1
WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
ENERGIA SPRĘśYSTA
Przyjmijmy, bez szczegółowych rozwaŜań, Ŝe energia spręŜysta równa jest
pracy sił zewnętrznych.
Energia spręŜysta (energia odkształcenia) przy rozciąganiu
Obliczmy energię spręŜystą pręta rozciąganego. Zakładamy, Ŝe proces
obciąŜenia, tj. wzrostu siły
P
*
od zera do końcowej wartości
P
*
= P
, przebiega
bardzo wolno. W takim przypadku chwilowe przemieszczenie
u
*
swobodnego
końca pręta jest równe wydłuŜeniu
(∆l)
*
pręta przy statycznym działaniu siły
P
*
.
Rys. 1. Praca obciąŜenia przy rozciąganiu.
Przemieszczenie u
*
wyraŜone jest zaleŜnością:
( )
EA
l
P
∆l
u
*
*
*
=
=
,
której obrazem
P
*
= f(u
*
)
jest linia prosta (rys. 1b).
2
Obliczmy teraz pracę, jaką wykonała siła
P
*
w całym procesie obciąŜenia.
Wzrostowi siły z wartości
P
*
do
P
*
+
dP
*
odpowiada przyrost d
u
*
,
a elementarna praca
dL
siły
P
*
:
*
*
du
P
dL
=
,
czyli równa jest polu zakreskowanemu na rys. 1b. Całkowita praca
L
jest sumą
takich elementarnych prac i równa się polu trójkąta
OBC
. W związku z tym
energię spręŜystą U równą pracy L moŜna przedstawić w postaci zaleŜności:
]
[
2
1
J
l
P
L
U
∆
=
=
,
gdzie
P
i
∆
l
oznaczają odpowiadające sobie końcowe wartości siły
i wydłuŜenia.
Uwzględniając prawo Hooke’a moŜemy energię
U
wyrazić jako funkcję samej
tylko siły obciąŜającej
P
bądź samego tylko wydłuŜenia
∆
l
:
( )
l
EA
∆l
U
EA
l
P
U
2
lub
2
2
2
=
=
.
W pręcie rozwaŜanym panuje jednorodny, jednoosiowy stan napręŜenia i
jednorodny stan odkształcenia, stąd dzieląc całkowitą energię spręŜystą
U
przez
objętość pręta
A
l
. Otrzymuje się wartość energii spręŜystej jednostki objętości,
jednostkową właściwą energię spręŜystą
Φ
dla jednoosiowego stanu napręŜenia:
E
A
P
Al
EA
l
P
Al
U
Φ
2
2
2
2
1
1
2
1
=
=
=
.
Uwzględniając, Ŝe
P/A = σ
i
ε = σ/E
moŜna energię spręŜystą
Φ
wyrazić
następującymi wzorami:
2
2
2
1
2
1
2
1
Eε
Φ
;
E
σ
Φ
σε;
Φ
=
=
=
.
3
Energia spręŜysta przy ścinaniu
Obliczmy energię spręŜystą (energię odkształcenia) w stanie czystego ścinania
kostki o wymiarach
l’
,
l”
oraz grubości
h
, której ściana dolna
cd
jest
unieruchomiona.
C
Rys. 2. Parametry stanu czystego ścinania.
Jeśli
τ
stopniowo wzrasta, to proporcjonalnie rosną siła
T = τl”h
na ścianie
ab
oraz przesunięcie
∆s = aa” = γl’
tej ściany, a wykres
T
(
∆
s
) jest linią prostą
(rys.2b). Praca
L
równa energii spręŜystej
U
jest równa polu trójkąta
OBC
,
czyli:
'
"
l
γ
h
l
τ
s
T∆
L
U
2
1
2
1
=
=
=
.
Przez analogię do rozciągania, wprowadzamy pojęcie właściwej energii
spręŜystej Φ w stanie czystego ścinania, którą obliczymy dzieląc całkowitą
energię spręŜystą
U
przez objętość kostki
l’l”h
. Uwzględniając dodatkowo
prawo Hooke’a uzyskuje się następujące wyraŜenia na właściwą energię
spręŜystą ścinania:
2
2
2
1
2
1
2
1
Gγ
Φ
;
G
τ
Φ
γ;
τ
h
l
l
U
Φ
"
'
=
=
=
=
.
4
Energia spręŜysta w przypadku ogólnego stanu napręŜenia
Aby wyznaczyć właściwą energię spręŜystą w przypadku ogólnego stanu
napręŜenia wyodrębnia się z materiału elementarną kostkę o wymiarach
dxdydz
. Na ściany tej kostki działają napręŜenia normalne i styczne, które
pomnoŜone przez pola odpowiednich boków będziemy traktować jako siły
zewnętrzne.
Energię spręŜystą wyznaczamy obliczając pracę tych sił na przemieszczeniach
spowodowanych odkształceniem kostki. W rezultacie tych rozwaŜań całkowitą
pracę moŜna wyrazić jako połowę iloczynu sił i odpowiadających im
przesunięć, dzieląc zaś ją przez objętość elementarnej kostki oblicza się
właściwą energię spręŜystą:
)
(
2
1
dz
dxdy
dy
dzdx
dx
dydz
dz
dxdy
dy
dzdx
dx
dydz
dL
zx
zx
yz
yz
xy
xy
z
z
y
y
x
x
γ
τ
γ
τ
γ
τ
ε
σ
ε
σ
ε
σ
+
+
+
+
+
+
=
)
(
2
1
zx
zx
yz
yz
xy
xy
z
z
y
y
x
x
γ
τ
γ
τ
γ
τ
ε
σ
ε
σ
ε
σ
dxdydz
dL
Φ
+
+
+
+
+
=
=
.
WyraŜając odkształcenia przez napręŜenia otrzymuje się:
−
−
−
+
+
+
+
+
+
=
)
)(
1
(
)
(
2
1
1
2
2
2
2
x
z
z
y
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
σ
σ
σ
σ
σ
σ
τ
τ
τ
ν
σ
σ
σ
E
Φ
(*)
WyraŜając napręŜenia przez odkształcenia otrzymuje się:
+
+
+
+
+
+
+
+
−
=
)
(
2
1
)
(
2
1
2
2
2
2
2
2
2
zx
yz
xy
z
y
x
z
y
x
γ
γ
γ
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ν
ν
G
Φ
(**)
Właściwą energię spręŜystą moŜna przedstawić jako sumę energii zmiany
objętości
Φ
v
i zmiany postaci ciała
Φ
f
f
v
Φ
Φ
Φ
+
=
Suma iloczynów napręŜeń i odkształceń wyłącznie objętościowych wyraŜa
energię spręŜystą odkształcenia objętościowego
Φ
v
i przy wyraŜeniu
odkształceń przez napręŜenia moŜna tą energię przedstawić w postaci:
5
(
)
2
6
2
1
z
y
x
v
σ
σ
σ
E
ν
Φ
+
+
−
=
Suma iloczynów napręŜeń i odkształceń wyłącznie postaciowych wyraŜa
energię spręŜystą odkształcenia postaciowego
Φ
f
i przy wyraŜeniu odkształceń
przez napręŜenia moŜna tą energię przedstawić w postaci:
(
) (
)
(
)
(
)
[
]
2
2
2
2
2
2
6
6
1
xz
zy
xy
x
z
z
y
y
x
f
τ
τ
τ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
E
ν
Φ
+
+
+
−
+
−
+
−
+
=
.
RóŜniczkując cząstkowo funkcję Φ określoną wzorem (*) względem
składowych stanu napręŜenia i uwzględniając związki wynikające z prawa
Hooke’a otrzymuje się relacje:
z
z
y
y
x
x
ε
σ
ε
σ
ε
σ
=
∂
Φ
∂
=
∂
Φ
∂
=
∂
Φ
∂
;
;
zx
zx
yz
yz
xy
xy
γ
τ
γ
τ
γ
τ
=
∂
Φ
∂
=
∂
Φ
∂
=
∂
Φ
∂
;
;
Podobnie biorąc pod uwagę zaleŜność (**) uzyskuje się:
z
z
y
y
x
x
σ
ε
σ
ε
σ
ε
=
∂
Φ
∂
=
∂
Φ
∂
=
∂
Φ
∂
;
;
zx
zx
yz
yz
xy
xy
τ
γ
τ
γ
τ
γ
=
∂
Φ
∂
=
∂
Φ
∂
=
∂
Φ
∂
;
;
Przez analogię do pojęcia potencjału w mechanice funkcję
Φ
nazywa się
potencjałem spręŜystości.