1

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

ENERGIA SPRĘśYSTA

Przyjmijmy, bez szczegółowych rozważań, że energia sprężysta równa jest
pracy sił zewnętrznych.


Energia sprężysta (energia odkształcenia) przy rozciąganiu

Obliczmy energię sprężystą pręta rozciąganego. Zakładamy, że proces
obciążenia, tj. wzrostu siły

P

*

od zera do końcowej wartości

P

*

= P

, przebiega

bardzo wolno. W takim przypadku chwilowe przemieszczenie

u

*

swobodnego

końca pręta jest równe wydłużeniu

(∆l)

*

pręta przy statycznym działaniu siły

P

*

.

Rys. 1. Praca obciążenia przy rozciąganiu.

Przemieszczenie u

*

wyrażone jest zależnością:

( )

EA

l

P

∆l

u

*

*

*

=

=

,

której obrazem

P

*

= f(u

*

)

jest linia prosta (rys. 1b).

2

Obliczmy teraz pracę, jaką wykonała siła

P

*

w całym procesie obciążenia.

Wzrostowi siły z wartości

P

*

do

P

*

+

dP

*

odpowiada przyrost d

u

*

,

a elementarna praca

dL

siły

P

*

:

*

*

du

P

dL

=

,

czyli równa jest polu zakreskowanemu na rys. 1b. Całkowita praca

L

jest sumą

takich elementarnych prac i równa się polu trójkąta

OBC

. W związku z tym

energię sprężystą U równą pracy L można przedstawić w postaci zależności:

]

[

2

1

J

l

P

L

U

∆

=

=

,

gdzie

P

i

∆

l

oznaczają odpowiadające sobie końcowe wartości siły

i wydłużenia.
Uwzględniając prawo Hooke’a możemy energię

U

wyrazić jako funkcję samej

tylko siły obciążającej

P

bądź samego tylko wydłużenia

∆

l

:

( )

l

EA

∆l

U

EA

l

P

U

2

lub

2

2

2

=

=

.

W pręcie rozważanym panuje jednorodny, jednoosiowy stan naprężenia i
jednorodny stan odkształcenia, stąd dzieląc całkowitą energię sprężystą

U

przez

objętość pręta

A

l

. Otrzymuje się wartość energii sprężystej jednostki objętości,

jednostkową właściwą energię sprężystą

Φ

dla jednoosiowego stanu naprężenia:

E

A

P

Al

EA

l

P

Al

U

Φ

2

2

2

2

1

1

2

1

=

=

=

.

Uwzględniając, że

P/A = σ

i

ε = σ/E

można energię sprężystą

Φ

wyrazić

następującymi wzorami:

2

2

2

1

2

1

2

1

Eε

Φ

;

E

σ

Φ

σε;

Φ

=

=

=

.

3

Energia sprężysta przy ścinaniu

Obliczmy energię sprężystą (energię odkształcenia) w stanie czystego ścinania
kostki o wymiarach

l’

,

l”

oraz grubości

h

, której ściana dolna

cd

jest

unieruchomiona.

C

Rys. 2. Parametry stanu czystego ścinania.

Jeśli

τ

stopniowo wzrasta, to proporcjonalnie rosną siła

T = τl”h

na ścianie

ab

oraz przesunięcie

∆s = aa” = γl’

tej ściany, a wykres

T

(

∆

s

) jest linią prostą

(rys.2b). Praca

L

równa energii sprężystej

U

jest równa polu trójkąta

OBC

,

czyli:

'

"

l

γ

h

l

τ

s

T∆

L

U

2

1

2

1

=

=

=

.

Przez analogię do rozciągania, wprowadzamy pojęcie właściwej energii
sprężystej Φ w stanie czystego ścinania, którą obliczymy dzieląc całkowitą
energię sprężystą

U

przez objętość kostki

l’l”h

. Uwzględniając dodatkowo

prawo Hooke’a uzyskuje się następujące wyrażenia na właściwą energię
sprężystą ścinania:

2

2

2

1

2

1

2

1

Gγ

Φ

;

G

τ

Φ

γ;

τ

h

l

l

U

Φ

"

'

=

=

=

=

.

4

Energia sprężysta w przypadku ogólnego stanu naprężenia

Aby wyznaczyć właściwą energię sprężystą w przypadku ogólnego stanu
naprężenia wyodrębnia się z materiału elementarną kostkę o wymiarach

dxdydz

. Na ściany tej kostki działają naprężenia normalne i styczne, które

pomnożone przez pola odpowiednich boków będziemy traktować jako siły
zewnętrzne.
Energię sprężystą wyznaczamy obliczając pracę tych sił na przemieszczeniach
spowodowanych odkształceniem kostki. W rezultacie tych rozważań całkowitą
pracę można wyrazić jako połowę iloczynu sił i odpowiadających im
przesunięć, dzieląc zaś ją przez objętość elementarnej kostki oblicza się
właściwą energię sprężystą:

)

(

2

1

dz

dxdy

dy

dzdx

dx

dydz

dz

dxdy

dy

dzdx

dx

dydz

dL

zx

zx

yz

yz

xy

xy

z

z

y

y

x

x

γ

τ

γ

τ

γ

τ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

+

+

+

+

+

+

=

)

(

2

1

zx

zx

yz

yz

xy

xy

z

z

y

y

x

x

γ

τ

γ

τ

γ

τ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

dxdydz

dL

Φ

+

+

+

+

+

=

=

.

Wyrażając odkształcenia przez naprężenia otrzymuje się:









−

−

−

+

+

+

+

+

+

=

)

)(

1

(

)

(

2

1

1

2

2

2

2

x

z

z

y

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

σ

σ

σ

σ

σ

σ

τ

τ

τ

ν

σ

σ

σ

E

Φ

(*)

Wyrażając naprężenia przez odkształcenia otrzymuje się:









+

+

+

+

+

+

+

+

−

=

)

(

2

1

)

(

2

1

2

2

2

2

2

2

2

zx

yz

xy

z

y

x

z

y

x

γ

γ

γ

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ν

ν

G

Φ

(**)

Właściwą energię sprężystą można przedstawić jako sumę energii zmiany
objętości

Φ

v

i zmiany postaci ciała

Φ

f

f

v

Φ

Φ

Φ

+

=

Suma iloczynów naprężeń i odkształceń wyłącznie objętościowych wyraża
energię sprężystą odkształcenia objętościowego

Φ

v

i przy wyrażeniu

odkształceń przez naprężenia można tą energię przedstawić w postaci:

5

(

)

2

6

2

1

z

y

x

v

σ

σ

σ

E

ν

Φ

+

+

−

=

Suma iloczynów naprężeń i odkształceń wyłącznie postaciowych wyraża
energię sprężystą odkształcenia postaciowego

Φ

f

i przy wyrażeniu odkształceń

przez naprężenia można tą energię przedstawić w postaci:

(

) (

)

(

)

(

)

[

]

2

2

2

2

2

2

6

6

1

xz

zy

xy

x

z

z

y

y

x

f

τ

τ

τ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

E

ν

Φ

+

+

+

−

+

−

+

−

+

=

.

Różniczkując cząstkowo funkcję Φ określoną wzorem (*) względem
składowych stanu naprężenia i uwzględniając związki wynikające z prawa
Hooke’a otrzymuje się relacje:

z

z

y

y

x

x

ε

σ

ε

σ

ε

σ

=

∂

Φ

∂

=

∂

Φ

∂

=

∂

Φ

∂

;

;

zx

zx

yz

yz

xy

xy

γ

τ

γ

τ

γ

τ

=

∂

Φ

∂

=

∂

Φ

∂

=

∂

Φ

∂

;

;

Podobnie biorąc pod uwagę zależność (**) uzyskuje się:

z

z

y

y

x

x

σ

ε

σ

ε

σ

ε

=

∂

Φ

∂

=

∂

Φ

∂

=

∂

Φ

∂

;

;

zx

zx

yz

yz

xy

xy

τ

γ

τ

γ

τ

γ

=

∂

Φ

∂

=

∂

Φ

∂

=

∂

Φ

∂

;

;

Przez analogię do pojęcia potencjału w mechanice funkcję

Φ

nazywa się

potencjałem sprężystości.