Analiza Zmienności
- struktura i miary
Jan M. Myszewski
Techniki wspomagające zarządzanie jakością
Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości
i Zarządzania im. L. Koźmińskiego
Warszawa, Kwiecień
2005
Analiza Zmienności Jan M. Myszewski
2
Istota losowości
Zmienność = zróżnicowanie wyników obserwacji, którego
przyczyny nie są znane obserwatorowi
Różnorodność= zróżnicowanie wyników obserwacji, którego
przyczyny są znane obserwatorowi
Zjawisko jest losowe= obserwacje zjawiska powtarzane w
identycznych warunkach wykazują zmienność.
Analiza Zmienności Jan M. Myszewski
3
Przyczyny zmienności
Zmienność
Człowiek
cechy X
Metody
Zarządzanie
Maszyna
Materiał Otoczenie
Analiza Zmienności Jan M. Myszewski
4
Struktura zmienności
Zmienność losowa = zmienność wywołana przez układ
czynników, o nieograniczonej liczności, każdy o
zaniedbywalnym indywidualnym oddziaływaniu, nazywana
przyczyną pospolitą.
Zmienność systematyczna = zmienność wywołana przez
skończony układ czynników, o znaczących
indywidualnych oddziaływaniach, nazywana przyczyną
specjalną.
Zmienność ma dwie składowe
Analiza Zmienności Jan M. Myszewski
5
Struktura zmienności
całkowita
zmienność
zmienność
systematyczna
zmienność
losowa
Analiza Zmienności Jan M. Myszewski
6
Zmienność systematyczna
Czynniki powodujące zmienność systematyczną są
stosunkowo łatwe do zidentyfikowania i wyeliminowania
Częstymi źródłami zmienności systematycznej są np.
Niejednakowe nastawy maszyn, różnice właściwości
materiałów i surowców z różnych dostaw, zużywanie się
narzędzi, zatykanie filtrów itp.
Ich usuwanie to przykład Kaizen.
Analiza Zmienności Jan M. Myszewski
7
Zmienność losowa
Ograniczanie zmienności losowej wymaga identyfikacji i
eliminacji bardzo drobnych czynników: “wybieranie łyżeczką
wody z jeziora”
Zazwyczaj wymaga wymiany fragmentu procesu (technologii,
maszyn, operatorów, dostawców itp.).
Przykładem ograniczania zmienności losowej jest reinżynieria.
Miary zmienności losowej wyznaczają granice:
•
ekonomicznej możliwości ograniczania zmienności w
danym systemie
• tolerancji dla zróżnicowania jednostek
• celowości podejmowania działań korekcyjnych
Analiza Zmienności Jan M. Myszewski
8
Zróżnicowanie między i wewnątrz grup
Miary zmienności
wewnątrz grup
między grupami
Średnia wariancja
M0 1m
Si
i 1
m
2
=
=
∑
Wariancja średnich w grupach
m
1
i
2
)
X
i
X
(
1
m
1
2
0
S
gdzie
m
1
i
i
X
m
1
X
.
M1 nS0
2
=
Zróżnicowanie między grupami = rozrzut wartości średnich otrzy
manych w poszczególnych grupach.
Zróżnicowanie wewnątrz grup= średni rozrzut w grupach.
Analiza Zmienności Jan M. Myszewski
9
Zróżnicowanie między i wewnątrz grup
Roz-
step
Odch
.stand.
Wari-
ancja
Sred
nia.
Max
Analiza zmienności
Min
Średnia
Wariancja
5
4
3
2
Grupy danych
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Analiza Zmienności Jan M. Myszewski
10
Zróżnicowanie między i wewnątrz grup
(*)
f
m(m 1) M
n 1 M
m
M
m 1 n 1 M
c
1
0
2
1
2
0
2
(
(
)
)
(
)(
)
,
V
c
M
0
=
M
0
M
1
+n - 1
n
SS
1
mn
1
V
1
mn
1
n
V
m
c
Zróżnicowanie Miara średnio-
kwadratowa (1)
Stopnie
swobody (2)
Wariancja
(3)
Stopnie
swobody (4)
wewnątrz grup
(w)
między grupami
(m)
Całkowita (c)
Zróżnicowanie Miara średnio-
kwadratowa (1)
Stopnie
swobody (2)
Wariancja
(3)
Stopnie
swobody (4)
wewnątrz grup
(w)
fw = m(n-1)
f'w = m(n-1)
między
grupami (m)
M : nS
1
0
2
=
fm = m-1
f'm m-1
Całkowita (c)
SS
m 1 M
m n 1 M
1
0
(
)
(
)
fc = mn-1
f'c (*)
M
0
=
1
n
∑
i
=1
m
S
i
2
V
w
=M
0
V
m
=
M
1
−M
0
n
V
c
=
M
1
n−1M
0
n
Analiza Zmienności Jan M. Myszewski
11
Interpretacja zróżnicowania między i wewnątrz grup
1. sm=0,
sw=0
1
2
3
4
5
6
7
8
Nr grupy
2. sm>0, sw=0
1
2
3
4
5
6
7
8
Nr grupy
3. sm=0, sw>0
1
2
3
4
5
6
7
8
Nr grupy
4. sm>0, sw>0
1
2
3
4
5
6
7
8
Nr grupy
Analiza Zmienności Jan M. Myszewski
12
Weryfikacja zróżnicowania między grupami
Przyjmujemy:
Xi = badana właściwość w i-tej warstwie (i=1,2,...,m)
Założenie:
X
i
≈ N(
m
i
,
s) dla i=1,2,...,m (odchylenia standardowe we
wszystkich warstwach są jednakowe)
Stawiamy formalne hipotezy statystyczne:
H0: m
1
=
m
2
= ... =
m
n
.
H1: tak nie jest
Xi N( i, )
≈ µ σ
Analiza Zmienności Jan M. Myszewski
13
Weryfikacja zróżnicowania między grupami
Jako statystykę testującą przyjmuje się funkcję
F
M1
M0
=
gdzie M1 i M0 obliczone na podstawie grup danych pobranych w
warstwach.
Jeżeli H0 jest prawdziwa, to F ma rozkład F-Snedecora z m-1 i m(n-
1) stopniami swobody.
Obszar krytyczny = zbiór wartości statystyki F, które będą pod
stawą do odrzucenia hipotezy H0 = przedział
)
,
(F
gdzie wartość F
a
jest odczytana z tablic rozkładu
F-Snedecora z m-1 i m(n-1) stopniami swobody
dla poziomu istotności
.
a
F
odrzucić -
przyjąć -
hipotezę: "grupy danych różnią się między sobą"
Analiza Zmienności Jan M. Myszewski
14
a. Zaplanuj i przeprowadź obserwacje niezbędne do przeprowadzenia
analizy zmienności
b. Narysuj wykres wartości minimalnych, maksymalnych i średnich w
poszczególnych grupach. Sformułuj hipotezy dotyczące przyczyn
specjalnych zmienności
c. Przeprowadź wnioskowanie statystyczne wykorzystując test F-
Snedecora. Jakie wnioski można stąd wyciągnąć odnośnie struktury
przyczyn zmienności obserwowanego procesu?
d. Oszacuj miary zmienności poszczególnych składowych. Porównaj
miary zmienności losowej i całkowitej z wymaganiami
Ćwiczenia