Z. Nagórski. Ćwiczenie laboratoryjne nr 12:

Badania eksperymentalne i symulacyjne przepływu ciepła w modelu radiatora

- 1 -

Opracował: dr inż. Zdzisław Nagórski

Ćwiczenie laboratoryjne nr 12

:

BADANIA EKSPERYMENTALNE I SYMULACYJNE PRZEPŁYWU

CIEPŁA W MODELU RADIATORA

A. Wprowadzenie

Podzespoły silników cieplnych wymagają mniej lub bardziej intensywnego chłodzenia

w celu zachowania wymaganej temperatury eksploatacyjnej elementów i czynników robo-
czych. Przepływ ciepła między medium roboczym (np. spaliny, sprężone powietrze, oleje
smarujące, płyny chłodzące) a otoczeniem (zwykle powietrze) odbywa się poprzez ścianki
elementów silnika. Ścianki te mogą mieć powierzchnie „gładkie” lub – najczęściej – jed-
nostronnie użebrowane. Użebrowanie stanowi zasadniczą część radiatora cieplnego i służy
celowej intensyfikacji przepływu ciepła między dwoma czynnikami o różnych temperatu-
rach. Najczęściej radiator jest tak ukształtowany, że powierzchnia „cieplejsza” jest znacz-
nie mniejsza od powierzchni „zimniejszej”. Ilość ciepła przepływającego przez pojedyncze
żebro zależy przede wszystkim od właściwości termofizycznych jego materiału, po-
wierzchni żebra kontaktującej się z płynem, różnicy temperatury między płynami i szybko-
ści ich przepływu.

B. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia o charakterze eksperymentalno - symulacyjnym jest poznanie i analiza

procesu przepływu ciepła w modelu radiatora (pojedyncze żebro) oraz czynników decydu-
jących o intensywności tego procesu. Badania eksperymentalne rozkładu temperatury na
powierzchni żebra w wybranych stanach cieplnych zostaną wykorzystane w modelu symu-
lacyjnym ustalonego przepływu ciepła w radiatorze i będą podstawą do wyznaczenia

dwuwymiarowego pola temperatury w przekroju poprzecznym radiatora oraz innych wiel-
kości cieplnych, charakteryzujących badany proces. Wyznaczone w tym przekroju pole
temperatury będzie podstawą do analizy przepływu ciepła w modelu radiatora.

C. Stanowisko do badania temperatury powierzchni radiatora

Na rys. 1 pokazano strukturę stanowiska do eksperymentalnych badań przepływu ciepła

w modelu radiatora. Stanowisko składa się z (rys. 1a):

- obiektu badanego, którym jest pojedyncze żebro radiatora wykonane z kawałka sta-

lowego teownika. Żebro jest usytuowane w poziomie i może być chłodzone powie-
trzem w sposób naturalny lub wymuszony wentylatorem,

- zespołu grzałek zasilanych z autotransformatora o regulowanej mocy, które ogrzewa-

ją płaską, tylną powierzchnię żebra (teownika). Pomiar prądu I i napięcia U zasilają-
cego grzałki jest podstawą do obliczenia mocy elektrycznej N

el

dostarczanej do grza-

Z. Nagórski. Ćwiczenie laboratoryjne nr 12:

Badania eksperymentalne i symulacyjne przepływu ciepła w modelu radiatora

- 2 -

łek z zależności

]

A

[

]

[V

]

[W

I

U

N

el

(1)

Zakłada się, że izolacja cieplna grzałek jest tak dobra, że starty ciepła do otoczenia
można zaniedbać. Oznacza to, że strumień ciepła przepływający przez żebro

[W]

Q

jest równy mocy elektrycznej N

el

doprowadzonej do grzałek,

- wentylatora, który pozwala zmieniać intensywność chłodzenia powietrzem pozosta-

łych powierzchni żebra,

a)

I(A)

U(V)

220 V

Autotransformator

Grzałki

Izolacja cieplna

Żebro

Tył żebra

8G 7G 6G 5G 4G 3G 2G 1G

8D 7D 6D 5D 4D 3D 2D 1D

0S

9G

10G

9D

10D

Tot

Termoelementy Fe-Konst.

Fe

Termoelementy Fe-Konst.

Powietrze

b)

8G 7G 6G 5G 4G 3G 2G 1G

8D 7D 6D 5D 4D 3D 2D 1D

0S

9G

10G

9D

10D

Termoelementy

Fe

-

Konst.

Fe

mV

Termostat „zimnych”

końców

T

ot

Spoiny „gorące”

U

i

[mV] T

i

[K]

PC

T

i

Model żebra w Excelu

Rys. 1. Schemat stanowiska do badania przepływu ciepła w modelu żebra:

a) struktura blokowa stanowiska,
b) wielopunktowy układ pomiaru temperatury na powierzchni żebra

- wielopunktowego układu pomiaru temperatury (rys. 1b), który umożliwia pomiar

temperatury w i punktach (nazwanych tu obserwacyjnymi), położonych na chłodzo-
nych powietrzem powierzchniach żebra. Układ ten składa się z i = 21 termopar typu
Fe – Konstantan (stop niklu i chromu), których wspólną masą elektryczną jest mate-

Z. Nagórski. Ćwiczenie laboratoryjne nr 12:

Badania eksperymentalne i symulacyjne przepływu ciepła w modelu radiatora

- 3 -

riał żebra. Dziesięć

termopar znajduje się na górnych (symbol G) powierzchniach że-

bra (termopary oznaczone symbolami 1G -10G), kolejne 10 - na dolnych (symbol D)
powierzchniach żebra (1D - 10D), a jedna termopara umieszczona jest w osi żebra
(0S, symbol S). W punktach pomiaru temperatury złącza drutu konstantanowego
i materiału żebra (żelazo Fe) tworzą spoiny „gorące” termopar, których „zimne” koń-
ce są termostatowane w temperaturze otoczenia T

ot

. W warunkach ustalonej wymiany

ciepła, różnice temperatur „gorących” i „zimnych” końców każdej z i = 21 termopar
generują napięcia termoelektryczne U

i

, które kolejno odczytuje się z miliwoltomie-

rza mV. Po uwzględnieniu charakterystyki napięciowej termopary Fe – Konst. napię-
cia te są przeliczane na lokalne nadwyżki temperatury T

i

powierzchni żebra ponad

temperaturę otoczenia T

ot

wg zależności

i

t

ot

i

i

U

k

T

T

T

(2)

gdzie k

t

jest współczynnikiem charakterystyki napięciowej termopary Fe-Konst.

W niewielkim zakresie zmian tempereatury charakterystykę tę można przyjąć jako li-
niową; wówczas wartość k

t

0,05 mV/K,

- komputera PC, z dwuwymiarowym modelem symulacyjnym ustalonego przepływu

ciepła w żebrze. W modelu, osadzonym w środowisku MS Excel, wykorzystuje się
zmierzone na powierzchni żebra temperatury T

i

. Model symulacyjny przepływu cie-

pła w żebrze, z tak określonymi temperaturami na powierzchni żebra (są to tzw. wa-
runki brzegowe Dirichleta), pozwala wyznaczyć ustalone pole temperatury w we-
wnątrz przekroju poprzecznego żebra, przy wykorzystaniu iteracyjnej metody KM3R
[2].

D. Krótkie repetytorium z wymiany ciepła [1,3]

Strumień ciepła

Q

[W] przepływający przez izotropową ścianę o powierzchni F jest -

zgodnie z prawem Fouriera (rys. 2a) – wprost proporcjonalny do ujemnego gradientu tem-
peratury. Prawo to stosuje się do przepływu ciepła w substancjach, których cząsteczki nie
mogą się przemieszczać; przepływ ciepła odbywa się tu głównie za pośrednictwem swo-
bodnych elektronów i fononów (drgania oscylacyjne atomów). Prawo Fouriera (nazywane
także prawem przewodzenia ciepła) wyraża równanie

g

T

T

F

g

T

T

F

q

F

Q

2

1

1

2





(3)

gdzie: T

1

i T

2

(tu T

1

> T

2

) – temperatury izotermicznych powierzchni zewnętrznych ściany

o grubości g,

[W/(m K)] – współczynnik przewodzenia ciepła, który dla różnych materiałów

technicznych może przyjmować wartości od ok. 0,001 do ok. 400 W/(m K),

q

[W/m

2

] – powierzchniowa gęstość strumienia ciepła.

Należy wyjaśnić, że izotermy są powierzchniami lub liniami o takiej samej temperatu-

rze, a adiabaty (doskonała izolacja cieplna) powierzchniami lub liniami, przez które nie
przepływa ciepło. W dowolnym ciele, przez które przepływa ciepło, powierzchnie (lub
linie) izotermiczne są zawsze prostopadłe do powierzchni (lub linii) adiabatycznych

Z. Nagórski. Ćwiczenie laboratoryjne nr 12:

Badania eksperymentalne i symulacyjne przepływu ciepła w modelu radiatora

- 4 -

(o takich powierzchniach lub liniach mówi się, że są ortogonalne lub harmonicznie sprzę-
żone). W materiale żebra przepływ ciepła odbywa się przez przewodzenie.

Ciepło przepływające wewnątrz żebra dopływa do jego powierzchni zewnętrznych

i jest odbierane przez płyn (tu powietrze). Zjawisko wymiany ciepła między powierzchnią
ciała a płynem (lub między płynem i powierzchnią ciała) - nazywane konwekcyjnym
przejmowaniem ciepła - występuje w substancjach, których cząsteczki mogą się prze-
mieszczać swobodnie lub w sposób wymuszony. Taką cechę mają ciecze i gazy (nazywane
płynami). W płynach, przy powierzchni ciała tworzy się termiczna warstwa przyścienna
(rys. 2b), w której przepływ ciepła podlega prawu Newtona. Prawo to (nazywane prawem
konwekcyjnego przejmowania ciepła) głosi, że strumień ciepła

Q

przejmowany przez

płyn od ściany (przy założeniu T

s

> T

pł

) jest wprost proporcjonalny do różnicy temperatury

ścianki T

s

i płynu T

pł

poza termiczną warstwą przyścienną. Prawo to wyraża równanie

)

(

pł

s

α

T

T

α

F

q

F

Q





(4)

gdzie:

Q

[W] – strumień ciepła przejmowany przez płyn od powierzchni F,

[W/(m

2

K)] – współczynnik przejmowania ciepła, zależny od parametrów ter-

micznych i hydrokinetycznych płynu w termicznej warstwie przyściennej; może
przyjmować wartości od 0 do kilku tysięcy W/(m

2

K).

a)

T [K]

F

T

1

T

2

0 g x [m]

Q

b)

T [K]

F

T

s

T

pł

Q

PŁYN

ŚCIANA

Termiczna warstwa przyścienna

Rys. 2. Poglądowe modele wymiany ciepła przez:

a) przewodzenie (prawo Fouriera),
b) przejmowanie (prawo Newtona)

Termiczna warstwa przyścienna powstaje w płynie przy powierzchni ściany, a jej gru-

bość wyznacza miejsce, od którego temperatura płynu zaczyna zależeć od odległości od
ściany (rys. 2b) – prawo Newtona obowiązuje tylko w termicznej warstwie przyściennej.

Z. Nagórski. Ćwiczenie laboratoryjne nr 12:

Badania eksperymentalne i symulacyjne przepływu ciepła w modelu radiatora

- 5 -

Podczas ustalonej wymiany ciepła, strumień ciepła przepływający przez dowolną po-

wierzchnię F ciała stałego (prawo Fouriera) jest równy strumieniowi ciepła przejmowane-
mu przez termiczną warstwę przyścienną (prawo Newtona) płynu. Tak więc, strumień cie-
pła dostarczany do tylnej powierzchni żebra przez grzałki elektryczne o mocy N

el

(przy

zaniedbaniu upływu ciepła przez izolator grzałek), spełniający równanie

Q

Q

N

el





(5)

przepływa przez żebro (

Q

) i jest przejmowany przez powietrze (

Q

) od pozostałych po-

wierzchni żebra głównie przez konwekcję (radiację można tu zaniedbać), zgodnie z pra-
wem Newtona. Przy ustalonej mocy grzałki, lokalne temperatury na powierzchni żebra
zależą od intensywności odbioru ciepła przez powietrze, która m. in. zależy od szybkości
przepływu powietrza nad powierzchniami żebra.

Na powierzchniach każdego modelu cieplnego zadawane są warunki brzegowe wymia-

ny ciepła, zależne od sposobu definiowania parametrów termicznych na tych powierzch-
niach. Rozróżnia się cztery rodzaje warunków brzegowych wymiany ciepła, z których
w modelu żebra wykorzystano dwa, tj.:

- I rodzaju (nazywane także warunkami brzegowymi Dirichleta), które wymagają

podania wartości temperatury T

i

na powierzchniach obiektu

)

,

,

(

b

b

b

i

z

y

x

T

T

(6)

- II rodzaju (nazywane także warunkami brzegowymi Neumanna), które wymagają

podania powierzchniowej gęstości strumienia ciepła

i

q

na powierzchniach obiektu

)

,

,

(

b

b

b

i

z

y

x

q

q





(7)

gdzie x

b

,y

b

,z

b

są współrzędnymi punktów na tych powierzchniach.

Prawa Fouriera i Newtona oraz przyjęte w modelu warunki brzegowe wymiany ciepła

mają podstawowe znaczenie przy opisie analitycznym i budowie dyskretnego modelu sy-
mulacyjnego wymiany ciepła między żebrem i otoczeniem.

E. Opis modelu ustalonego przepływu ciepła w żebrze

Dwuwymiarowy model symulacyjny ustalonego przepływu ciepła w żebrze zbudowano

w arkuszu kalkulacyjnym MS Excel przy pomocy metody KM3R [2]. Symulacyjny model
cieplny żebra znajduje się w pliku (skoroszycie) o nazwie Model radiatora.xls. Skoroszyt
z modelem symulacyjnym zawiera arkusze o nazwach:

- Model cieplny żebra, w którym znajduje się dyskretny model obliczeniowy żebra,

- Wykres pola temperatury, w którym znajduje się - aktualizowany po kolejnych ite-

racjach - wykres pola temperatury w żebrze.

W arkuszu Model cieplny żebra w polu prostokąta J13:CL79 znajduje się dwuwymia-

rowy model geometryczny i obliczeniowy żebra, zbudowanego z kwadratowych elementów
dyskretnych, którym przypisano komórki arkusza. W komórkach modelu wykorzystywane
są zależności analityczne właściwe dla ustalonej wymiany ciepła. W komórkach modelu
znajdują się formuły wewnętrzne (komórki jasnoniebieskie), formuły brzegowe liniowe
Dirichleta (komórki ciemnożółte) i Neumanna (komórki brązowe) oraz narożnikowe: Diri-
chleta-Dirichleta (komórki fioletowe), Dirichleta – Neumanna (komórki szare) i Neumanna

Z. Nagórski. Ćwiczenie laboratoryjne nr 12:

Badania eksperymentalne i symulacyjne przepływu ciepła w modelu radiatora

- 6 -

- Neumanna (komórki niebieskie). Formuły brzegowe pobierają wartości brzegowe tempe-
ratury z komórek jasnożółtych (np. z pól O13:O40, R43:CK43) oraz wartości gęstości
strumienia ciepła z komórek pomarańczowych (z pól F13:F79, J9:N9 i J82:N82).

W polu F13:F79 zadawane są wartości gęstości strumienia ciepła (iloraz mocy elek-

trycznej grzałek i tylnej powierzchni żebra) na tylnej powierzchni żebra, obliczane w ko-
mórce B14. Natomiast w polach J9:N9 i J82:N82 zadana jest wartość zero, odpowiadająca
adiabatycznym warunkom brzegowym Neumanna na zaizolowanych powierzchniach że-
bra.

W polu 1A:7C zadawane są dane geometryczne termofizyczne modelu oraz parametry

elektryczne: napięcie U i prąd I autotransformatora zasilającego grzałki. W punktach ob-
serwacyjnych od 10G przez 0S do 10D (komórki czerwone) (por. rys. 1a,b) wprowadza się
wartości nadwyżek temperatury T

i

, obliczane na podstawie zmierzonych napięć termoelek-

trycznych. Wartości temperatury T

i

zadawane są:

- w wierszu 11 dla punktów 1G do 7G,

- w kolumnie CQ dla punktów 10G, 9G, 8G, 0S, 8D, 9D i 10D,

- w wierszu 80 dla punktów 1D do 7D.

Temperatury T

i

w sąsiadujących ze sobą punktach obserwacyjnych i i i+1 są podstawą

do określenia lokalnych temperatur T

i,x

w punktach (komórkach) położonych między nimi.

Temperatury T

i,x

oblicza się - przy założeniu liniowej zmienności temperatury między są-

siednimi punktami T

i

i T

i+1

- z zależności

n

T

T

T

T

i

i

x

i

x

i

1

1

,

,

(8)

gdzie n jest liczbą komórek między punktami i i i+1. Formuły w postaci (8) znajdują się
komórkach wierszy 11 i 80 (komórki amarantowe) i w kolumnie CQ (komórki zielone).

Obliczone wg formuł (8) wartości lokalnych temperatur w wierszach 11 i 80 oraz w ko-

lumnie CQ, są kopiowane do odpowiednich komórek na prawym brzegu żebra (komórki
jasnożółte z wartościami brzegowymi Dirichleta).

Formuły modelu. W modelu ustalonego przewodzenia ciepła [2] wykorzystywane są

formuły obliczeniowe, które umożliwiają iteracyjne obliczenia temperatury komórek dys-
kretnych modelu. Rozróżnia się formuły:

- wewnętrzne (komórki jasnoniebieskie, np. L23) – położone wewnątrz żebra, bez

kontaktu z otoczeniem – w postaci

4

L

D

P

G

O

T

T

T

T

T

(9)

gdzie T

O

jest temperaturą bieżącej komórki bilansowej, a T

G

, T

P

, T

D

i T

L

są tempe-

raturami komórek położonych: nad, z prawej strony, od dołu i z lewej strony ko-
mórki T

O

,

- brzegowe liniowe (komórki ciemnożółte, np. N20) Dirichleta i narożnikowe Diri-

chleta-Dirichleta (komórki fioletowe, np. P42) - położone na powierzchniach ze-
wnetrznych żebra – odpowiednio w postaciach (podobnych do wzoru (9)):

-

4

L

D

P

O

T

T

T

T

G

T

(10)

Z. Nagórski. Ćwiczenie laboratoryjne nr 12:

Badania eksperymentalne i symulacyjne przepływu ciepła w modelu radiatora

- 7 -

-

4

L

D

O

T

T

T

P

G

T

T

(11)

gdzie wielkości „pogrubione” są wartościami brzegowymi temperatury np. na
brzegu górnym i w górnych-prawych narożnikach modelu,

- brzegowe liniowe Neumanna (komórki brązowe, np. J30) i Neumana-Neumanna

(komórki niebieskie, np. J13) – położone na powierzchniach zewnętrznych żebra
– odpowiednio w postaciach:

3

x

T

T

T

T

D

P

G

O

L

q

12)

2

x

T

T

x

T

D

P

O

L

G

q

q





(13)

gdzie

L

q

i

G

q

[W/m

2

] są wartościami gęstości strumieni ciepła na lewym brzegu i

w lewych-górnych narożnikach żebra, x = y [m] – są wymiarami komórki dys-
kretnej modelu (komórka B4), [W/(m K)] – jest współczynnikiem przewodzenia
ciepła materiału żebra (komórka B5),

- brzegowe narożnikowe Dirichleta-Neumanna (komórki szare, np. N13) - położone

na powierzchniach brzegowych żebra – w postaci podobnej do wzoru (12), tzn.:

3

L

D

O

T

T

x

T

P

G

T

q

(14)

gdzie

G

q

i T

P

są gęstością strumienia ciepła i temperaturą w górnych-prawych na-

rożnikach modelu.

W modelu ustalonego przewodzenia ciepła w żebrze znajduje się ok. 900 elementów

dyskretnych (komórek), w których osadzono formuły w postaciach (9) do (14) - tworzą one
strukturę obliczeniową modelu. Tak przygotowany model jest gotów do obliczeń iteracyj-
nych.

W celu przestawienia trybu obliczeniowego na iteracyjny należy uaktywnić okienko Ite-

racje (ścieżka dostępu: Narzędzia – Opcje – Przeliczanie) i wybrać Ręczny sposób iteracji
z Liczbą iteracji w cyklu obliczeniowym, równą 1 (po zakończeniu obliczeń iteracyjnych
należy powrócić do ustawień domyslnych). Tak ustawiony arkusz obliczeniowy, po każdo-
razowym naciśnięciu klawisza F9 uruchamia iterację i wyświetla aktualny stan pola obli-
czeniowego modelu. Rozwiązanie iteracyjne ma zawsze charakter quasistabilny (nigdy nie
ma ostatecznego wyniku). W praktyce za rozwiązanie modelu przyjmuje się stan dyskret-
nego pola modelu, w którym wartości w komórkach przestają się zmieniać (przy zadanej
dokładności obliczeń). Uzyskane pole wartości dyskretnych wykorzystano do przedstawie-
nia obrazu graficznego pola temperatury w żebrze, pokazanego w arkuszu Wykres pola
temperatury.

Dodatkowe procedury modelu. W arkuszu Model cieplny żebra, oprócz procedury ob-

liczania wartości temperatury T

i,x

, możliwe jest porównywanie strumienia ciepła dostarcza-

nego przez grzałki do tylnej powierzchni żebra N

el

(komórka F10) ze strumieniem ciepła

Q

(komórka F9) odprowadzanym do otoczenia przez pozostałe powierzchnie żebra. Stru-

Z. Nagórski. Ćwiczenie laboratoryjne nr 12:

Badania eksperymentalne i symulacyjne przepływu ciepła w modelu radiatora

- 8 -

mień ciepła

Q

jest sumą lokalnych strumieni ciepła przepływającego przez komórki brze-

gowe modelu żebra (pola żółte: wiersz J9:CK9, kolumna CS13:CS79 i wiersz J82:CK82),
obliczanych zgodnie z prawem Fouriera. Przy braku strat cieplnych z grzałek obydwa
strumienie powinny być równe sobie.

F. Wykonanie ćwiczenia i sprawozdania

W części eksperymentalnej ćwiczenia należy:

a) włączyć i ustawić w odpowiedniej pozycji wentylator, jeżeli zamierzamy chłodzić

powierzchnie żebra w warunkach konwekcji wymuszonej lub wyłączyć wentyla-
tor, gdy chłodzenie będzie w warunkach konwekcji swobodnej,

b) włączyć i nastawić autotransformator na wymaganą moc elektryczną grzania N

el

;

zmierzyć prąd I i napięcie U zasilające grzałki,

c) po osiągnięciu stanu ustalonej wymiany ciepła, tj. po ok. 20 min., przeprowadzić

odczyt napięć termoelektrycznych na miliwoltomierzu ze wszystkich i punktów
obserwacyjnych na powierzchni żebra,

d) (ewentualnie powtórzyć czynności a)-c) dla zmienionego ustawienia wentylatora

i/lub zmienionej mocy grzewczej),

e) przeliczyć wartości napięć termoelektrycznych U

i

na nadwyżki temperatury T

i

.

W części symulacyjnej ćwiczenia należy (wykorzystać arkusz Model cieplny żebra, do-

łączonego do instrukcji pliku Badanie radiatora.xls):

a) wstawić w punktach 10G do 10D modelu symulacyjnego odpowiednie wartości

nadwyżek temperatury T

i

oraz wartości parametrów ogrzewania I i U,

b) przeprowadzić obliczenia iteracyjne (naciskać klawisz F9) aż do zaniku zmian

wartości w polu temperatury modelu; jednocześnie kontrolować wartości strumie-
ni ciepła w komórkach F10 i F9 (przy poprawnie zadanych temperaturach, stru-
mienie powinny być równe)

c) zarejestrować plik z rozwiązaniem dyskretnym i graficznym modelu.

W sprawozdaniu należy:

a) opisać krótko cel badań, stanowisko, metodę symulacji i przebieg eksperymen-

tów,

b) wykonać analizę wybranych cech cieplnych modelu wg zaleceń prowadzącego

ćwiczenie,

c) wykonać wykres analizowanych wielkości cieplnych dla przeprowadzonych ba-

dań eksperymentalnych,

d) podsumować uzyskane wyniki.

Sprawozdanie wykonać w edytorze Word.

Literatura pomocnicza:
1. Wiśniewski S.: Termodynamika techniczna. WNT, Warszawa 1980 (lub wydania późniejsze)
2. Nagórski Z.: Modelowanie przewodzenia ciepła za pomocą arkusza kalkulacyjnego, MRS+ Excel=KM3R. OW PW,

Warszawa 2001

3. Nagórski Z., Sobociński R.: Wybrane zagadnienia z termodynamiki technicznej zbiór zadań, OW PW 2008 (rozdz. 4)