- 11 -
Energia potencjalna
Pole elektryczne jest polem zachowawczym – praca w tym polu nie zalezy od
drogi, a tylko od położenia początkowego i końcowego.
Przemieszczając ładunek z pkt. R1 do pkt. r2 siła pola elektrycznego wykonują
pracę:
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
r
U
r
U
r
d
E
q
r
d
F
W
r
r
r
r
Możemy na tej podstawie zdefiniować energię potencjalną jako pracę, którą muszą
wykonać siły zewnętrzne, aby przenieś ładunek z odległego obszaru w którym
energia potencjalna równa jest zero (
∞
), do danego pkt. pola.
r
r
z
r
d
E
q
r
d
F
r
U
)
(
Dla ładunku pkt. Q:
r
r
Q
q
r
dr
Q
q
r
U
2
0
2
0
4
4
)
(
Gdy q, Q róznoimienne energia U(r) jest ujemna – pracę wykonują siły pola
elektrostatycznego.
Obliczamy pracę po zamkniętej drodze L:
0
0
l
d
E
l
d
F
- 12 -
Pole wektorowe spełniające taką właściwość nosi nazwę pola bezwirowego – pole
elektrostatyczne jest polem bezwirowym.
Potencjał pola elektrostatycznego
Stosunek energii potencjalnej ładunku q do wartości do wartości tego ładunku
nazywany jest potencjałem pola elektrostatycznego.
C
J
V
q
r
U
r
V
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
r
V
r
V
q
W
Dla ładunku pkt. Q:
r
Q
r
V
0
4
)
(
Dla układu ładunków pkt.:
i
i
r
r
q
r
V
2
1
0
4
)
(
Związek pomiędzy potencjałem a natężeniem pola elektrycznego:
)
(
)
(
r
V
q
r
d
E
q
r
U
r
r
r
d
E
r
V
)
(
Różnica potencjałów pomiędzy pkt. 1 i 2 wynosi zatem:
2
1
2
)
(
)
(
1
2
r
r
r
r
d
E
r
d
E
r
d
E
r
V
r
V
- 13 -
Dla pola jednorodnego:
2
)
(
)
(
1
2
r
r
d
E
r
V
r
V
V
r
E
r
r
E
V
)
(
1
2
Pole elektryczne skierowane jest w stronę niższego potencjału.
Przykład (1)
Obliczmy różnicę potencjałów dka dwuch płyt o powierzchni s,
znajdujących się w odległości d od siebie, naładowanych przeciwnie ładunkami Q.
S
Q
S
Q
E
0
0
S
d
Q
d
E
V
0
Przykład (2)
Kabel koncentryczny (współosiowy) składa się z drutu o promieniu r1
otoczonego wydrążonym przewodnikiem walcowym o promienu r2. Liniowe gęstości
ładunku na tych przewodnikach są ruwne n i –n. Znaleźć różnicę potencjałów między
tymi dwoma przewodnikami
Ponieważ pole ma kierunek radialny:
2
1
r
r
dr
E
V
Podstawiając wynik z omówionego przykładu:
1
2
0
0
0
ln
2
2
2
2
1
2
1
r
r
r
dr
dr
r
V
r
r
r
r
- 14 -
Powierzchnia stałego potencjału
Powierzchnia stałego potencjału wyznacza równanie:
const
r
V
)
(
0
dV
0
r
d
E
r
d
E
Warunek ten oznacza, ze wektor pola jest w każdym punkcie prostopadły do
powierzchni stałego potencjału.
Związek potencjału z natężeniem pola
Mamy:
r
d
E
dV
r
d
E
V
r
r
2
1
Rozpisując te wyrażenie dla składowych pola:
dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
dV
dz
E
dy
E
dx
E
r
d
E
z
y
x
Porównując stronami otrzymujemy:
z
V
E
y
V
E
x
V
E
z
y
x
;
;
Znajomość potencjału daje nam równocześnie trzy składowe wektora natężenia pola.
Wprowadzając operator :
k
z
j
y
i
x
grad
równanie te możemy zapisać w
zwartej postaci wektorowej:
gradV
E
- 15 -
Przykład
Znaleźć potencjał i natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez
ładunek Q rozmieszczony równomiernie na pierścieniu o promieniu R na osi
pierścienia w odległości x od jego środka
2
2
0
0
4
4
x
R
dq
r
dq
dV
2
2
0
4
1
x
R
Q
dV
V
3
2
2
0
)
(
4
1
x
R
x
Q
x
V
E
x