CIĄGI LICZBOWE
Definicja
Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb
rzeczywistych.
N-tym wyrazem ciągu nazywamy wartość tej funkcji dla liczby naturalnej n (oznaczamy np. przez a
n
).
Ciąg o takich wyrazach oznaczamy przez (a
n
).
Zbiór wyrazów ciągu (a
n
) tj. { a
n
:
n
}, oznaczamy przez {a
n
}.
Ciągi można określić:
- wzorem
1
1
1
1
1
2
2
n
a
...
n
n
n
n
,
2
2
n
n
dla n parzystych
b
n dla n nieparzystych
- rekurencyjnie
1
1
3
3
n
n
c
, c
c
,
1
2
2
1
1
2
4
n
n
n
d
, d
, d
d
d
- opisowo
a
n
– n-ta liczba pierwsza,
h
n
– n-ta liczba po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym 3
Definicja
Ciąg (a
n
) jest ograniczony z dołu, jeżeli zbiór {a
n
} jest ograniczony z dołu, tzn.
n
m
n
a
m
Ciąg (a
n
) jest ograniczony z góry, jeżeli zbiór {a
n
} jest ograniczony z góry, tzn.
n
M
n
a
M
Ciąg (a
n
) jest ograniczony, jeżeli zbiór {a
n
} jest ograniczony, tzn.
n
m ,M
n
m
a
M
Definicja
Ciąg (a
n
) jest rosnący, jeżeli
1
n
n
n
a
a
.
Ciąg (a
n
) jest niemalejący, jeżeli
1
n
n
n
a
a
.
Uwaga
Analogicznie definiuje się ciąg malejący i nierosnący.
Ciągi rosnący, malejący, niemalejący i nierosnący nazywamy monotonicznymi.
Monotoniczność dowolnego ciągu (a
n
) możemy ustalić badając znak różnicy a
n+1
- a
n
,
a monotoniczność dowolnego ciągu (b
n
) o wyrazach dodatnich porównując iloraz
1
n
n
b
b
z 1.
a
n+1
- a
n
1
n
n
b
b
Ciąg
0
1
rosnący
0
1
malejący
0
1
niemalejący
0
1
nierosnący
2
Definicja
Ciąg (a
n
) ma granicę właściwą (granicę)
a
, wtedy i tylko wtedy, gdy
0
0
0
n
n
n
n
n
a
a
.
Ciąg, który ma granicę właściwą nazywamy ciągiem zbieżnym.
„Ciąg (a
n
) ma granicę
a
” zapisujemy symbolicznie w postaci równości
n
n
lim a
a
lub
n
n
a
a
.
Twierdzenie (o jednoznaczności granicy ciągu)
Każdy ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę.
Twierdzenie (o ograniczoności ciągu zbieżnego)
Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.
Definicja
Ciąg (a
n
) ma granicę niewłaściwą ∞ (
n
n
lim a
), wtedy i tylko wtedy, gdy
0
0
0
n
n
n
n
n
a
.
Ciąg (a
n
) ma granicę niewłaściwą - ∞ (
n
n
lim a
), wtedy i tylko wtedy, gdy
0
0
0
n
n
n
n
n
a
.
Uwaga
O ciągach z granicami niewłaściwymi ∞ i - ∞ mówimy, że są rozbieżne odpowiednio do ∞ lub do - ∞.
Granica właściwa ani niewłaściwa ciągu nie zależy od wartości skończenie wielu jego wyrazów.
Twierdzenie (o arytmetyce granic ciągów)
Jeżeli ciągi (a
n
) i (b
n
) mają granice właściwe, to:
n
n
n
n
n
n
n
lim a
b
lim a
lim b
,
n
n
n
n
n
n
n
lim a
b
lim a
lim b
n
n
n
n
n
n
n
lim a b
lim a
lim b
,
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
lim a
a
lim
,
lim b
b
lim b
p
p
n
n
n
n
lim a
lim a
,
p
,
k
k
n
n
n
n
lim a
lim a ,
k
Twierdzenie (o trzech ciągach)
Jeżeli ciągi (a
n
), (b
n
) i (c
n
) spełniają warunki:
n
n
n
a
b
c
dla każdego
0
n
n
oraz
n
n
n
n
lim a
lim c
b,
to
n
n
lim b
b
.
3
Definicja
Liczbę e definiujemy jako granicę ciągu liczb
1
1
n
n
e
n
:
1
1
n
def
n
e
lim
n
e = 2,7182818...≈ 2,72
Uwaga
Można również liczbę e zdefiniować następująco:
Jeżeli
0
n
n
lim a
oraz
0
n
a
dla
n
, to|:
1
1
n
a
n
n
lim
a
e
Twierdzenie (o granicach niewłaściwych ciągów)
a
dla
a
0
a
dla
a
0
a
dla
a
0
0
a
dla
a
0
0
1
a
dla
a
1
a
dla
a
0
0
b
dla
b
0
b
dla
b
Uwaga
Równość
0
a
dla
a
(podobnie jak pozostałe równości), jest symboliczną formą zapisu
twierdzenia:
Jeżeli
n
n
lim a
a
, gdzie
0
a
oraz
0
n
n
lim b
,
0
n
b
dla każdego
n
, to
n
n
n
a
lim
b
.
Wyrażenia nieoznaczone:
0
0
0
0
1
0
0
,
,
,
,
,
,
