Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

26

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Ć

W

.

Z

O

BWODÓW I SYGNAŁÓW DLA

E

I

T/A

I

R

(

SEM

2)

D

ODATEK

Z

ADANIOWY Z

A

NALIZY

O

PERATOROWEJ

Zadanie 11

W obwodzie przedstawionym na rysunku do chwili t = t

0

< 0 panował stan ustalony. Zna-

leźć i narysować przebiegi i(t) i u(t), gdy R

N

jest opisane zależnością

,

1

1

i

i

a

u

n

=

gdzie

2

1V / mA

a

=

.

Ponadto:

R

= 1k

Ω, C = 1nF, L = 4mH, E = 2V, J = 1mA, t

0

= -RC = 10

-6

s

Rozwiązanie

Uwagi:

1)

Analizowany układ zawiera element nieliniowy, na szczęcie sposób jego załączenia

nie utrudni analizy.

2)

W układzie występują dwa klucze przełączane w różnych momentach czasu. Przesu-

wanie osi czasu pozwala sprowadzić problem do wcześniej spotykanego, z kluczem
przełączanym w t = 0.

Przesuńmy oś czasu tak, by chwila t

0

przesunęła się do punktu zero. Niech oś nieprzesu-

nięta jest osią zmiennej t, a oś przesunięta osią zmiennej

τ

.

Mamy zatem

τ

= t – t

0

.

Widzimy, że dla

τ

< 0 panował stan ustalony, a układ wyglądał następująco.

0

0

τ

t

t

0

< 0

- t

0

< 0

t

= t

0

t

= 0

u

E

J

L

C

R

N

u

n

i

1

i

R

R

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

27

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Łatwo stwierdzamy, że

J

I

=

)

(

τ

oraz, że

R

u

i

=

1

,

u

E

u

n

−

=

.

Mamy zatem:

1

1

| | | |

n

u

i

i

α

=

⋅

=

=

⋅

⋅

2

|

|

R

u

u

α

u

E

−

skąd

2

2

(

| |

)

0

u

a u

R

R E

⋅

⋅

+

−

= ; (*)

widać, że u musi być większe od zera w przeciwnym wypadku lewa strona równania (*) by-
łaby ujemna!
Obliczamy

2

2

2

2

)

4

(

4

E

a

R

R

E

R

a

R

⋅

⋅

+

⋅

=

⋅

⋅

⋅

+

=

∆

2

2

0

4

1[V]

2

R

R

R

a E

u

U

a

−

+

⋅

+ ⋅ ⋅

=

=

=

⋅

Nasze rozważania można wzbogacić o interpretację graficzną.

R

C

u

E

J

L

R

N

u

n

i

1

i

R

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

28

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Podsumujmy – dla

τ

< 0 mamy:

0

( )

1 mA

( )

1 V

I

J

U

U

τ

τ

=

=

=

=

Tuż przed przełączeniem lewego klucza mamy zatem:

0

(0)

1[mA]

L

i

I

J

=

=

=

oraz

0

0

(0)

1[V]

L

u

U

u

=

=

=

.

Po przełączeniu klucza układ wygląda następująco (dla 0 <

τ

< -t

0

):

Nie ma wątpliwości, że nadal

J

I

=

)

(

τ

.

Natomiast

)

(

τ

u

obliczamy następująco:

0

1

)

(

1

)

(

C

u

s

R

s

U

sC

s

U

⋅

=

⋅

+

RC

s

u

s

U

C

1

1

)

(

0

+

⋅

=

=

)

(

τ

U

0

e

RC

C

u

τ

−

⋅

Powróćmy do „starego” oznaczenia czasu przez t.
Mamy:

( )

u t

=

0

0

e

t t

RC

C

u

−

−

⋅

dla t

0

< t < 0

Uwzględniamy, że t

0

= -RC, więc

=

)

(t

u

(

)

0

e

t RC

RC

C

u

− +

−

⋅

6

1

10

0

e

e

0,37e

t

t

RC

C

u

−

−

−

=

⋅

⋅

=

Klucz prawy jest przełączany w t = 0.
Tuż przed tą chwilą mieliśmy sytuację, w której

R

R

s

U

)

(

sC

1

S

U

C

0

U

(s)

R

u

R

C

J

L

i

0

0

U

U

C

=

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

29

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

=

)

(t

u

1

0

(

0 )

e

C

u t

u

−

−

→

=

⋅

oraz

=

)

(t

i

J

t

i

=

→

−

)

0

(

.

Po przełączeniu prawego klucza układ wygląda następująco.

Schemat operatorowy powyższego obwodu pokazano poniżej.













Obliczamy:

( )

( )

(0)

(0)

1

2

1

1

2

2

3

9

6

0

2

1

( )

1

1

2

1

1

1

1

[

]

4 10

10

2

2 10

( )

1

( )

1

2

1

2

2

J

s u

J

C

U s

Cu

s

R

sL

s

sC

RC

bo

LC

RC

U s

J

u

J

J

I s

sL

s

L

RC

s

s

RC

RC

−

−

−

−

−

−

⋅

−





=

−

⋅

=

















+

+

+

























=

=

=









⋅

⋅

⋅













=

+

=

+

+







 







+

+









Ostatecznie dla t > 0 uzyskujemy:

1

1

0

2

2

0

e

( )

e

e

e

2

t

t

C

RC

RC

C

u

t

u t

u

J

R

C

−

−

−

−





⋅

=

⋅

⋅

−

+

⋅

⋅









i

1

0

)

0

(

−

−

=

e

U

u

u

R

J

i

=

−

)

0

(

C

L

U

(s)

sC

1

s

J

−

Ls

)

0

(

CU

R

I

(s)

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

30

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

1

0

2

2

e

( )

e

e

2

t

t

C

RC

RC

u

J

i t

J

t

L

RC

−

−

−





⋅

=

⋅

+

+

⋅ ⋅









.

Pełne rezultaty analizy dla

∞ < t < +∞ zamieszczono w postaci wykresów przebiegów u(t)

oraz i(t).

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

31

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Zadanie 12

Układ liniowy stacjonarny, znajdujący się od bardzo długiego czasu w stanie swobodnym

(czyli od długiego czasu nie pobudzony ), jest scharakteryzowany odpowiedzią impulsową

( )

(

1)

(

2)

h t

t

t

=

−

−

−

1

1

.

Obliczyć

odpowiedz

y

(t)

tego

układu

na

pobudzenie

(

)

( )

( )

(

2)

x t

t

t

t

=

−

−

1

1

.

Rozwiązanie

I)

Rozwiązanie splotem

Wiadomo, iż – gdy

warunki początkowe są
zerowe – prawdziwa jest
zależność:

)

(

)

(

)

(

t

h

t

x

t

y

∗

=

.

Ponieważ zarówno sygnał x(t) jak i h(t) jest przyczynowy, więc y(t) też będzie przyczynowy.

Formalnie jednak: ( )

( ) (

)

y t

x

h t

d

τ

τ τ

∞

−∞

=

−

∫

. Poniżej przedstawiono sygnały x(t), h(t).

Na kolejnych rysunkach przedstawiamy sygnały x(τ), h(t- τ) oraz x(τ)h(t- τ) dla różnych war-
tości czasu t.

..

..

..

τ

x

(τ )h(t- τ) dla 1<t≤2

t

-1

t

-1

τ

x

(τ )h(t- τ) dla t≤1

t

-2

t

-1

h

(t-

τ

)

τ

t

-1>0,

t-2

≤0

=>1< t≤2

1

t

-2

t

-1

1

h

(t-

τ

)

τ

t

-1≤0 => t≤1

2

τ

x

(

τ

)

2

2

τ

x

(

τ

)

2

2

1

1

h

(t)

t

2

t

x

(t)

)

2

h

(t)

x

(t)

y

(t)

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

32

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

...

....

.

....

..

..

Przedstawione rysunki sugerują że:

1.

dla t≤1

0

)

(

)

(

)

(

=

∗

=

t

h

t

x

t

y

Całka z funkcji równej zero wynosi ze-
ro.

2.

dla t-2≤0 i t-1>0, czyli dla 1<t≤2

iloczyn podcałkowy x(τ)h(t- τ) jest
przedstawiony w prawej kolumnie w
trzecim wierszu.

Całka z tego iloczynu jest polem trój-
kącika narysowanego linia ciągłą, wy-
nosi ono:

)

1

)(

1

(

2

1

)

(

−

−

=

t

t

t

y

.

3.

dla 2<t≤3 (rysunek w 3. wierszu 1. ko-

lumny na tej stronie) całka splotowana
ma interpretacje pola trapezu:

2

3

))

2

(

1

(

2

2

1

)

(

−

=

−

−

−

−

+

−

=

t

t

t

t

t

t

y

..

τ

x

(τ )h(t- τ) dla t>4

t

-2

t

-1

1

h

(t-

τ

)

τ

t

-1>2,

t-2>2

=> t>4

2

τ

x

(

τ

)

2

τ

x

(τ )h(t- τ) dla 3<t≤4

2

t

-2

t

-2

2

τ

x

(τ )h(t- τ) dla 2<t≤3

t

-1

t

-2

t

-2

t

-1

t

-2

t

-1

h

(t-

τ

)

τ

t

-1>2,

t-2

≤2

=>3< t≤4

1

t

-2

t

-1

h

(t-

τ

)

τ

t

-1

≤2,

t-2>0

=>2< t≤3

1

2

τ

x

(

τ

)

2

2

τ

x

(

τ

)

2

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

33

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

4.

dla t-2≤2 i t-1>2 czyli dla 3<t≤4 iloczyn podcałkowy x(τ)y(t- τ) wygląda jak na ry-

sunku w 3. wierszu lewej kolumny na poprzedniej stronie, a całka z tego iloczynu to
nic innego, jak pole trapezu z tego rysunku, czyli:

2

)

4

(

))

2

(

2

(

2

2

2

)

(

t

t

t

t

t

y

−

=

−

−

−

+

=

5.

dla t-2>2 czyli dla t>4 mamy z tych samych samych powodów, co w przypadku 1.:

0

)

(

=

t

y

.

Ostatecznie poprzez składanie wyników cząstkowych, uzyskujemy:

(

)

(

)

(

)

2

(

1)

3

(4

)

( )

(

1)

(

2)

(

2)

(

3)

(

3

(

4)

2

2

2

t

t

t

y t

t

t

t

t

t

t

t

−

−





=

−

−

−

+

−

−

−

−

+

− −

−









1

1

1

1

1

1

II)

Rozwiązanie operatorowe

Idee pomysłu przedstawia powyższy rysunek.
Mamy:

2

2

2

1

1

2

( )

e

s

X s

s

s

s

−





=

−

+









2

1

1

( )

e

e

s

s

H s

s

s

−

−

=

−

2

3

4

3

3

2

2

e

e

e

1

e

1

( )

( ) ( )

2

2

s

s

s

s

Y s

X s H s

s

s

s

s

s

s

−

−

−

−









=

=

−

−

+

+

+

















Pamiętając, że

ℒ

ିଵ

ቀ

ଵ

௦

೙శభ

ቁ =

௧

೙

௡!∙1(௧)

h

(t)

ℒ

Y

(s)=X(s)H(s)

Dziedzina czasu

ℒ

ℒ

y

(t)

ℒ

-1

Y

(s)

x

(t)

y

(t)=x(t)*h(t)

Dziedzina
pulsacji zespolonej s

Dziedzina czasu

H

(s)

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

34

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

oraz

ℒ

ିଵ

൫܍

ି௧

బ

ܨ(ݏ)൯ = 1(ݐ − ݐ

଴

)݂(ݐ − ݐ

଴

)

znajdujemy:

2

2

2

2

( -1)

( -2)

( -3)

( -4)

( )

( -1)-

( -2)-

2( -3)

( -3)

2( -4)

( -4)

2

2

2

2

t

t

t

t

y t

t

t

t

t

t

t









=

+

+

+

















1

1

1

1

.

Mimo innej postaci zapisu, jest to oczywiś

cie wynik identyczny jak w I. sposobie rozwią-

zania. II. sposób rozwiązania można też traktować jako obliczanie splotu przy użyciu ra-
chunku operatorowego i twierdzenia o transformacji splotu.

III)

Rozwiązanie „konstrukcyjne”

Narysujmy, na podstawie znajomości odpowiedzi impulsowej h(t) schemat blokowy

rozważanego układu. Oto dwa przykładowe schematy blokowe realizujące odpowiedź
impulsową

( )

(

1)

(

2)

h t

t

t

=

−

−

−

1

1

.

Na podstawie drugiego schematu blokowego wyznaczamy:

(

)

(

)

1

2

( )

(

1)

(

2)

(

1)

(

1)

(

3)

(

2)

(

2)

(

4)

( )

( )

z t

x t

x t

t

t

t

t

t

t

z t

z t

=

−

−

−

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

−

1

1

1

1

(

)

(

)

1

2

( )

(

1)

(

1)

(

3)

( )

(

2)

(

2)

(

4)

z t

t

t

t

z t

t

t

t

=

−

−

−

−

=

−

−

−

−

1

1

1

1

t

1

2

3

4

z

(t)

z

2

(t)

z

1

(t)

z

(t)

1

-1

Opóźnienie o 1

Opóźnienie o 1

∫

+

-

x

(t-1)

δ (t-2)

x

(t-2)

1(t-1)-1(t-2)

δ(t-1)

δ(t)

x

(t)

y

(t)

y

(t)=

(

)

(

)

1

(

2

t

x

x

d

τ

τ

τ

−∞

−

−

−

∫

Opóźnienie o 1

Opóźnienie o 1

∫

+

-

1(t-2)

y

(t)

y

(t)=

(

)

(

)

1

(

2

t

x

x

d

τ

τ

τ

−∞

−

−

−

∫

δ(t)

1(t-1)

1(t)

x

(t)

1(t-1)-1(t-2)

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone

11-20

© C. Stefa

ń

ski

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

35

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Obliczamy:

2

0 dla

1

(

1)

dla 1

2

2

1

( )

( )

(

2) 1 dla 2

3

2
3

1

2

(

3)

dla 3

4

2

2

0 dla

t

t

t

y t

z

d

t

t

t

t

t

t

τ τ

<

−

≤ ≤

=

=

+

−

⋅

≤ <

+ −

−

−

≤ <

≥ 4

t

−∞























∫

Wynik, co bardzo łatwo sprawdzić, jest identyczny z otrzymanym sposobem I i II.

Na koniec wykreślimy rezultat splatania.

y

(t)

t

1

2

3

4

5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone

11-20

© C. Stefa

ń

ski

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

36

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Zadanie 13

Obliczyć splot sygnałów:

x

[t]=UnitStep[t]-UnitStep[t-1] i y[t]= (2-t)(UnitStep[t]-UnitStep[t-2]).

Do obliczeń wykorzystać twierdzenie o transformacie Laplace'a splotu.

Uwaga. UnitStep[t] oznacza jedynkę Heaviside'a, czyli UnitStep[t]=

1[t]=

ቄ0 dla ݐ < 0

1 dla ݐ > 0

Rozwiązanie

Poszukujemy splotu x[t]*y[t]. Oznaczmy go przez z[t]. Bardziej formalnie

ݖ(ݐ) = ݔ(ݐ) ∗ ݕ(ݐ) = න ݔ(߬)ݕ(ݐ − ߬)݀߬

ஶ

ିஶ

.

Na początek wykreślmy sygnały uczestniczące w splataniu.
Oto x[t]

i y[t]

Następnie obliczmy transformaty Laplace'a dla x[t] i dla y[t]:

ܺ(ݏ) =

1

ݏ −

܍

ି௦

ݏ =

1

ݏ (1 − ܍

ି௦

)

ܻ(ݏ) = −

1

ݏ

ଶ

+

2

ݏ −

2܍

ିଶ௦

ݏ +

܍

ିଶ௦

(1 + 2ݏ)

ݏ

ଶ

=

2

ݏ −

1

ݏ

ଶ

(1 − ܍

ିଶ௦

).

Z twierdzenia o transformacie Laplace'a splotu wiemy, że

Z

[s]=

ℒ{z[t]}= ℒ {x[t]*y[t]}=X[s]Y[s].

Zatem wyznaczamy

ܼ(ݏ) = ܺ(ݏ)ܻ(ݏ) =

1

ݏ (1 − ܍

ି௦

) ቆ

2

ݏ −

1

ݏ

ଶ

(1 − ܍

ିଶ௦

)ቇ

= ൬

2

ݏ

ଶ

−

1

ݏ

ଷ

൰ + ൬

1

ݏ

ଷ

−

2

ݏ

ଶ

൰ ݁

ି௦

+

1

ݏ

ଷ

܍

ିଶ௦

−

1

ݏ

ଷ

܍

ିଷ௦

.

Obliczamy odwrotną transformatę Laplace'a dla Z[s] i otrzymujemy

ݖ(ݐ) = ℒ

ିଵ

ቆ൬

2

ݏ

ଶ

−

1

ݏ

ଷ

൰ + ൬

1

ݏ

ଷ

−

2

ݏ

ଶ

൰ ܍

ି௦

+

1

ݏ

ଷ

܍

ିଶ௦

−

1

ݏ

ଷ

܍

ିଷ௦

ቇ

=

1

2 (4 − ݐ)UnitStep(ݐ) +

1

2 (ݐ − 5)(t − 1)UnitStep(ݐ − 1) +

1

2 (−2 + ݐ)

ଶ

UnitStep(ݐ − 2) +

1

2 (ݐ − 3)UnitStep(ݐ − 3) .

Na koniec wykreślamy uzyskany rezultat splatania, czyli z[t].

-1

1

2

3

4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

1

2

3

0.5

1

1.5

2

-1

1

2

3

4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

37

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Zadanie 14 (16.20)

Dla sieci pokazanej poniżej , znajdź i

0

(

t) , używając metody Thévenina

4·

1(t) V

1Ω

1 F

6,2Ω

1Ω

i

0

(t)

e

-t

1(t) V

2 H

Rozwiązanie :

Rysujemy operatorowy schemat zastępczy obwodu (warunki początkowe są zerowe):

E

1

(s)=4/s

1 Ω

1/s

6,2 Ω

1 Ω

I

0

(s)

2s

2

1

( )

1

E s

s

=

+

A

B

Ten schemat przekształcamy w zasugerowany poniżej sposób.

A

B

Ten opornik na
razie pomijamy

Wyznaczamy operatorowe napięcie rozwarcia zacisków AB (równe operatorowemu napięciu
Thevenina)

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

38

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

E

1

(s)

1

E

2

(s)

2s

1/s

1

U

R

(s)

U

C

(s)

U

C

(s)=E

1

(s)

.

(1/s)/(1+1/s)

U

R

(s)=E

2

(s)

.

1/(1+2s)

E

T

(s)

Napięcie
Thévenina

Wyliczmy teraz E

T

(s) :

( )

( )

( )

( )

( )

2

1

T

1/

1 2

1 1/

R

C

E

s

E s

s

E

s

U

s

U

s

s

s

⋅

=

+

=

+

=

+

+

(

) (

)

1

1

4 /

1/

1

1

4

9

4

1 2

1

1 1/

1 2

1

1

2

1

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

⋅

+





+

=

+

=





+

+

+

+

+

+

+





Aby obliczyć I

0

(s) potrzebujemy jeszcze Z

T

(s) , które wyznaczamy następująco :

1

1

1/s

2s

<= Z

T

(s) Z

T

(s) – impedancja

Thévenina

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2 (

1)

2

1

2

1/

2

4

1

2 ||1

1/

||1

2

1

1 1/

1 (2

1)

1 (2

1)

T

s s

s

s

s

s

s

Z

s

s

s

s

s

s

s

s

s

+

+

+

+

+

=

+

=

+

=

=

+

+

+

+

+

+

Aby obliczyć I

0

(s) musimy uwzględnić oprócz E

T

(s) i Z

T

(s) jeszcze ten opornik, który nieco

wcześniej chwilowo pominęliśmy.

B

Z

T

(s)

A

6,2

E

T

(s)

I

0

(s)

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

39

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

( )

(

) (

)

(

)

(

)(

)

(

)

T

0

2

2

T

9

4

1

2

1

( )

9

4

( )

6, 2

2

4

1

6, 2

1 2

1

2

4

1

6, 2

1 (2

1)

s

s

s

s

E

s

s

I

s

Z

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

+

+

+

+

=

=

=

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

4

9

9

4

9

4

9

113

1

14, 4

22,6

7, 2

6, 2 2

3

1

2

4

1

14, 4

72

2

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s s

s





+





+

+





=

=

=





+

+

+

+

+

+

+

+

+









4

9

9

90 8 1

1

5 1

1

9

4

9

9

144 9

9 / 8

9

9 / 8

14, 4

14, 4

9

8

8

s

s

s

s

s

s s

s

s s





+

















=

=

⋅

−

=

−









+

+



















+

+

+





















Używając transformaty odwrotnej Laplace’a otrzymujemy:

9

8

0

5

( )

( ) 1 e

9

t

i t

t

−









=

⋅

−









1

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

40

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Zadanie 15 (16.21)

Dla sieci pokazanej poniżej, znajdź u

0

(t) , używając metody Thévenina

1 Ω

4·

1(t) V

2 H

2 Ω

e

-2t

·

1(t) A

2·

1(t) A

u

0

(

t)

0.5 F

Rozwiązanie.

Rysujemy operatorowy schemat zastępczy obwodu (warunki początkowe są zerowe).

1

B

A

E

(s) = 4/s

2s

2

I

1

(s)=1/(s+2)

I

2

(s)=2/s

U

0

(

s)

2/s

Bardzo łatwo można policzyć operatorową impedancję zastępczą Z

T

(s) dla części

schematu położonej na lewo od zacisków AB. Należy przeanalizować poniższy schemat, z
którego natychmiast wynika, że

Z

T

(s)=2+2s.

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

41

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

2s

2

1/sC

A

B

<= Z

T

(

s) = 2+2s

W celu znalezienia operatorowego napięcia Thevenina rozważamy poniższy schemat.

U

R

(s)

B

A

E

(s) = 4/s

2s

2

J

1

(s)=1/(s+2)

J

2

(s)=2/s

E

T

(

s)

I=0

U

L

(s)

2/s

Wynika z niego, że

( )

( )

( )

(

)

2

2

1

4

4

2

4

2

8

16

( )

( )

2

( )

2

2

2

T

R

L

s

s

s

E

s

U

s

U

s

E s

J s

sJ s

s

s

s

s

s s

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

Dzięki metodzie Thevenina uzyskujemy bardzo prosty schemat (rysunek poniżej), w któ-

rym poszukujemy napięcia U

0

(s).

E

T

(s)

U

0

(

s)

1

Z

T

(s)

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

42

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Obliczamy:

U

0

(s) =

(

)

2

2

0

8

17

( )

2

8

16

1

4

8

4

3

3

( )

3

3

1

( )

(

2)

3

2

2

2

2

2

T

T

E

s

s

s

s

s

U s

Z

s

s s

s

s

s

s

s s

s

+

+

+

+

=

=

⋅

=

=

+

−

+

+

+

+





+

+

+









Zastosowanie odwrotnego przekształcenia Laplace’a do powyższego wyrażenia prowadzi

do następującego wyniku:

( )

3

2

2

0

8

17

( )

4e

e

3

3

t

t

u t

t

−

−









=

+

−









1

.

Dygresja.

Czytelnik jest proszony o chwilę zastanowienia nad równaniem PPK dla dolnego węzła obwodu z

treści zadania, gdy czas t zmierza do nieskończoności. (Gdy czas t zmierza do nieskończoności, powinien (?)
pojawić się stan ustalony. W stanie ustalonym, przy pobudzeniach stałych kondensator staje się rozwarciem.
Nadto w rozważanym obwodzie jedno ze źródeł prądowych (to po lewej) staje się też rozwarciem dla t

∞. To

prowadzi do sprzeczności, bo prawe źródło prądowe „pompuje“ do tego węzła stały prąd 2A. Wskazać błąd w
rozumowaniu, bądź w schemacie.)

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

43

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Zadanie 16

Dla układu o odpowiedzi impulsowej h(t)=

1(t)-1(t-10) wyznaczyć i naszkicować:

a)

odpowiedź na pobudzenie x

a

(t)=

1(t),

b)

odpowiedź na pobudzenie x

b

(t)=

1(t)

.

cos(2

πt),

c)

odpowiedź na pobudzenie x

c

(t)=

cos(2πt).

Rozwiązanie

Sygnały wymuszające x(t) są w przypadkach a) i b) przyczynowe, to znaczy dla t<0 mamy

x

(t)=0. Również układ jest układem przyczynowym, bo dla t<0 zachodzi h(t)=0. Dlatego

przypadki a) i b) możemy rozwiązać, stosując przekształcenie Laplace’a i przeprowadzając
obliczenia w dziedzinie pulsacji zespolonej s.

Mamy kolejno:

ܪ(ݏ) = ℒ(1(ݐ) − 1(ݐ − 10)) =

ଵ

௦

(1 − ܍

ିଵ଴௦

),

ܺ

௔

(ݏ) = ℒ(ݔ

௔

(ݐ)) = ℒ(1(ݐ)) =

ଵ

௦

,

ܺ

௕

(ݏ) = ℒ(ݔ

௕

(ݐ)) = ℒ(1(ݐ)cos(2ߨݐ)) =

௦

௦

మ

ାସగ

మ

.

Oznaczmy odpowiedzi na pobudzenia x

indeks

(t) przez y

indeks

(t), a transformaty Laplace’a tych

odpowiedzi przez Y

indeks

(s).

Możemy zapisać:

( )

( )

( )

(

)

10

10

2

2

2

1

1

1

1

s

s

a

a

Y

s

X

s

H s

e

e

s

s

s

−

−

=

⋅

=

−

=

−

,

( )

( )

( )

(

)

2

10

10

2

2

2

2

2

2

1

1

2π

1

2π

1 e

e

2π

2π

4π

4π

4π

s

s

b

b

s

Y s

X

s

H s

s

s

s

s

−

−

=

⋅

=

⋅

−

=

−

+

+

+

.

Z twierdzenia o transformacie

ℒ sygnału opóźnionego natychmiast wnosimy, że:

( )

( ) (

) (

)

10

10

a

y

t

t

t

t

t

=

−

−

−

1

1

,

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) ( )

(

)

(

)

1

1

sin 2π

10 sin 2π

10

sin 2π

10

2π

2π

b

y t

t

t

t

t

t

t

t

=

−

−

−

=

−

−

1

1

1

1

.

W przypadku c) mamy do czynienia z pobudzeniem nieprzyczynowym. Zatem bezpośrednie
zastosowanie przekształcenia Laplace’a nie wchodzi w grę. Wybierzmy naturalne n
i zapytajmy, co by się stało, gdyby układ pobudzono sygnałem

( )

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

cos 2π

cos 2π

d

x

t

t

t

n

t

n

t

n

=

+

=

+

+

1

1

.

Na podstawie wyniku punktu b) wnosimy, że wtedy

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

sin 2π

10

2π

d

b

y

t

y

t

n

t

n

t

n

t

n

=

+

=

+

+

−

+ −

1

1

,

gdyż

( )

(

)

d

b

x

t

x t

n

=

+

i układ badany jest stacjonarny (niewrażliwy na przesunięcie osi czasu; charakterystyka im-
pulsowa układów niestacjonarnych jest funkcją dwóch zmiennych!!!).

Zauważmy, że dla

t

>-n+10

mamy

x

d

(t)=0.

Pobudzenie

x

c

(t)=

cos(2πt)

możemy traktować jako

( )

( )

lim

c

d

n

x t

x

t

→∞

=

,

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

44

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

zaś odpowiedź na nie jako

( )

( )

lim

0

c

d

n

y t

y

t

→∞

=

= ,

bo

( )

0 dla

10 - i

d

y

t

t

n n

=

>

→ ∞

.

Mimo, że znamy już odpowiedź dla pobudzenia x

c

(t), nie zakończymy na tym rozwiąza-

nia.

Zapytajmy, czy można inaczej wyznaczyć y

c

(t). Zauważmy, że pobudzenie x

c

(t)=

cos(2πt)

„rozpoczyna się” dla t=-

∞. Zatem dla skończonego czasu t możemy obserwować tylko usta-

loną składową odpowiedzi, bo składowa przejściowa już zanikła. Oznacza to, że obliczane
y

c

(t) jest odpowiedzią ustaloną na zadane pobudzenie.

Ponieważ x

c

(t)=

cos(2πt) jest sygnałem sinusoidalnym (i przykładem przebiegu złożonego

z sumy sygnałow sinusoidalnych), a do wyznaczenia odpowiedzi na pobudzenie okresowe
i prawie okresowe możemy wykorzystać zasadę superpozycji i wiedzę o przechodzeniu sy-
gnałów sinusoidalnych przez układ liniowy, więc tak postąpimy.

Jak wiemy:

Wymuszony składnik ustalony odpowiedzi obwodu liniowego na pobudzenie sinuso-

idalne jest sinusoidalny. Aby obliczyć amplitudę tego składnika należy amplitudę pobudze-
nia przemnożyć przez wzmocnienie A(

ω

0

) obwodu, zaś fazę zwiększyć o przesunięcie fazy

obwodu

ϕ

(

ω

0

).

Ilustruje to poniższy rysunek.

Przejdźmy zatem do konkretów. Obliczamy:

(

)

(

)

10

10 j

j

j

1

1

( j )

( )

1 e

1 e

j

s

s

s

H

H s

s

ω

ω

ω

ω

ω

−

−

=

=

=

=

−

=

−

,

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2

10 j

1 cos 10

sin 10

2

2 cos 10

1

( )

( j )

1 e

j

A

H

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

−

−

+

−

=

=

−

=

=

,

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 cos 10

arg

j

arctg4 1 cos 10

;sin 10

arctg

sin 10

H

ω

ϕ ω

ω

ω

ω

ω





−

=

=

−

=













.

Wykresy funkcji A(

ω

) i

ϕ

(

ω

) zamieszczono poniżej. Odczytujemy z nich, że można przyjąć,

iż

A

(

ω

0

)=0 i

ϕ

(

ω

0

)=0,

gdzie

0

2π

ω

=

.

Wartość A(

ω

0

) sprawdzimy jeszcze bezpośrednio rachunkiem.

(

)

(

)

0

2π

2

2cos 10

2

2cos 10 2π

2

2 1

(

)

(2π)

0

2π

2π

A

A

ω

ω

ω

ω

=

−

−

⋅

− ⋅

=

=

=

=

=

.

h

(t)

H

(s)|

s=j

ω

=H(j

ω

)=A(

ω

)·exp(j·

ϕ

(

ω

))

X

m

·cos(

ω

0

·t+

ψ

)

X

m

·A(

ω

0

)·cos(

ω

0

·t+

ψ+ϕ

(

ω

0

))

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

45

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Teraz już szybko zapisujemy:

( )

(

)

( )

(

)

0

0

0

0

0

( )

(

) cos

0 cos

0

y t

A

t

t

ω

ω

ϕ ω

ω

ϕ ω

=

+

= ⋅

+

= .

Potwierdziły się nasze wcześniejsze obliczenia.

Operacją matematyczną, która pozwoliłaby jednolicie potraktować przypadki a), b) i c)

jest operacja splotu sygnałów. Odpowiedź y(t) na pobudzenie x(t) jest wtedy obliczana nastę-
pująco:

( )

( )

( )

y t

x t

h t

=

∗

=

( ) (

)

x

h t

d

τ

τ τ

∞

−∞

−

∫

.

Dla przypadku c) obliczenie wyglądałoby następująco:

( )

( )

( )

c

c

y t

x t

h t

=

∗

=

(

) (

)

(

)

(

)

( ) (

)

cos 2π

1

1

10

c

x

h t

d

t

t

d

τ

τ τ

τ

τ

τ

τ

∞

∞

−∞

−∞

−

=

−

−

− −

=

∫

∫

(

)

10

cos 2π

0

t

t

d

τ

τ

−

=

∫

.

Czytelnikowi proponuje się, by samodzielnie obliczył tym sposobem odpowiedzi w przypad-
kach a) i b).

Teraz przedstawiamy szkice odpowiedzi y

a

, y

b

i y

c

.

A

(

ω

)

ϕ

(

ω

)

-3

-2

-1

1

2

3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-3

-2

-1

1

2

3

-75

-50

-25

25

50

75

ω/π

ω/π

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

46

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

DYGRESJA. W ogólnym przypadku (np.
wtedy, gdy pobudzenie nie byłoby dyskret-
ną sumą sinusoid) właściwym aparatem
matematycznym dla wyznaczania odpowie-
dzi ustalonej pozostaje przekształcenie Fou-
riera

ℱ. Dla przypadku c) obliczalibyśmy

następująco:

ܺ

௖

(ܒ߱) = ℱ(ݔ

௖

(ݐ)) = ℱ(cos(2ߨݐ)) =

(

)

(

)

(

)

π

2π

2π

δ ω

δ ω

+

+

−

,

ܪ(ܒ߱) = ℱ(ℎ(ݐ)) = ℱ(1(ݐ) − 1(ݐ-10)) =

( )

(

)

10 j

1

π

1 e

j

ω

δ ω

ω

−





+

−









,

( j )

( j )

( j )

c

c

Y

X

H

ω

ω

ω

=

=

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

10 j

1

π

2π

2π

π

j

1 e

ω

δ ω

δ ω

δ ω

ω

−





+

+

−

+

⋅









−

=

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

10 j

2π

10 j

2π

1

π π

1 e

j

2π

1

π π

1 e

j

2π

0

ω

ω

ω

ω

δ ω

ω

δ ω

δ ω

ω

δ ω

−

•

=−

−

•

=





+

⋅

−









+

+





+

⋅

−









−

=

Zatem

ݕ

௖

(ݐ) = ℱ

ିଵ

൫ܻ(݆߱)൯ = ℱ

ିଵ

(0) = 0.

I tym razem wypadło zero!

Koniec dygresji.

y

a

(t)

t

y

b

(t)

y

c

(t)

5

10

15

20

2

4

6

8

10

5

10

15

20

-0.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15

5

10

15

20

-0.1

-0.075

-0.05

-0.025

0.025

0.05

0.075

0.1

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

47

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Zadanie 17

W pewnym obwodzie odpowiedź wymuszona na pobudzenie x(t) wynosi y(t). Oblicz od-

powiedź impulsową h(t) tego obwodu, gdy x(t)=

1(t) sin(2πt) i y(t)=1(t) cos(2πt).

Rozwiązanie
Wiadomo, iż

ℎ(ݐ) = ℒ

ିଵ

ቀ

௒(௦)

௑(௦)

ቁ.

.

Obliczmy transformaty:

2

2

2π

( )

(2π)

X s

s

=

+

,

2

2

( )

(2π)

s

Y s

s

=

+

.

Już łatwo znajdujemy, że

ℎ(ݐ) = ℒ

ିଵ

ቀ

௦

ଶగ

ቁ =

ఋ

ᇲ

(௧)

ଶగ

.

Obliczmy ponownie:

(

)

(

)

(

)

1

1

1

( )

( )

( )sin(2π )

( ) sin(2π )

( ) sin(2π )

2π

2π

2π

'

'

'

y t

x' t

t

t

t

t

t

t





=

=

=

+

=









1

1

1

(

)

(

)

1

1

( ) sin(2π )

( ) 2π cos(2π )

0

( ) 2π cos(2π )

( ) cos(2π )

2π

2π

t

t

t

t

t

t

t

t

δ

⋅

+

⋅

⋅

=

+

⋅

⋅

=

⋅

1

1

1

Odpowiedź y(t) można też obliczyć, korzystając z operacji splatania. Uzyskujemy:

( )

( )

( )

y t

x t

h t

=

∗

=

( ) (

)

x

h t

d

τ

τ τ

∞

−∞

−

=

∫

( )

(

)

;

;

;

...

...

1

sin 2π

(

)

2π

t

x

t x d

dx

d

dx

' t

d

τ

τ

τ

τ

τ

τ

δ

τ τ

∞

−∞

−∞

∞

− =

= −

=−

→

∞

−∞

∫

∫

−

=

∫

1

(

)

(

)

(

)

calkowanie przez częsci:

1

sin 2π

( )

2π

vdu uv

udv

t

x

t

x

' x dx

δ

=

−

∞

−∞

∫

∫

−

−

=

∫

1

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

wlasnosci delty: próbkowania
i filtrowania

1

( )

sin 2π

sin 2π

( )

2π

'

x

t

x

t

x

t

x

t

x

x dx

δ

δ

∞

∞

−∞

−∞





⋅

−

−

−

−

−

=













∫

1

1

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

0

0

1

1

0

sin 2π

sin 2π

2π

2π

z t x

x

x

d

d

d

t

x

t

x

z

z

t

x

dx

dz

dx

= −

=

=





















−

−

−

=

−

⋅

−

=





































1

1

( )

(

)

(

)

ale to już bylo; patrz wyżej

1

sin 2π

( ) cos(2π )

2π

d

t

t

t

t

dt

=

⋅

1

1

d

dt

1

2π

δ

(t)

δ

'

(t)

( )

2π

' t

δ

x(t)

x'

(t)

( )

2π

x' t

=

( )

y t

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

48

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Zadanie 18
Znajdź napięcie v

o

(t) dla t>0 w układzie przedstawionym na rysunku.

Rozwiązanie

MR

Na początek policzmy prądy początkowe w naszym układzie. Ponieważ sygnał pobudze-

nia jest stały, to induktor zastępujemy zwarciem dla t<0.

Łatwo wyliczamy, że (patrz rysunek)

10

12 V

3

2

2

i

A

=

=

Ω +

Ω

,

A

i

0

20

=

.

W chwili t=0 następuje przełączenie klucza, czyli dla t>0 nasz układ będzie wyglądał nastę-
pująco.

Narysujmy operatorowy schemat zastępczy powyższego obwodu.

MR

Podziękowania dla studenta Macieja Rzymowskiego za wstępne wersje rozwiązania zadań 18,19 i20

+

-

1Ω

2Ω

2Ω

2H

2H

v

o

(t)

M

=1H

i

10

i

20

1Ω

2Ω

2Ω

2Ω

12V

i

10

i

20

+

-

1Ω

2Ω

2Ω

2Ω

12V

t

=0

2H

2H

v

o

(t)

M

=1H

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

49

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

W celu obliczenia prądów I

1

(s) i I

2

(s) zapiszmy równania oczkowe dla naszego układu.

1

2

1

2

(2

2 ) ( )

( )

6

( )

(3 2 )

( )

3

s I s

s I s

s I s

s I s

+

+

=





+

+

=



Teraz na przykład za pomocą metody eliminacji Gaussa możemy obliczyć wartości prądów
I

1

(s) oraz I

2

(s):

1

2

18

9

( )

6 10

3

s

I s

s

s

+

=

+

+

,

2

2

6

( )

6 10

3

I s

s

s

=

+

+

.

Napięcie operatorowe V

o

(s) (patrz rysunek) wyniesie

+

-

1

2+2s

sI

2

(s)

sI

1

(s)

V

o

(s)

2+2s

I

1

(s)

I

2

(s)

6

3

+

-

1

2

sMI

2

(s

)

= sI

2

(s

)

V

o

(s)

2

sL

1

=

2s

I

1

(s)

I

2

(s)

sMI

1

(s

)=

sI

1

(s

)

sL

2

=

2s

L

1

i

10

+Mi

20

=6

L

2

i

20

+Mi

10

=3

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

50

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

(

)

(

)

2

2

1

1

3

3

6

3 7

1

1

( )

( ) 1

6 10

3

7

5

7

5

7

o

V s

I s

s

s

s

s





−





= −

⋅ =

=

−





+

+

+

+

+

−





.

W celu uzyskania v

o

(t) policzmy odwrotną transformatę z uzyskanego powyżej wyniku.

(

)

(

)

(

)

1

1

3

3

5

7

5

7

3 7

7

( )

e

e

t

t

o

v t

−

+

−

=

−

≈

2,549

0,785

1,134(e

e

) [V]

t

t

−

−

−

.

Na poniższym rysunku przedstawiono przebieg v

o

(t). Na osi pionowej odłożono napięcie

w woltach, a na osi poziomej czas w sekundach.

Na kolejnym rysunku przedstawiono rodzinę przebiegów v

o

(t) przy indukcyjności wza-

jemnej M zmieniającej się od zera do wartości maksymalnej granicznej 2H. Na osi pionowej
odłożono napięcie w woltach, a na osi poziomej czas w sekundach.

0

2

4

6

8

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

2

4

6

8

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

M

=0,2H

M

=1H

M

=2H

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

51

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Zadanie 19

Znajdź napięcie v

0

(t)dla t>0 w układzie przedstawionym na rysunku.

Rozwiązanie

Rozpocznijmy od policzenia prądów początkowych w naszym układzie. Ponieważ sygnał

pobudzenia jest stały, więc dla t<0 induktor możemy traktować jak zwarcie.

Łatwo wyliczamy, że

10

12

12

3 [A]

2

2

4

i

=

=

=

+

,

20

0

i

= .

W chwili t=0 następuje przełączenie klucza, czyli dla t>0 nasz układ będzie wyglądał na-

stępująco.

Narysujmy operatorowy schemat zastępczy powyższego obwodu.

+

-

1Ω

2Ω

2Ω

2H

2H

v

o

(t)

M

=2H

i

10

i

20

1Ω

2Ω

2Ω

2Ω

12V

i

10

i

20

+

-

1Ω

2Ω

2Ω

2Ω

12V

t

=0

2H

2H

v

0

(t)

M

=2H

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

52

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

W celu obliczenia prądów I

1

(s) i I

2

(s) zapiszmy równania oczkowe dla naszego układu.

1

2

1

2

(2

2 ) ( )

2

( )

6

2

( )

(3 2 )

( )

6

s I s

s I s

s I s

s I s

+

+

=





+

+

=



Teraz, na przykład za pomocą metody eliminacji Gaussa, możemy obliczyć wartości prą-

dów operatorowych I

1

(s) oraz I

2

(s):

9

1

5

3
5

1

( )

I s

s

= ⋅

+

,

6

2

5

3
5

1

( )

I s

s

= ⋅

+

.

Napięcie operatorowe V

o

(s) (patrz rysunek) wyniesie

+

-

1

2+2s

2sI

2

(s)

2sI

1

(s)

V

o

(s)

2+2s

I

1

(s)

I

2

(s)

6

6

+

-

1

2

sMI

2

(s

)

=

2sI

2

(s

)

V

o

(s)

2

sL

1

=

2s

I

1

(s)

I

2

(s)

sMI

1

(s

)

=

2sI

1

(s

)

sL

2

=

2s

L

1

i

10

+Mi

20

=6

L

2

i

20

+Mi

10

=6

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

53

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

6

2

5

3
5

1

( )

( ) 1

o

V s

I s

s

= −

⋅ = − ⋅

+

.

W celu uzyskania v

o

(t) policzmy odwrotną transformatę Laplace’a z V

o

(s). Otrzymujemy:

3
5

6
5

( )

e

[V]

t

o

v t

−

= −

.

Na poniższym rysunku przedstawiono przebieg v

o

(t). Na osi pionowej odłożono napięcie

w woltach, a na osi poziomej czas w sekundach.

Na kolejnym rysunku przedstawiono rodzinę przebiegów v

o

(t) przy indukcyjności wza-

jemnej M zmieniającej się od zera do wartości maksymalnej granicznej 2H. Na osi pionowej
odłożono napięcie w woltach, a na osi poziomej czas w sekundach.

0

2

4

6

8

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

2

4

6

8

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

M

=0,2H

M

=1H

M

=2H

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

54

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Zadanie 20
W układzie z poniższego rysunku znajdź przepis na napięcie v

o

(t) dla t>0.

Rozwiązanie

Pobudzenie napięciowe v

i

(t) tego układu jest złożeniem dwóch podwojonych jedynek He-

aviside’a, więc możemy je zapisać jako:

)

1

(

2

)

(

2

)

(

−

⋅

−

⋅

=

t

t

t

v

i

1

1

Rysujemy model operatorowy naszego układu

W tym przypadku nie musimy umieszczać źródła przy induktorze, gdyż warunki począt-

kowe są zerowe, czyli

Li

(0

+

)=0.

Impedancja dwójnika reprezentującego induktor w modelu operatorowym ma wartość

sL=s

[

Ω].

Transformata napięcia v

i

(t) wynosi

2

2e

( )

[V s]

s

i

V s

s

s

−

=

−

⋅

.

2 [Ω]

2 [Ω]

2 [Ω]

V

i

(s) [V

.

s]

+

-

V

o

(s)

s

[Ω]

2Ω

2Ω

2Ω

v

i

(t)

+

-

v

o

(t)

v

i

(t)[V]

t

[s]

0

1

2

1H

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

55

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

W rozwiązaniu problemu posłużymy się zastępczym źródłem Thevenina.

Najpierw obliczmy napięcie rozwarcia

2

1

1

e

( )

( )

( )

( )

2

2

2

s

rozw

i

i

T

U

s

V s

V s

E s

s

s

−

=

=

=

−

=

+

,

a następnie policzmy impedancję operatorową źródła Thevenina

1

( )

1

( )

1

1

2

2

zast

T

Z

s

s

s

Z s

=

+ = + =

+

Mając te dwie wielkości możemy z dzielnika napięcia obliczyć V

o

(s).

( )

( )

( )

( )

1

2

1

2

( )

1

2

3

s

s

o

T

T

Z s

e

e

V s

E s

Z s

Z s

s

s

s

s

s

s

−

−









=

⋅

=

−

⋅

=

−

⋅

=









+

+ +

+









2

2

2 1

2

1

2 1

2

1

e

e

(

3)

(

3)

3

3

3

3

3

3

s

s

s s

s s

s

s

s

s

−

−





=

−

=

⋅ −

⋅

−

⋅ −

⋅





+

+

+

+





2 [Ω]

2 [Ω]

V

i

(s) [V

.

s]

U

rozw

s

[Ω]

2 [Ω]

E

T

(s) [V

.

s]

Z

T

(s) [Ω]

Z

=2 [Ω]

V

o

(s)

V

o

(s)

Z

zast

Zadania z Przedmiotu

Technika Analogowa

Stany nieustalone 11-20

© C. Stefański

2_ZadaniaOpAnObw11_20_2010.docx

56

Zauwa

żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Ponieważ już rozłożyliśmy wyrażenie na ułamki proste, łatwo obliczamy transformatę od-

wrotną naszej funkcji V

o

(s):

3

3(

1)

2

2

2

2

( )

( )

e

( )

(

1)

e

(

1)

3

3

3

3

t

t

o

v t

t

t

t

t

−

−

−





=

⋅

−

⋅

−

⋅

−

−

⋅

−

=









1

1

1

1

(

)

3

3(

1)

2

(1 e

)

( )

(1 e

)

(

1)

3

t

t

t

t

−

−

−

−

⋅

−

−

⋅

−

1

1

.

To jest właśnie poszukiwany przepis na napięcie v

o

(t).

Dla t>0 przepis ten można zanotować jako:

(

)

3

3(

1)

2

( )

(1 e

)

(1 e

)

(

1)

3

t

t

o

v t

t

−

−

−

=

−

−

−

⋅

−

1

.

Na poniższym rysunku przedstawiono przebiegi v

i

(t) (wykres jaśniejszy) i v

o

(t) (wykres ciem-

niejszy). Na osi pionowej oznaczono napięcie w woltach, a na poziomej czas w sekundach.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0

0.5

1

1.5

2