Wykład 18
Dielektryk w polu elektrycznym
Polaryzacja dielektryka
Dielektryk (izolator), w odróżnieniu od przewodnika, nie posiada ładunków
swobodnych zdolnych do przemieszczenia się na duże odległości. A zatem dielektryk
zachowuje się w polu elektrycznym całkowicie odmiennie od zachowania się przewodników.
Każdy dielektryk przy wprowadzeniu w obręb pola elektrycznego uzyskuje
makroskopowy elektryczny moment dipolowy. To zjawisko nosi nazwę polaryzacji, a
mechanizm polaryzacji w znacznym stopniu zależy od tego, z jakich cząstek jest zbudowany
dielektryk.
Jeżeli w cząstkach dielektryka środki ładunków dodatnich i ujemnych pokrywają się ze
sobą, to taki cząstki nazywamy niepolarnymi, a dielektryk zbudowany z tych cząstek będziemy
nazywały dielektrykiem niepolarnym.
Jeżeli dielektryk niepolarny znajduje się w polu elektrycznym, wówczas dodatnie
ładunki cząstek (jądra atomów) przesuwają się wzdłuż linii pola. Natomiast ujemne ładunki
(elektrony) przesuwają się w przeciwnym kierunku.
W deformowanej w polu elektrycznym cząstce środek ładunków ujemnych nie pokrywa
się ze środkiem ładunków dodatnich, a zatem w polu elektrycznym cząstka staje się dipolem
elektrycznym indukowanym o momencie dipolowym
l
q
p
⋅
=
.
224
Dipole indukowane ustawione są od razu równolegle do linii pola elektrycznego. Po
wyłączeniu pola elektrycznego cząstki wracają do stanu wyjściowego, a dielektryk traci
indukowany moment dipolowy.
Niektóre cząstki (na przykład molekuły wody
O
H
2
) wskutek asymetrycznej budowy
posiadają moment dipolowy. Takie cząstki nazywamy polarnymi, a dielektryki zbudowane z
polarnych cząstek będziemy nazywały dielektrykami polarnymi.
W cieczach i gazach zawierających polarne cząstki w zerowym zewnętrznym polu
elektrycznym, chaotyczne ruchy cieplne cząstek powodują, że wypadkowy makroskopowy
moment dipolowe substancji wynosi zero. Zazwyczaj, wewnętrzne siły elektryczne (siły
oddziaływania elektronów i jąder cząstek), odpowiedzialne za asymetryczną budowę polarnych
cząstek są znacznie większe niż elektryczne siły oddziaływania cząstki z zewnętrznym polem
elektrycznym. A zatem zewnętrzne pole elektryczne nie jest w stanie deformować cząstkę.
W jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym na ładunki dipola elektrycznego
działają siły
±
F
. Ta para sił tworzy wypadkowy moment sił
]
[
]
[
E
p
E
q
r
M
×
=
×
=
, (18.1)
który powoduje, że dipol zaczyna obracać się i przychodzi do stanu gdy moment sił jest równy
zeru. Ze wzoru (18.1) wynika, że ten stan równowagowy następuje, gdy
E
p
||
. A zatem w
dielektrykach polarnych zewnętrzne pole elektryczne stara się ustawić dipole elektryczne
wzdłuż linii pola, co powoduje, że dielektryk uzyskuje makroskopowy moment dipolowy.
Przeciwdziałają temu ruchy cieplne dipoli.
Polaryzacja dielektryków polarnych zwana jest polaryzacją dipolową lub polaryzacja
zorientowaną.
225
Jeżeli pole elektryczne nie jest polem jednorodnym, to jak widać z rysunku (b) siły
±
F
nie są zrównoważone i dipol stara się przesunąć się w obszar pola o największym natężeniu
pola.
Wektor polaryzacji dielektryka. Podatność elektryczna dielektryka
W zewnętrznym polu elektrycznym każdy mały element objętości dielektryka
V
∆
w
wyniku polaryzacji uzyskuje dipolowy moment elektryczny
∑
=
=
∆
N
i
i
p
p
1
, (18.2)
gdzie
N
oznacza liczbę dipoli zawartych w objętości
V
∆
dielektryka, a
i
p
- moment
elektryczny
i
-tego dipolu.
Wektorem polaryzacji dielektryka nazywamy wielkość
≡
∆
∆
=
→
∆
2
0
lim
m
C
dV
p
d
V
p
P
V
. (18.3)
Dipole elektryczne
i
p
wytwarzają w spolaryzowanym dielektryku swoje pole
elektryczne - pole polaryzacji
/
E
. Zgodnie z zasadą superpozycji pole polaryzacji
/
E
oraz
zewnętrzne pole elektryczne
0
E
, pochodzące od ładunków znajdujących się poza
dielektrykom, tworzą we wnętrzu dielektryka wypadkowe pole elektryczne o natężeniu
/
0
E
E
E
+
=
. (18.4)
Jeżeli wyłączymy zewnętrzne pole elektryczne
0
E
, to w większości dielektryków pole
polaryzacji
/
E
wkrótce znika. Istnieją jednak dielektryki - elektrety, które są zdolne
podtrzymywać długo stan spolaryzowanego dielektryka.
Z doświadczeń wynika, że dla większości z dielektryków wektor polaryzacji
)
,
,
(
z
y
x
P
jest wprost proporcjonalny do natężenia pola elektrycznego działającego na cząstki we
wnętrzu dielektryka
)
(
/
0
0
0
E
E
E
P
+
⋅
=
=
χ
ε
χ
ε
. (18.5)
Współczynnik
χ
nosi nazwę podatności dielektrycznej substancji.
226
Substancje, dla których jest słuszny wzór (18.5) będziemy nazywały izotropowymi
dielektrykami.
W przypadku niektórych krystalicznych dielektryków - kryształów, z doświadczeń
wynika, że kierunek wektora polaryzacji P
nie pokrywa się z kierunkiem wektora pola
elektrycznego E
. W tym przypadku wzór (18.5) przyjmuje postać
(
)
z
iz
y
iy
x
ix
i
E
E
E
P
χ
χ
χ
ε
+
+
=
0
. (18.6)
Tu wskaźnik
z
y
x
i
,
,
=
określa składowe wektora polaryzacji. Dziewięć wielkości
ij
χ
tworzą
tak zwany tensor podatności dielektrycznej.
Substancje, dla których jest słuszny wzór (18.6) będziemy nazywały anizotropowymi
dielektrykami.
Zwróćmy uwagę, że nie wszystkie dielektryki zachowują się w polu elektrycznym
zgodnie ze wzorami (18.5) albo (18.6). Istnieje liczna grupa kryształów, która posiada
niezerową polaryzacji nawet w zerowym zewnętrznym polu elektrycznego. Takie
uporządkowane elektrycznie kryształy nazywamy ferroelektrykami. Dla ferroelektryków
przenikalność dielektryczna jest funkcją zewnętrznego pola elektrycznego.
Pole elektryczne we wnętrzu dielektryka
Dla tego, żeby znaleźć pole elektryczne (18.4) w dielektryku, rozpatrzmy płaski
kondensator między okładkami którego znajduje się izotropowy dielektryk. Pole elektryczne
0
E
wytwarzane ładunkami kondensatora jest równe
0
0
ε
σ
=
E
(18.7)
i jest skierowane od lewej okładki kondensatora ku prawej okładce.
σ
jest gęstością
powierzchniowa ładunku.
W wyniku polaryzacji dielektryka (w polu elektrycznym kondensatora) na powierzchni
dielektryka powstają ładunki elektryczne: na lewej powierzchni ujemne końce dipoli
elektrycznych, natomiast na prawej powierzchni - dodatni ładunki spolaryzowanych dipoli
elektrycznych. We wnętrzu dielektryka około ujemnego końca dipolu znajduje się w pobliżu
dodatni koniec sąsiedniego spolaryzowanego dipolu, wskutek czego wypadkowy ładunek
wewnątrz dielektryku wynosi zeru.
227
Nie skompensowane ładunki elektryczne na powierzchni dielektryka nazywamy
ładunkami związanymi. Właśnie ładunki związane na powierzchni dielektryka są źródłem pola
polaryzacji
/
E
. Oznaczając przez
/
σ
gęstość powierzchniową ładunku występującego na
powierzchni dielektryka (ładunku związanego) dla natężenie pola polaryzacji możemy zapisać
0
/
/
ε
σ
=
E
(18.8)
Zwróćmy uwagę, że pole polaryzacji
/
E
ma kierunek przeciwny do pola zewnętrznego
0
E
.
Rozważmy teraz w dielektryku objętość
dS
L
dV
⋅
=
i niech w tej objętości istnieje
dN
zorientowanych dipoli. Polaryzacja dielektryka wynosi
ql
n
dV
dN
p
P
d
=
⋅
=
, (18.9)
gdzie
dV
dN
n
d
/
=
- koncentracja dipoli , a
q
- ładunek dodatni jednego z biegunów dipolu.
228
Na powierzchni
dS
spolaryzowanego dielektryka znajduje się
)
(
l
dS
n
d
⋅
dipoli, a zatem
całkowity związany ładunek powierzchniowy jest równy
q
ldS
n
dS
dQ
d
⋅
=
⋅
σ
=
/
/
. (18.10)
Z tego wzoru wynika, że
P
q
l
n
d
≡
⋅
=
σ
/
. (18.11)
Tu uwzględniliśmy wzór (18.9).
W ogólnym przypadku dowolnej wzajemnej orientacji wektorów E
i P
(patrz wzór
(13.6)) można udowodnić, że zamiast wzoru (18.11) otrzymujemy
n
P
=
σ
/
. (18.12)
Tu
n
P jest składowa wektora polaryzacji P
prostopadła do powierzchni dielektryka.
Po podstawieniu (18.11) do wzoru (18.8) i uwzględnieniu, że wektor polaryzacji P
jest równoległy do pola zewnętrznego
0
E
, a zatem ma kierunek przeciwny niż pole polaryzacji
/
E
znajdujemy
0
/
ε
−
=
P
E
(18.13)
W przypadku izotropowych dielektryków
)
(
/
0
0
0
E
E
E
P
+
⋅
=
=
χ
ε
χ
ε
, a zatem
)
(
/
0
/
E
E
E
+
⋅
−
=
χ
. (18.14)
Skąd
0
/
1
E
E
⋅
+
−
=
χ
χ
. (18.15)
Pole elektryczne we wnętrzu dielektryka składa się z sumy wektorowej pola zewnętrznego
0
E
oraz pola polaryzacji
/
E
. Biorąc pod uwagę wzór (18.15) dla pola elektrycznego we wnętrzu
dielektryka otrzymujemy
χ
+
=
+
=
1
0
/
0
E
E
E
E
. (18.16)
229
Wprowadzając pojęcie przenikalności elektrycznej
ε
:
χ
ε
+
=
1
, (18.17)
wzór (18.16) możemy zapisać w postaci
ε
=
0
E
E
. (18.18)
Ponieważ
1
>
ε
, ze wzoru (18.18) otrzymujemy, że pole elektryczne E
w dielektryku jest
zawsze mniejsze niż pole zewnętrzne
0
E
.
Różnica potencjałów pomiędzy okładkami kondensatora wypełnionego dielektrykiem
jest równa
ε
ε
ϕ
ϕ
0
0
2
1
U
d
E
d
E
U
≡
⋅
=
⋅
=
−
=
, (18.19)
gdzie
d
- odległość między okładkami kondensatora;
d
E
U
⋅
=
0
0
- różnica potencjałów
kondensatora próżniowego.
Więc obecność dielektryka pomiędzy okładkami kondensatora powoduje zmniejszenie
różnicy potencjałów (
ε
/
1
) - krotne, w porównanie z kondensatorem próżniowym o tym
samym ładunku. A więc pojemność kondensatora wypełnionego dielektrykiem (
U
Q
C
/
=
)
wzrasta i wynosi
0
C
C
⋅
=
ε
. (18.20)
Tu
0
0
/U
Q
C
=
- pojemność kondensatora próżniowego.
Wektor indukcji elektrycznej. Prawo Gaussa dla wektorów
P
D
E
,
,
Wyżej udowodniliśmy, że w dielektryku pole elektryczne składa się z sumy wektorowej
pola zewnętrznego
0
E
oraz pola polaryzacji
/
E
. Źródłem pola zewnętrznego
0
E
są ładunki
swobodne (ładunki na okładkach kondensatora), natomiast źródłem pola polaryzacji
/
E
są
ładunki związane, które powstają wskutek polaryzacji dielektryka. Oznaczając przez
sw
Q
algebraiczną sumę ładunków swobodnych, a przez
p
Q - algebraiczną sumę ładunków
związanych, prawo Gaussa dla pola elektrycznego E
możemy zapisać w postaci
230
)
(
1
0
p
sw
S
Q
Q
S
d
E
+
=
⋅
∫
ε
. (18.21)
Wzór (18.21) jest mało przydatny dla wyliczenia pola elektrycznego E
w dielektryku
ponieważ ładunek polaryzacyjny
p
Q w prawej części równania (18.21) jest funkcją
niewiadomego pola E
. Jednak wyliczenie pola E
w dielektryku znacznie może uprościć się
jeżeli wprowadźmy dodatkową wielkość nazywaną indukcją elektryczną
P
E
D
+
=
0
ε
. (18.22)
Korzystając z (18.5) i (18.17), wzór (18.22) możemy zapisać w postaci
E
E
E
E
P
E
D
⋅
=
⋅
+
=
+
=
+
=
ε
ε
χ
ε
χ
ε
ε
ε
0
0
0
0
0
)
1
(
. (18.23)
Najpierw zwróćmy uwagę, że wektor D
ma taką samą wartość na zewnątrz oraz
wewnątrz dielektryka. Istotnie, zgodnie ze wzorem (18.18) wektor D
we wnętrzu dielektryka
wynosi
0
0
0
0
0
E
E
E
D
ε
ε
ε
ε
ε
ε
=
=
=
. (18.24a)
Na zewnątrz dielektryka
0
=
P
,
0
E
E
=
a zatem ze wzoru (18.22) mamy
0
0
E
D
ε
=
. (18.24b)
Z porównania (18.24a) i (18.24b) widzimy że wektor indukcji elektrycznej D
z dokładnością
do współczynnika
0
ε
pokrywa się z zewnętrznym polem elektrycznym.
Źródłem pola zewnętrznego
0
E
są ładunki swobodne, a zatem dla tego pola prawo
Gaussa ma postać
0
0
ε
sw
S
Q
S
d
E
=
⋅
∫
. (18.25)
Po podstawieniu (18.24) do wzoru (18.25) otrzymujemy prawo Gaussa dla wektora D
sw
S
Q
S
d
D
=
⋅
∫
. (18.26)
231
W prawej stronie równania (18.26) jest tylko całkowity ładunek swobodny.
Korzystając ze wzorów (18.21) i (18.26) łatwo znaleźć prawo Gaussa dla wektora P
:
)
(
1
1
0
0
p
sw
S
S
S
Q
Q
S
d
P
S
d
D
S
d
E
+
=
⋅
−
⋅
=
⋅
∫
∫
∫
ε
ε
. (18.27)
Skąd, z uwzględnieniem (18.26) otrzymujemy
p
S
Q
S
d
P
−
=
⋅
∫
. (18.28)
Skorzystamy teraz z twierdzeniem Gaussa - Ostrogradskiego
∫
∫
⋅
=
⋅
V
S
dV
A
div
S
d
A
. (18.29)
Tu
)
,
,
(
z
y
x
A
- dowolne pole wektorowe.
Biorąc pod uwagę wzór (18.29) ze wzoru (18.21) otrzymujemy
0
)
(
1
0
=
⋅
+
−
∫
V
p
sw
dV
E
div
ρ
ρ
ε
, (18.30)
gdzie
sw
ρ
- gęstość objętościowa ładunków swobodnych, a
p
ρ
- gęstość objętościowa
ładunków związanych.
Skąd
)
(
1
0
p
sw
E
div
ρ
ρ
ε
+
=
. (18.31)
W podobny sposób ze wzorów (18.26) i (18.28) otrzymujemy
sw
D
div
ρ
=
, (18.32)
p
P
div
ρ
−
=
. (18.33)
Wzory (18.31) - (18.33) nazywają się różniczkowymi (lokalnymi) postaciami praw Gaussa dla
wektorów
P
D
E
,
,
.
232
Warunki graniczne dla wektorów
P
D
E
,
,
na powierzchni styku dielektryków
Z praw Gaussa dla wektorów
P
D
E
,
,
wynika, że wektor indukcji pola elektrycznego
D
wiąże się wyłącznie z ładunkami swobodnymi. A zatem linii pola wektora D
zaczynają się i
kończą się na ładunkach swobodnych.
Wektor polaryzacji P
jest związany wyłącznie z ładunkami związanymi. A więc linii
pola wektora P
zaczynają się i kończą się na ładunkach polaryzacyjnych.
Wektor natężenia pola elektrycznego E
jest związany ze wszystkimi ładunkami. A
zatem jedna część linii pola wektora E
zaczynają się i kończą się na ładunkach swobodnych, a
druga część linii pola wektora E
zaczynają się na ładunkach swobodnych (albo związanych) a
kończy się na ładunkach związanych (albo swobodnych).
Zachowanie wektora D
na powierzchni styku dielektryków znajdziemy korzystając z
prawa Gaussa dla tego wektora.
+ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + + +
D
ε
0
E
P
Na powierzchni styku dielektryków brak ładunków swobodnych, a zatem stosując
prawo Gaussa dla wektora D
(18.26) otrzymujemy:
(
)
0
=
=
=
⋅
∫
∫
sw
n
Q
dS
D
S
d
D
.
Skąd mamy
0
2
1
=
−
S
D
S
D
n
n
albo
2
1
n
n
D
D
=
,
2
2
1
1
n
n
E
E
ε
ε
=
. (18.34)
233
Zachowanie wektora E
na powierzchni styku dielektryków znajdziemy korzystając z
potencjalności pola elektrostatycznego.
Praca sił potencjalnych wzdłuż zamkniętego obwodu jest równa zeru
(
)
0
∫
∫
=
=
⋅
dl
E
l
d
E
τ
.
Skąd mamy
0
2
1
=
−
l
E
l
E
τ
τ
albo
2
1
τ
τ
E
E
=
,
2
2
1
1
ε
ε
τ
τ
D
D
=
. (18.35)
234
Ze wzorów (18.34) i (18.35) wynika następujący wzór na załamanie linii pola
elektrycznego na powierzchni styku dielektryków
2
1
2
1
ε
ε
α
α
=
tg
tg
. (18.36)
Zachowanie wektora P
na powierzchni styku dielektryków znajdziemy korzystając ze
wzoru (18.12):
n
P
=
σ
/
.
/
2
/
1
2
1
σ
σ −
=
−
n
n
P
P
. (18.37)
Energia układu ładunków. Energia pola elektrycznego
W mechanice udowodniliśmy, że energia potencjalna dwóch oddziałujących
grawitacyjnie punktów materialnych jest równa prace którą musimy wykonać przy
przenoszeniu jednego z punktów w nieskończoność. Siła Coulomba, określająca oddziaływania
dwóch ładunków
1
Q i
2
Q jest podobna do siły grawitacyjnej, a zatem energia potencjalna
oddziaływania dwóch ładunków wynosi
12
2
1
2
2
1
12
12
r
Q
Q
k
dr
r
Q
Q
k
A
W
r
=
⋅
=
≡
∫
∞
. (18.38)
Tu
0
4
/
1
πε
=
k
.
Zapiszmy wzór (18.38) w postaci
2
21
2
12
1
12
2
1
12
ϕ
+
ϕ
≡
=
Q
Q
r
Q
Q
k
W
, (18.39)
gdzie
12
2
12
r
Q
k
=
ϕ
jest potencjałem pola elektrycznego wytwarzanego ładunkiem
2
Q w miejscu gdzie znajduje się
ładunek
1
Q . Odpowiednio
12
1
21
r
Q
k
=
ϕ
235
jest potencjałem pola elektrycznego wytwarzanego ładunkiem
1
Q w miejscu gdzie znajduje się
ładunek
2
Q .
Jeżeli teraz do układu dwóch ładunków
1
Q i
2
Q dodajemy trzeci ładunek
3
Q , to do
energii potencjalnej
12
W musimy dodać energię oddziaływania ładunków
3
Q i
1
Q
2
31
3
13
1
13
3
1
13
ϕ
+
ϕ
≡
=
Q
Q
r
Q
Q
k
W
, (18.40)
oraz energię oddziaływania ładunków
3
Q i
2
Q
2
32
3
23
2
23
3
2
23
ϕ
+
ϕ
≡
=
Q
Q
r
Q
Q
k
W
. (18.41)
Wtedy całkowita energia potencjalna układu trzech ładunków wynosi
∑
=
ϕ
⋅
=
ϕ
+
ϕ
+
ϕ
+
ϕ
+
ϕ
+
ϕ
≡
+
+
=
3
1
32
31
3
23
21
2
13
12
1
23
13
12
2
1
2
)
(
)
(
)
(
i
i
i
Q
Q
Q
Q
W
W
W
W
. (18.42)
Tu
∑
≠
ϕ
=
ϕ
i
j
ij
i
jest potencjałem pola elektrycznego w miejscu znajdowania się ładunku
i
Q
wytwarzanego pozostałymi ładunkami.
W przypadku
N
ładunków uogólniając wzór (18.42) otrzymujemy następujący wzór
na energię potencjalną
N
oddziałujących ładunków
∑
=
ϕ
⋅
=
N
i
i
i
Q
W
1
2
1
. (18.43)
Rozważmy teraz odosobniony przewodnik, którego ładunek, pojemność oraz potencjał
wynoszą: Q ,
C
,
ϕ
. Zmniejszymy ładunek przewodnika o mały ładunek
ϕ
⋅
−
=
d
C
dQ
. Przy
oddaleniu tego ładunku od przewodnika na nieskończoność siły elektryczne będą wykonywały
pracę
ϕ
ϕ
−
=
⋅
ϕ
=
d
C
dQ
dA
. A zatem przy całkowitym rozładowaniu przewodnika od Q do
zera, siły elektryczne wykonują pracę
2
2
0
ϕ
=
ϕ
ϕ
−
=
=
∫
∫
ϕ
C
d
C
dA
A
. (18.44)
236
Wzór (18.44) określa energię potencjalną naładowanego przewodnika
2
2
ϕ
C
W
=
. (18.45)
W podobny sposób znajdujemy, że energia potencjalna kondensatora wynosi
C
Q
QU
CU
W
2
2
2
2
2
=
=
=
. (18.46)
Tu Q - ładunek jednej z okładek kondensatora, a
U
- napięcie między okładkami
kondensatora.
Biorąc pod uwagę, że w przypadku kondensatora płaskiego
d
S
C
/
0
⋅
=
ε
ε
i
d
E
U
⋅
=
,
wzór (18.46) możemy zapisać w postaci
V
D
E
Sd
E
E
d
E
d
S
CU
W
2
2
2
)
(
)
/
(
2
0
2
2
0
2
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
=
ε
ε
ε
ε
, (18.47)
gdzie
Sd
V
=
- objętość dielektryka znajdującego się między okładkami kondensatora.
Ze wzoru (18.47) wynika, że na jednostkę objętości dielektryka przypada energia
potencjalna
2
D
E
V
W
w
⋅
=
=
. (18.48)
Wielkość
w
, określona wzorem (18.48), nosi nazwę gęstości objętościowej energii pola
elektrycznego.
W ogólnym przypadku dowolnej wzajemnej orientacji wektorów E
i D
(na przykład
w dielektryku anizotropowym) można udowodnić, że zamiast wzoru (18.48) otrzymujemy
2
)
(
D
E
w
⋅
=
. (18.49)
Mimo że wzór (18.48) wyprowadzono dla specjalnego przypadku kondensatora płaskiego, ten
wzór a raczej wzór (18.49) jest słuszny ogólnie: jeżeli w punkcie przestrzeni istnieje pole
elektryczne o natężeniu E
, to możemy uważać, że w punkcie tym jest zmagazynowana energia
w ilości
( )
2
/
D
E
⋅
na jednostkę objętości.
237
Ponieważ, zgodnie z (18.22)
P
E
D
+
=
0
ε
, ze wzoru (18.49) otrzymujemy
( )
2
2
2
)
(
2
0
P
E
E
D
E
w
⋅
+
=
⋅
=
ε
. (18.50)
Pierwszy wyraz po prawej stronie równania (18.50) określa prace którą musimy
wykonać przy wytworzeniu w jednostce objętości pola elektrycznego o natężeniu E
. Drugi
wyraz w równaniu (18.50) jest równy pracy, która wykonuje pole elektryczne przy polaryzacji
jednostki objętości dielektryka.
Jeżeli pole elektryczne nie jest jednorodne, energię zmagazynowaną w objętości
V
określa następujące wyrażenie
∫
⋅
=
V
dV
D
E
W
)
(
2
1
. (18.51)
238