Projektowanie Systemów Automatyki

Projektowanie Systemów Automatyki

Projektowanie Systemów Automatyki

Projektowanie Systemów Automatyki

Wykład 3

Układy automatycznej regulacji

Piotr Sauer
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

Wykład 3

Wykład 3 –

– Układy automatycznej …

Układy automatycznej …

Właściwości układów ze sprzężeniem

Właściwości układów ze sprzężeniem

zwrotnym

Schemat blokowy układu regulacji

Schemat blokowy układu regulacji

Rodzaje układów sterowania

Uchyb ustalony

Metody badania stabilności

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

2

Właściwości układów ze …

Właściwości układów ze …

Układ regulacji automatycznej - układ ze
sprzężeniem zwrotnym, który samoczynnie (bez
udziału człowieka) zapewnia pożądany przebieg
wybranych sygnałów charakteryzujących proces,

wybranych sygnałów charakteryzujących proces,
zwanych sygnałami regulowanymi.

Właściwości układów ze sprzężeniem
zwrotnym

wzrost szybkości

tłumienie zakłóceń

odporność na

zmiany

wzrost szybkości

reakcji

tłumienie zakłóceń

zmiany

parametrów

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

3

Właściwości układów ze …

Właściwości układów ze …

Parametry pracy układów regulacji

◦ Stabilność,

◦ Stabilność,
◦ Jakość pracy układu
◦ Badanie zachowania się układu automatycznego w

stanie równowagi

dr inż. Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii
Systemów

4

Wykład 3

Wykład 3 –

– Układy automatycznej …

Układy automatycznej …

Schemat blokowy układu regulacji

Właściwości układów ze

Właściwości układów ze

sprzężeniem zwrotnym

Schemat blokowy układu regulacji

Rodzaje układów sterowania

Uchyb ustalony

Metody badania stabilności

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

5

Schemat blokowy układu regulacji

Schemat blokowy układu regulacji

Sterowanie w układzie otwartym

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

6

Schemat blokowy układu regulacji

Schemat blokowy układu regulacji

w(t) – wartość zadana,
u(t) – sygnał sterujący (regulujący),
z(t) – zakłócenie,
y(t) – sygnał regulowany (rzeczywisty)

)

(

)

(

)

(

t

p

t

w

t

e

−

=

Prawo sterowania:

Schemat blokowy UAR

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

7

y(t) – sygnał regulowany (rzeczywisty)
p(t) – zmierzony sygnał regulowany

)

(

)

(

)

(

t

p

t

w

t

e

−

=

Schemat blokowy układu regulacji

Schemat blokowy układu regulacji

•

W(s) - transformata sygnału zadanego,

•

E(s) - transformata sygnału uchybu,

•

U

1

(s) - transformata sygnału sterującego,

•

U(s) - transformata sygnału wykonawczego,

Schemat blokowy UAR

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

8

•

U(s) - transformata sygnału wykonawczego,

•

Y (s) - transformata sygnału wyjściowego.

Schemat blokowy układu regulacji

Schemat blokowy układu regulacji

P(s) - transformata sygnału pomiarowego,
Z(s) - transformata sygnału zakłóceniowego,
G(s) - transmitancja operatorowa obiektu,
G (s) - transmitancja operatorowa regulatora,

Schemat blokowy UAR

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

9

G

R

(s) - transmitancja operatorowa regulatora,

G

p

(s) - transmitancja operatorowa członu pomiarowego.

Schemat blokowy układu regulacji

Schemat blokowy układu regulacji

Transmitancja układu otwartego

)

(

)

(

)

(

)

(

s

G

s

G

s

G

s

P

G

⋅

⋅

=

=

Schemat blokowy UAR

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

10

)

(

)

(

)

(

)

(

s

G

s

G

s

G

s

W

G

P

R

O

⋅

⋅

=

=

Schemat blokowy układu regulacji

Schemat blokowy układu regulacji

Transmitancja układu zamkniętego

)

(

)

(

)

(

)

(

s

G

s

G

s

Y

s

G

R

⋅

=

=

Schemat blokowy UAR

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

11

)

(

)

(

)

(

1

)

(

)

(

s

G

s

G

s

G

s

W

s

G

P

R

R

Z

⋅

⋅

+

=

=

Wykład 3

Wykład 3 –

– Układy automatycznej …

Układy automatycznej …

Schemat blokowy układu regulacji

Właściwości układów ze

Właściwości układów ze

sprzężeniem zwrotnym

Rodzaje układów sterowania

Schemat blokowy układu regulacji

Uchyb ustalony

Metody badania stabilności

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

12

Rodzaje układów regulacji

Rodzaje układów regulacji

Podstawowe kryteria klasyfikacji układów regulacji
automatycznej:

◦ Liniowość

◦ Liniowość

 liniowe (opisane liniowymi równaniami algebraicznymi,

różniczkowymi itp.)

 nieliniowe (opisane nieliniowymi równaniami

algebraicznymi, różniczkowymi itp.)

◦ liczba wejść i wyjść

 układy o jednym wejściu i jednym wyjściu tzw. SISO

 układy o jednym wejściu i jednym wyjściu tzw. SISO

(single input single output)

 układy o wielu wejściach i wielu wyjściach tzw. MIMO

(multi input multi output)

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

13

Rodzaje układów regulacji

Rodzaje układów regulacji

Podstawowe kryteria klasyfikacji układów regulacji
automatycznej:

◦ charakter sygnałów

 ciągłe (dynamiczne układy ciągłe są opisywane

 ciągłe (dynamiczne układy ciągłe są opisywane

równaniami różniczkowymi zwyczajnymi lub
cząstkowymi)

 dyskretne (dynamiczne układy dyskretne są opisywane

równaniami różnicowymi)

 hybrydowe (zawierają zarówno sygnały ciągłe jak i

dyskretne np. komputer sterujący procesem ciągłym)

dyskretne np. komputer sterujący procesem ciągłym)

◦ zadania układu
◦ zdolność samoczynnego dopasowania parametrów i

charakterystyk do zmieniających się właściwości obiektu i
zakłóceń.

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

14

Rodzaje układów regulacji

Rodzaje układów regulacji

Rodzaje układów regulacji ze względu na uchyb

◦ Układy statyczne – wielkość wyjściowa zawsze

◦ Układy statyczne – wielkość wyjściowa zawsze

różna od wartości zadanej (stan ustalony) – błąd
statyczny.

◦ Układy astatyczne – uchyb = 0.

dr inż. Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii
Systemów

15

Rodzaje układów regulacji

Rodzaje układów regulacji -- struktura

struktura

Układ regulacji jednoobwodowy

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

16

Rodzaje układów regulacji

Rodzaje układów regulacji -- struktura

struktura

Układ regulacji kaskadowej

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

17

Rodzaje układów regulacji

Rodzaje układów regulacji -- struktura

struktura

Układ regulacji z pomiarem zakłóceń

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

18

Rodzaje układów regulacji

Rodzaje układów regulacji –

– wartość zadana

wartość zadana

regulacja stałowartościowa (stabilizacja
automatyczna)

◦ wartość zadana jest stała

 utrzymanie stałej temperatury w pomieszczeniu.

 utrzymanie stałej temperatury w pomieszczeniu.

regulacja programowa

◦ wartość zadana jest znaną z góry funkcją, zmienia sie

według znanego programu:

 Układy z programem czasowym (np. regulacja

temperatury)

temperatury)

 Układy z programem przestrzennym (np.

wykonywanie detali przez obrabiarkę CNC)

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

19

Rodzaje układów regulacji

Rodzaje układów regulacji –

– wartość zadana

wartość zadana

regulacja nadążna (układy nadążne lub
śledzące)

◦◦ wartość zadana nie jest znaną z góry funkcją czasu, ale

zależy od zjawisk występujących na zewnątrz układu

 śledzenie samolotu przez układ radarowy,
 śledzenie obiektu przez kamerę
 układ wspomagający ruch kierownicy w

samochodzie

samochodzie

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

20

Rodzaje układów regulacji

Rodzaje układów regulacji –

– sygnał sterujący

sygnał sterujący

Sterowanie automatyczne (w zależności od
sposobu przygotowania sygnałów sterujących):

◦◦ Sterowanie ekstremalne – nie występuje w formie

jawnej sygnał zadany, cel – utrzymanie jednego z
sygnałów wyjściowych obiektu na wartości
maksymalnej lub minimalnej.

◦ Sterowanie adaptacyjne.

dr inż. Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii
Systemów

21

Wykład 3

Wykład 3 –

– Układy automatycznej …

Układy automatycznej …

Schemat blokowy układu regulacji

Właściwości układów ze

Właściwości układów ze

sprzężeniem zwrotnym

Uchyb ustalony

Schemat blokowy układu regulacji

Rodzaje układów regulacji

Metody badania stabilności

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

22

Uchyb ustalony

Uchyb ustalony

Transmitancja uchybowa

1

)

(

)

(

s

E

s

G

=

=

Schemat blokowy UAR - uchyb

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

23

)

(

)

(

)

(

1

)

(

)

(

s

G

s

G

s

G

s

W

s

G

P

R

e

⋅

⋅

+

=

=

Uchyb ustalony

Uchyb ustalony

Jakość układu sterowania określa się przez
wyznaczenie uchybu e(t) w stanie ustalonym przy

wyznaczenie uchybu e(t) w stanie ustalonym przy
znanym wymuszeniu w(t) (t

∞)

)

(

)

(

lim

)

(

lim

)

(

lim

0

0

s

W

s

G

s

s

E

s

t

e

e

e

s

s

t

ust

⋅

⋅

=

⋅

=

=

→

→

∞

→

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

24

Wykład 3

Wykład 3 –

– Układy automatycznej …

Układy automatycznej …

Schemat blokowy układu regulacji

Właściwości układów ze

Właściwości układów ze

sprzężeniem zwrotnym

Uchyb ustalony

Schemat blokowy układu regulacji

Rodzaje układów regulacji

Metody badania stabilności

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

25

Metody badania stabilności

Metody badania stabilności

Do celów analizy i projektowania rozróżnia sie dwa

Do celów analizy i projektowania rozróżnia sie dwa
pojęcia stabilności:

◦ stabilność bezwzględna (absolutna) - odnosi się do

warunków przy których układ jest stabilny lub nie

◦ stabilność względna - określa w jakim stopniu układ

jest stabilny.

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

26

Metody badania stabilności

Metody badania stabilności

Stabilność asymptotyczna określana jest dla
układów z zerowym wymuszeniem, w których
odpowiedz y(t) zależy tylko od warunków
początkowych.

początkowych.

Opowiedz układu y(t) można zapisać w postaci:

Warunek (*) oznacza, że obszar Ig(

τ

)I w funkcji

τ

musi być skończony. Funkcja g(

τ

) jest odpowiedzią

(*)

)

(

)

(

0

∫

∞

∞

≤

≤

=

Q

d

g

t

y

τ

τ

musi być skończony. Funkcja g(

τ

) jest odpowiedzią

impulsową transmitancji G(s), której charakter
zależy od położenia pierwiastków równania
charakterystycznego.

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

27

Metody badania stabilności

Metody badania stabilności

Jeżeli mamy transmitancję operatorową postaci:

n

m

a

s

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

b

s

G

n

n

n

n

m

m

m

m

<

+

+

+

+

+

+

+

+

=

−

−

−

−

,

)

(

0

1

1

1

0

1

1

1

L

L

Równanie charakterystyczne będzie miało postać:

pierwiastki równania charakterystycznego mogą

a

s

a

s

a

s

a

n

n

+

+

+

+

−

0

1

1

L

0

0

1

1

1

=

+

+

+

+

−

−

a

s

a

s

a

s

a

n

n

n

n

L

pierwiastki równania charakterystycznego mogą
być wyrażone jako:

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

28

.

,

,

2

,

1

,

n

i

j

s

i

i

i

K

=

+

=

ω

σ

Metody badania stabilności

Metody badania stabilności

Warunki stabilności układów liniowych ciągłych i
stacjonarnych.

Warunki stabilności

Wartości pierwiastków

Asymptotycznie stabilny

σ

i

< 0 dla wszystkich i, i = 1, 2, ..., n

wszystkie pierwiastki znajdują się

w lewej półpłaszczyźnie

Na granicy stabilności

σ

i

= 0 dla pewnych pojedynczych

pierwiastków oraz brak

σ

i

> 0

σ

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

29

Niestabilny

σ

i

> 0 dla pewnych pierwiastków i

Metody badania stabilności

Metody badania stabilności

Kryteria Routha i Hurwitza - metody
algebraiczne, które dostarczają informacji o
stabilności absolutnej układu zamkniętego. Przy
użyciu kryterium Routha możliwe jest określenie
liczby pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie.

użyciu kryterium Routha możliwe jest określenie
liczby pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie.

Kryterium Nyquista - metoda geometryczna,
która określa stabilność układu zamkniętego na
podstawie charakterystyki amplitudowo-fazowej
układu otwartego.

Logarytmiczne kryterium Nyquista – metoda

Logarytmiczne kryterium Nyquista – metoda
geometryczna, która bazuje na logarytmicznych
charakterystykach częstotliwościowych układu
otwartego, umożliwia określenie zapasów
stabilności danego układu zamkniętego.

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

30

Metody badania stabilności

Metody badania stabilności –

– Kryterium

Kryterium Hurwitza

Hurwitza

warunek konieczny ale niewystarczający

◦ wszystkie współczynniki a

n

, a

n

−

1

, . . . , a

1

, a

0

równania

charakterystycznego muszą mieć ten sam znak,

n

n

−

1

1

0

charakterystycznego muszą mieć ten sam znak,

◦ żadnego ze współczynników nie może brakować,

warunek wystarczający - wszystkie wyznaczniki

0

)

(

0

1

1

1

=

+

+

+

+

=

−

−

a

s

a

s

a

s

a

s

M

n

n

n

n

L

warunek wystarczający - wszystkie wyznaczniki
Hurwitza:

∆

k

,k = 1, 2, . . . , n muszą być dodatnie.

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

31

Metody badania stabilności

Metody badania stabilności –

– kryterium

kryterium Hurwitza

Hurwitza

Wyznacznik Hurwitza

∆

n

jest wyznaczany w

następujący sposób:

1

0

a

a

n

n

L

−

Podwyznaczniki wyznacza sie z wyznacznika
głównego na podstawie wykreślenia kolumny i

0

2

3

0

0

0

a

a

a

n

n

n

L

L

L

L

L

L

−

−

=

∆

głównego na podstawie wykreślenia kolumny i
wiersza.

Wyznacznik główny możemy zapisać również jako:

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

32

1

−

∆

⋅

=

∆

n

o

n

a

Metody badania stabilności

Metody badania stabilności –

– Metoda

Metoda Routha

Routha

warunek konieczny - wszystkie współczynniki
równania charakterystycznego muszą być tego
samego znaku

samego znaku

warunek wystarczający - wszystkie pierwiastki
równania charakterystycznego znajdują sie w lewej
półpłaszczyźnie s, jeśli wszystkie elementy pierwszej
kolumny tablicy Routha mają ten sam znak. Liczba
zmian znaków w elementach pierwszej kolumny
równa jest liczbie pierwiastków w prawej

równa jest liczbie pierwiastków w prawej
półpłaszczyźnie.

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

33

Metody badania stabilności

Metody badania stabilności –

– Metoda

Metoda Routha

Routha

Tablica Routha wyznaczona jest w następujący
sposób:

6

4

2

1

−

−

−

−

−

−

−

−

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

s

s

gdzie

7

7

6

5

5

4

3

0

3

2

1

0

3

2

1

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

c

b

a

c

b

a

h

c

b

a

s

s

s

s

L

L

L

L

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

34

a

a

a

a

a

b

a

a

a

a

a

b

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

5

1

4

4

1

3

1

2

2

;

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

−

=

Metody badania stabilności

Metody badania stabilności –

– kryterium

kryterium Routha

Routha

6

−

−

n

n

a

a

1

7

1

6

−

−

−

−

−

=

n

n

n

n

a

a

a

b

5

1

3

1

−

−

−

−

−

−

n

n

n

n

b

b

a

a

b

b

a

a

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

35

2

6

2

5

2

4

2

3

;

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

−

=

n

n

n

n

n

n

n

n

b

b

b

c

b

b

b

c

Metody badania stabilności

Metody badania stabilności –

– kryterium

kryterium Routha

Routha

Przypadki szczególne tablicy Routha

◦ Pierwszy element w pewnym wierszu tablicy Routha

jest zerowy, lecz nie wszystkie współczynniki są
równe zero.

równe zero.

◦ Wszystkie elementy pewnego wiersza tablicy Routha

są zerowe.

Zero w pierwszej kolumnie tablicy Routha

◦ Jeśli zero pojawia sie w pierwszym elemencie wiersza,

wówczas wszystkie elementy w następnym wierszu
maja wartości równe nieskończoności - dalsze
wypełnianie tablicy Routha nie jest możliwe.

wypełnianie tablicy Routha nie jest możliwe.

◦ Rozwiązanie: zastąpienie zera w pierwszej kolumnie

przez bardzo mała liczbę dodatnią

ε

i kontynuacja

obliczeń

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

36

Metody badania stabilności

Metody badania stabilności –

– kryterium

kryterium Routha

Routha

Zerowy wiersz w tablicy Routha

◦ W drugim przypadku, kiedy wszystkie elementy w

pewnym wierszu tablicy Routha są zerowe dalsze

pewnym wierszu tablicy Routha są zerowe dalsze
wyznaczanie jest przerywane

 równanie ma przynajmniej jedna parę pierwiastków

o przeciwnych znakach (rys. a),

 równanie ma jedną lub więcej par pierwiastków

sprzężonych na osi urojonych (rys b),

sprzężonych na osi urojonych (rys b),

 równanie ma pary pierwiastków tworzących

symetrie wokół początku układu (rys. c).

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

37

Metody badania stabilności

Metody badania stabilności –

– Kryterium

Kryterium Routha

Routha

Wiersz zerowy w tablicy Routha -

Wiersz zerowy w tablicy Routha -

przypadki

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

38

Metody badania stabilności

Metody badania stabilności –

– kryterium

kryterium Routha

Routha

W przypadku zerowego wiersza

◦ tworzy się równanie pomocnicze p(s) = 0 przez

użycie współczynników z wiersza znajdującego się
powyżej wiersza zerowego

powyżej wiersza zerowego

◦ wyznacza się pochodną równania pomocniczego

względem s:

◦ zastępuje się wiersz zerowy współczynnikami

wielomianu

0

)

(

=

ds

s

dp

0

)

(

=

s

dp

◦ kontynuuje się wypełnianie tablicy Routha
◦ interpretuje się zmianę znaków współczynników w

pierwszej kolumnie tablicy Routha w zwykły sposób

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

39

0

=

ds

Metody badania stabilności

Metody badania stabilności –

– kryterium

kryterium Routha

Routha

Przykład 3.1(praktyczne zastosowanie kryterium
Routha)

Rozważamy układ z jednostkowym sprzężeniem

zwrotnym. Należy znaleźć zakres wzmocnienia K,

zwrotnym. Należy znaleźć zakres wzmocnienia K,
przy którym układ ten będzie stabilny oraz jeśli to
możliwe, wyznaczyć wartość wzmocnienia K przy
którym układ generuje drgania o stałej amplitudzie
(posiada bieguny sprzężone na osi urojonej) oraz
okres tych oscylacji.

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

40

Metody badania stabilności

Metody badania stabilności –

– kryterium

kryterium Nyquista

Nyquista

Kryterium Nyquista wykorzystywane jest do
badania stabilności układów zamkniętych (ze
sprzężeniem zwrotnym) oraz wyznaczania nastaw
regulatorów tak aby układ był stabilny z określonym

regulatorów tak aby układ był stabilny z określonym
zapasem stabilności.

Transmitancja układu zamkniętego:

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

41

)

(

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

UP

O

R

O

R

Z

+

=

Metody badania stabilności

Metody badania stabilności –

– kryterium

kryterium Nyquista

Nyquista

Jeżeli układ otwarty jest stabilny
asymptotycznie, to układ zamknięty będzie stabilny
asymptotycznie wówczas, gdy wykres
charakterystyki amplitudowo-fazowej G

otw

(j

ω

) przy

charakterystyki amplitudowo-fazowej G

otw

(j

ω

) przy

zmianach pulsacji

ω

od 0 do ∞ nie obejmuje punktu

(

−

1, j0).

Jeżeli układ otwarty jest niestabilny i jego
transmitancja ma N

0

biegunów w prawej

transmitancja ma N

0

biegunów w prawej

półpłaszczyźnie to układ zamknięty będzie stabilny
wówczas, gdy wykres charakterystyki amplitudowo-
fazowej G

otw

(j

ω

) przy zmianach pulsacji

ω

od 0 do

∞ obejmuje punktu (

−

1, j0), N

0

/2 razy.

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

42

Metody badania stabilności

Metody badania stabilności –

– kryterium

kryterium Nyquista

Nyquista

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

43

Metody badania stabilności

Metody badania stabilności –

– kryterium

kryterium Nyquista

Nyquista

Przykład 3.2

Na podstawie charakterystyki amplitudowo-

fazowej układu otwartego ocenić czy układy będą

fazowej układu otwartego ocenić czy układy będą
stabilne po zamknięciu pętli sprzężenia zwrotnego

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

44

Piotr Sauer

Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów

45