EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ, I ROK INFORMATYKI

Nazwisko

Imię

Data

Nr zestawu

2

• W polu

należy wpisać jedną z dwu wartości logicznych: 1 – gdy zdanie jest prawdziwe lub 0 – gdy zdanie jest fałszywe.

Za prawidłowe rozwiązanie 2 pkt., za brak rozwiązania 0 pkt., za błędne rozwiązanie −2 pkt.

• W zadaniach bez pola

należy dokończyć rozpoczęte zdanie w taki sposób, aby otrzymać zdanie prawdziwe. Za prawi-

dłowe rozwiązanie 2 pkt., za błędne rozwiązanie lub jego brak 0 pkt.

• Zadania, w których zapis odpowiedzi jest niejednoznaczny (np. skreślenia w polu

, poprawki w tym polu) traktowane

są jako zadania bez rozwiązania (0 pkt.)

1.

lim

x→0

tg125x

tg25x

= 5.

2. Granica lim

x→1

√

x

2

+3−2x

x−1

jest równa

3.

Funkcja f (x) =

1
2

x +

1
4

x

2

− 3 ln x osiąga minimum lokalne w punkcie x

0

= −3.

4. Funkcja f (x) = 8x −

1
3

x

3

+ x

2

+ 1 jest rosnąca w zbiorze

5.

Pochodna funkcji f (x) = e

cos x

w punkcie x

0

= 0 jest równa 0.

6.

Styczna do wykresu funkcji f (x) = 3 ln x w punkcie (5, 3 ln 5) ma współczynnik kie-

runkowy równy

3
5

ln 5.

7.

Jeśli f (x) = (2x − 3) cos(x

3

), to f

0

(2) = 2 cos(8) − sin(8).

8.

R (2x − 5)e

x

dx =

9.

0

R

−

π

2

(sin x − 2) cos x dx =

10.

Granica ciągu o wyrazie ogólnym a

n

=

n

√

2

n

+ e

n

jest równa e.

11.

Ciąg o wyrazie ogólnym a

n

= 1 + sin(

nπ

2

) ma granicę równą 2.

12. lim

n→∞

4n−2
4n+1

3−8n

=

13.

Ciąg o wyrazie ogólnym a

n

=

√

n

2

+ 4n −

√

n

2

+ 2 ma granicę równą 1 .

14.

Szereg

∞

P

n=1

2n

2

+5

3n

3

+2

jest zbieżny na mocy kryterium porównawczego.

15.

∞

P

n=1

3

n

6

n+1

=

16.

Na mocy kryterium d’Alemberta szereg

∞

P

n=1

n

n

3

n

n!

jest rozbieżny.

17.

Szereg

∞

P

n=1

sin n

n

2

+n

jest rozbieżny.

18.

Ciąg funkcyjny (f

n

)

n∈N

, f

n

(x) =

n

2

x

n

2

x

2

+5

, nie jest zbieżny jednostajnie na zbiorze [4, 9].

19. Promień zbieżności szeregu potęgowego

∞

P

n=1

(x+3)

n

2

n

√

n

jest równy

20. Pochodna cząstkowa funkcji f : f (x, y) = y

2

cos(2x − y) względem zmiennej y w punkcie

x

0

= (1, −1) jest równa

∂f
∂y

(x

0

) =

21.

Gradient funkcji f (x, y) = 9x

2

− 5y − xy

2

w punkcie (−2, 1) jest równy [−37 1].

(c)

0

= 0,

(x

α

)

0

= αx

α−1

,

(sin x)

0

= cos x,

(cos x)

0

= − sin x,

(tgx)

0

=

1

cos

2

x

,

(ctgx)

0

= −

1

sin

2

x

, (a

x

)

0

= a

x

ln a, a > 0, a 6= 1, (sinhx)

0

= coshx,

(coshx)

0

= sinhx,

(tghx)

0

=

1

cosh

2

x

,

(ctghx)

0

= −

1

sinh

2

x

,

(log

a

x)

0

=

1

x ln a

, a > 0, a 6= 1,

(arcsinx)

0

=

1

√

1−x

2

,

(arccosx)

0

= −

1

√

1−x

2

,

(arctgx)

0

=

1

1+x

2

,

(arcctgx)

0

= −

1

1+x

2

.