Document Outline

Aliasing

Powy˙zszy warunek nazywany jest warunkiem Nyquista
Je´sli nie jest spełniony, mo˙ze wyst ˛

api´c zjawisko

aliasingu -

pojawiania si ˛e w sygnale składowych o bł ˛ednych
cz ˛estotliwo´sciach.

Aby unikn ˛

a´c tego zjawiska zwi ˛eksza si ˛e cz ˛estotliwo´s´c

próbkowania lub ogranicza cz ˛estotliwo´s´c sygnału wej´sciowego za
pomoc ˛

a filtrów dolnoprzepustowych (o maksymalnie stromych

zboczach).

Grzegorz

Pietrzak

Kwantyzacja

Kwantyzacja równomierna i nierównomierna

Miary jako´sci kwantyzatora:

´sredniokwadratowy bł ˛

ad kwantyzacji δ

∞

−∞

(

x − Q(x ))f (x )dx ,

gdzie Q(x ) jest kwantyzatorem
(´srednia) długo´s´c słowa kodowego - przy zadanym δ

R =

i=1

−

f (x )dx , l - długo´s´c słowa kodowego

odpowiadaj ˛

acego i-temu przedziałowi (i-tej warto´sci

rekonstrukcji)

Grzegorz

Pietrzak

Typy transformacji obrazów

punktowe

lokalne

globalne

Grzegorz

Pietrzak

Histogram

Histogram jest to takie przedstawienie empirycznego rozkładu
zmiennej, które dzieli warto´sci cechy na przedziały i
przyporz ˛

adkowuje ka˙zdemu z tych przedziałów liczb ˛e wyst ˛

apie ´n

(ew. g ˛esto´s´c prawdopodobie ´nstwa) warto´sci zmiennej w tym
przedziale.

Ogólnie histogram jest opisany wzorem H(z) =

−

dxdy

Cechy Histogramu: ´srednia, dyspersja, asymetria, energia,
entropia

Grzegorz

Pietrzak

Operacje na histogramie

H(z) - histogram, G(z) - histogram po transformacji T
v = T (z) - funkcja transformuj ˛

aca

0 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1
G(v ) = [H(z)

dz
dv

]

z=T

−

(

v )

Przykładowe operacje:

Rozci ˛

aganie histogramu

Normalizacja histogramu

Wyrównywanie histogramu (equalization)

Grzegorz

Pietrzak

Dyskretna transformacja Fouriera

Dyskretna transformata Fouriera (DFT z ang. Discrete Fourier
Transform) jest transformat ˛

a Fouriera wyznaczon ˛

a dla sygnału

próbkowanego, a wi ˛ec dyskretnego.

DFT przekształca sko ´nczony

ci ˛

ag próbek sygnału (a

, a

, . . . , a

N−1

)

, a

∈ R w ci ˛

harmonicznych (A

, A

, . . . , A

N−1

)

, A

∈ C zgodnie ze wzorem:

N−1

n=0

−

, 0 6 k 6 N − 1, w

2π

Przekształcenie odwrotne: a

N−1

k =0

, 0 6 n 6 N − 1

Grzegorz

Pietrzak

Przypadek dwuwymiarowy

Dwuwymiarowe przekształcenie Fouriera w punkcie (m,n):

V (m, n) =

M−1
x =0

N−1

y =0

U(x , y )w

−

Przekształcenie odwrotne:

U(x , y ) =

N−1

n=0

M−1

m=0

V (m, n)w

Grzegorz

Pietrzak

FFT

Obliczanie DFT wg tego wzoru ma zło˙zono´s´c obliczeniow ˛

a O(N

)

Istnieje algorytm SzybkiejTransformacjiFouriera, który pozwala na
obliczenie transformaty w czasie O(Nlog

N) Algorytmy (jak

algorytm Cooleya-Tukeya) obliczaj ˛

ace szybk ˛

a transformacj ˛e

Fouriera bazuj ˛

a na metodzie dziel i zwyci ˛e˙zaj rekurencyjnie

dziel ˛

ac transformat ˛e wielko´sci N = N

na transformaty

wielko´sci N

i N

z wykorzystaniem O(N) operacji mno˙zenia.

Najpopularniejsz ˛

a wersj ˛

a FFT jest FFT o podstawie 2. Jest to

bardzo efektywna operacja, jednak wektor próbek wej´sciowych
(spróbkowany sygnał) musi mie´c długo´s´c N = 2

, gdzie k to

pewna liczba naturalna. Wynik otrzymuje si ˛e na drodze
schematycznych przekształce ´n, opartych o tak zwane struktury
motylkowe.

Grzegorz

Pietrzak

Zastosowania DFT w filtracji

Za pomoc ˛

a odpowiednich masek nało˙zonych na widmo sygnału i

transformacji odwrotnej mo˙zemy wyci ˛

a´c z obrazu pewne

składowe.
Filtry górno, dolno i pasmowo przepustowe pozwalaj ˛

a np. na

redukcj ˛e szumu czy wykrywanie kraw ˛edzi.

Grzegorz

Pietrzak

Splot

Splot jest to sposób ł ˛

aczenia 2 sygnałów w celu utworzenia

trzeciego
Ma on t ˛e wła´sciwo´s´c, ˙ze d

f · g = b

f ∗

g i d

f ∗ g = b

f ·

g Wzór na splot

dyskretny w 2 wymiarach:
a[m, n] ∗ h[m, n] =

h[j, k ]a[m − j, n − k ]

Grzegorz

Pietrzak

Filtry liniowe

Filtr Gaussa

g(i, j) =

k =0

(

2r )!

(

2r −k )!k !

l=0

(

2r )!

(

2r −l)!l!

f (i + r − k , j + r − l)













Filtr Laplace’a
g(i, j) = f (i − 1, j) + f (i + 1, j) + f (i, j − 1) + f (i, j + 1) − 4f (i, j)






−







Grzegorz

Pietrzak

Filtry nieliniowe

Lokalne minimum

Lokalne maksimum

Filtr medianowy

Grzegorz

Pietrzak

Rozplot

Algorytm rozplotu:

k +1

+ (

f − g

∗

h); g

Rozplot pozwala np na korekcj ˛e poruszonego obrazu, lub
niedokładnego zogniskowania obiektywu

Grzegorz

Pietrzak

Progowanie

Progowanie jest globaln ˛

a metod ˛

a segmentacji

Progowanie podwójne

Progowanie zmienne (np. dla zacienionego obrazu)

Grzegorz

Pietrzak

Operator gradientu

Gradient jest to kierunek zmian funkcji. Pozwala wykry´c
kraw ˛edzie przedmiotów widoczne na obrazie.
Operatory Robertsa - filtry lokalne realizuj ˛

ace składowe gradientu







−













−







Grzegorz

Pietrzak

Laplasjan

Laplasjan dla obrazu 2D jest wyra˙zony wzorem:
∇

f =

∂

∂x

∂

∂y

Przykładowe maski realizuj ˛

ace operator Laplace’a:







−













−







Grzegorz

Pietrzak

Inne metody wykrywania kraw ˛edzi

Maski wykrywaj ˛

ace konkretne wzorce (linie poziome,

pionowe, uko´sne, naro˙zniki)

Gradienty Sobela, Pewritta

Rozkład na kształty lokalne

Analiza obrazu w bazie F-C

Grzegorz

Pietrzak

Detekcja i analiza ruchu

Problem polega na detekcji i analizie ruchu w sekwencji obrazów.
Najwi ˛eksze niedogodno´sci przy jego rozwi ˛

azywaniu:

zło˙zono´s´c obliczeniowa

nadmiar informacji

problem szczelinowy

zmienne o´swietlenie

zachodzenie obiektów na siebie

mały kontrast mi ˛edzy obiektami a tłem

Grzegorz

Pietrzak