W

W

Y

Y

K

K

Ł

Ł

A

A

D

D

 

 

6

6

 

 

C

C

A

A

Ł

Ł

K

K

I

I

 

 

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

A

A

 

 

E

E

U

U

L

L

E

E

R

R

A

A

 

 

–

–

 

 

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

E

E

 

 

B

B

E

E

R

R

N

N

O

O

U

U

L

L

L

L

I

I

E

E

G

G

O

O

,

,

 

 

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

E

E

 

 

C

C

A

A

U

U

C

C

H

H

Y

Y

 

 

–

–

L

L

A

A

G

G

R

R

A

A

N

N

G

G

E

E

’

’

A

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer

 

 

 

C

C

A

A

Ł

Ł

K

K

I

I

 

 

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

A

A

 

 

E

E

U

U

L

L

E

E

R

R

A

A

 

 

 

 

Założenia podstawowe: 

 

 



 

Potencjalność pola sił zewnętrznych 

F



 

 

 



 

Barotropowość płynu – zależność masy właściwej

 

ρ

 

wyłącznie 

od ciśnienia

 

ρ = ρ(p) 

↔ znamy przemianę termodynamiczną 

 

Wprowadzamy funkcję ciśnienia 

P(p) 

taką, że 

 
 
 
 
 
 
 

0

p

p

dp

P(p)

(p)







 

1

P(p)

p

(p)









 

wtedy

 

 

 

C

C

A

A

Ł

Ł

K

K

I

I

 

 

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

A

A

 

 

E

E

U

U

L

L

E

E

R

R

A

A

 

 

(

(

I

I

)

)

 

 

 
Równanie Eulera: 
 
 
 
 

 

 
 
Na podstawie tego równania, zakładając, że 

ruch ośrodka jest 

ustalony

 otrzymujemy: 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

dv

1

F

p

dt



  

 

dv

1

F

p

dt



  

 

Przekształcamy 

do postaci 





dv

P

dt



  

 

dv

1

F

p

dt



  

 

2

linii pradu

v

P

const

2



  

 

dv

1

F

p

dt



  

 

Jest to CAŁKA 

RÓWNANIA EULERA 

zwana  

RÓWNANIEM 

BERNOULLIEGO 

Zauważmy, 

że  gdy  entropia  jest  stała

  - 

s  =  const

,

 

czyli  przemianą 

termodynamiczną jest izentropa 

to 

prawdziwa jest równość: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

i

P(p) const





 

W tym przypadku równanie Bernoulliego jest z 

dokładnością do stałej identyczne z całką energii !

 

 

2

2

linii pradu

linii pradu

v

v

P

const1

i

const2

2

2





  



  

 

 

 

C

C

A

A

Ł

Ł

K

K

I

I

 

 

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

A

A

 

 

E

E

U

U

L

L

E

E

R

R

A

A

 

 

(

(

I

I

I

I

)

)

 

 

 

Z

akładając  potencjalność  pola  prędkości  - 

rot v 0



 

z  równania 

Eulera otrzymujemy (ruch może być nieustalony)

 

 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

v



 

 

 

k

k

v

k

1, 2,3

x











 

 

potencjał 

prędkości 

2

v

P(p)

f (t)

t

2











 



 

dv

1

F

p

dt



  

 

Jest to CAŁKA 

RÓWNANIA EULERA 

zwana  

CAŁKĄ 

CAUCHY’EGO –

LAGRANGE’A 

 
Gdy ruch potencjalny nie zależy bezpośrednio od czasu to:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 i f

const

t











 

 

wtedy

 

2

v

P

const

2



  

 

dv

1

F

p

dt



  

 

Wniosek

: dla ruchu potencjalnego, niezależnego od 

czasu, równanie Bernoulliego i całka Cauchy’ego – 

Lagrange’a są tożsame, a stała w równaniu Bernoulliego 

ma taką sama wartość na wszystkich liniach prądu. 

 

Stała 

const 

jest 

taka sama w 

całym 

obszarze 

ruchu. 

 

P

P

R

R

Z

Z

Y

Y

K

K

Ł

Ł

A

A

D

D

 

 

 

 

W pewnym ruchu gazu temperatura nie ulega zmianie. 

Zachodzą 

okoliczności prowadzące do równania Bernoulliego. Podaj to 
równanie. 
 

Musimy wyznaczyć P(p)! 

 

T = const 

– zatem mamy przemianę izotermiczną . 

 
Możemy skorzystać z równania Clapeyrona - 

 

 
 
 
 
 
 
 

 

 

p

RT





 

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Stąd równanie Bernoulliego ma postać

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

p

p

0

p

p

dp

dp

p

P(p)

RT

RT ln

(p)

p

p













 

2

l.p.

0

v

p

RT ln

const

2

p





 