1

1 17-go spotykamy si¦ na wykªadzie z matematyki rano o 8:00!!!
2 Geometria analityczna w R

3

1. Wyznacz wektor ~u, le»acy w pªaszczy¹nie Oxy, prostopadªdo wektora ~v = (5; 3; 4), i majacy dªugo±¢ równa wektorowi

~v.

2. Rozªó» wektor ~

AB na kierunki ~

AC, ~

AD, gdzie A = ( 2; 0; 3); B = (1; 2; 3); C = (2; 1; 4); D = ( 2; 3; 5).

3. Wyznacz wektor jednostkowy prostopadªy jednocze±nie do wektora ~v = (3; 6; 8), i do osi Ox.

4. Oblicz pole trójkata ABC oraz kat przy wierzchoªku C je±li A(1; 0; 1); B(0; 1; 2); C(2; 1; 0).
5. Oblicz pole trójk¡ta rozpi¦tego na wektorach ~u = (1; 1; 1) oraz ~

AB, gdzie A = (0; 1; 2); B = ( 2; 3; 3).

6. Oblicz pole trójk¡ta o wierzchoªkach A; B; C, gdzie A = ( 2; 0; 3); B = ( 1; 2; 3); C = (2; 1; 4).

7. Oblicz pole równolegªoboku o trzech kolejnych wierzchoªkach A; B; C, gdzie A = ( 2; 0; 3); B = ( 1; 2; 3); C = (2; 1; 4).

8. Oblicz obj¦to±¢ czworo±cianu o wierzchoªkach A; B; C; D, gdzie A = ( 1; 1; 3); B = (1; 2; 3); C = ( 2; 1; 4); D =

(0; 1; 0).
9. Wyznacz rzuty wektora ~

AB na wektory pozostaªych boków w czworo±cianie poprzedniego zadania.

10. Sprawd¹, czy punkty A = (1; 1; 1); B = (0; 2; 3); C = (2; 1; 0); D = (2; 3; 5) nale»¡ do jednej pªaszczyzny.

11. Sprawd¹, czy wektory ~u = (5; 3; 4);~v = (0; 3; 1); ~w = (2; 2; 3) le»¡ na jednej pªaszczy¹nie.

12. Objeto±¢ czworo±cianu ABCD o wierzchoªkach A(2; 0; 1); B(3; 1; 1); C(2; 2; 3) jest równa 3. Wyznacz punkt D,

wiedzac, »e le»y on na osi Oy.

13. Napisz równanie pªaszczyzny przechodzacej przez punkt P = (0; 1; 2) i prostopadªej d0 wektora ~n = ( 2; 3; 4).

14. Napisz równanie pªaszczyzny przechodzacej przez punkty P = (0; 1; 2); Q = (2; 3; 4); R = (0; 2; 5).

15. Napisz równanie pªaszczyzny przechodzacej przez punkty P = (0; 1; 0); Q = (2; 0; 0) i prostopadªej do pªaszczyzny 0xy.

16. Napisz równanie pªaszczyzny przechodzacej przez punkt P = (0; 1; 2) i równolegªej do pªaszczyzny 0xz.

17. Napisz równanie pªaszczyzny przechodzacej przez punkt P = (0; 1; 2) i równolegªej do pªaszczyzny  : x + 3y z + 1 = 0.

18. Napisz równanie pªaszczyzny przechodzacej przez poczatek ukªadu wspóªrzednych oraz prosta l : fx + 3y

z + 1 =

0; 2x y + 2z + 5 = 0g:

19. Napisz równanie ogólne pªaszczyzny  je±li wiadomo, »e P

0

(1; 1; 1) 2  oraz l   gdzie l : fx = t; y = 1 + t; z = 2 tg:

20. Wyznacz odlegªo±¢ punktu P (2; 1; 1) od prostej l :

x+1

1

=

y 1

1

=

z

2

:

21. Wyznacz sinus kata nachylenia prostej AB do prostej AC, gdzie A(0; 1; 1), B(0; 1; 5) natomiast C jest punktem przebicia

pªaszczyzny Oxy prosta l: f

x 1

2

= y 1 =

z 1

1

g.

22. Wyznacz rzut punktu A(3; 1; 2) na pªaszczyzne  : 3x + y z + 5 = 0.

23. Wyznacz odlegªo±¢ punktu P (2; 1; 1) od prostej l :

x+1

1

=

y 1

1

=

z

2

:

24. Napisz równanie pªaszczyzny przechodzacej przez poczatek ukªadu wspóªrzednych oraz prosta l : fx + 3y

z + 1 =

0; 2x y + 2z + 5 = 0g:

25. Wyznacz sinus kata nachylenia prostej AB

0

do prostej AC, gdzie A(0; 1; 1), B

0

jest rzutem punktu B(0; 1; 5) na prosta

l : f

x 1

2

= y 1 =

z 1

1

g, C jest punktem przebicia pªaszczyzny Oxy prosta l.

26. Napisz równanie parametryczne i kierunkowe prostej przechodzacej przez punkt A(1; 1; 2) i równolegªej do wektora

~v = (2; 2; 4).

27. Napisz równanie parametryczne i kierunkowe prostej przechodzacej przez punkty A( 2; 1; 2); B = (0; 3; 4).

28. Napisz równanie parametryczne i kierunkowe prostej przechodzacej przez punkt A( 2; 1; 2) i prostopadªej do pªaszczyzny

 : 2x y + 2z + 5 = 0.

29. Napisz równanie prostej przechodzacej przez punkty A(3; 1; 2), B(5; 0; 4), a nastepnie wyznacz jej rzut na pªaszczyzne

 : 3x + y z + 5 = 0.
30. Wyznacz rzut prostokatny P

0

punktu P (1; 1; 1) na pªaszczyzne  : x + 2y z + 3 = 0. Oblicz dªugo±¢ wektora

!

P P

0

.

31. Wyznacz tangens kata nachylenia prostej AB, gdzie A( 1; 2; 3); B( 1; 3; 3) do pªaszczyzny  zawierajacej proste

l

1

: fx = y = zg; l

2

: fx = y = zg.

32. Napisz równanie ogólne i parametryczne pªaszczyzny przechodzacej przez punkt P (4; 1; 6) oraz prosta l : fx =

3 + 2t; y = 5 4t; z = 7 + 3t; t 2 Rg.

33. Wyznacz odlegªo±¢ punktów przebicia pªaszczyzn  i 

1

prosta l, gdzie l :

x 3

5

=

y+1

1

=

z 4

1

,  : 2x 2y + 3z 13 = 0,

natomiast 

1

: x + 2y z + 3 = 0.

34. Wyznacz parametr a tak, aby pªaszczyzny 

1

; 

2

; 

3

: (i) posiadaªy jeden punkt wspólny, (ii) przecinaªy sie wzdªu»

prostej. Wyznacz rozwiazania w obu przypadkach dla 

1

: 2x + y z = 0; 

2

: 4x + ay + a = 0; 

3

: 2x + z + 3 = 0.

35. Wyznacz punkt przeci¦cia prostych l

1

:

x 1

1

=

y+3

2

=

z 1

3

; l

2

:

x 1

2

=

y 2

1

=

z 3

4

.

36. Wyznacz punkt przeci¦cia prostej l :

x 1

1

=

y+3

2

=

z 1

3

i pªaszczyzny  : x + y + z 5 = 0.