Fale materii i równanie

Schrodingera

FALE MATERII

W 1924 r. de Broglie zapostulował,

ż

e skoro

ś

wiatło ma

dwoist

ą

, falowo-cz

ą

stkow

ą

, natur

ę

, to tak

ż

e materia mo

ż

e

mie

ć

tak

ą

natur

ę

.

Klasyczna teoria elektromagnetyzmu

ś

wiatło o energii

E

ma p

ę

d

p = E/c

λ

λ

h

c

hc

c

hv

c

E

p

f

=

=

=

=

Hipoteza

długo

ść

przewidywanych fal materii jest okre

ś

lona tym samym zwi

ą

zkiem, który

stosuje si

ę

do

ś

wiatła

p

h

=

λ

Wyra

ż

enie to wi

ąż

e p

ę

d cz

ą

stki materialnej z długo

ś

ci

ą

przewidywanych fal materii

Hipoteza de Broglie (1924, Nagroda Nobla w 1929)

Przykład: Jaka długo

ść

fal materii odpowiada

„masywnym”

obiektom np. piłce, o masie

1 kg, poruszaj

ą

cej si

ę

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

10 m/s, a jaka

„lekkim”

elektronom przyspieszonych

napi

ę

ciem 100 V?

Dla

piłki

p = mv = 1 kg·10 m/s = 10 kg m/s

m

10

6

.

6

kgm/s

10

Js

10

6

.

6

35

34

−

−

⋅

=

⋅

=

=

p

h

λ

λ ≅

0 (w porównaniu z rozmiarami obiektu)

do

ś

wiadczenia prowadzone na takim obiekcie

nie pozwalaj

ą

na rozstrzygni

ę

cie czy materia wykazuje własno

ś

ci falowe.

Elektrony

przyspieszone napi

ę

ciem

100 V uzyskuj

ą

energi

ę

kinetyczn

ą

E

k

= eU = 100 eV = 1.6·10

-17

J

s

m

.

kg

.

J

.

6

31

17

10

9

5

10

1

9

10

6

1

2

2

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

=

−

−

m

E

k

v

nm

12

.

0

m

10

2

.

1

s

m

kg

10

9

.

5

10

1

.

9

Js

10

6

.

6

v

10

6

31

34

=

⋅

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

=

−

−

−

m

h

p

h

λ

Jest to wielko

ść

rz

ę

du odległo

ś

ci mi

ę

dzyatomowych w ciałach stałych.

Jak zbada

ć

falow

ą

natur

ę

materii? Mo

ż

e zbada

ć

obraz po przej

ś

ciu przez szczeliny ?

obraz dla cz

ą

stek

obraz dla fal

(maksima)

,.....

,

,

,

sin

3

2

1

2

=

=

m

m

d

λ

θ

prawo Bragga

Dyfrakcja promieni X jest do

ś

wiadczaln

ą

metod

ą

badania rozmieszczenia atomów w

kryształach.

Dyfrakcja promieniowania X (fale elektromagnetyczne)

Czy mo

ż

na wi

ę

c zbada

ć

falow

ą

natur

ę

materii próbuj

ą

c uzyska

ć

obraz dyfrakcyjny dla wi

ą

zki

elektronów padaj

ą

cych na kryształ analogicznie jak dla promieni Roentgena?

nm

12

.

0

=

e

λ

Elektrony

przyspieszone napi

ę

ciem 100 V

nm

2

.

0

1

.

0

~

−

X

λ

Kryształ – „naturalna siatka dyfrakcyjna”

Dyfrakcja Lauego

Do

ś

wiadczenie Davissona i Germera (1927)

Elektrony przyspieszane s

ą

napi

ę

ciem U

Wi

ą

zka pada na kryształ niklu, a detektor

jest ustawiony pod zmiennym k

ą

tem

ϕ

Rejestrowane jest nat

ęż

enie wi

ą

zki

ugi

ę

tej na krysztale dla ró

ż

nego U.

Maksimum dyfrakcyjne rejestrowane jest dla

ϕ

= 50°przy

U

= 54 V.

θ

= 90°

−

ϕ

/2

λ

θ

=

sin

2d

dla niklu (d = 0.091 nm)

λ

= 0.165 nm

nm

165

.

0

=

=

=

v

m

h

p

h

λ

m

eU

m

E

k

2

2

=

=

v

długo

ść

fali de Broglie’a

Dyfrakcja cz

ą

stek (np.

elektronów lub neutronów)

Zarówno cz

ą

stki naładowane jak i nienaładowane, wykazuj

ą

cechy charakterystyczne dla fal.

Dyfrakcja neutronów jest powszechnie stosowan

ą

technik

ą

eksperymentaln

ą

u

ż

ywan

ą

do

badania struktury ciał stałych.

Zarówno dla materii, jak i dla

ś

wiatła, przyjmujemy istnienie dwoistego ich

charakteru.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

40

50

60

70

80

90

100

110

120

2theta

in

te

n

s

it

y

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

40

50

60

70

80

90

100

110

120

2theta

in

te

n

s

it

y

λ

θ

=

sin

2d

promieniowanie X

neutrony

Orbita musi na swym obwodzie mie

ś

ci

ć

całkowit

ą

liczb

ę

długo

ś

ci fal de Broglie'a

λ

π

n

r

=

2

p

h

n

r

=

π

2

p

h

=

λ

,.....

2

,

1

2

=

=

=

n

h

n

pr

L

π

Struktura atomu i fale materii

Ruch fal jest ograniczony przez nało

ż

enie warunków

fizycznych,
analogicznie jak dla drga

ń

struny zamocowanej na obu

ko

ń

cach.

Mamy wtedy do czynienia z fal

ę

stoj

ą

c

ą

(a nie bie

żą

c

ą

)

w strunie mog

ą

wyst

ę

powa

ć

tylko pewne długo

ś

ci fal.

Mamy do czynienia z kwantyzacj

ą

długo

ś

ci fal wynikaj

ą

c

ą

z

ogranicze

ń

nało

ż

onych na fal

ę

.

Warunek Bohra kwantyzacji momentu p

ę

du jest konsekwencj

ą

przyj

ę

cia zało

ż

enia,

ż

e elektron jest reprezentowany przez fal

ę

materii.

Postulat de Broglie'a wi

ąż

e elektron ze stoj

ą

ca fal

ą

materii.

•

Elektron w stanie stacjonarnym w atomie mo

ż

e by

ć

opisany za pomoc

ą

stoj

ą

cych fal

materii, przy czym podstaw

ę

stanowi zwi

ą

zek de Broglie'a p = h/

λ

wi

ążą

cy własno

ś

ci

cz

ą

steczkowe z falowymi.

•

Teoria ta okre

ś

la prawa ruchu falowego cz

ą

stek w dowolnym układzie mikroskopowym.

•

Formułuje równanie opisuj

ą

ce zachowanie si

ę

funkcji falowej (funkcja opisuj

ą

ca fale

materii) dla takiego układu i okre

ś

la zwi

ą

zek pomi

ę

dzy zachowaniem si

ę

cz

ą

stek, a

zachowaniem funkcji falowej opisuj

ą

cej cz

ą

stki.

ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ

Postulat de Broglie'a wi

ąż

e elektron ze stoj

ą

ca fal

ą

materii ale....

• nie daje informacji o sposobie rozchodzenia si

ę

fal materii,

• nie odpowiadał na pytanie jak

ą

posta

ć

mo

ż

e mie

ć

funkcja opisuj

ą

ca fale materii, jak j

ą

wyznaczy

ć

oraz jaka jest jej interpretacja.

W 1926 roku E. Schrödinger sformułował mechanik

ę

falow

ą

(jedno ze sformułowa

ń

fizyki kwantowej) zajmuj

ą

c

ą

si

ę

opisem

falowych własno

ś

ci materii

–

uogólnienie postulatu de

Broglie'a.

E. Schrödinger (Nagroda Nobla 1933)

Fale opisujemy za pomoc

ą

funkcji przedstawiaj

ą

cych wybran

ą

wielko

ść

fizyczn

ą

, która zmienia

si

ę

w taki falowy sposób np.:

• fala mechaniczna w strunie

funkcja opisuj

ą

ca poprzeczne wychylenie struny,

• fala EM

funkcja opisuj

ą

ca wektor nat

ęż

enia pola elektrycznego E (lub B),

• do opisu własno

ś

ci falowych cz

ą

stek b

ę

dziemy posługiwa

ć

si

ę

funkcj

ą

reprezentuj

ą

c

ą

fal

ę

de

Broglie'a, tak zwan

ą

funkcj

ą

falow

ą

Ψ

(zale

ż

n

ą

od czasu i współrz

ę

dnych przestrzennych):

Funkcja falowa

)

sin

)(cos

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

,

(

t

i

t

z

y

x

e

z

y

x

t

z

y

x

t

i

ω

ω

ψ

ψ

Ψ

ω

−

=

⋅

=

−

I

ψ

I

2

jest wi

ę

c g

ę

sto

ś

ci

ą

prawdopodobie

ń

stwa.

Prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e znajdziemy cz

ą

stk

ę

w

przedziale [x, x+dx] wynosi I

ψ

(x)I

2

dx.

Poniewa

ż

funkcja falowa mo

ż

e przyjmowa

ć

warto

ś

ci zespolone to uwzgl

ę

dniamy kwadrat

modułu funkcji falowej. I

ψ

I

2

jest zawsze dodatnia i rzeczywista.

Znaczenie fizyczne ma wi

ę

c

I

ψ

I

2

, a nie

ψ

Ta interpretacja funkcji

ψ

daje statystyczny zwi

ą

zek pomi

ę

dzy fal

ą

i zwi

ą

zan

ą

z ni

ą

cz

ą

stk

ą

. Nie mówimy gdzie cz

ą

stka jest ale gdzie prawdopodobnie si

ę

znajdzie.

Interpretacja M. Borna: wielko

ść

I

ψ

I

2

w dowolnym punkcie przedstawia

miar

ę

prawdopodobie

ń

stwa (na jednostk

ę

obj

ę

to

ś

ci),

ż

e cz

ą

stka

znajdzie si

ę

w pobli

ż

u tego punktu to znaczy w jakim

ś

obszarze wokół

tego punktu np. w przedziale x, x+dx.

Nagroda Nobla 1954

•Fale mechaniczne np. w strunie s

ą

opisywane przez równania

mechaniki Newtona (równanie falowe d'Alamberta):

•Fale EM s

ą

opisywane przez równania Maxwella (równanie

falowe d'Alamberta):

•Fale materii s

ą

opisywane przez równanie Schrödingera:

Równanie Schrödingera (1926)

2

2

2

2

2

1

t

y

x

y

∂

∂

∂

∂

v

=

2

2

2

2

2

1

t

c

x

∂

∂

∂

∂

B

B

=

2

2

2

2

2

1

t

c

x

∂

∂

∂

∂

E

E

=

i

t

)

t

,

x

(

i

)

t

,

x

(

)

x

(

U

x

)

t

,

x

(

m

2

2

2

2

∂

Ψ

∂

=

Ψ

+

∂

Ψ

∂

−

h

h

π

2

h

=

h

)

(

)

(

)

,

(

t

u

x

t

x

⋅

=

ψ

Ψ

szukamy rozwi

ą

zanie typu:

równanie w jednym wymiarze:

t

i

e

x

t

x

ω

ψ

Ψ

−

⋅

=

)

(

)

,

(

modulacja

przestrzenna

zmienność

w czasie

rozwi

ą

zanie - fala materii:

E

jest energi

ą

całkowit

ą

cz

ą

stki,

U (x)

jej energi

ą

potencjaln

ą

zale

ż

n

ą

od jej poło

ż

enia

Rozwi

ą

zanie równania Schrödingera polega na znalezieniu

funkcji falowej

ψ(

x)

i warto

ś

ci

energii cz

ą

stki

E

przy znanej działaj

ą

cej na cz

ą

stk

ę

sile zadanej poprzez energi

ę

potencjaln

ą

U (x)

.

Równanie Schrödingera (1926)

t

)

t

,

x

(

i

)

t

,

x

(

)

x

(

U

x

)

t

,

x

(

m

2

2

2

2

∂

Ψ

∂

=

Ψ

+

∂

Ψ

∂

−

h

h

π

2

h

=

h

)

(

)

(

)

,

(

t

u

x

t

x

⋅

=

ψ

Ψ

rozwi

ą

zanie:

równanie w jednym wymiarze:

)

x

(

E

)

x

(

)

x

(

U

x

)

x

(

m

2

2

2

2

ψ

=

ψ

+

∂

ψ

∂

−

h

)

(

)

(

t

u

E

t

t

u

i

=

∂

∂

h

oraz

h

E

gdzie

e

t

u

t

i

=

=

−

ω

ω

:

)

(

?

)

(

=

x

ψ

t

i

e

x

t

x

ω

ψ

Ψ

−

⋅

=

)

(

)

,

(

ostateczne rozwi

ą

zanie:

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

x

E

x

U

x

d

x

d

m

ψ

ψ

ψ

=

+

−

h

Pokażemy, że część przestrzenna wyraża zasadę zachowania energii:

Przykład 1:

Cząstka w stałym potencjale U=const. (dla U = 0 to cząstka swobodna)

m

p

m

E

k

2

2

2

2

=

=

v

h

p

k

=

π

λ

π

2

,

2

h

k

=

=

h

p

h

=

λ

otrzymaliśmy

relację de Broglie

rozpatrujemy cz

ęść

przestrzenn

ą

równania Schrödingera :

h

E

π

πν

2

2

=

h

E

π

πν

2

2

=

ν

h

E

=

otrzymaliśmy relację analog. do wzoru

Einsteina dla światła:

)

x

(

E

)

x

(

)

x

(

U

x

)

x

(

m

2

2

2

2

ψ

=

ψ

+

∂

ψ

∂

−

h

dla cz

ęś

ci zale

ż

nej od czasu :

h

E

=

ω

t

i

e

t

u

ω

−

=

)

(

)

sin

(cos

kx

i

kx

A

Ae

ikx

±

=

=

±

ψ

h

h

k

mE

U

E

m

k

2

)

(

2

=

−

=

Energia potencjalna

Energia całkowita

Energia kinetyczna

E

U

m

k

=

+

2

2

2

h

E

U

m

p

=

+

2

2

Zasada zachowania energii !!

[

]

)

(

2

)

(

2

2

2

x

U

E

m

x

d

x

d

ψ

ψ

−

−

=

h

G

ę

sto

ść

prawdopodobie

ń

stwa:

const.

2

2

=

=

⋅

=

−

A

Ae

Ae

ikx

ikx

ψ

jednakowe prawdopodobie

ń

stwo znalezienia

cz

ą

stki w ka

ż

dym punkcie toru ruchu

Brak kwantyzacji dla cz

ą

stki niezwi

ą

zanej – dowolne warto

ś

ci energii i p

ę

du!

[

]

)

sin(

)

cos(

)

,

(

kx

t

i

kx

t

A

e

A

e

e

A

t

x

t

i

x

ik

t

i

x

ik

±

−

+

±

−

=

=

⋅

=

⋅

⋅

=

−

±

−

±

ω

ω

Ψ

ω

ω

rozwi

ą

zanie równania Schrödingera to

funkcja falowa fali biegn

ą

cej – cz

ą

stka nie

jest zwiazana ! :

Cząstka w stałym potencjale U=const. (dla U = 0 to cząstka swobodna)

Przykład 2

:

elektron w

∞

studni potencjału

x < 0
x > L

0

≤

x

≤

L

U (x) = 0

U (x)

∞

Poza studni

ą

prawdopodobie

ń

stwo znalezienia

cz

ą

stki = 0

ψ

(0) = 0

i

ψ

(L) = 0

Analogia do struny umocowanej
na obu ko

ń

cach.

...

,

2

,

1

2

lub

2

=

=

=

n

n

L

n

L

λ

λ

długo

ść

fali jest skwantowana

......

,

2

,

1

,

sin

)

(

=

=

n

L

x

n

A

x

π

ψ

......

,

2

,

1

,

sin

)

(

2

2

2

=













=

n

L

x

n

A

x

π

ψ

p

h

=

λ

...

,

2

,

1

2

lub

2

=

=

=

n

n

L

n

L

λ

λ

L

nh

p

2

=

m

p

m

E

E

k

2

2

v

2

2

=

=

=

rozwi

ą

zanie równania Schrödingera to funkcja falowa fali stojacej –

cz

ą

stka jest zwi

ą

zana (uwi

ę

ziona) w studni potencjału ! :

UWAGA: Opisuj

ą

c zachowanie cz

ą

stki funkcj

ą

falow

ą

(spełniaj

ą

c

ą

równania Schrödingera) wyja

ś

nili

ś

my przyczyn

ę

kwantyzacji energii !!

Dla cz

ą

stki zwi

ą

zanej wyst

ę

puje

kwantyzacja energii !!

......

,

2

,

1

,

8

2

2

2

=

=

n

mL

h

n

E

L

x

n

A

x

π

ψ

sin

)

(

=

Przykład 3

: elektron w sko

ń

czonej studni potencjału

Elektronowe fale materii

przenikaj

ą

do obszaru o U (x) = U

0

niedost

ę

pnego według klasycznej

mechaniki Newtona

[

]

)

(

)

(

2

)

(

2

2

2

x

x

U

E

m

x

d

x

d

ψ

ψ

−

−

=

h

Przykład 4

: tunelowanie elektronu przez barier

ę

potencjału

E < U

0

!!!

klasycznie

elektron

odbije si

ę

od bariery

kwantowo

istnieje prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e elektron przeniknie (przetuneluje) przez

barier

ę

dla x < 0 obserwujemy fal

ę

stoj

ą

c

ą

powstał

ą

w wyniku nało

ż

enia si

ę

elektronowej fali

padaj

ą

cej i odbitej od bariery

Elektron mo

ż

e przej

ść

przez „

ś

cian

ę

” mimo,

ż

e

jego energia, z pozoru, na to nie pozwala

Jedn

ą

z

konsekwencji falowo-cz

ą

steczkowej natury materii

jest

to,

ż

e jedyne czego mo

ż

emy dowiedzie

ć

si

ę

o ruchu elektronów

to

prawdopodobie

ń

stwo znalezienia ich w przestrzeni

.

Czy mo

ż

emy "

dokładnie

" opisa

ć

ruch elektronu tzn. równocze

ś

nie okre

ś

li

ć

jego poło

ż

enie

i pr

ę

dko

ść

? Negatywna odpowied

ź

jest zawarta w zasadzie nieoznaczono

ś

ci Heisenberga.

Zasada nieoznaczono

ś

ci Heisenberga (Nagroda Nobla 1954)

2

/

2

/

2

/

h

h

h

≥

∆

∆

≥

∆

∆

≥

∆

∆

z

p

y

p

x

p

z

y

x

Głosi ona,

ż

e iloczyn nieokre

ś

lono

ś

ci p

ę

du cz

ą

stki i nieokre

ś

lono

ś

ci jej poło

ż

enia w

danym kierunku jest zawsze wi

ę

kszy od stałej Plancka

im dokładniej mierzymy p

ę

d,

np. zmniejszamy

∆

p

x

, tym

bardziej ro

ś

nie

nieoznaczono

ść

poło

ż

enia

∆

x.

ψ

ψ

ψ

ψ

x

pakiet falowy

cz

ą

stka

zlokalizowana czyli p

ę

d

rozmyty

interferencja

wielu fal o ró

ż

nych p

ę

dach

ikx

Ae

±

=

ψ

h

k

p

=

p

ę

d

ś

ci

ś

le okre

ś

lony

cz

ą

stka niezlokalizowana

Je

ż

eli cz

ą

stka posiada energi

ę

E, to dokładno

ść

jej wyznaczenia

∆

E

zale

ż

y od czasu pomiaru

∆

t zgodnie z relacj

ą

Druga cz

ęść

zasady nieoznaczono

ś

ci dotyczy pomiaru energii i czasu potrzebnego na wykonanie

tego pomiaru.

2

/

h

≥

∆

∆

t

E

Im dłu

ż

ej cz

ą

stka jest w stanie o energii E tym dokładniej mo

ż

na t

ę

energi

ę

wyznaczy

ć

(np.

w stanie stacjonarnym energia jest stała w czasie)

Ograniczenie dokładno

ś

ci pomiarów nie ma nic wspólnego z wadami i niedokładno

ś

ciami

aparatury pomiarowej lecz jest wynikiem falowej natury cz

ą

stek.

przykład:

dyfrakcja na szczelinie

λ

θ =

∆

min

sin

x

min

min

sin

sin

θ

λ

θ

h

p

p

x

=

≥

∆

2

/

h

≥

≥

∆

⋅

∆

h

p

x

x