Erwin Schrödinger
(12.08.1887 - 4.01.1961)

Narodowość: Austriak
Nagroda Nobla: 1933 r.

Wyniki uzyskane przez de Broglie'a zainspirowały Schrödingera do poszukiwania równania, którego rozwiązaniem jest funkcja reprezentująca falę. Udało mu się to. W 1926 r. formułuje on słynne równanie Schrödingera. W jednym wymiarze ma ono postać:

Ĥ ψ(x,t) =

Gdzie ψ to funkcja falowa cząstki, w tym wypadku zależna od współrzędnych przestrzennych i czasu, i - jednostka urojona równa pierwiastkowi z (-1), ħ - stała Plancka podzielona przez 2π, a Ĥ operator Hamiltona - operator energii. Wzór na ten operator:

gdzie m - masa cząstki, a V(x) to potencjał w jakim się znajduje oznaczający, że działają na nią siły.

Równanie Schrödingera gra w mechanice kwantowej tak fundamentalną rolę, jak prawa dynamiki Newtona w mechanice klasycznej. Równanie to jest nierelatywistyczne, czyli obowiązuje tylko dla prędkości małych w porównaniu z c.

Gdy cząstka poruszająca się ma stałą energię można (z przyczyn, w które nie będziemy się tu wgłębiać) jej funkcję falową przedstawić w postaci:

ψ(x,t) = ψ(x) exp (- iEt/ħ)

Równanie Schrödingera przyjmuje wtedy postać:

Ĥ ψ(x) = E ψ(x)

Jest to równanie Schrödingera niezależne od czasu. Jest równaniem na wartości własne E operatora hamiltonowskiego Ĥ. Rozwiązaniem tego równania dla cząstki swobodnej, czyli mającej tylko stałą energię kinetyczną (nie działają na nia żadne siły) i nieograniczonej do jakiegoś skończonego obszaru jest funkcja falowa:

ψ(x) = Ae ^ipx/h

Ma ona jeden pęd p i jest określona na całej osi X (od -∞ do +∞).

Bardzo istotną rzeczą stało się zinterpretowanie funkcji falowej, czyli odpowiedź na pytanie: czym jest funkcja falowa ? Sam Schrödinger uważał, że funkcja falowa przedstawia rozmytą cząstkę. Kwadrat amplitudy tej funkcji w punkcie x jest gęstością cząstki. Znaczyło to mniej więcej tyle, że cząstka jest wszędzie, jest rozmyta na cały obszar, ale w rejonach większej amplitudy cząstka jest bardziej zagęszczona.
Interpretacja całkowitego rozmycia pojedynczej cząstki była trudna do zaakceptowania. Dopiero Max Born - niemiecki fizyk podał, jeszcze w tym samym 1926 roku, statystyczną interpretację funkcji falowej. Jego zdaniem kwadrat amplitudy funkcji falowej reprezentuje gęstość prawdopodobieństwa znalezienia całej cząstki w danym miejscu. Detektor zawsze zareaguje na obecność całej cząstki tylko w jednym miejscu. Teoretycznie nie jesteśmy w stanie przewidzieć w którym, bo dzięki teorii dysponujemy tylko gęstościami prawdopodobieństw, z których wynika gdzie prawdopodobieństwo to będzie większe, a gdzie mniejsze. Dodatkowo funkcja falowa musi spełniać warunek:

co oznacza, że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w całym możliwym obszarze (tu na całej osi X) musi wynosić 1 (gdzieś na pewno jest). Mówi się, że funkcja falowa musi być ona unormowana.

Całkowita pewność odnośnie tego, gdzie jest cząstka, możliwa jest więc tylko przez pomiar i, co ciekawe, pomiary na tych samych układach (opisanych przez tę samą wspomnianą wyżej funkcję falową), prowadzą do różnych wyników - różnych, ale dozwolonych prawdopodobieństwami położeń cząstki. Ale ogólnie, nie każda seria pomiarów prowadzona na tym samym stanie musi prowadzić do różnych wyników. Jeśli układ jest w tzw. stanie własnym operatora mierzonej wielkości, to seria pomiarów na nim da zawsze taki sam wynik. Będzie on zresztą tzw. wartością własną tego operatora. Na przykład, pomiar pędu przeprowadzony na układzie opisanym powyższą funkcją ψ(x) = Ae ^ipx/h da zawsze jedną wartość pędu: p.

Aby rozjaśnić omawiane powyżej zagadnienia pomiaru położenia, zobrazujmy je za pomocą losowania 1 kulki ze skrzynki, która zawiera 100 kulek (70 niebieskich i 30 żółtych).
Oto wnioski z naszego doświadczenia:

• Nie jesteśmy w stanie przewidzieć z góry jakiego koloru kulkę wylosujemy. Przed losowaniem możemy operować tylko prawdopodobieństwami: 0,7 że będzie to kulka niebieska i 0,3 - że będzie to kulka żółta. Dopiero i tylko pomiar (losowanie) da nam pewność odnośnie koloru kulki.

• W każdym pojedynczym doświadczeniu wyciągamy albo całą kulkę niebieską, albo całą żółtą. Nigdy, rzecz jasna, nie jest to mieszanka: 1 kulka w 70% niebieska i w 30% żółta.

• Pojedyncze losowanie z tej samej skrzynki może dać albo kulkę żółtą albo niebieską. Możliwe są więc 2 wyniki losowania na tym samym układzie.

• Jeśli doświadczenie powtarzamy wiele razy, to procent wylosowanych kulek niebieskich i żółtych będzie mniej więcej równy prawdopodobieństwu wylosowania kulki o odpowiednim kolorze.

Statystyczna interpretacja Borna obowiązuje do dziś i jest w miarę powszechnie akceptowana.

---