Przykładowe zagadnienia i pytania do egzaminu z matematyki (semestr 1)
Pytanie 1: Co to jest funkcja złożona (definicja). Sformułuj i udowodnij twierdzenie o
różniczkowalności funkcji złożonej.
Pytanie 2: Podaj postać algebraiczną, wykładniczą i trygonometryczną liczby zespolonej,
wzory Eulera na funkcje trygonometryczne. Udowodnij, że
sin
cos
i
e
i
oraz, że
1
|
|
i
e
Pytanie 3: Co to jest szereg Fouriera funkcji okresowej w przedziale <-
,
> (postać szeregu,
wzory na współczynniki).
Pytanie 4: Podaj interpretację geometryczną pochodnej funkcji y=f(x) w punkcie o
współrzędnych (x
0
,y
0
) (interpretacja graficzna ilorazu różnicowego i jego
granicy).
Pytanie 5: Wyprowadź równanie na długość łuku krzywej o równaniu y=f(x)
w przedziale <a,b>
Pytanie 6: Krótko omów kryterium porównawcze, d’Alamberta, Cauchy-ego oraz kryterium
Weierstrassa dla szeregów funkcyjnych.
Pytanie 7: Wyprowadź wzór na całkowanie przez części. Podaj wzór na całkowanie przez
części dla całki oznaczonej.
Pytanie 8: Omów konstrukcję sumy całkowej Reimanna (rysunek, przejście graniczne ).
Pytanie 9: Zdefiniuj pojęcie funkcji pierwotnej i udowodnij, że dwie dowolne funkcje
pierwotne różnią się od siebie o stałą.
Pytanie 10: Sformułuj i udowodnij twierdzenie Lagrange’a.
Pytanie 11: Co to jest funkcja odwrotna (definicja)? Sformułuj i udowodnij twierdzenie o
różniczkowaniu funkcji odwrotnej.
Pytanie 12: Co to jest operator liniowy? Jakie ma własności? Podaj 2 przykłady.
Pytanie 13: Wyprowadź równanie ogólne płaszczyzny.
Pytanie 14: Algebra liczb zespolonych (dodawanie, odejmowanie, mnożnie , dzielenie,
potęgowanie, pierwiastkowanie)
Pytanie 15: Udowodnić, że funkcja monotoniczna w przedziale domkniętym [a,b] jest
całkowalna. Użyć sum Darboux.
Pytanie 16: Podaj znane Ci własności całki oznaczonej i nieoznaczonej (wynikające z faktu
bycia operatorem określonego typu oraz własności wykorzystywane w
całkowaniu).
Pytanie 17: Podać i omówić postać szeregu Taylora i Maclaurina. Jakie warunki musi
spełniać funkcja aby być „rozwijalną” w te szeregi?
Pytanie 18: Co to jest krzywizna krzywej i jakie są jej miary (podać minimum dwie miary)
Pytanie 19: Udowodnij wzór na n-tą sumę częściową szeregu geometrycznego.
Pytanie 20: Wyprowadź wzory na współczynniki szeregu Fouriera.
Pytanie 21: Sformułuj i udowodnij twierdzenie Rolle’a o wartości średniej
Pytanie 22: Co to jest promień zbieżności szeregu potęgowego.
Pytanie 23: Omów zasadę indukcji matematycznej (podaj etapy dowodzenia twierdzeń
i rodzaje twierdzeń , do których się stosuje).
Udowodnij, że 1+2+3+..+n=
2
1
n
n
Pytanie 24: Udowodnić „nierówność Schwarza –Buniakowskiego”
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
b
a
b
a
b
a
2
2
2
)
(
)
(
)
(
Pytanie 25:.Sformułować i udowodnić twierdzenie o wartości średniej dla całki.
Pytanie 26: Sformułować i udowodnić twierdzenie o „całce jako funkcji górnej granicy
całkowania”. Zdefiniuj funkcję pierwotną i wykaż, że pochodna funkcji
pierwotnej jest funkcją podcałkową.
Pytanie 27: Podaj definicję funkcji ciągłej oraz dwa inne sposoby analitycznego wyrażania
własności ciągłości.
Pytanie 28: Udowodnić wzór de Moivre’a na potęgowanie liczb zespolonych.
Pytanie 29: Zdefiniuj asymptoty funkcji (3 rodzaje) i omów kontekst ich występowania.
Pytanie 30:.Podaj definicję, a następnie porównaj granice funkcji jednej zmiennej w sensie
Heinego i Cauchy’ego. Podaj związek z granicą ciągu.
Pytanie 31:.Wyjaśnij z ilorazu różnicowego, dlaczego każda funkcja różniczkowalna jest
ciągła, a na przykładzie, że nie każda ciągła jest różniczkowalna.
Pytanie 32: Skomentuj różnice pomiędzy całką oznaczoną (w sensie Newtona-Leibniza), a
całką Riemanna.
Pytanie 33: Co to jest ortogonalny zbiór funkcji? Podaj definicję ortogonalności,
ortonormalności i zupełności.
Pytanie 34: Sformułuj i udowodnij twierdzenie de l’Hospitala dla przypadku 0/0. Zapisując
tw. dla 1/f:1/g i przekształcając obie strony równości, udowodnij dla ∞/∞.
Pytanie 35: Wyprowadź równanie (dowolne!) prostej w przestrzeni 3-D.
Pytanie 36: Co to jest różniczka zupełna? Podaj lokalne i globalne własności różniczki.
Pytanie 37: Podaj i udowodnij twierdzenie o „warunku wystarczającego ekstremum” funkcji
jednej zmiennej.
Pytanie 38: Omów i skomentuj metodę Cramera rozwiązywania układów równań liniowych.
Pytanie 39: Sformułuj i udowodnij twierdzenie „wzór Taylora z drugą pochodną”
Pytanie 40: Omów znane Ci działania na macierzach.
Pytanie 41: Co to jest wyznacznik macierzy (dowolna definicja)? Opisz własności
wyznaczników.
Pytanie 42: Co to jest macierz odwrotna i do czego się stosuje? Podaj przykłady
zastosowania.
Pytanie 43:.Udowodnić, że szereg harmoniczny:
...
1
...
3
1
2
1
1
n
jest rozbieżny.
Pytanie 44: Podaj i uzasadnij wzór na pochodną funkcji uwikłanej.
Pytanie 45: Pokazać jak z definicji obliczyć pochodne cząstkowe (pierwszego rzędu) funkcji
dwóch zmiennych.
Pytanie 46: Podaj postać pochodnej funkcji zespolonej i skomentuj warunki
Cauchy – Riemanna.
Pytanie 47: Sformułuj i udowodnij twierdzenie „ o warunku koniecznym
(ale niewystarczającym) zbieżności szeregu liczbowego”.
Pytanie 49: Podaj i skomentuj związek całki Riemanna z całką górną i dolną Darboux.
Pytanie 50:Co to jest „reszta” szeregu potęgowego (podaj definicję tego pojęcia). Jak
powinna się ona zachowywać przy rozwijaniu funkcji w szereg potęgowy.