Przykładowe zagadnienia i pytania do egzaminu z matematyki (semestr 1)

Pytanie 1: Co to jest funkcja złożona (definicja). Sformułuj i udowodnij twierdzenie o

różniczkowalności funkcji złożonej.

Pytanie 2: Podaj postać algebraiczną, wykładniczą i trygonometryczną liczby zespolonej,

wzory Eulera na funkcje trygonometryczne. Udowodnij, że







sin

cos

i

e

i







oraz, że

1

|

|





i

e

Pytanie 3: Co to jest szereg Fouriera funkcji okresowej w przedziale <-



,



> (postać szeregu,

wzory na współczynniki).

Pytanie 4: Podaj interpretację geometryczną pochodnej funkcji y=f(x) w punkcie o

współrzędnych (x

0

,y

0

) (interpretacja graficzna ilorazu różnicowego i jego

granicy).

Pytanie 5: Wyprowadź równanie na długość łuku krzywej o równaniu y=f(x)

w przedziale <a,b>

Pytanie 6: Krótko omów kryterium porównawcze, d’Alamberta, Cauchy-ego oraz kryterium

Weierstrassa dla szeregów funkcyjnych.

Pytanie 7: Wyprowadź wzór na całkowanie przez części. Podaj wzór na całkowanie przez

części dla całki oznaczonej.

Pytanie 8: Omów konstrukcję sumy całkowej Reimanna (rysunek, przejście graniczne ).

Pytanie 9: Zdefiniuj pojęcie funkcji pierwotnej i udowodnij, że dwie dowolne funkcje

pierwotne różnią się od siebie o stałą.

Pytanie 10: Sformułuj i udowodnij twierdzenie Lagrange’a.

Pytanie 11: Co to jest funkcja odwrotna (definicja)? Sformułuj i udowodnij twierdzenie o

różniczkowaniu funkcji odwrotnej.

Pytanie 12: Co to jest operator liniowy? Jakie ma własności? Podaj 2 przykłady.

Pytanie 13: Wyprowadź równanie ogólne płaszczyzny.

Pytanie 14: Algebra liczb zespolonych (dodawanie, odejmowanie, mnożnie , dzielenie,

potęgowanie, pierwiastkowanie)

Pytanie 15: Udowodnić, że funkcja monotoniczna w przedziale domkniętym [a,b] jest

całkowalna. Użyć sum Darboux.

Pytanie 16: Podaj znane Ci własności całki oznaczonej i nieoznaczonej (wynikające z faktu

bycia operatorem określonego typu oraz własności wykorzystywane w

całkowaniu).

Pytanie 17: Podać i omówić postać szeregu Taylora i Maclaurina. Jakie warunki musi

spełniać funkcja aby być „rozwijalną” w te szeregi?

Pytanie 18: Co to jest krzywizna krzywej i jakie są jej miary (podać minimum dwie miary)

Pytanie 19: Udowodnij wzór na n-tą sumę częściową szeregu geometrycznego.

Pytanie 20: Wyprowadź wzory na współczynniki szeregu Fouriera.

Pytanie 21: Sformułuj i udowodnij twierdzenie Rolle’a o wartości średniej

Pytanie 22: Co to jest promień zbieżności szeregu potęgowego.

Pytanie 23: Omów zasadę indukcji matematycznej (podaj etapy dowodzenia twierdzeń

i rodzaje twierdzeń , do których się stosuje).

Udowodnij, że 1+2+3+..+n=





2

1



n

n

Pytanie 24: Udowodnić „nierówność Schwarza –Buniakowskiego”

 













































dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

b

a

b

a

b

a

2

2

2

)

(

)

(

)

(

Pytanie 25:.Sformułować i udowodnić twierdzenie o wartości średniej dla całki.

Pytanie 26: Sformułować i udowodnić twierdzenie o „całce jako funkcji górnej granicy

całkowania”. Zdefiniuj funkcję pierwotną i wykaż, że pochodna funkcji

pierwotnej jest funkcją podcałkową.

Pytanie 27: Podaj definicję funkcji ciągłej oraz dwa inne sposoby analitycznego wyrażania

własności ciągłości.

Pytanie 28: Udowodnić wzór de Moivre’a na potęgowanie liczb zespolonych.

Pytanie 29: Zdefiniuj asymptoty funkcji (3 rodzaje) i omów kontekst ich występowania.

Pytanie 30:.Podaj definicję, a następnie porównaj granice funkcji jednej zmiennej w sensie

Heinego i Cauchy’ego. Podaj związek z granicą ciągu.

Pytanie 31:.Wyjaśnij z ilorazu różnicowego, dlaczego każda funkcja różniczkowalna jest

ciągła, a na przykładzie, że nie każda ciągła jest różniczkowalna.

Pytanie 32: Skomentuj różnice pomiędzy całką oznaczoną (w sensie Newtona-Leibniza), a

całką Riemanna.

Pytanie 33: Co to jest ortogonalny zbiór funkcji? Podaj definicję ortogonalności,

ortonormalności i zupełności.

Pytanie 34: Sformułuj i udowodnij twierdzenie de l’Hospitala dla przypadku 0/0. Zapisując

tw. dla 1/f:1/g i przekształcając obie strony równości, udowodnij dla ∞/∞.

Pytanie 35: Wyprowadź równanie (dowolne!) prostej w przestrzeni 3-D.

Pytanie 36: Co to jest różniczka zupełna? Podaj lokalne i globalne własności różniczki.

Pytanie 37: Podaj i udowodnij twierdzenie o „warunku wystarczającego ekstremum” funkcji

jednej zmiennej.

Pytanie 38: Omów i skomentuj metodę Cramera rozwiązywania układów równań liniowych.

Pytanie 39: Sformułuj i udowodnij twierdzenie „wzór Taylora z drugą pochodną”

Pytanie 40: Omów znane Ci działania na macierzach.

Pytanie 41: Co to jest wyznacznik macierzy (dowolna definicja)? Opisz własności

wyznaczników.

Pytanie 42: Co to jest macierz odwrotna i do czego się stosuje? Podaj przykłady

zastosowania.

Pytanie 43:.Udowodnić, że szereg harmoniczny:

...

1

...

3

1

2

1

1











n

jest rozbieżny.

Pytanie 44: Podaj i uzasadnij wzór na pochodną funkcji uwikłanej.

Pytanie 45: Pokazać jak z definicji obliczyć pochodne cząstkowe (pierwszego rzędu) funkcji

dwóch zmiennych.

Pytanie 46: Podaj postać pochodnej funkcji zespolonej i skomentuj warunki

Cauchy – Riemanna.

Pytanie 47: Sformułuj i udowodnij twierdzenie „ o warunku koniecznym

(ale niewystarczającym) zbieżności szeregu liczbowego”.

Pytanie 49: Podaj i skomentuj związek całki Riemanna z całką górną i dolną Darboux.

Pytanie 50:Co to jest „reszta” szeregu potęgowego (podaj definicję tego pojęcia). Jak

powinna się ona zachowywać przy rozwijaniu funkcji w szereg potęgowy.