1
Granica ciągu
1. Oblicz granice następujących ciągów:
(a) a
n
= −2 −
3
n
b
n
= n −
1
n
c
n
=
n+1
n
2
d
n
=
n
2
n
(b) a
n
= (
3n
2
+n−2
4n
2
+2n+7
)
2
b
n
=
cos n
3
2n
−
3n
6n+1
c
n
=
n
2
+sin n+3
4n
2
−n
3
d
n
=
3
n
+n
2
2n
2
+1
(c) a
n
=
√
n
2
+ n + 1 −
√
n
2
− n + 1
b
n
= n
2
(n −
√
n
2
+ 1)
2. Oblicz granice wwykorzystując liczbę Eulera:
(a) a
n
= (
n+10
2n−1
)
n
b
n
= (1 +
3
n
2
)
n
2
+3
c
n
= (
5n+2
5n+1
)
15n
(b) a
n
= (
n
2
n
2
+1
)
n
2
b
n
= (
n+4
n+3
)
5−2n
c
n
= (1 +
1
n
)
3n−2
(c) a
n
= [(
3n+2
5n+2
)
n
· (
5n+3
3n+1
)
n
]
3. Oblicz granice wykorzystując twierdzenie o trzech ciągach:
(a) a
n
=
n
√
n
2
+ 2
n
b
n
=
n
√
n
10
+ n!
c
n
=
n+2
√
3
n
+ 4
n+1
(b) a
n
=
n
√
3 + sin n
b
n
=
2n
2
+sin n1
4n
2
−3 cos n
2
c
n
=
2
n
sin n
3
n
+1
(c) a
n
=
n
q
1
n
+
2
n
2
+
3
n
3
+
4
n
4
b
n
=
n
√
1 + 5n
2
+ 3n
5
(d) a
n
=
1
n
2
+1
+
1
n
2
+2
+ . . . +
1
n
2
+n
1