09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc

104

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI

FIGUR PŁASKICH

Przekroje poprzeczne prętów, wałów i belek – figury płaskie,
charakteryzujące się następującymi parametrami:

– polem powierzchni przekroju

[mm

2

, cm

2

, m

2

],

– położeniem środka ciężkości przekroju,
– momentami statycznymi

[cm

3

, m

3

],

– momentami bezwładności

[cm

4

, m

4

].

Definicja momentu statycznego w w
układzie osi X i Y:









A

A

y

x

xdA

S

,

ydA

S

W zależności od położenia przekro-

ju względem osi układu współrzęd-
nych

mogą przyjmować wartości

dodatnie i ujemne.

Wykorzystując znane ze statyki pojęcie środka sił, dla środka

ciężkości można napisać:

.

A

x

S

,

A

y

S

c

y

c

x





Korzystając z tych zależności, współrzędne środka ciężkości

figury płaskiej można obliczyć ze wzoru:

.

A

S

y

,

A

S

x

x

c

y

c





Środek ciężkości przekrojów złożonych –podział przekroju na

figury proste.

,

A

y

A

y

,

A

x

A

x

n

1

i

i

n

1

i

i

i

c

n

1

i

i

n

1

i

i

i

c





















A

i

– pola powierzchni figur prostych, x

i

, y

i

– współrzędne środ-

ków ciężkości poszczególnych figur prostych.

Definicja momentu statycznego

09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc

105

P

RZYKŁAD

Określić położenie środka ciężkości fi-

gury przedstawionej na rysunku.

Przekrój podzielono na trzy prostokąty

o następujących polach powierzchni:
A

1

= 1



1 = 1 cm

2

,

A

2

= 2



5 = 10 cm

2

,

A

3

= 2



2 = 4 cm

2

.

Współrzędne środka ciężkości całej figu-
ry wyno

szą

,

cm

43

,

3

4

10

1

5

4

3

10

5

,

1

1

A

A

A

x

A

x

A

x

A

x

3

2

1

3

3

2

2

1

1

c





























.

cm

77

,

3

4

10

1

5

4

5

,

3

10

5

,

1

1

A

A

A

y

A

y

A

y

A

y

3

2

1

3

3

2

2

1

1

c





























Momenty bezwładności

Definicja

momentów bezwładności:

– osiowe momenty bezwładności









A

2

y

A

2

x

,

dA

x

J

,

dA

y

J

– biegunowy moment bezwładności





,

J

J

dA

y

x

dA

J

y

x

A

A

2

2

2

0

















– moment dewiacyjny (zboczenia, odśrodkowy)





A

xy

.

xydA

J

Momenty osiowe oraz m

oment biegunowy są

zawsze dodatnie, natomiast

moment dewiacyjny może być dodatni lub ujemny.

09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc

106

Momenty bezwładności figur złożonych są sumą momentów

bezwładności prostych figur składowych. Figura złożona może
składać się z figur „pełnych” oraz „pustych”. Przy sumowaniu
momentów bezwładności figury „puste” uważa się za figury z
ujemnymi polami powierzchni.

P

RZYKŁAD

Figury złożone przedstawione na rysunku podzielić na figury proste.

Podział

figury złożonej

na figury proste

(

jeden z możliwych

do zastosowania

podziałów figury).

Twierdzenie Steinera

Twierdzenie Steinera umożli-
wia

obliczanie

momentów

bezwładności figur płaskich
względem

osi

równolegle

przesuni

ętych w stosunku do

osi centralnych (osi przecho-
dzących przez środek ciężko-
ści przekroju).

Dla figury

płaskiej o powierzchni A, obliczyć momenty bez-

władności względem osi X–Y, równolegle przesuniętych w sto-
sunku do osi centralnych (środkowych) X

0

–Y

0

o odcinki a i b.

Na podstawie definicji momentu bezwładności moment osio-

wy względem osi X dla y

1

= y + a wyraża wzór:































A

A

A

A

2

x

A

2

2

2

1

x

.

Aa

J

dA

a

ydA

a

2

dA

y

dA

a

y

dA

y

J

0

09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc

107

W powyższym równaniu całka



A

ydA opisuje moment statycz-

ny, który względem osi centralnych jest równy zeru. W podobny
sposób określa się moment względem osi Y oraz moment de-
wiacyjny

































A

y

x

xy

A

2

x

2

y

.

Aab

J

dA

b

x

a

x

J

,

Ab

J

dA

b

x

J

0

0

0

Wyprowadzone wyżej zależności noszą nazwę twierdzenia

Steinera.

Osiowy moment bezwładności figury płaskiej względem osi

równoległej odległej od środka ciężkości o określoną wartość
jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzą-
cej przez środek ciężkości figury, powiększonemu o iloczyn
powierzchni figury i kwadratu odległości między osiami.

Moment dewiacyjny figury płaskiej względem osi równolegle

przesuniętych jest równy momentowi dewiacyjnemu wzglę-
dem osi centralnych, powiększonemu o iloczyn powierzchni i
obu składowych równoległego przesunięcia.

Twierdzenie Steinera ma następująca postać matematyczną:

.

Aab

J

J

,

Ab

J

J

,

Aa

J

J

0

0

0

0

y

x

xy

2

y

y

2

x

x













GŁÓWNE MOMENTY BEZWŁADNOŚCI

Osie przechodzące przez środek ciężkości przekroju – OSIE
CENTRALNE.

Osie obrócone pod odpowiednim katem, powo-

dującym wyzerowanie momentów dewiacyjnych – GŁÓWNE
OSIE BEZ

WŁADNOŚCI.

Momenty względem tych osi – GŁÓWNE MOMENTY BEZ-
WŁADNOŚCI

09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc

108

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI DLA PRZEKROJU PROSTOKĄTNEGO

Momenty bezwładności względem osi centralnych X

C

–Y

C

X

Y

b

h

Osie
centralne

C

C

C

X

Y

y

dy

dA = b



dy

0

I

,

12

hb

I

,

12

bh

dy

b

y

dA

y

I

Yc

Xc

3

Yc

3

A

2

h

2

h

2

2

Xc

















Momenty bezwładności względem osi X–Y

h

b

Y

X

X

Y

y

dy

x

dA







































h

0

2

2

2

A

h

0

XY

3

Y

3

A

h

0

2

2

X

.

4

h

b

dy

y

2

b

dy

b

y

2

b

xydA

I

,

3

hb

I

,

3

bh

dy

b

y

dA

y

I

TWIERDZENIE STEINERA

.

4

h

b

4

bh

)

bh

(

0

2

b

2

h

A

I

I

,

3

hb

4

hb

12

hb

2

b

A

I

I

,

3

bh

4

bh

12

bh

2

h

A

I

I

2

2

XY

XcYc

3

3

3

2

Yc

Y

3

3

3

2

Xc

X





















































































09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc

109

Przykład:

Dla trójkąta prostokątnego przedstawionego na rysunku
wyznaczyć momenty bezwładności względem osi X–Y oraz
osi centralnych X

0

–Y

0

.

Wyznaczyć główne momenty bezwładności oraz ich poło-
żenie.

Osiowy moment bezwładności względem osi X:









.

12

ab

dy

y

y

b

b

a

J

,

y

b

b

a

u

,

udy

y

dA

y

J

3

2

b

0

x

b

0

2

A

2

x





















Osiowy moment bezwładności względem osi Y:









.

12

ba

dx

x

x

a

a

b

J

,

x

a

a

b

t

,

tdx

x

dA

x

J

3

2

b

0

y

A

a

0

2

2

y





















Moment dewiacyjny wyznacza się po określeniu współrzęd-
nych środka ciężkości powierzchni:





.

24

b

a

ydy

y

b

b

a

2

1

J

,

u

2

1

x

,

xyudy

xydA

J

2

2

2

b

0

2

2

xy

A

b

0

xy



















Momenty bezwładności względem osi centralnych (twierdzenia Steinera):

.

72

b

a

18

b

a

24

b

a

3

b

3

a

A

J

J

,

36

ba

9

a

2

ab

12

ba

3

a

A

J

J

,

36

ab

9

b

2

ab

12

ab

3

b

A

J

J

2

2

2

2

2

2

xy

y

x

3

2

3

2

y

y

3

2

3

2

x

x

0

0

0

0

















































































Główne momenty bezwładności:

.

b

a

b

a

72

ab

72

)

b

a

(

ab

J

2

2

4

4

2

2

2

,

1











Położenie głównych centralnych osi bezwładności:

.

0

a

b

ab

12

ba

12

ab

72

b

a

J

J

J

2

2

tg

2

2

2

3

2

2

y

x

y

x

o

0

0

0

0























Kąt



o

jest dodatni i wskazuje kierunek momentu J1.

Osie centralne

Osie główne

09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc

110

Momenty bezwładności figur prostych

Figura

J

x

J

y

J

xy

3

bh

J

12

bh

J

3

x

3

x

o





3

hb

J

12

hb

J

3

y

3

y

o





4

h

b

J

0

J

2

2

xy

y

x

o

o





12

bh

J

36

bh

J

3

x

3

x

o





12

hb

J

36

hb

J

3

x

3

x

o





24

h

b

J

72

h

b

J

2

2

xy

2

2

y

x

o

o







4

R

64

D

J

4

4

x











4

R

64

D

J

4

4

y











0

J

xy



8

R

128

D

J

R

1098

,

0

D

00686

,

0

9

8

8

16

D

J

4

4

x

4

4

4

x

o





































8

R

128

D

J

4

4

y











0

J

0

J

o

o

y

x

xy





16

R

256

D

J

R

0549

,

0

9

4

16

R

J

4

4

x

4

4

x

o

































16

R

J

4

x





4

4

4

y

x

4

xy

R

0165

,

0

9

R

4

8

R

J

8

R

J

0

o

















09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc

111

P

RZYKŁAD

Dla figury płaskiej pokazanej wyznaczyć wartości centralnych momen-

tów bezwładności.

2t

5t

7t

2t

t

t

3t

1

2

4

3"

3'

X

C

2

1

C

4

C

3

C'

3

C"

C

Y

=

Y2

Y1

X1

X2

X3

X3

3

Y

3

Y

X4

4

Y

Y

s

X

s

y

s

Figura złożona zostaje podzielona na figury proste. Korzystając ze

wzorów na wyznaczanie środka ciężkości względem osi X-Y otrzymuje
się

 

 

 

 

 

 

 

       

.

0

x

,

t

62

,

3

t

29

t

105

t

14

t

5

,

1

2

t

6

t

6

t

t

14

t

3

1

2

t

5

,

1

2

t

5

t

6

t

9

t

6

y

s

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

s





































Osiowe momenty bezwładności wynoszą

 

 





 

 





 

 

 





,

t

00

,

311

t

77

,

100

t

57

,

2

2

t

43

,

29

t

67

,

175

t

t

62

,

3

t

14

12

t

2

t

7

t

3

1

2

t

62

,

3

t

5

,

1

36

t

t

3

2

t

62

,

3

t

5

t

6

12

t

6

t

t

62

,

3

t

9

t

6

12

t

2

t

6

J

4

4

4

4

4

2

t

62

,

2

2

3

2

t

287

,

1

2

3

2

t

38

,

1

2

2

t

38

,

5

2

2

3

s

x











































































































































 

 

 

.

t

42

,

70

t

17

,

57

t

125

,

4

2

t

5

,

0

t

5

,

4

12

)

t

7

(

t

2

t

3

3

1

t

5

,

0

t

5

,

1

36

t

3

t

2

12

t

t

6

12

t

3

t

2

J

J

4

4

4

4

4

3

2

t

5

,

1

2

3

3

3

y

y

s























 



























































 

















 







Figura 1

Figura 3’ i 3”

Figura 4

Figura 1

Figura 2

Figura 2

Figura 3’ i 3”

Figura 4