Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
Wykład VI
Barbara Badełek
Uniwersytet Warszawski i Uniwersytet Uppsalski
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
1 / 22
Plan dzisiejszego wykładu
1
2
Równanie Schrödingera dla cz ¸astki swobodnej
3
Cz ¸astka swobodna w ograniczonej przestrzeni
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
2 / 22
Równanie Schrödingera
Plan dzisiejszego wykładu
1
2
Równanie Schrödingera dla cz ¸astki swobodnej
3
Cz ¸astka swobodna w ograniczonej przestrzeni
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
3 / 22
Równanie Schrödingera
Równanie Schrödingera
(1926, Nobel 1933)
Stan stacjonarny opisany przez jego przestrzenn ¸a funkcj ¸e falow ¸a,
ψ(
x
,
y
,
z
)
, oraz energi ¸e, E . Narz ¸edzie: r. Sch.
Rola w mech. kw. podobna do równania Newtona w mechanice
i równa ´n Maxwella w elektromagnety´zmie: podstawowe równanie
opisuj ¸ace dowolny układ kwantowy.
Nie mo˙zna go otrzyma´c z innych zasad
−→
nowa zasada!
Słuszne w nierelatywistycznej mechanice kwantowej i dla stałej liczby
cz ¸astek
00
masywnych
00
.
Dla cz ¸astki o masie m i o okre´slonej energii E , w polu siły o energii
potencjalnej U
(
x
)
i w 1 wymiarze, r. Sch. jest:
−
~
2
2m
d
2
ψ(
x
)
d
x
2
+
U
(
x
)ψ(
x
) =
E
ψ(
x
)
Tutaj E jest stałe.
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
4 / 22
Równanie Schrödingera
Równanie Schrödingera, ...c.d.
Poprawno´s´c stwierdzona do´swiadczalnie!
Jest to równanie
00
na psi
00
, którego rozwi ¸azanie dla cz ¸astki swobodnej,
ψ =
A e
i
(
kx
−ω
t
)
=
A e
ikx
e
i
E
~
t
, spełnia:
~ω =
~
2
k
2
2m
a wi ¸ec relacj ¸e de
Broglie (
sprawd´z !
).
Je´sli k
>
0 funkcja falowa
ψ =
A e
i
(
kx
−ω
t
)
reprezentuje cz ¸astk ¸e
swobodn ¸a poruszaj ¸ac ¸a si ¸e w kierunku
+
x ; dla k
<
0 p ¸ed (a wi ¸ec i ruch)
jest w kierunku
−
x .
Zale˙zne od czasu równanie Schrödingera dla cz ¸astki w polu
potencjalnym i w 3 wymiarach:
−
~
2
2m
∆ +
U
(~
r
)
Ψ(~
r
,
t
) =
i
~
∂
∂
t
Ψ(~
r
,
t
)
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
5 / 22
Równanie Schrödingera dla cz ¸astki swobodnej
Plan dzisiejszego wykładu
1
2
Równanie Schrödingera dla cz ¸astki swobodnej
3
Cz ¸astka swobodna w ograniczonej przestrzeni
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
6 / 22
Równanie Schrödingera dla cz ¸astki swobodnej
Równanie Schrödingera dla cz ¸astki swobodnej
Dla cz ¸astki swobodnej nie ma restrykcji na warto´s´c p (lub E
=
p
2
/
2m).
Je´sli U
6=
const to rozwi ¸azania r. Sch.istniej ¸a tylko dla pewnych E .
Zale˙zne od czasu r.Sch. fundamentalne w badaniach przej´s´c mi ¸edzy
stanami.
Rozwa˙zmy dokładniej cz ¸astk ¸e swobodn ¸a, tzn. sytuacj ¸e U
(
x
) =
0.
Biegnie ona w kier.
+
x , ma p ¸ed p oraz E
=
p
2
/
2m (stan stacjonarny).
Z relacji de Broglie ma ona te˙z okre´slone k
=
p
/~
i
ω =
E
/~
.
Przez analogi ¸e do biegn ¸acej fali mechanicznej:
Ψ(
x
,
t
) =
A cos
(
kx
− ω
t
) +
B sin
(
kx
− ω
t
)
(A i B to stałe).
To równanie nie ma postaci jak dla stanu stacjonarnego;
jednak dla B
=
iA,
Ψ(
x
,
t
) −→
A e
ikx
e
−
i
ω
t
czyli OK.
Zauwa˙zmy, ˙ze dla takiej f.f. g ¸esto´s´c prawdopodobie ´nstwa znalezienia
cz ¸astki w punkcie x jest:
|Ψ(
x
,
t
)|
2
=
A e
ikx
e
−
i
ω
t
·
A
∗
e
−
ikx
e
+
i
ω
t
=
A
2
=
const!
Cz ¸astka mo˙ze wi ¸ec by´c gdziekolwiek wzdłu˙z osi x !
To jest zgodne z zasad ¸a nieonaczono´sci.
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
7 / 22
Równanie Schrödingera dla cz ¸astki swobodnej
Równanie Schrödingera dla cz ¸astki swobodnej, ...c.d.
Zauwa˙zmy: najogólniejszym rozwi ¸azaniem r.Sch. dla cz ¸astki swobodnej,
d
2
ψ
d
x
2
+
k
2
ψ =
0
jest:
ψ(
x
) =
A e
ikx
+
B e
−
ikx
albo w postaci zale˙znej od czasu:
Ψ(
x
,
t
) =
A e
i
(
kx
−ω
t
)
+
B e
−
i
(
kx
+ω
t
)
Powy˙zsza funkcja to superpozycja dwóch funkcji falowych:
1) o danym p
= ~
k i ruch w kierunku
+
x oraz
2) o danym p
= ~
k i ruch w kierunku
−
x .
Ψ(
x
,
t
)
reprezentuje stan stacjonarny o okre´slonej energii,
E
= ~
2
k
2
/
2m, ale
NIE o okre´slonym p ¸edzie!
Mo˙ze jednak reprezentowa´c fal ¸e stoj ¸ac ¸a!
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
8 / 22
Cz ¸astka swobodna w ograniczonej przestrzeni
Plan dzisiejszego wykładu
1
2
Równanie Schrödingera dla cz ¸astki swobodnej
3
Cz ¸astka swobodna w ograniczonej przestrzeni
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
9 / 22
Cz ¸astka swobodna w ograniczonej przestrzeni
Niesko ´nczona
00
studnia
00
potencjału
Plan dzisiejszego wykładu
1
2
Równanie Schrödingera dla cz ¸astki swobodnej
3
Cz ¸astka swobodna w ograniczonej przestrzeni
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
10 / 22
Cz ¸astka swobodna w ograniczonej przestrzeni
Niesko ´nczona
00
studnia
00
potencjału
Niesko ´nczona
00
studnia
00
potencjału
Poło˙zenie cz ¸astki ograniczone do sko ´nczonego
obszaru:
0
≤
x
≤
L
Potencjał odpowiadaj ¸acy
00
sztywnym
00
´scianom
jest niesko ´nczony, sk ¸ad dla x
<
0
i x
>
L
jest:
ψ(
x
) =
0.
Zauwa˙zmy:
ψ(
x
)
musi by´c funkcj ¸a ci ¸agł ¸a
, czyli
ψ(
x
) =
0 dla
x
=
0 oraz x
=
L (tzw. warunki brzegowe problemu), identycznie jak
dla drga ´n zamocowanej na ko ´ncach struny:
Inny warunek: ci ¸agło´s´c
dψ(
x
)/d
x (z wyj ¸atkiem punktów
∞
potencjału)
aby istniała
d
2
ψ(
x
)/d
x
2
.
Rysunek z ksi ¸a˙zki Halliday’a
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
11 / 22
Cz ¸astka swobodna w ograniczonej przestrzeni
Niesko ´nczona
00
studnia
00
potencjału
Niesko ´nczona
00
studnia
00
potencjału, ...c.d.
Równanie Schrödingera jest wi ¸ec teraz:
−
~
2
2m
d
2
ψ(
x
)
d
x
2
=
E
ψ(
x
)
a jego ogólnym rozwi ¸azaniem jest:
ψ(
x
) =
A
1
e
ikx
+
A
2
e
−
ikx
(dlaczego nie mo˙ze by´c tylko A e
ikx
?)
Warunki brzegowe narzucaj ¸a te˙z:
A
2
= −
A
1
oraz kL
=
n
π
(n = 1,2,3,...)
czyli:
λ ≡ λ
n
=
2L
/
n
(jak dla struny!).
Z warunku na k (albo
λ
n
): p
n
=
h
/λ
n
=
nh
/
2L
oraz:
E
n
=
p
2
n
2m
=
n
2
π
2
~
2
2mL
2
(
n
=
1
,
2
,
3
, ...)
co oznacza, ˙ze
dopuszczalne s ¸a tylko pewne, ´sci´sle okre´slone warto´sci
energii cz ¸astki
−→
tzw.
okre´slone poziomy energetyczne
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
12 / 22
Cz ¸astka swobodna w ograniczonej przestrzeni
Niesko ´nczona
00
studnia
00
potencjału
Niesko ´nczona
00
studnia
00
potencjału, ...c.d.
Ka˙zdy poziom ma swoj ¸a warto´s´c n i woj ¸a funkcj ¸e falow ¸a
ψ
n
:
ψ
n
(
x
) =
C sin
n
π
x
L
(
n
=
1
,
2
,
3
, ...)
Energia zerowa jest niedopuszczalna !
Wtedy mamy bowiem:
ψ
n
≡
0.
Mo˙zliwe przej´scia mi ¸edzy
stanami energetycznymi cz ¸astki.
Rysunek z ksi ¸a˙zki Halliday’a
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
13 / 22
Cz ¸astka swobodna w ograniczonej przestrzeni
Niesko ´nczona
00
studnia
00
potencjału
Niesko ´nczona
00
studnia
00
potencjału, ...c.d.
Przykład: najni˙zsza energia (poziom energetyczny) elektronu
zamkni ¸etego w
00
studni
00
potencjału o szeroko´sci L
=
5
·
10
−
10
m (troch ¸e
szerszej ni˙z atom) jest: E
1
=
h
2
/
8mL
2
= 1,5 eV. Je´sli cz ¸astk ¸a jest proton
(neutron) (m
≈
938 MeV) oraz L
≈
1 fm to E
1
=
1,7 MeV.
Sprawd´z te
liczby i porównaj z energiami elektronów w atomie i nukleonów w j ¸adrze
atomu!
Rozwa˙z te˙z kul ¸e bilardow ¸a, m
=
0,2 kg na stole bilardowym,
L = 1,5 m.
I jeszcze warunek normalizacji funkcji falowych:
Z
+∞
−∞
|ψ(
x
)|
2
d
x
=
1
−→
Z
L
0
C
2
sin
2
n
π
x
L
d
x
=
1
Lewa strona = C
2
L
/
2 sk ¸ad C
=
p
2
/
L
(tu ró˙znica z drganiami struny!).
Ostatecznie:
ψ
n
(
x
) =
r
2
L
sin
n
π
x
L
(
n
=
1
,
2
,
3
, ...)
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
14 / 22
Cz ¸astka swobodna w ograniczonej przestrzeni
Niesko ´nczona
00
studnia
00
potencjału
Niesko ´nczona
00
studnia
00
potencjału, ...c.d.
A gdzie
00
dokładnie
00
znajduje si ¸e cz ¸astka w studni?
Co na to zasada nieoznaczono´sci?
Je´sli
∆
x
=
L oraz
∆
p
=
h
/
2L to
∆
x
· ∆
p
=
h
/
2 czyli OK.
Rysunek z ksi ¸a˙zki Halliday’a
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
15 / 22
Cz ¸astka swobodna w ograniczonej przestrzeni
Niesko ´nczona
00
studnia
00
potencjału
Niesko ´nczona
00
studnia
00
potencjału, ...c.d.
Pełna funkcja falowa jest:
Ψ(
x
,
t
) = ψ(
x
)
e
iEt
/~
=
r
2
L
sin
n
π
x
L
e
iEt
/~
(
n
=
1
,
2
,
3
, ...)
Zauwa˙zmy:
|Ψ(
x
,
t
)|
2
= |ψ(
x
)|
2
czyli prawdopodobie ´nstwo znalezienia cz ¸astki nie zale˙zy od czasu.
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
16 / 22
Cz ¸astka swobodna w ograniczonej przestrzeni
Sko ´nczona
00
studnia
00
potencjału
Plan dzisiejszego wykładu
1
2
Równanie Schrödingera dla cz ¸astki swobodnej
3
Cz ¸astka swobodna w ograniczonej przestrzeni
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
17 / 22
Cz ¸astka swobodna w ograniczonej przestrzeni
Sko ´nczona
00
studnia
00
potencjału
Model sko ´nczonej
00
studni
00
potencjału
B A
A
A B
B
A
A
B
U = 0
E
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
18 / 22
Cz ¸astka swobodna w ograniczonej przestrzeni
Sko ´nczona
00
studnia
00
potencjału
Sko ´nczona
00
studnia
00
potencjału
Model bli˙zszy licznym sytuacjom rzeczywistym.
Je´sli cz ¸astka uwi ¸eziona (zlokalizowana) w studni, czyli je´sli jej energia
E
<
U
0
−→
cz ¸astka w
00
stanie zwi ¸azanym
00
(lub
00
stan zwi ¸azany
00
).
Rozwa˙zmy najpierw przypadek wn ¸etrza studni, 0
<
x
<
L, gdzie U
=
0.
Wtedy r. Schr.:
−
~
2
2m
d
2
ψ(
x
)
d
x
2
=
E
ψ(
x
)
−→
d
2
ψ(
x
)
d
x
2
+
2mE
~
2
ψ(
x
) =
0
i ma rozwi ¸azanie:
ψ(
x
) =
A
1
e
ikx
+
A
2
e
−
ikx
= ψ(
x
) = (
A
1
+
A
2
)
cos kx
+
i
(
A
1
−
A
2
)
sin kx
albo:
Ψ(
x
) =
A cos
√
2mE
~
x
+
B sin
√
2mE
~
x
,
E
= ~
2
k
2
/
2m
,
k
=
√
2mE
/~
(identycznie jak dla studni niesko ´nczonej).
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
19 / 22
Cz ¸astka swobodna w ograniczonej przestrzeni
Sko ´nczona
00
studnia
00
potencjału
Sko ´nczona
00
studnia
00
potencjału, ...c.d.
A teraz na zewn ¸atrz studni, x
<
0 oraz x
>
L:
d
2
ψ(
x
)
d
x
2
−
2m
(
U
0
−
E
)
~
2
ψ(
x
) =
0
,
U
0
−
E
>
0
i rozwi ¸azanie jest:
ψ(
x
) =
C e
κ
x
+
D e
−κ
x
,
κ =
p
2m
(
U
0
−
E
)/~
Tutaj C i D s ¸a ró˙zne w x
<
0 i w x
>
L.
Tak˙ze: D
=
0 dla x
<
0 oraz C
=
0 dla x
>
L (
uzasadnij!
).
Sprawdzenie warunków brzegowych: funkcja sinusoidalna i wykładnicza
s ¸a ci ¸agłe (wraz z I-sz ¸a pochodn ¸a)
−→
dozwolone s ¸a tylko pewne
warto´sci E
−→
dozwolone tylko pewne poziomy energetyczne.
Przeciwnie do mechaniki klasycznej (Newtona) istnieje niezerowe
prawdopodobie ´nstwo, ˙ze cz ¸astka znajdzie si ¸e na zewn ¸atrz studni !
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
20 / 22
Cz ¸astka swobodna w ograniczonej przestrzeni
Sko ´nczona
00
studnia
00
potencjału
Sko ´nczona
00
studnia
00
potencjału, ...c.d.
Rysunki z ksi ¸a˙zki Halliday’a
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
21 / 22
Cz ¸astka swobodna w ograniczonej przestrzeni
Sko ´nczona
00
studnia
00
potencjału
Porównanie
00
studni
00
sko ´nczonej i niesko ´nczonej
Ka˙zdy poziom energetyczny w studni sko ´nczonej jest ni˙zszy ni˙z
w niesko ´nczonej.
Studnia sko ´nczona ma tylko sko ´nczon ¸a liczb ¸e stanów zwi ¸azanych
i odpowiadaj ¸acych poziomów energetycznych (du˙zo w studni gł ¸ebokiej).
Zawsze musi istnie´c co najmniej jeden poziom!
W ˙zadnej ze studni nie ma stanu o E
=
0; złamałby on zasad ¸e
nieoznaczono´sci (poka˙z to !).
W stanach o E
>
U
0
, cz ¸astka nie jest zwi ¸azana (= jest swobodna)
i wszystkie warto´sci jej energii E s ¸a dozwolone (continuum stanów).
Funkcje falowe cz ¸astki swobodnej s ¸a sinusoidalne dla ka˙zdego x .
B. Badełek (Wydział Fizyki UW)
Wst ¸ep do fizyki kwantowej i budowy materii
2008/2009
Wykład VI
22 / 22
Document Outline
- Równanie Schrödingera
- Równanie Schrödingera dla czastki swobodnej
- Czastka swobodna w ograniczonej przestrzeni
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
56 Równanie Schródingera i jego zastosowanie dla częstki swobodnej
Stezenie molowe-rozwiazania, Dla licealistów
Równanie Schrodingera
20 Rownanie Schrodingeraid 2144 Nieznany
100 ukladow rownan liniowych z pelnymi rozwiazaniami krok po kroku (2)
20110414 kolokwium (rownania rozniczkowe) wszystkie rozwiazaniaid 27571
Równanie płaszczyzny w przestrzeni, Matematyka dla Szkoły Podstawowej
POWSTANIE LISTOPAD UPADEK, Przyczyny kl?ski powstania listopadowego i jego konsekwencje dla trzech z
Prawidłowe oddychanie i jego znaczenie dla dotlenienia komórek i tkanek
Gdańskie Gimnazjum Akademickie jego znaczenie dla rozwoju?ukacji w XVI, XVIII w
KRYZYS FINANSOWY I JEGO KONSEKWENCJE DLA GOSPODARKI AMERYKANSKIEJ I EUROPEJSKIEJ
034 „Polowanie na czarownice” i jego konsekwencje dla historii filmu
Konflikt i sposoby jego rozwiązywania
Znaczenie Konfliktu i Sposoby Jego Rozwiązywania
HIST, Przyczyny kl˙ski powstania listopadowego i jego konsekwencje dla trzech zabor˙w
Uklady równań, Matematyka. Zadania i rozwiązania
więcej podobnych podstron