GRANICA CIĄGU LICZBOWEGO – ZADANIA 

1. 





5

3

7

lim

3

4











n

n

n

 

2. 





3

3

2

lim

2

4

6













n

n

n

n

n

 

3. 

7

2

3

1

3

5

lim

3

4

2

4















n

n

n

n

n

n

 

4. 

2

3

2

2

lim

2

5

2

3















n

n

n

n

n

n

 

5. 

5

1

lim

4

3

7













n

n

n

n

 

6. 







 



2

3

1

4

1

2

lim

5

5

3

2

10











n

n

n

n

 

7. 







 



13

5

5

2

3

20

4

4

3

5

2

1

3

lim

n

n

n

n

n













 

8. 

2

3

4

lim

2









n

n

n

 

9. 

4

8

2

3

6

1

625

1

8

lim











n

n

n

n

 

10. 

3

5

15

2

3

6

3

1

lim

n

n

n

n

n

n













 

11. 





n

n

n

n









2

lim

 

12. 

n

n

n

2

7

4

1

lim

2









 

13. 





n

n

n

n









3

2

3

4

lim

 

14. 





5

2

8

.

0

lim









n

n

n

 

15. 

3

25

8

10

5

3

lim

2

2

2

















n

n

n

 

16. 

4

7

5

3

lim









n

n

n

 

17. 

1

5

3

9

lim









n

n

n

  

18. 

n

n

n

3

1

1

lim



















 

19. 

n

n

n



















2

1

lim

 

20. 

n

n

n

4

5

1

lim



















 

21. 

n

n

n

n

2

3

7

lim























 

22. 

n

n

n



















2

1

1

lim

 

23. 

n

n

n

n





















1

2

1

3

lim

 

 

GRANICE CIĄGU 

Logarytm naturalny 

Stała Eulera : 

7182

.

2



e

 

Definicja: 

a

a

e

log

ln



, 

0



a

 

Własność: 

A

e

A

ln



 

WŁASNOŚCI (DZIAŁANIA NA GRANICACH NIEWŁAŚCIWYCH): 

1. 









c

 

5. 











c

  

12. 

0





c

 

18. 









0

c

 

22. 







m

 

27. 







e

 

2. 











c

 

6. 











c

 

13. 

0

0





 

19. 









0

c

 

23. 













m

2

 

28. 

0





e

 

3. 











 

7. 













c

 

14. 









0

 

20. 









0

c

  24. 













1

2m

 

29. 







ln

 

4. 













 

8. 













c

 

15. 









0

 

21. 









0

c

  25. 







m

 

30. 







0

ln

 

 

9. 











 

16. 











0

   

26. 









1

2m

 

 

 

10. 













 

17. 











0

 

 

 

 

 

11. 



















 

 

 

 

 

SYMBOLE NIEOZNACZONE: 

0

0

, 





, 





0

, 







, 

0

0 , 

0

 , 



1

~

 

TWIERDZENIA (GRANICE PODSTAWOWE): 

1. 

c

c

n







lim

 

2. 

1

lim







n

n

a

, 



 R

a

 

e

n

n

n





















1

1

lim

 

3. 

1

lim







n

n

n

 





































,

a

a

,

a

a

n

n

1

dla

1

dla

1

1

1

dla

0

lim

 

e

a

n

n

a

n

a























1

1

lim