Analiza matematyczna
Ciągi liczbowe
1.Zbadać monotoniczność i ograniczoność ciągu:
a) Odp: monotonicznie rosnący i ograniczony.
b) Odp: nie jest monotoniczny i jest ograniczony.
c) Odp: nierosnący i ograniczony.
d) Odp: nie jest monotoniczny i nie jest ograniczony.
e) Odp: rosnący i ograniczony.
f) Odp: rosnący i ograniczony z dołu.
2.Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że
a); b); c) ;
d) ; e)
3.Obliczyć granicę ciągu
a) . Odp: b) Odp: ∞.
c) Odp: d) Odp:
e)Odp: f) Odp:
g) Odp: h) Odp:
i) Odp: 0; j) Odp:
k) Odp: l) Odp:
m) Odp: n) Odp:
o) Odp: ; p) Odp: 1;
r) Odp:1; s) Odp: 5; t) Odp: 6;
Granica i ciągłość funkcji
1.Korzystając z definicji granicy w sensie Heinego obliczyć
a) Odp: b) Odp: c) Odp:
d) Odp: 4 e) Odp: f) Odp:
2. Korzystając z definicji granicy w sensie Heinego wykazać , że nie istnieje granica
a) b) c) d)
3.0bliczyć granice funkcji
a) Odp: -1 b) Odp: c) Odp:
d)Odp: e) Odp: f) Odp:
g)Odp: h) Odp: i) Odp:
j) Odp: k) Odp: l) Odp: n) 0dp:
o)Odp: p) Odp: r) 0dp:
s) Odp: t) Odp: u) Odp:
v) Odp: w) Odp: z) Odp:
4. Zbadać ciągłość funkcji
a) b)
Odp: w punkcie ciągła lewostronnie Odp: w punkcie ciągła prawostronnie
c) d)
Odp: w punkcie ciągła prawostronnie Odp: w punkcie ciągła prawostronnie
e) f)
Odp: nieciągła w punkcie Odp: nieciągła w punkcie x=0
5. Wyznaczyć asymptoty funkcji
a) b) c)
Odp: asymptota pionowa obustronna Odp: asymptota ukośna w Odp: asymptota pozioma
o równaniu asymptota o równaniu równaniu ;
ukośna o równaniu oraz w o rów.
d) e)
Odp: asymptota pionowa obustronna o równaniu Odp: asymptota pionowa prawostronna
asymptota pozioma w o rów: o równaniu asymptota ukośna
oraz w o rów: w o równaniu
Pochodne funkcji
1.Korzystając z definicji obliczyć pochodną funkcji w punkcie
a) ; Odp: b); Odp:
c); Odp: d) Odp:
e) ; Odp:
f) Odp: -nie istnieje.
2.Obliczyć pochodną funkcji
a) b) c)
Odp: Odp: Odp:
d) e) f)
Odp: Odp: Odp:
g) h) i)
Odp: Odp: Odp:
j) k) l)
Odp: Odp: Odp:
3.Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji
a) b) c)
Odp: Odp: Odp:
d) e) f)
Odp: Odp: Odp:
4.Wykazać, że funkcja spełnia równanie różniczkowe
a) b) c) d) ;
5.Znaleźć równanie stycznej do krzywej w punkcie o odciętej gdy
a); Odp: b); Odp: c); Odp: d); Odp:
6.Znaleźć różniczkę funkcji w punkcie na przyroście argumentu gdy
a) dla Odp:
b) dla Odp:
c) dla Odp:
7.Obliczyć przyrost funkcji i różniczkę funkcjiw punkcie na przyroście argumentu , gdy
a) dla b) dla
Odp;0,41 Odp:
8.Korzystając z różniczki obliczyć przybliżone wartości liczb
a) Odp: 2,002 b) Odp: c) Odp: 0,765
d) Odp:-0,03 e) Odp: f) Odp: 0,57
9.Korzystając z reguły de l’Hospitala obliczyć granice
a) Odp: 0 b) Odp: c) Odp:
d) Odp: 0 e) Odp: f) Odp:
g) Odp:1 h) Odp: i) Odp: 1
j) Odp: k) Odp: 1 l) Odp:
10.Zbadać monotoniczność i wyznaczyć ekstrema funkcji f gdy
a) Odp: ; maleje w i , rośnie w .
b) Odp: ; maleje w ,
rośnie w i .
c) Odp: maleje w rośnie
w i.
d) Odp: brak ekstremum; maleje w (-.
11.Korzystając z drugiego warunku dostatecznego zbadać czy funkcjama ekstremum w punkcie:
a) dla Odp:
b) dla Odp:
c) dla Odp: brak ekstremum
12.Wyznaczyć najmniejszą największą wartość funkcji f w danym przedziale
a)dla Odp:
b) dla Odp:
c*) dla Odp: ; .
d) dla Odp:
e) dla Odp:
13.Wyznaczyć punkty przegięcia i przedziały monotoniczności funkcji
a) Odp: wypukła w i, wklęsła w .
b) Odp: wklęsła w , wypukła w .
c) Odp: wypukła w wklęsła w (0,2].
d) Odp: brak punktów przegięcia; wklęsła w , wypukła w .
14. Zbadać funkcję i narysować wykres
a) .Odp: asymptota pionowa prawostronna: asymptota ukośna w () i () : ; rosnąca w i wklęsła w i, wypukła w
b) Odp: asymptota pionowa prawostron;na: asymptota ukośna w;
rosnąca w malejąca w
wklęsła w , wypukła w
c) Odp: asymptota pozioma wi ostrze,
rosnąca w malejąca w wypukła w i
d) Odp: asymptota pionowa prawostronna: asymptota ukośna w i :
rosnąca w imalejąca w
wklęsła w wypukła w
e) Odp: asymptota pionowa prawostronna:asymptota pozioma w ;
rosnąca w malejąca w,
wklęsła w wypukła w
f) Odp: asymptota ukośna w i ;
rosnąca wi malejąca w ;
wklęsła w wypukła w