napięciowego współczynnika odbicia. Z tego powodu dalej będziemy się posługiwać – bez
utraty ogólności – tylko współczynnikiem odbicia zdefiniowanym dla napięcia.

2.4.2

Rozkłady prądu i napięcia

Po połączeniu (2.9) i (2.12) z (2.38) oraz (2.41) i (2.42) dochodzimy do następujących wyrażeń
opisujących rozkład napięcia i prądu wzdłuż linii w funkcji odległości z

′

= l − z mierzonej

od końca linii

U(z

′

) = U

+

0

e

−

γl

h

e

γz

′

+ Γ

L

e

−

γz

′

i

(2.49)

I(z

′

) =

U

+

0

Z

0

e

−

γl

h

e

γz

′

− Γ

L

e

−

γz

′

i

,

(2.50)

gdzie U

+

0

jest dane wzorem (2.41). Jeśli we wzorach (2.49) i (2.50) rozwiniemy współczynnik

odbicia Γ

L

według (2.44) i odpowiednio pogrupujemy składniki z mnożnikami eksponencjal-

nymi, to otrzymamy

U(z

′

) = U

L

cosh γz

′

+ Z

0

I

L

sinh γz

′

,

(2.51)

I(z

′

) = I

L

cosh γz

′

+

U

L

Z

0

sinh γz

′

.

(2.52)

Dla linii bezstratnej wzory (2.49) i (2.50) przyjmują, odpowiednio, postać

U(z

′

) = U

+

0

e

−

jβl

h

e

jβz

′

+ Γ

L

e

−

jβz

′

i

,

(2.53)

I(z

′

) =

U

+

0

R

0

e

−

jβl

h

e

jβz

′

− Γ

L

e

−

jβz

′

i

,

(2.54)

natomiast wzory (2.51) i (2.52)

U(z

′

) = U

L

cos βz

′

+ jZ

0

I

L

sin βz

′

,

(2.55)

I(z

′

) = I

L

cos βz

′

+ j

U

L

Z

0

sin βz

′

.

(2.56)

10

2.4.3

Fala stojąca. Współczynnik fali stojącej

Weźmy pod uwagę linię bezstratną i zbadajmy rozkłady amplitudy napięcia |U(z

′

)| i prądu

|I(z

′

)| w linii. Amplitudę napięcia obliczymy korzystając z zależności

|U(z

′

)| =

q

U(z

′

) U

∗

(z

′

),

(2.57)

w której gwiazdka oznacza wielkość zespoloną sprzężoną. Podstawiając (2.53) do (2.57) otrzy-
mujemy po elementarnych przekształceniach i uporządkowaniu składników

|U(z

′

)| = |U

+

0

|

q

1 + |Γ

L

|

2

+ 2|Γ

L

| cos(2βz

′

− θ

L

).

(2.58)

W analogiczny sposób otrzymujemy rozkład amplitudy prądu w linii

|I(z

′

)| =

|U

+

0

|

R

0

q

1 + |Γ

L

|

2

− 2|Γ

L

| cos(2βz

′

− θ

L

).

(2.59)

Ze wzoru (2.58) wynika, że amplituda napięcia zmienia się wzdłuż linii osiągając na

przemian lokalne minima i maksima. Amplituda napięcia przyjmuje największe wartości

|U|

max

= |U

+

0

|(1 + |Γ

L

|)

(2.60)

w punktach, których współrzędna z

′

spełnia warunek

2βz

′

− θ

L

= 2nπ

(n = 0, 1, 2, . . .),

(2.61)

natomiast wartości najmniejsze

|U|

min

= |U

+

0

|(1 − |Γ

L

|)

(2.62)

w punktach

2βz

′

− θ

L

= (2n + 1)π

(n = 0, 1, 2, . . .).

(2.63)

Podobnie zmienia się amplituda prądu wzdłuż linii (patrz (2.59)) oscylując między wartościami

|I|

max

=

|U

+

0

|

R

0

(1 + |Γ

L

|)

i

|I|

min

=

|U

+

0

|

R

0

(1 − |Γ

L

|).

(2.64)

Minima prądu występują w tych przekrojach linii, w których napięcie przyjmuje wartość naj-
większą, natomiast maksima prądu – tam, gdzie napięcie jest najmniejsze. Z warunków (2.61)
i (2.63) wynika, że dwa kolejne lokalne minima (albo maksima) rozkładu amplitudy napięcia
leżą w odległości równej połowie długości fali w linii, a przedziela je leżące pośrodku lokalne
maksimum (albo minimum, odpowiednio). Położenie lokalnych ekstremów rozkładów (2.58)
i (2.59) nie zmienia się w czasie, co uzasadnia nazwanie tych rozkładów falami stojącymi.

W linii bezstratnej zwartej na końcu (|Γ

L

| = 1, θ

L

= −π) mamy

|U(z

′

)| = 2|U

+

0

|| sin βz

′

|

i

|I(z

′

)| = 2

|U

+

0

|

R

0

| cos βz

′

| ,

(2.65)

natomiast w linii rozwartej (|Γ

L

| = 1, θ

L

= 0)

|U(z

′

)| = 2|U

+

0

|| cos βz

′

|

i

|I(z

′

)| = 2

|U

+

0

|

R

0

| sin βz

′

| .

(2.66)

11

W linii dopasowanej falowo (|Γ

L

| = 0)

|U(z

′

)| = |U

+

0

|

i

|I(z

′

)| =

|U

+

0

|

R

0

,

(2.67)

co oznacza, że amplituda napięcia (prądu) w linii bezstratnej nie zmienia się wzdłuż linii i
jest równa amplitudzie napięcia (prądu) fali padającej na zaciskach wejściowych linii.

‘Falujące’ rozkłady amplitudy napięcia i prądu są wynikiem nakładania się fal padającej i

odbitej; w tych przekrojach linii, gdzie obie fale mają fazy zgodne, ich amplitudy dodają się,
natomiast tam, gdzie fale padająca i odbita spotykają się w przeciwfazie, amplitudy odejmują
się. Parametrem, który charakteryzuje stopień nierównomierności rozkładu amplitudy napięcia
w linii, jest bezwymiarowy współczynnik fali stojącej (wfs) zdefiniowany jako stosunek sumy
amplitud fal padającej i odbitej do różnicy amplitud tych fal w wybranym przekroju linii

ρ(z

′

) =

|U

+

(z

′

)| + |U

−

(z

′

)|

|U

+

(z

′

)| − |U

−

(z

′

)|

.

(2.68)

W linii bezstratnej amplitudy fal padającej i odbitej nie zmieniają się wzdłuż linii, skutkiem
czego współczynnik fali stojącej ma wartość stałą, tzn. nie zależy od współrzędnej mierzonej
wzdłuż linii. Biorąc pod uwagę, że w dowolnym przekroju linii bezstratnej

|U

−

(z

′

)|

|U

+

(z

′

)|

= |Γ

L

| ,

(2.69)

możemy przekształcić wzór definicyjny (2.68) do postaci

ρ =

1 + |Γ

L

|

1 − |Γ

L

|

,

(2.70)

albo

|Γ

L

| =

ρ − 1
ρ + 1

.

(2.71)

Ze wzorów (2.60), (2.62) i (2.70) wynika, że

ρ =

|U|

max

|U|

min

.

(2.72)

Współczynnik fali stojącej jest liczbą dodatnią i może przyjmować wartości z przedziału

[1, ∞). W szczególności mamy

Γ

L

= 0

ρ = 1

gdy Z

L

= Z

0

(dopasowanie falowe)

Γ

L

= −1

ρ → ∞

gdy Z

L

= 0 (linia zwarta)

Γ

L

= +1

ρ → ∞

gdy Z

L

→ ∞ (linia rozwarta)

Przejdźmy teraz do analizy linii stratnej. Po podstawieniu (2.49) do (2.57) dochodzimy do

następującego wyrażenia opisującego rozkład amplitudy napięcia w linii:

|U(z

′

)| = |U

+

0

|e

−

α

(l−z

′

)

q

1 + |Γ

L

|

2

e

−

4αz

′

+ 2|Γ

L

|e

−

2αz

′

cos(θ

L

− 2βz

′

) .

(2.73)

12

Z kolei obliczając moduł wyrażenia po prawej stronie (2.50) otrzymujemy

|I(z

′

)| =

|U

+

0

|

|Z

0

|

e

−

α

(l−z

′

)

q

1 + |Γ

L

|

2

e

−

4αz

′

− 2|Γ

L

|e

−

2αz

′

cos(θ

L

− 2βz

′

) .

(2.74)

W warunkach dopasowania falowego linii (Γ

L

= 0) wyrażenia (2.73) i (2.74) przyjmują,

odpowiednio, postać

|U(z

′

)| = |U

+

0

|e

−

α

(l−z

′

)

i

|I(z

′

)| =

|U

+

0

|

R

0

e

−

α

(l−z

′

)

.

(2.75)

Jak widać, amplitudy napięcia i prądu w linii stratnej dopasowanej falowo maleją monoto-
nicznie w miarę oddalania się od zacisków wejściowych. Niedopasowanie linii stratnej ma
podobne konsekwencje, jak niedopasowanie linii bezstratnej: w linii pojawia się fala odbita,
która przemieszczając się od obciążenia w kierunku zacisków wejściowych linii, ‘nakłada się’
na falę padającą biegnącą w stronę obciążenia. W rezultacie w linii powstają ‘falujące’ roz-
kłady napięcia i prądu opisane zależnościami (2.73) i (2.74). O ile w linii bezstratnej wahanie
funkcji |U(z

′

)| i |I(z

′

)| nie zmienia się wzdłuż linii, to w linii ze stratami wahanie tych funk-

cji zmniejsza się w miarę oddalania się od obciążenia, tj. w miare wzrostu współrzędnej z

′

.

W linii o małych stratach lokalne ekstrema rozkładów napięcia i prądu występują w pobliżu
punktów spełniających warunki (2.61) i (2.63).

Podobnie jak w linii bezstratnej, miarą nierównomierności rozkładów amplitudy napięcia i

prądu w linii stratnej jest współczynnik fali stojącej. Na podstawie wzoru definicyjnego (2.68)
i przy uwzględnieniu, że w linii stratnej

|U

−

(z

′

)|

|U

+

(z

′

)|

= |Γ(z

′

)| = |Γ

L

|e

−

2αz

′

,

(2.76)

otrzymujemy

ρ(z

′

) =

1 + |Γ

L

|e

−

2αz

′

1 − |Γ

L

|e

−

2αz

′

.

(2.77)

Jak widać, współczynnik fali stojącej w linii stratnej jest funkcją odległości (tutaj mierzonej
od obciążenia).

Współczynnik fali stojącej, na równi ze współczynnikiem odbicia, charakteryzuje stopień

dopasowania obciążenia do linii. W praktyce chętniej posługujemy się współczynnikiem fali
stojącej, ponieważ jest on łatwiej dostępny pomiarowo niż współczynnik odbicia. Ponieważ
pomiar wfs jest najczęściej wykonywany na zaciskach wejściowych linii warto w tym miejscu
zwrócić uwagę na następującą ważną okoliczność. Ze wzoru (2.77) wynika, że wfs na zaciskach
wejściowych linii stratnej jest zawsze mniejszy niż wfs na końcu linii. Jeśli więc nie weźmiemy
stosownych poprawek na straty w linii, to ocena stopnia dopasowania linii na podstawie wyniku
pomiaru wfs na zaciskach wejściowych linii zawsze wypadnie korzystniej niż właściwa ocena
na podstawie wyniku pomiaru wfs tuż przy obciążeniu linii.

2.4.4

Impedancja wejściowa linii

Obliczmy stosunek zespolonych amplitud napięcia i prądu w przekroju linii w odległości z

′

od jej końca. Na podstawie wzorów (2.49) i (2.50) otrzymujemy

Z(z

′

) =

U(z

′

)

I(z

′

)

= Z

0

1 + Γ

L

e

−

2γz

′

1 − Γ

L

e

−

2γz

′

.

(2.78)

13

Jeśli wyjdziemy ze wzorów (2.51) i (2.52), to przy uwzględnieniu warunku granicznego (2.38)
otrzymamy

Z(z

′

) =

U(z

′

)

I(z

′

)

= Z

0

Z

L

+ Z

0

tanh γz

′

Z

0

+ Z

L

tanh γz

′

.

(2.79)

Wielkość Z(z

′

) ma sens impedancji widzianej z hipotetycznych zacisków w przekroju z

′

, gdy

patrzymy z tych zacisków w stronę obciążenia linii. Inaczej rzecz ujmując można powiedzieć,
że jest to impedancja, którą można zastąpić odcinek linii (wraz z jej obciążeniem) na prawo od
z

′

. Dla z

′

= l impedancja dana wzorem (2.78) albo (2.79) nabiera sens impedancji wejściowej

Z

i

linii. Mamy zatem

Z

i

= Z

0

1 + Γ

L

e

−

2γl

1 − Γ

L

e

−

2γl

.

(2.80)

albo

Z

i

= Z

0

Z

L

+ Z

0

tanh γl

Z

0

+ Z

L

tanh γl

.

(2.81)

W zastosowaniach często mamy do czynienia z liniami w trzech szczególnych stanach ob-

ciążenia, mianowicie dopasowania falowego, zwarcia i rozwarcia. W warunkach dopasowania
falowego (Z

L

= Z

0

)

Z

i

= Z

0

.

(2.82)

Impedancja wejściowa linii dopasowanej falowo jest więc równa impedancji charakterystycznej
linii i nie zależy od długości linii.
Impedancja wejściowa linii zwartej na końcu (Z

L

= 0)

Z

i

0

= Z

0

tanh γl ,

(2.83)

natomiast impedancja wejściowa linii rozwartej (Z

L

= ∞)

Z

i∞

= Z

0

coth γl .

(2.84)

Ze wzorów (2.83) i (2.84) wynika, że

Z

0

=

q

Z

i

0

Z

i∞

.

(2.85)

Zależność ta sugeruje sposób pomiaru impedancji charakterystycznej Z

0

linii o nieznanych

parametrach. W celu wyznaczenia tej impedancji wystarczy zmierzyć impedancję wejściową
odcinka linii rozwartej i powtórzyć pomiar dla tego samego odcinka linii w stanie zwarcia.
Poszukiwana impedancja charakterystyczna jest średnią geometryczną wyników obu pomia-
rów.

Dla linii bezstratnej wzór (2.80) przyjmuje postać

Z

i

= R

0

1 + Γ

L

e

−

j

2βl

1 − Γ

L

e

−

j

2βl

,

(2.86)

natomiast wzór (2.81)

Z

i

= R

0

Z

L

+ jZ

0

tan βl

Z

0

+ jZ

L

tan βl

.

(2.87)

Impedancja wejściowa linii bezstratnej dopasowanej falowo jest – podobnie jak impedancja
wejściowa dopasowanej linii stratnej – równa impedancji charakterystycznej linii niezależnie
od długości tej ostatniej. Dla linii bezstratnej zwartej na końcu wzór (2.83) przyjmuje postać

Z

i

0

= jR

0

tan βl ,

(2.88)

14

natomiast wzór (2.84) dla linii rozwartej

Z

i∞

= −jR

0

cot βl .

(2.89)

Obok trzech dyskutowanych wyżej szczególnych przypadków obciążenia linii (zwarcie,

rozwarcie, dopasowanie falowe) warto również zwrócić uwagę na linie o dwóch szczególych
długościach, tzn. linię półfalową i linię ćwierćfalową. Jeśli fizyczna długość l odcinka linii
bezstratnej jest równa połowie długości fali (w linii), to βl = π i wzór (2.87) upraszcza się
do postaci

Z

i

= Z

L

gdy l = λ/2

(2.90)

Jak widać, impedancja na zaciskach wejściowych linii półfalowej jest równa impedancji ob-
ciążenia linii. Można powiedzieć, że półfalowy odcinek linii jest transformatorem impedancji
o przekładni równej 1. Ogólnie, właściwość tę ma każda linia o długości równej całkowitej
wielokrotności połowy długości fali.

Jeśli długość l jest równa ćwiartce długości fali, to βl = π/2, tg(βl) → ∞ i w rezultacie

Z

i

=

R

2

0

Z

L

(2.91)

albo zamiennie

Z

i

Z

L

= R

2

0

gdy l = λ/4

(2.92)

Ogólnie, zależność (2.92) jest słuszna dla linii o długości równej nieparzystej wielokrotności
ćwiartek długości fali. Ćwierćfalowe odcinki linii są powszechnie wykorzystywane w technice
mikrofalowej jako transformatory impedancji (tzw. transformatory ćwierćfalowe).

15